Probabilités. est la i ième valeur possible. L ensemble des issues auxquelles on associe la même valeur x

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Probabilités. est la i ième valeur possible. L ensemble des issues auxquelles on associe la même valeur x"

Transcription

1 Probabltés A) Varable aléatore et lo de probablté Varable aléatore Défto : O cosdère l'esemble E des ssues d'ue expérece aléatore Défr ue varable aléatore X sur cet esemble, c est assocer u ombre à chaque ssue de l'expérece aléatore Cette varable aléatore est dscrète lorsqu'elle pred u ombre f de valeurs : x,, x,, x où x est la ème valeur possble L esemble des ssues auxquelles o assoce la même valeur x, de la varable aléatore X est l évéemet oté ( X = x ) Remarques : E gééral, les varables aléatores sot otées par des lettres majuscules L esemble des valeurs prses par ue varable aléatore est f quad l'esemble E est f S X est le om de la varable aléatore o otera {X = a} l'esemble des résultats de E qu P X = a la probablté d'u tel esemble ot pour mages a et ( ) Exemple : O lace u dé équlbré dot les faces sot umérotées de à 6 S o obtet u uméro etre et 4 o gage u ombre d'euros correspodat au uméro sort s o obtet les uméros 5 ou 6, o perd deux euros O déft as ue varable aléatore G qu à chaque résultat assoce le ga obteu Das ces codtos G peut predre les valeurs { 2,, 2, 3, 4} O obtet doc pour la varable aléatore G les résultats suvats : 2 P ( G = ) = P( G = 2) = P( G = 3) = P( G = 4) = et P ( G = 2) = = Exemple 2 : O lace deux dés dot les faces sot umérotées de à 6 et o cosdère la varable aléatore S preat comme valeurs la somme des uméros obteus O ote E l'esemble des 36 couples ( a ; b) où a et b sot des ombres de à 6 La somme S des uméros peut predre les valeurs 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,, 2, comme dqué das le tableau suvat : { } Lycée Fraças de DOHA

2 2 Lo de probablté Défto : Défr ue lo de probablté P d'ue varable aléatore X, c est assocer à chaque valeur x, de la varable aléatore u ombre postf p, tel que la somme des p, est égale à As : p = P X = x ) avec 0 p et p = p + + p = ( Détermer la lo de probablté de X, c est doer, sous forme d'u tableau, toutes les probabltés des valeurs x Exemple : Le lacer d'u dé équlbré codut à la lo de probablté doée par le tableau suvat : = = O a alors obteu la lo de probablté de G qu est récaptulée das le tableau suvat : Exemple 2 : S les dés sot équlbrés, la o de probablté de S est doée par le tableau suvat : Le dagramme bâtos correspodat est alors : Lycée Fraças de DOHA

3 B) Espérace d ue varable aléatore Défto : S X est ue varable aléatore réelle preat les valeurs x, x2,, x avec les probabltés, p2, p, o appelle espérace mathématque de la varable aléatore X le ombre oté (X ) E ( X ) = p x + p x + + p x 2 2 p, E déf par : Proprété : L espérace d'ue varable aléatore X est la moyee des valeurs x podérées par leurs probabltés Autremet dt, l espérace mathématque permet de calculer la moyee des résultats obteus lorsqu o reprodut u très grad ombre de fos l expérece Remarques : Cette proprété est ue coséquece drecte de la lo des grads ombres Cosdéros ue expérece aléatore caractérsée par u esemble de résultats E = { e, e, 2, e } et ue lo de probablté p, p, 2, p défe sur E S o réalse N fos cette expérece aléatore, o obtet les résultats e, e, 2, e avec des fréqueces d apparto f, f, 2, f La moyee des résultats sera : x = f e + f e + f e 2 2 Comme les fréqueces f, f, 2, f se rapproche des probabltés p, p, 2, p lorsque N devet grad, la moyee x se rapproche de l espérace mathématques Exemple 2 : O smule avec u tableur 00 lacers de 2 dés O obtet les résultats suvats : La somme de ces résultats est 694 et la moyee 6,94 O peut auss regrouper les résultats detques O obtet alors Ie tableau suvat : Das ces codtos la moyee des résultats obteus s'écrt : x = 0, ,03 2 = 6, 94 Par alleurs, la lo de probablté est doée par ce tableau : L espérace mathématque de la lo de probablté est : 2 3 E ( S) = = O remarque que x E(S) Lycée Fraças de DOHA

4 Exercce : O chost au hasard u ombre etre et 25 et o déft la varable aléatore X qu lu assoce la somme de ses chffres ) Quelles sot les valeurs possbles de la varable aléatore X? 2) Détermer la lo de probablté de X 3) Calculer, à l ade votre calculatrce, so espérace Exercce 2 : U sac cotet 4 cartos umérotés, 2, 3 et 4 O tre au hasard smultaémet 2 cartos das le sac ) Motrer que le trage possède 6 ssues équprobables 2) Détermer la lo de probablté de la varable aléatore X qu assoce à chaque trage la somme des valeurs scrtes sur les deux cartos trés 3) Détermer P ( X 4) et terpréter ce ombre Exercce 3 : O lace deux dés symétrques dot les faces sot umérotées,,, 2,2 et 3 O appelle S la varable aléatore qu doe la somme des pots obteus ) Idquer les valeurs prses par la varable 2) Détermer la lo de probablté de S 3) Tracer le dagramme e bâtos correspodat 4) Calculer, à l ade votre calculatrce, E (S) Exercce 4 : Ue lotere est formée d'ue flèche et d'u dsque coteat 3 secteurs L agle du secteur bleu vaut 90, les agles des deux autres secteurs valet 35 O toure la roue O gage 0 euros s la flèche se trouve e face du secteur bleu, o perd 2 euros s la flèche se trouve e face du secteur vert et re s la flèche se trouve e face du secteur rouge ) Sachat que les probabltés d'arrver devat u secteur sot proportoelles à l'agle, doer la lo de probablté de la varable aléatore G qu doe le ga algébrque du joueur 2) Calculer l'espérace de G 3) Quelle dot être la mse pour que le jeu sot équtable? Exercce 5 : Ue ure cotet tros boules vertes, deux boules rouges et ue boule bleue O tre au hasard successvemet avec remse deux boules ) Calculer la probablté des évéemets suvats : A: «obter deux boules vertes» B : «obter ue boule bleue et ue boule verte» C : «obter au mos ue boule rouge» 2) O suppose mateat qu'o tre successvemet sas remse deux boules Calculer les probabltés des évéemets A, B et C Lycée Fraças de DOHA

5 Exercce 6 : U jeu propose d actoer la roue suvate composée de 20 secteurs detques : ) Détermer la lo de probablté de la varable aéatore X assocat à chaque trage le ga obteu 2) Quel ga peut-o espérer e jouat à de ce jeu? Exercce 7 : O lace deux dés symétrques à 6 faces umérotées de à 6 ) Doer, à l ade d u tableau, l esemble des ssues possbles de cette expérece O ote X la varable aléatore qu doe le plus grad des deux ombres obteus 2) Quelles sot les valeurs possbles de X? 3) Détermer la lo de X 4) Calculer E (X ) Exercce 8 : Ue ure cotet tros boules blaches et ue boule ore O tre au hasard des boules das l'ure, ue par ue, jusqu'à obter la boule ore ) Compléter l'arbre c-dessous et calculer la probablté d'avor la boule ore au premer, au secod, au trosème et au derer trage 2) Sot R la varable aléatore qu doe le rag de la sorte de la boule ore a) Idquer les valeurs prses par la varable b) Détermer la lo de R c) Calculer E (R) Lycée Fraças de DOHA

