Correction Exercices sur les suites. Correction. un+1 = 0,2u n +0,6 u 0 = 1

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1 Correctio Exercice 1 O cosidère la suite (v ) défiie par v 0 = 3 et pour tout 1, v +1 = v 2 3v Démotrer que la suite est croissate. v +1 v = v 2 4v +4 = (v 2) 2 0 quelque soit etier. Doc (v ) est croissate. 2. Démotrer que si la suite (V ) coverge vers l alors l = 2. Si v coverge vers l alors il existe u rag N à partir duquel tous les v peuvet être cosidérés comme égaux à l. Aisi la relatio v +1 = v 2 3v +4 deviet-elle l = l 2 3l+4. Soit (l 2) 2 = 0 soit efi l = Démotrer par l absurde que v est pas majorée. La suite (v ) est croissate; si elle était de plus majorée elle serait covergete. Or d après la questio précédete, si elle coverge c est vers 2. Or v 0 = 3 et la suite état croissate, pour tout v v 0 = 3.Doc tous les v e peuvet pas être égaux à E déduire la limite de la suite. Ue suite croissate o majorée diverge vers +. Exercice 2 Répodre par vrai ou faux e le justifiat : 1. Si ue suite est pas majorée,alors elle a pour limite +. FAUX :la suite u = ( 2) est pas majorée et a pas de limite fiie ou ifiie 2. Si ue suite est majorée, alors elle est covergete. FAUX :u = ( 1) 3. Ue suite à termes strictemet positifs décroissate coverge vers 0. FAUX :u = 2+ 1, positive décroissate vers 2 4. Ue suite décroissate miorée par 1, coverge vers 1. FAUX :u = 2+ 1 miorée par 1 et décroissate, coverge vers 2 Exercice 3 O cosidère la suite u défiie pour tout etier par : { u+1 = 0,2u +0,6 u 0 = 1 1. Démotrer par récurrece que u = 0,75 1,75 0,2. Etat iitial u 0 = 1 et 0,75 1,75 0,2 0 = 1 = u 0 u 1 = 0,2u 0 +0,6 = 0,4 et 0,75 1,75 0,2 1 = 0,4 = u 1 Doc la propriété est vraie au rag 0 et au rag 1. Hérédité O suppose la propriété vraie jusqu au rag k, c est-à-dire u k = 0,75 1,75 0,2 k.alors : u k+1 = 0,2u k +0,6 = 0,2(0,75 1,75 0,2 k )+0,6 = 0,15 1,75 0,2 k+1 +0,6 = 0,75 1,75 0,2 k+1. Doc P k P k+1 Coclusio : Pour tout,u = 0,75 1,75 0,2. 2. E déduire la limite de u. Ue suite géométrique de raiso q telle que 0 < q < 1 coverge vers 0.Doc par opératios u coverge vers 0,75 1,75 0 soit 0,75 3. Doer e foctio de, l expressio de : S = u 0 +u 1 +u u. S = 0,75(+1) 1,75(0,2 0 +0, ,2 1 +0,2 ) = 0,75(+1) 1,75 1 0, ,2 4. Quelle est la limite de S? lim 1 0, ,2 = 1 0,8 = 5, doc lim 4 u = + à cause du 0,75(+1). Exercice 4 O cosidère la suite u défiie par u 0 = 0 et pour tout etier 1, u +1 = 0,5u 2 +8.

2 1. Calculer u 1 et u 2. u 1 = 8 = 2 2 et u 2 = 0,5 8+8 = 12 = Démotrer par récurrece que : 0 u u +1 8 O cosidère la foctio f défiie pour tout réel positif x par f(x) = 0,5x Cette foctio est croissate sur [0; + [ (composée de foctios croissates sur cet itervalle). Doc elle coserve l ordre. O appelle P la propriété 0 u u L état iitial se démotre facilemet. Pour l hérédité il suffit d évoquer la croissace de la foctio f pour passer du rag k au rag k+1 E effet :0 u k u k+1 8 f(0) f(u k ) f(u k+1 ) f(8) soit 0 < 8 u k+1 u k+2 40 < 8. Doc P k P k+1. Et fialemet la propriété est vraie quelque soit. 3. (a) E déduire que la suite u est covergete vers u réel l. La suite est croissate (car quelque soit,u u +1 ) et majorée par 8 (car quelque soit,u < 8). Doc elle coverge vers u réel l. (b) Démotrer que l est solutio d ue équatio et détermier l. Comme das u exercice précédet l vérifie la relatio l = 0,5 l 2 +8 avec l > 0 d après l iégalité démotrée.soit l 2 = 0,5 l 2 +8,soit l 2 = 16 et efi l = ±4. Mais sachat que l > 0 o a l = 4 4. O souhaite obteir l expressio de u e foctio de. (a) Démotrer que la suite v défiie par v = u 2 16 est géométrique. v +1 = u = 0,5 u = 0,5(u 2 16) = 0,5v,.Doc v est géométrique de raiso 0,5 et de premier terme v 0 = u = 16 (b) E déduire l expressio de v puis de u e foctio de. Doc v = 16 0,5 et u = v +16 = ,5 = 4 1 0,5 car u > 0. Exercice 5 O cosidère la suite u défiie par : u = U élève affirme le résultat suivat : 1 Sachat que lim = 0, je pese que la limite de la suite u, si elle existe, e peut pas être ifiie, i même dépasser 10! (a) Qu e pesez-vous? (b) Que fait l algorithme suivat? Permet de détermier le rag N à partir duquel u dépasse la valeur de A imposée par l utilisateur. Etrée(s) Saisir la valeur de A u pred la valeur 1 k pred la valeur 1 tat que u A faire k pred la valeur de k+1 u pred la valeur u+ 1 k fi du tat que Sortie(s) Afficher k (c) Exécuter cet algorithme sur votre calculatrice e saisissat e etrée A = 10,A = 100 puis A = (d) La cojecture de l élève est-elle boe? u dépasse importe quelle valeur de A à partir d u certai rag. Doc la cojecture de l élève est fausse. Il semblerait que : lim u = Motrer que pour tout 1et pour tout etier k compris etre 1 et, o a : 1 1. k La foctio iverse est décroissate sur ]0;+ [ et la foctio racie est croissate sur [0;+ [. Doc 1 k 1 k D où la majoratio souhaitée. k 1