6 Exercce 9 : O lace u dé dodécaédrque be équlbré dot les faces sot umérotées de à 2 S la face obteue est pare, le joueur gage pot S la face obteue est u multple de 3, le joueur gage 3 pots S la face obteue est supéreure ou égale à 0, le joueur gage 4 pots So le joueur perd 5 pots Ces gas sot cumulables s la face obteue réalse pluseurs de ces codtos ) Détermer la lo de probablté de la varable aléatore X qu assoce à u lacer le ga algébrque obteu 2) Détermer E (X ) Ce jeu est-l équtable? 3) Quelle motat devrat-o réclamer au joueur lorsqu'l perd pour que le jeu sot équtable? Exercce 0 : O lace tros dés à 6 faces, be équlbrés O cosdère les trplets ordoés obteus ) Quelle est la probablté d'obter le trplet ( 6 ; 6 ; 6)? 2) Quelle est la probablté d'obter tros chffres detques? 3) Motrer que la probablté d'obter tros chffres dfféret est 9 5 4) U jeu est basé sur l'expérece précédete Pour ue mse d'u euro, o gage dx euros s les tros chffres sot detques, tros euros s deux chffres sot detques, so re O cosdère la varable aléatore X qu assoce au jeu le ga du joueur e comptat sa mse a) Détermer la lo de probablté de X b) Quel ga peut-o espérer e jouat à de ce jeu? Exercce : Toute ressemblace avec des persoes Lors des tros matches de poule d u touro de football quatre supporters décdet de suvre l avs d u poulpe pour prédre les résultats de leur équpe Amusé, l orgasateur du touro leur propose le jeu suvat : Il leur doe à chacu 3 chaque fos que leur prédcto est juste mas ls devrot lu doer e tout 8 à chaque fos qu elle e l est pas ) A l ade d u arbre, écrre des sommes possbles 2) La varable X assoce la somme algébrque de ces supporters à la f des matches a) Quelles sot les valeurs possbles de X? b) Détermer la lo de probablté de X c) Quelle est la probablté que ces supporters gaget e tout 36? d) Quelle est la probablté que ces supporters gaget au mos 2? e) Calculer so l espérace X Que peut-o e coclure? Exercce 2 : Ue ure cotet tros boules umérotées 2, 3 et 4 ) O tre au hasard ue boule de l ure Sot X la varable aléatore qu retoure le uméro de la boule trée Détermer la lo de probablté de X et calculer E (X ) 2) O tre successvemet avec remse deux boules de l'ure Sot Y la varable aléatore qu doe la somme des uméros obteus Détermer la lo de probablté de Y et calculer E (Y ) A-t-o E ( Y ) = 2E( X )? 3) O tre smultaémet deux boules de l ure Sot Z la varable aléatore qu doe la somme des uméros obteus Détermer la lo de probablté de Z et calculer E (Z) A-t-o E ( Z) = 2E( X )? Lycée Fraças de DOHA

7 Exercce 3 : Ue boîte cotet sx boules rouges et boules blaches U jeu cosste à trer successvemet, sas remse, deux boules de la boîte S les deux boules ot la même couleur, le joueur gage euro ; s elles sot de couleurs dfféretes, le joueur perd u euro a) Das cette questo, o suppose = 3 Calculez les probabltés des évèemets : a) A : «O a obteu deux boules de même couleur» b) B : «O a obteu deux boules de couleurs dfféretes» b) Das cette questo, l'eter est quelcoque mas supéreur ou égal à 2 X la varable aléatore qu à chaque trage de assoce le ga algébrque du joueur a) Quelles sot les valeurs possbles de X? b) Détermer, e focto de, la lo de probablté de X c) Prouvez que l'espérace mathématque E(X) est telle que E(X) = d) Pour quelles valeurs de le jeu est-l équtable? e) Pour quelles valeurs de est-l défavorable au joueur? Exercce 4 : O fabrque u gros cube e agglomérat 27 petts cubes (vor fgure) O pet e rouge toutes les faces du gros cube, pus o sépare de ouveau les 27 petts qu ot doc certaes de leurs faces petes e rouge O tre au hasard u pett cube et o appelle X la varable aléatore égale au ombre de faces petes e rouge sur le pett cube tré ) Quelles sot les valeurs possbles de la varable aléatore X? 2) Détermer la lo de probablté de X 3) Calculer E (X ) Exercce 5 : Ue pette compage d'assurace fat u bla du coût de ses assurés par trache de 500 O ote C la varable aléatore doat le motat du coût des assurés e euro ( ) ) Combe y a t l d'assurés das cette compage? 2) Idquer les valeurs prses par la varable 3) Doer la lo de probablté de C 4) Calculer E (C) 5) À combe cette compage d'assurace dot-elle fxer sa cotsato pour équlbrer ses comptes? 6) À combe dot-elle fxer sa cotsato pour réalser u bééfce de 50 par assuré? Lycée Fraças de DOHA

8 Exercce 6 : U fora a costrut u apparel de jeu coteat tros boules blaches (B ; B 2 ; B 3 ) et deux boules rouges (R ; R 2 ) Lorsqu'o trodut u jeto das l'apparel, deux boules tombet das u paer Toutes les boules ot la même probablté de tomber das le paer S les deux boules obteues sot rouges, le joueur gage u lot de 30 euros S ue des boules obteues est rouge, le joueur gage u lot de 5 euros S les deux boules sot blaches, le joueur e gage re Le prx du jeto est fxé à 0 euros ) Doer toutes les ssues de cette expérece 2) La varable aléatore X désgat la valeur du lot gagé par le joueur, détermer la lo de probablté de X 3) Calculer l'espérace mathématque de X 4) L'apparel e s'avérat pas suffsammet retable, le fora evsage deux solutos : augmeter de euro le prx du jeto ajouter ue boute blache à l'téreur de l'apparel Quelle est la soluto la plus retable pour le fora? Exercce 7 : Ue assocato propose à ses adhérets ue sorte payate Les adhérets peuvet chosr d'apporter leur pque que ou de payer à l'assocato u supplémet pour le repas Le tableau c-dessous doe les dfférets tarfs suvat l'âge des adhérets : L'assocato a scrt 87 partcpats pour cette sorte, dot 58 adultes et 2 efats de mos de 0 as La moté des adultes, u quart des efats et 0 jeues ot apporté leur pque que O chost u partcpat au hasard et o s'téresse aux évéemets suvats : A : «Le partcpat fat parte de la catégore A» B : «Le partcpat fat parte de la catégore B» C : «Le partcpat fat parte de la catégore C» R : «Le partcpat chost e repas proposé par l'assocato» ) Représeter la stuato à l'ade d'u arbre podéré, qu sera complété au fur et à mesure 2) Calculer la probablté de l'évèemet B 3) Calculer la probablté de l'évèemet R A 5 4) Motrer que : P ( R) = 29 5) O ote X la varable aléatore doat le prx payé à l'assocato par partcpat a) Détermer les dfféretes valeurs que peut predre le prx X b) Etablr ta lo de probablté et calculer le prx moye par partcpat Lycée Fraças de DOHA

9 Exercce 8 : Le chevaler Méré et le jeu du «Passe 0» Le jeu du «Passe 0» est le suvat : O lace tros fos de sute u dé et o addtoe les résultats obteus S cette somme est supéreure à 0 o gage so o perd Le chevaler Méré estme qu o gage plus souvet avec que 2 Etudos cela ) Quelles sot les sommes gagates possbles? 2) Ecrre u programme qu demade le ombre de smulatos que l utlsateur désre et qu lu dque quelle est la fréquece d ue des sommes gagates (o s arragera pour que toutes les sommes gagates soet choses par la classe) 3) Peut-o avor ue dée de la probablté de gager lors de cette expérece? Exercce 9 : O lace tros fos de sute u dé à sx faces umérotées de à 6 af de détermer les valeurs 2 de a, b et c das l équato ax + bx + c = 0 ) Ecrre u programme qu demade combe de smulatos l utlsateur désre et qu lu dque quelle est la fréquece de l évèemet : «Cette équato admet deux solutos» 2) Peut-o avor ue dée de la probablté de cet évèemet? Pour écrre les deux programmes précédets, o pourra utlser les outls suvats : «It(x)» qu doe la parte etère du ombre x «Ra#» qu doe de faço aléatore u ombre comprs etre 0 et La boucle tératve : «For» La codto : «If» Lycée Fraças de DOHA

I. Qu est-ce qu une variable aléatoire?

I. Qu est-ce qu une variable aléatoire? I. Qu est-ce qu ue varable aléatore?. Défto : Sot ue expérece aléatore dot l esemble des résultats possbles (l uvers est oté Ω. Ue varable aléatore est ue focto X allat de Ω sur R, c est-à-dre que c est

Plus en détail

Cours (Terminale) Probabilités (révisions 1 ère )

Cours (Terminale) Probabilités (révisions 1 ère ) Cours (Termale) Probabltés (révsos ère ) Quelques rappels et complémets sur les esembles Uo de deux esembles O appelle «uo de deux esembles E et F» l esemble oté E F dot les élémets sot costtués des élémets

Plus en détail

BTS BLANC Mai ; on pose A. en fonction de an. puis écrire an

BTS BLANC Mai ; on pose A. en fonction de an. puis écrire an BTS BLANC Ma 0 Epreuve : Mathématques Géérales et Applquées Flère : DA / ARLE Durée: heures NB : Chaque parte dot être tratée sur des copes dfféretes I- MATHEMATIQUES GENERALES Exercce a b Sot le Sot la

Plus en détail

3- LES TIRAGES PROBABILISTES D'ECHANTILLONS

3- LES TIRAGES PROBABILISTES D'ECHANTILLONS 3- LES TIRAGES PROBABILISTES D'EHATILLOS Das de ombreuses alcatos ratques du calcul des robabltés, o retrouve u ou luseurs des schémas de trages robablstes d'échatllos que ous allos exoser. Le cadre gééral

Plus en détail

MATERIEL UTILISE : CALCULATRICE AUTORISEE OUI NON

MATERIEL UTILISE : CALCULATRICE AUTORISEE OUI NON BAC BLANC MATIERE : MATHEMATIQUES OBLIGATOIRE CLASSE de : Termale S SALLE : Grade Permaece PROFESSEUR : Mle GUIHENEUF ATE : Vedred javer 6 HEURE ébut : 8 h HEURE f : h MATERIEL UTILISE : CALCULATRICE AUTORISEE

Plus en détail

Ch.6ÊPROBABILITÉS _ partie 1

Ch.6ÊPROBABILITÉS _ partie 1 LFA / remère S COURS Gesto de doées Mme MAINGUY I Raels / Lo de robablté Ch6ÊPROBABILITÉS _ arte ere S défto O aelle exérece aléatore toute exérece ayat luseurs ssues (ou évetualtés) ossbles et dot o e

Plus en détail

2. On présente ensuite une proposition : l'équiprobabilité à chaque étape entraîne l'équiprobabilité sur l'ensemble des résultats.

2. On présente ensuite une proposition : l'équiprobabilité à chaque étape entraîne l'équiprobabilité sur l'ensemble des résultats. rbre de déombremet et arbre de probablté Pla du documet. O présete tout d'abord la règle du produt pour les arbres de déombremet avec, e cas partculer, le cardal d'u produt cartése d'esembles fs.. O présete

Plus en détail

Contrôle du mardi 27 janvier 2015 (3 heures) 1 ère S1 D P C. Le barème est donné sur 40. On répondra directement sur la copie fournie avec le sujet.

Contrôle du mardi 27 janvier 2015 (3 heures) 1 ère S1 D P C. Le barème est donné sur 40. On répondra directement sur la copie fournie avec le sujet. ère S Cotrôle du mard 7 javer 05 ( heures) D C N Le barème est doé sur 0 O répodra drectemet sur la cope foure avec le sujet U certa ombre de questos écesste ue recherche préalable au broullo O e rédgera

Plus en détail

I. Moyenne, variance et écart-type d une série statistique

I. Moyenne, variance et écart-type d une série statistique I Moyee, varace et écart-type d ue sére statstque Sére statstque dscrète : Eemple d ue sére statstque dscrète : Preos le cas d ue classe de élèves qu réalset u devor oté sur 5 La sére statstque dscrète

Plus en détail

Bac blanc de mathématiques

Bac blanc de mathématiques Termale st2s le mercred 09/03/2016 Durée : 2 heures Bac blac de mathématques Exercce 1 : 6 pots Le tableau c-dessous doe le ombre d aboemets au servce de téléphoe moble e Frace etre f 2001 et f 2009, exprmé

Plus en détail

L2 Mention Informatique. UE Probabilités. Chapitre 4 : Simulation - Régression

L2 Mention Informatique. UE Probabilités. Chapitre 4 : Simulation - Régression L Meto Iformatque UE Probabltés Chaptre 4 : Smulato - Régresso Notes de cours rédgées par Rége Adré-Obrecht, Jule Pquer I- Smulato de varables aléatores. Itroducto Das certaes expéreces «réelles», où le

Plus en détail

Terminales S Exercices sur les nombres complexes Page 1 sur 6

Terminales S Exercices sur les nombres complexes Page 1 sur 6 Termales S Exercces sur les ombres complexes Page sur 6 Exercce : ) Calculer, et 5 6 7 ) E dédure, et ) Détermer les eters pour lesquels est a) u réel, b) est u magare pur, c) égal à Exercce : Ecrre sous

Plus en détail

Nombre de Clients [0 ; 50[ 72. x i. n i [ 50 ; 100 [ 90 [100 ; 150 [ 126 [150 ; 200 [ 54 [200 ; 250 [ 18

Nombre de Clients [0 ; 50[ 72. x i. n i [ 50 ; 100 [ 90 [100 ; 150 [ 126 [150 ; 200 [ 54 [200 ; 250 [ 18 1 U commerçat a relevé le motat des dépeses e euros de chaque clet au cours d ue semae. Motat des dépeses Clets [0 ; 50[ 72 x x - x ) - x )² -x ) ² [ 50 ; 100 [ 90 [100 ; 150 [ 126 [150 ; 200 [ 54 [200

Plus en détail

CORRIGE EXERCICES FACULTATIFS TD ADP1 SEANCE 4

CORRIGE EXERCICES FACULTATIFS TD ADP1 SEANCE 4 page1/6 CORRIGE EXERCICES FACULTATIFS TD ADP1 SEANCE 4 Dosser "Défcece" 1) = 30 pour les groupes. Les classes sot d'ampltudes dfféretes doc...utlser la desté (rappel : desté = effectf/ampltude). Durée

Plus en détail

Comment représenter les variables aléatoires (données)? Paramètres descriptifs. Quels sont les paramètres descriptifs de la position?

Comment représenter les variables aléatoires (données)? Paramètres descriptifs. Quels sont les paramètres descriptifs de la position? Paramètres descrptfs Cours VETE043- Aée académque 06-07 Commet représeter les varables aléatores (doées)? Représetato sythétque Tables de fréqueces Représetato graphque Dagrammes de fréqueces Paramètres

Plus en détail

SCHEMA DE BERNOULLI ET LOI BINOMIALE. EXEMPLES

SCHEMA DE BERNOULLI ET LOI BINOMIALE. EXEMPLES SCHEMA DE BERNOULLI ET LOI BINOMIALE EXEMPLES Nveau : termale Pré-requs : Espace probablsé Varable aléatore réelle sur u espace probablsé f Lo de probablté de X Espérace mathématque Varace O se place das

Plus en détail

Pondichéry Avril 2014 Série S Exercice.

Pondichéry Avril 2014 Série S Exercice. Podchéry Avrl 04 Sére S Exercce Le pla complexe est mu d u repère orthoormé ( O; uv, ) Pour tout eter aturel, o ote A le pot d affxe z déf par : O déft la sute ( ) z z 0 = et + = + z 4 4 r par r = z pour

Plus en détail

On applique le théorème de Pythagore au triangle AIE est rectangle en I AI 2 IE 2 AE 2 IE IE 1 2

On applique le théorème de Pythagore au triangle AIE est rectangle en I AI 2 IE 2 AE 2 IE IE 1 2 Exercce Lba 6 4 pots O cosdère u solde ADECBF costtué de deux pyramdes detques ayat pour base commue le carré ABCD de cetre I. Ue représetato e perspectve de ce solde est doée e aexe (à redre avec la cope).

Plus en détail

arlesrcomplexesraurbacr2014r==corriges=z

arlesrcomplexesraurbacr2014r==corriges=z arlesrcomplexesraurbacr0r==corriges= Nouvelle-Calédoe ovembre 0 5 pots Proposto : Pour tout eter aturel : ( + ) = () VRAI! ( ) doc d où ( ) ( ) ( ) ( ) Sot (E) l équato ( )( + 8) = 0 où désge u ombre complexe

Plus en détail

La valeur acquise par un capital au bout d'une année est donc obtenue en multipliant ce capital par (1 + i). Par suite, le capital C1

La valeur acquise par un capital au bout d'une année est donc obtenue en multipliant ce capital par (1 + i). Par suite, le capital C1 LGL Cours de Mathématques 26 Exemples de sutes das le domae des faces 1) Itérêts composés O place 1. à térêts composés au taux de 4,5 % par a. Détermer le captal dspoble à la f de chaque aée et ce pedat

Plus en détail

L2 Mention Informatique. UE Probabilités. Chapitre 3 : Variables aléatoires réelles

L2 Mention Informatique. UE Probabilités. Chapitre 3 : Variables aléatoires réelles L Meto Iformatque UE Probabltés Chaptre 3 : Varables aléatores réelles Notes de cours rédgées par Rége Adré-Obrecht, Jule Pquer, Serge Solovev Sot (, A, P) Ω et X : Ω R ue varable aléatore. I. Varable

Plus en détail

Polynésie Juin 2010 Série S Exercice. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O; uv, )

Polynésie Juin 2010 Série S Exercice. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O; uv, ) Polyése Ju 00 Sére S xercce Le pla complexe est rapporté à u repère orthoormal drect ( O; uv, ) Prérequs Parte A Resttuto orgasée de coassaces Sot u ombre complexe tel que = a+ b où a et b sot deux ombres

Plus en détail

STATISTIQUES A UNE VARIABLE

STATISTIQUES A UNE VARIABLE Cours et exercces de mathématques ) Itroducto et vocabulare STATISTIQUES A UNE VARIABLE La statstque est la scece qu cosste à réur des doées chffrées, à les aalyser, à les commeter et à les crtquer Ue

Plus en détail

LEÇON N 6 : Loi de Poisson, loi normale.

LEÇON N 6 : Loi de Poisson, loi normale. LEÇON N 6 :. Pré-requs : Probabltés : défto, calculs et probabltés codtoelles ; Lo bomale cf. leço o 5) ; Noto de varables aléatores dscrètes et cotues cf. leços o 4 et 7), et proprétés assocées : espérace,

Plus en détail

STATISTIQUES. La taille moyenne d un jeune enfant est donnée, en fonction de son âge (en mois), dans le tableau suivant :

STATISTIQUES. La taille moyenne d un jeune enfant est donnée, en fonction de son âge (en mois), dans le tableau suivant : STATISTIQUES Cours Termale ES O observe que, das certas cas, l semble ester u le etre deu caractères statstques quattatfs (deu varables) sur ue populato ; par eemple, etre le pods et la talle d u ouveau-é,

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES EXERCICES CORRIGES

NOMBRES COMPLEXES EXERCICES CORRIGES Cours et exercces de mathématques NOMRES COMPLEXES EXERCICES CORRIGES Exercce. O doe = + et = + Ecrre sous forme algébrque les complexes suvats : = ; Exercce. Calculer, et = ; = ; = ; 5 006 009 E dédure

Plus en détail

[ ] IV.- Espérance mathématique de l estimateur  : Nous avons ( ) ε. alors l espérance mathématique sera : soit

[ ] IV.- Espérance mathématique de l estimateur  : Nous avons ( ) ε. alors l espérance mathématique sera : soit Itroducto à l écoométre S6-EF sc. éco. & gesto Prof. Mohamed El Meroua IV.- Espérace mathématque de l estmateur  : A ˆ A + X X X Nous avos ( ε alors l espérace mathématque sera : E ( E( A + E[ ( X X X

Plus en détail

Contrôle du mardi 27 janvier 2015 (3 heures) 1 ère S1 D P C. Le barème est donné sur 40. On répondra directement sur la copie fournie avec le sujet.

Contrôle du mardi 27 janvier 2015 (3 heures) 1 ère S1 D P C. Le barème est donné sur 40. On répondra directement sur la copie fournie avec le sujet. ère S Cotrôle du mard 7 javer 05 ( heures) D C N Le barème est doé sur 0 O répodra drectemet sur la cope foure avec le sujet U certa ombre de questos écesste ue recherche préalable au broullo O e rédgera

Plus en détail

Loi binomiale. Loi de Bernoulli

Loi binomiale. Loi de Bernoulli Loi biomiale Loi de Beroulli O s itéresse ici à la réalisatio ou o d u évéemet. Autremet dit, o étudie les expérieces aléatoires qui ot que deux issues possibles : Obteir Pile ou Face Doer aissace à u

Plus en détail

Améliorer la productivité

Améliorer la productivité Maurce Pllet Amélorer la productvté Déploemet dustrel du toléracemet ertel, 00 SBN : 978---54754- Commet calculer ue tolérace ertelle 75 Nous avos doc u toléracemet par tervalle sur les exgeces foctoelles

Plus en détail

Divisibilité et congruences. Corrigés d exercices

Divisibilité et congruences. Corrigés d exercices Dvsblté et cogrueces Corrgés d exercces Les exercces du lvre corrgés das ce docuet sot les suvats : Page 445 : N 1, 5 Page 459 : N 45 Page 449 : N 10 Page 460 : N 51, 5, 55, 57 Page 451 : N 16 Page 461

Plus en détail

COUPLE DE VARIABLES ALEATOIRES. On considère deux variables aléatoires X et Y. On aimerait connaitre s il y a influence entre ces deux variables.

COUPLE DE VARIABLES ALEATOIRES. On considère deux variables aléatoires X et Y. On aimerait connaitre s il y a influence entre ces deux variables. COUPLE DE VARIABLES ALEATOIRES O cosdère deux varables aléatores et. O amerat coatre s l y a fluece etre ces deux varables. I Coule de varables dscrètes : 1) Lo ote : Soet et deux varables dscrètes, à

Plus en détail

Devoir de contrôle n 1. 4 ème Maths 1 Radès. Répondre par Vrai au Faux aux questions propositions suivantes. Aucune justification n est demandée.

Devoir de contrôle n 1. 4 ème Maths 1 Radès. Répondre par Vrai au Faux aux questions propositions suivantes. Aucune justification n est demandée. Lycée Ib Khaldou Devor de cotrôle ème Maths Radès ( heure) Mr ABIDI Fard Mathématques Mercred 9 Novembre 0 Exercce : ( pots) Répodre par Vra au Faux aux questos propostos suvates Aucue justfcato est demadée

Plus en détail

Les nombres complexes

Les nombres complexes haptre 6 termale S Les ombres complexes 1 hstorque et créato : N Z ID Q R es esembles ot été costruts au fl de l hstore grâce à u même problème : certaes équatos ot des solutos das u esemble doé mas d

Plus en détail

a. Le symbole se lit «sigma» ; l écriture Ex : 2 Fréquences en % ( f i x 100) 11,1 % 29,6 % 59,3 % 100 %!!!!

a. Le symbole se lit «sigma» ; l écriture Ex : 2 Fréquences en % ( f i x 100) 11,1 % 29,6 % 59,3 % 100 %!!!! Cours : Statstques I. Itroducto Classe de ère S O a vu que our caractérser ue sére statstque, o utlse des : - aramètres de tedace cetrale : - la moyee ; - la médae. Ils ermettet d dquer la «osto» de la

Plus en détail

Méthode du simplexe: préliminaires. 2. Programmation linéaire. Solution de base. Méthode du simplexe: préliminaires. b. Méthode du simplexe

Méthode du simplexe: préliminaires. 2. Programmation linéaire. Solution de base. Méthode du simplexe: préliminaires. b. Méthode du simplexe Méthode du smplee: prélmares Modèles de recherche opératoelle (RO). Programmato léare b. Méthode du smplee Das le cas où l y a ue fté de solutos, la méthode d élmato de Gauss-Jorda permet d detfer tros

Plus en détail

Exercice 1 : Analogie entre équilibres acido-basiques et équilibres de complexation (Application du Principe de Le Châtelier).

Exercice 1 : Analogie entre équilibres acido-basiques et équilibres de complexation (Application du Principe de Le Châtelier). Bla UE 1C G. EXERCICES BILAN Exercce 1 : Aaloge etre équlbres acdo-basques et équlbres de complexato (Applcato du Prcpe de Le Châteler). Objectfs de l'exercce - Coassaces/Compéteces testées das cet exercce

Plus en détail

Exercices sur le conditionnement : corrigé

Exercices sur le conditionnement : corrigé Exercces sur le codtoemet : corrgé ECE Lycée Kastler mars 008 Exercce * Pour be compredre commet ça se passe le meux est de commecer par retradure claremet l'éocé e utlsat les otatos esemblstes vues e

Plus en détail

Éléments de probabilité.

Éléments de probabilité. Élémets de probabilité.. Gééralités Les probabilités s'occupet de phéomèes aléatoires, c'est à dire qui sot liés au hasard. Défiitio : O appelle expériece aléatoire, ue expériece dot les résultats, o tous

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES - EXERCICES CORRIGES Exercice n 1.

NOMBRES COMPLEXES - EXERCICES CORRIGES Exercice n 1. NOMBRES COMPLEXES - EXERCICES CORRIGES Exercce. O doe = + et = + Ecrre sous forme algébrque les complexes suvats : = ; = ; = ; = ; 5 = Exercce. Calculer, et E dédure la valeur de 006 et de 009, pus les

Plus en détail

Exercices sur les variables aléatoires discrètes

Exercices sur les variables aléatoires discrètes Exercces sur les varables aléatores dscrètes U QCM est costtué de c uestos déedates avec our chaue uesto réoses ossbles Il y a ue réose exacte et ue seule ar uesto ) U caddat réod au hasard Chaue boe réose

Plus en détail

Exercices sur le chapitre «Variables aléatoires»

Exercices sur le chapitre «Variables aléatoires» Araud de Sait Julie - MPSI Lycée La Merci 2015-2016 1 Pour démarrer Exercices sur le chapitre «Variables aléatoires» Exercice 1 (Recostitutio de paires) O fixe deux etiers aturels 1 r. U placard cotiet

Plus en détail

LE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE

LE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE LE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE. Exemple troductf (Les élèves qu coasset déà be le prcpe peuvet sauter ce paragraphe) Cosdéros la sute (u ), défe pour tout, par : u u u 0 0 Cette sute est défe

Plus en détail

PROBABILITÉS. Définition : Une variable aléatoire X est une fonction définie sur un univers Ω et à valeur dans!.

PROBABILITÉS. Définition : Une variable aléatoire X est une fonction définie sur un univers Ω et à valeur dans!. PROBABILITÉS E 654, Blaise Pascal (63 ; 66) etretiet avec Pierre de Fermat (60 ; 665) des correspodaces sur le thème des jeux de hasard et d'espérace de gai qui les mèet à exposer ue théorie ouvelle :

Plus en détail

Statistiques. Ne pas oublier - la légende sur les axes - les unités - un titre pour le diagramme

Statistiques. Ne pas oublier - la légende sur les axes - les unités - un titre pour le diagramme Statistiques I. Tableaux d effectifs, de fréqueces : 1. Calculer la fréquece d'ue valeur ou d'ue classe : Diviser l effectif de la valeur par l effectif total fréquece La somme des fréqueces est 1 (ou

Plus en détail

PROBABILITÉS ET STATISTIQUE POUR L ENSEIGNEMENT SECONDAIRE

PROBABILITÉS ET STATISTIQUE POUR L ENSEIGNEMENT SECONDAIRE PROILITÉS ET STTISTIQUE POUR L ENSEIGNEMENT SECONDIRE Ce documet a été rédgé à l occaso d u stage de formato cotue de professeurs de mathématques de trosème et secode e décembre 009 à Toulouse, sute à

Plus en détail

EXERCICES SIMULATION LOIS DISCRETES

EXERCICES SIMULATION LOIS DISCRETES EXERCICES SIMULATION LOIS DISCRETES EXERCICE 1 : 1) Ecrire u programme qui revoie le lacer d u lacer de dé équilibré 2) Trasformer le programme précédet pour qu il simule ue série de 100 lacers d u dé

Plus en détail

M : Zribi 4 ème Sc Exercices. Série 34

M : Zribi 4 ème Sc Exercices. Série 34 Série ème Sc Exercices Exercice : Ue ure cotiet au départ 0 boules blaches et 0 boules oires idiscerables au toucher. O tire au hasard ue boule de l'ure : - si la boule tirée est blache, o la remet das

Plus en détail

EXERCICES PROBABILITES

EXERCICES PROBABILITES EXERCICE : Calculer, pour EXERCICES PROBABILITES Soit,,3, 4,5,6, ( ) x, l itégrale I dx. 0 x ; détermier le réel pour que l o défiisse ue probabilité p sur * e posat, pour tout etier,6 p I Quelle est la

Plus en détail

RADIOPROTECTION CIRKUS. Sommaire

RADIOPROTECTION CIRKUS. Sommaire RADIOPROTECTION CIRKUS Documet techque Radoprotecto Crkus 89 D boulevard du Fer 74000 Aecy www.rpcrkus.org - cotact@rpcrkus.org Assocato lo 1901 créée le 9 mars 010 W91300355 - Eregstrée à la préfecture

Plus en détail

BTS C.G. 1996. B) Retour au problème concret: Le nombre d'appartements commercialisé est nécessairement un entier entre 2 et 20.

BTS C.G. 1996. B) Retour au problème concret: Le nombre d'appartements commercialisé est nécessairement un entier entre 2 et 20. BTS CG 996 Eercce : (0 pots) Ue agece mmoblère evsage de commercalser u programme de costructo d'appartemets Deu projets lu sot soums: Projet P : Le coût de producto de appartemets ( eter et 0 )est doé

Plus en détail

Exercice n 1 1) Par associativité de l intersection des événements, et à l aide de la formule des probabilités conditionnelles,

Exercice n 1 1) Par associativité de l intersection des événements, et à l aide de la formule des probabilités conditionnelles, CONCOURS EMIA Sceces CONCOURS 0 EPREUVE DE MATHEMATIQUES Corrgé o offcel rédgé par Jea-Gullaume CUAZ, esegat au Lycée Mltare de Sat-Cyr, jgcuaz@hotmalcom Eercce ) Par assocatvté de l tersecto des évéemets,

Plus en détail

Variables aléatoires finies Présentation

Variables aléatoires finies Présentation Variables aléatoires fiies Présetatio. Défiitio élémetaire (tombola).... Le prix de vete d'u billet de la tombola... 3 3. Espérace mathématique d ue variable aléatoire fiie... 4 4. Variace et écart type

Plus en détail

CHAPITRE 2. Les carrés dans (Z/nZ) 2.1 Carrés et non carrés dans le corps Z/pZ

CHAPITRE 2. Les carrés dans (Z/nZ) 2.1 Carrés et non carrés dans le corps Z/pZ CHAPITRE Les carrés das (Z/Z Das ce chatre o s téresse à l esemble des carrés das le cors Z/Z, mas auss das certas aeaux Z/Z avec o remer O todut le symbole de Legedre qu caractérse les carrés O trodut

Plus en détail

Probabilités élémentaires

Probabilités élémentaires 1. Exemple... p2 4. Lois de probabilité... p7 2. Vocabulaire... p4 5. Variables aléatoires... p8 3. Espaces probabilisés fiis... p4 Copyright meilleuremaths.com. Tous droits réservés 1. Exemple Probabilités

Plus en détail

Chapitre 9 La loi binomiale

Chapitre 9 La loi binomiale A) Variables aléatoires 1) Défiitio Chapitre 9 La loi biomiale O appelle variable aléatoire X ue foctio qui associe à tout résultat (évéemet élémetaire) u ombre réel. Pour ue même expériece aléatoire,

Plus en détail

DEVOIR EN TEMPS LIBRE A RENDRE LE 17 /02/11 ECS 2

DEVOIR EN TEMPS LIBRE A RENDRE LE 17 /02/11 ECS 2 DEVOIR EN TEPS LIBRE A RENDRE LE 7 /0/ ECS EX : : Le but de ce poblème (dot les tos pates sot dépedates) est l'étude du temps passé das ue mae pa u usage quad u ou pluseus guchets sot à la dsposto du publc,

Plus en détail

Probabilités. est la i ième valeur possible. L ensemble des issues auxquelles on associe la même valeur x

Probabilités. est la i ième valeur possible. L ensemble des issues auxquelles on associe la même valeur x Probabltés A) Varable aléatore et lo de probablté Varable aléatore Défnton : On consdère l'ensemble des ssues d'une expérence aléatore Défnr une varable aléatore X sur cet ensemble, c est assocer un nombre

Plus en détail

Semestre : 4 Module : Méthodes Quantitatives III Elément : Mathématiques Financières Enseignant : Mme BENOMAR

Semestre : 4 Module : Méthodes Quantitatives III Elément : Mathématiques Financières Enseignant : Mme BENOMAR Semestre : 4 Module : Méthodes Quattatves III Elémet : Mathématques Facères Esegat : Mme BENOMAR Elémets du cours Itérêts smples, précompte, escompte et compte courat Itérêts composés Autés Amortssemets

Plus en détail

Contrôle du lundi 19 novembre 2012 (45 minutes) 1 ère S1

Contrôle du lundi 19 novembre 2012 (45 minutes) 1 ère S1 1 ère S1 Contrôle du lund 19 novembre 01 (45 mnutes) Compléter le tableau c-dessous donnant la dstrbuton de fréquences pour cet échantllon (calculs au broullon, fréquences sous forme décmale) : Prénom

Plus en détail

AVRIL 2007 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES. ITS Voie B Option Économie. MATHÉMATIQUES (Durée de l épreuve : 4 heures)

AVRIL 2007 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES. ITS Voie B Option Économie. MATHÉMATIQUES (Durée de l épreuve : 4 heures) ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE STATISTIQUE ET D ÉCONOMIE APPLIQUÉE ENSEA ABIDJAN AVRIL 007 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS Voe B Opto Écoome MATHÉMATIQUES (Durée de l épreuve : 4 heures)

Plus en détail

LOI NORMALE ET LOIS DERIVEES

LOI NORMALE ET LOIS DERIVEES Prcpes et Méthodes de la Bostatstque Chaptre 5 LOI NORMALE ET LOIS DERIVEES A-LA LOI NORMALE Présetato La dstrbuto ormale, dte ecore de Laplace-Gauss, est pour des rasos qu apparaîtrot plus lo, la plus

Plus en détail

2.1 Variable aléatoire Fonction de répartition Fonction de masse et de densité...2

2.1 Variable aléatoire Fonction de répartition Fonction de masse et de densité...2 - Varables aléatores et dstrbutos - Chaptre : Varables aléatores et dstrbutos. Varable aléatore.... Focto de répartto....3 Focto de masse et de desté....4 Dstrbuto cojote de varables aléatores...5.4. Dstrbuto

Plus en détail

9 0 6 Variables aléatoires discrètes

9 0 6 Variables aléatoires discrètes BCPST2 9 5 0 6 Variables aléatoires discrètes Exercice 1: Loi de Poisso 1 ) Soit X ue variable aléatoire discrète. O ote XΩ) = {x ; N}. O pose, pour tout de N : p = PX = x ) et s = p k. O découpe l'itervalle

Plus en détail

Nombres complexes Sessions antérieures

Nombres complexes Sessions antérieures ème aée Maths Nombres complexes Sessos atéreures Aée scolare 9 - A LAATAOUI Exercce N (SP) Das le pla complexe P rapporté à u repère orthoormé ( Ouv ; ; ) o cosdère les pots A et B d affxes respectves

Plus en détail

II - Notions de probabilité. 19/10/2007 PHYS-F-301 G. Wilquet 1

II - Notions de probabilité. 19/10/2007 PHYS-F-301 G. Wilquet 1 II - Notos de probablté 9/0/007 PHYS-F-30 G. Wlquet Ue varable aléatore est ue varable dot la valeur e peut être prédte avec certtude mas dot la probablté d occurrece d ue valeur (varable dscrète) ou d

Plus en détail

Correction du devoir Surveillé 6 : Probabilités

Correction du devoir Surveillé 6 : Probabilités S www.wicky-math.fr.f DS - Probabilités Correctio du devoir Surveillé : Probabilités Exercice. ROC Démotrer le théorème suivat : ( poits) Théorème : La probabilité de la réuio de deux évéemetsaetb est

Plus en détail

sont distincts 2 à 2.

sont distincts 2 à 2. Lycée Thers CORRIGÉ TP PYTHON - 09 L algorthme des k-meas pour partager u uage de pots e u ombre doé de classes peu dspersées 1 - La méthode de Forgy [Qu. 1] 1) Cette double somme comporte termes pusque

Plus en détail

Serie statistique double

Serie statistique double Sere statstque double Dstrbutos margales Actvté U relevé statstque des talles (e cm) et des pods Y (e kg) d u échatllo de 00 élèves a perms de costrure le tableau suvat : Y [0, 5[ [5, 50[ [50, 55[ [55,

Plus en détail

Chapitre : Équilibre général de Walras

Chapitre : Équilibre général de Walras Écoome et maagemet Lcece Mcroécoome 3 Aée 04-05 Chaptre : Équbre gééra de Waras Robert Jorda Agets de 'écoome : aucue fuece dvdueemet Système de prx : permettat de réaser des échages Codusat à u état réasabe

Plus en détail

EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MATHEMATIQUES 1. Durée : 4 heures. Les calculatrices sont interdites. * * *

EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MATHEMATIQUES 1. Durée : 4 heures. Les calculatrices sont interdites. * * * SESSION 003 EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MAHEMAIQUES 1 Durée : 4 heures Les calculatrces sot terdtes * * * NB : Le caddat attachera la plus grade mportace à la clarté, à la précso et à la cocso de la

Plus en détail

( (p, q) IN 2 ) A p A q = A p+q ( (p, q) IN 2 ) (A p ) q = A pq ( k IN) (A ) k = (A k ) ( k IN) Dét (A k ) = (Dét A) k

( (p, q) IN 2 ) A p A q = A p+q ( (p, q) IN 2 ) (A p ) q = A pq ( k IN) (A ) k = (A k ) ( k IN) Dét (A k ) = (Dét A) k Algèbre Chaptre 6 Les matrces carrées Hypothèses : est u eter strctemet postf I est la -matrce uté I La trace d ue matrce carrée La trace d ue -matrce est la somme de ses termes dagoaux O ote la trace

Plus en détail

CHAPITRE 4 Paramètres d'une série statistique

CHAPITRE 4 Paramètres d'une série statistique Cours de Mathématiques Classe de secode Statistiques CHAPITRE 4 Paramètres d'ue série statistique A) Diverses sortes de séries statistiques 1) Défiitio Ue série statistiques est u esemble de ombres, représetat

Plus en détail

Coefficient de partage

Coefficient de partage Coeffcet de partage E chme aque, la sythèse d'u composé se fat e pluseurs étapes : la réacto propremet dte (utlsat par exemple u motage à reflux quad la réacto dot être actvée thermquemet), les extractos

Plus en détail

EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MATHEMATIQUES 2. Durée : 4 heures. Les calculatrices sont interdites. * * *

EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MATHEMATIQUES 2. Durée : 4 heures. Les calculatrices sont interdites. * * * SESSION 005 EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MATHEMATIQUES Durée : 4 heures Les calculatrces sot terdtes * * * NB : Le caddat attachera la lus grade mortace à la clarté, à la récso et à la cocso de la rédacto

Plus en détail

i. En déduire une mesure de l angle ( BD, PΩ ).

i. En déduire une mesure de l angle ( BD, PΩ ). Polyésie septembre EXERCICE Pour chacue des propositios suivates, idiquer si elle est vraie ou fausse et doer ue démostratio de la répose choisie Ue répose o démotrée e rapporte aucu poit O cosidère la

Plus en détail

Analyse de régression

Analyse de régression Itroducto à la régresso Aalyse de régresso La régresso est utlsée pour estmer ue focto f( ) décrvat ue relato etre ue varable explquée cotue,, et ue ou pluseurs varables explcatves,. = f(,, 3,, )+ε Remarque

Plus en détail

Concours général 2014 pb 3 : chiffres et lettres

Concours général 2014 pb 3 : chiffres et lettres Cocours gééral 014 pb 3 : chffres et lettres 1 Le sujet U mot de logueur est ue sute de lettres choses parm les l0 lettres A, B, C, D, E, F, G, H, I, J Par exemple, BEC, IJCD, AFFICHAGE, ABCDEFGHIJ sot

Plus en détail

TS Devoir Commun de Mathématiques N 3 Lundi17/11/2014

TS Devoir Commun de Mathématiques N 3 Lundi17/11/2014 TS Devoir Commu de Mathématiques N Ludi7//04 La présetatio, la rédactio et la rigueur des résultats etrerot pour ue part sigificative das l évaluatio de la copie Le sujet est composé de 4 eercices idépedats

Plus en détail

I. Introduction. Les constantes totales de stabilité des complexes respectifs sont: Marina Iliescu, C. Podina et Cristina Mandravel

I. Introduction. Les constantes totales de stabilité des complexes respectifs sont: Marina Iliescu, C. Podina et Cristina Mandravel L ÉTUDE DE L ÉTAT IONIQUE RÉEL DE CERTAINS IONS ÉTALLIQUES DANS DES SOLUTIONS AQUEUSES TRÈS DILUÉES. I. DETERINATION DES CONSTANTES TOTALES DE STABILITE DANS LE CAS OU LES IONS ETALLIQUES FORENT UN SEUL

Plus en détail

Annexe 1. Estimation d un quantile non-paramétrique par la méthode de Hazen

Annexe 1. Estimation d un quantile non-paramétrique par la méthode de Hazen Aexe. Estmato d u quatle o-paramétrque par la méthode de Haze La probablté cumulée emprque d ue doée au se d u échatllo est pas u cocept parfatemet déf : pluseurs estmatos sot possbles ; l e est de même

Plus en détail

Opérations sur les variables aléatoires Lois limites

Opérations sur les variables aléatoires Lois limites Opératios sur les variables aléatoires Lois limites A. Idépedace de deux variables aléatoires. Exemple 1. Pour améliorer le stockage d u produit u supermarché fait ue étude sur la vete de packs de 6 bouteilles

Plus en détail

TD Techniques de prévision pour la Gestion de production

TD Techniques de prévision pour la Gestion de production Orgasato et gesto dustrelle Page / 6 TD Techques de prévso pour la Gesto de producto er Exercce Vetes d u rayo de jouraux das u supermarché Javer Févrer Mars Avrl Ma Ju Jullet Août Septembre Octobre Novembre

Plus en détail

x 0 + f ' (x) f (x) ln 3 3 f (x) dx.

x 0 + f ' (x) f (x) ln 3 3 f (x) dx. T S Devoir surveillé 8 Vedredi avril 7 Exercice (5 poits) l (x + ) O cosidère la foctio f défiie sur [, + [ par f (x) = x +. O admet que le tableau de variatios de f est le suivat. O défiit la suite (U

Plus en détail

Calcul des probabilités 2 (M-2.1)

Calcul des probabilités 2 (M-2.1) Calcul des probabilités (M-.) I. Probabilités sur u esemble fii. Défiitios Défiitio Ue expériece aléatoire est ue expériece dot il est impossible de prévoir l issue (mais o coaît toutes les issues possibles)

Plus en détail

MPSI du lycée Rabelais semaine du 11 septembre 2015 CALCULS ALGÉBRIQUES. Montrez que u k = u m +u n

MPSI du lycée Rabelais  semaine du 11 septembre 2015 CALCULS ALGÉBRIQUES. Montrez que u k = u m +u n MPSI du lycée Rabelas http://mps.satbreuc.free.fr semae du septembre 5 CALCULS ALGÉBRIQUES Sommes et produts fs Exercce : Parm les formules suvates, lesquelles sot vraes?.. 3. α+a α+ a +b αa α a + a a

Plus en détail

DERNIÈRE IMPRESSION LE 27 février 2017 à 16:47. Dénombrement. En utilisant la notation factorielle, donner une autre écriture des nombres suivants

DERNIÈRE IMPRESSION LE 27 février 2017 à 16:47. Dénombrement. En utilisant la notation factorielle, donner une autre écriture des nombres suivants DERNIÈRE IMPRESSION LE 7 février 07 à 6:47 Déombremet Calcul sur les factorielles EXERCICE Simlifier les écritures sas utiliser la calculette. )! 0! ) 7! 5! 3) 6! 5! 5! 4) 6 4! 5! 5) 7! 5! 0! 6) 7) 8)

Plus en détail

Exercices probabilités statistiques

Exercices probabilités statistiques Premère S Exercces probabltés - statstques 1. Boules 2. Pèces de monnae 3. Tenns 4. Premère langue 5. Urnes 6. Cnéma 7. Football 8. Dés spécaux 9. Une populaton actve 10. Tr à l arc 11. Etude de marché

Plus en détail

Limites de fonctions (1) Approche intuitive ; limites des fonctions de référence. 1 ère S. II. La fonction carrée. 1 ) Tableau de variation

Limites de fonctions (1) Approche intuitive ; limites des fonctions de référence. 1 ère S. II. La fonction carrée. 1 ) Tableau de variation ère S Lmtes de foctos () Approche tutve ; tes des foctos de référece II. La focto carrée ) Tableau de varato Das ce chaptre, o lasse provsoremet de côté les dérvées. I. Itroducto ) Rappel Déà vu : oto

Plus en détail

Chapitre I : Introduction à la résistance des matériaux & Rappel de statique. (August Wöhler)

Chapitre I : Introduction à la résistance des matériaux & Rappel de statique. (August Wöhler) Chaptre I : Itroducto à la résstace des matéraux & appel de statque (August Wöhler) Premer cours de ésstace des atéraux a été doé par August Wöhler à l'uversté de Göttge (Allemage) e 842. aculty of echacal

Plus en détail

Arithmétique. Divisibilité. PGCD et PPCM. Division euclidienne. [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 24 septembre 2016 Enoncés 1

Arithmétique. Divisibilité. PGCD et PPCM. Division euclidienne. [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 24 septembre 2016 Enoncés 1 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édté le 24 septembre 206 Eocés Arthmétque Exercce 7 [ 025 ] [Correcto] O cosdère la sute (ϕ ) N défe par Dvsblté Exercce [ 087 ] [Correcto] Résoudre das Z les équatos suvates

Plus en détail

Module : STATISTIQUE (1 e année) Document de cours

Module : STATISTIQUE (1 e année) Document de cours ESCE-Lyo Méthodes Quattatves Module : STATISTIQUE ( e aée) par Robert Chapelo, chargé de cours et de TD Documet de cours Fare de la statstque, c'est : - collecter des doées, - trater ces doées pour e redre

Plus en détail

- Représenter un schéma de Bernoulli par un arbre pondéré. - Reconnaître des situations relevant de la loi binomiale

- Représenter un schéma de Bernoulli par un arbre pondéré. - Reconnaître des situations relevant de la loi binomiale www.mathselige.com STI2D - P2 - LOI IOMIALE COURS (/5) Le travail sur les séries statistiques et les probabilités meé e classe de secode se poursuit avec la mise e place de ouveaux outils. Les scieces

Plus en détail

5. Variables aléatoires simultanées

5. Variables aléatoires simultanées 5. Varables aléatores smultaées 5.1 Coule de varables aléatores Défto 1 Pour tout dce das 1, sot X ue varable aléatore. O dt que X X 1 X est ue varable aléatore de dmeso. Nous ous téresseros rcalemet aux

Plus en détail

Probabilités, MATH 424 Feuille de travaux dirigés 2. Solutions.

Probabilités, MATH 424 Feuille de travaux dirigés 2. Solutions. Probabilités, MATH 44 Feuille de travaux dirigés. Solutios. 1 Exercices Exercice 1. O jette trois dés o pipés. 1. Calculer la probabilité d obteir au mois u 1.. Que vaut la probabilité d obteir au mois

Plus en détail

Exercices. Dénombrement 1 5! 42 6! 3! 3! 9! 5! 4! 9! 6! 3! 2) En utilisant la notation factorielle, donner une autre écriture des nombres suivants

Exercices. Dénombrement 1 5! 42 6! 3! 3! 9! 5! 4! 9! 6! 3! 2) En utilisant la notation factorielle, donner une autre écriture des nombres suivants Exercices Déombremet Exercice Calcul sur les factorielles ) Simlifier les écritures sas utiliser la calculette. a)! 0! b) 7! 5! c) 6! 5! 5! d) 6 4! 5! e) 7! 5! 0! f) 5! 4 7! g) 6! 3! 3! h) 9! 5! 4! i)

Plus en détail

est la fréquence empirique des succès lors des 10 premières expériences.

est la fréquence empirique des succès lors des 10 premières expériences. Pierre Veuillez Statistiques iféretielle Sources, et pour e savoir plus : http://www.math-ifo.uiv-paris5.fr/smel 1 Problématique : Exemple ue ure cotiet des boules rouges et blaches dot o e coaît pas la

Plus en détail

Université Pierre et Marie Curie Mathématiques L2 UE 2M231 Probabilités-Statistiques Année Examen du 13 mai 2015

Université Pierre et Marie Curie Mathématiques L2 UE 2M231 Probabilités-Statistiques Année Examen du 13 mai 2015 Uiversité Pierre et Marie Curie Mathématiques L2 UE 2M231 Probabilités-Statistiques Aée 2014-15 Exame du 13 mai 2015 Le sujet comporte 2 pages. L épreuve dure 2 heures. Les documets, calculatrices et téléphoes

Plus en détail

Suites de variables aléatoires.

Suites de variables aléatoires. Uiversité Pierre et Marie Curie 200-20 Probabilités et statistiques - LM345 Feuille 8 Suites de variables aléatoires.. Soit Ω, F, P u espace de probabilités. Détermier pour chacue des covergeces suivates

Plus en détail

x 0 h a (x) ln (2 a ) h a 2 a Justifier, par le calcul, le signe de h' a (x) pour x appartenant à ] 0 ; + [. b. Rappeler la limite de ln x x

x 0 h a (x) ln (2 a ) h a 2 a Justifier, par le calcul, le signe de h' a (x) pour x appartenant à ] 0 ; + [. b. Rappeler la limite de ln x x EXERCICE (6 poits) Commu à tous les cadidats Soit f la foctio défiie sur l itervalle ] ; + [ par f () = l Pour tout réel a strictemet positif, o défiit sur ] ; + [ la foctio g a par g a () = a O ote C

Plus en détail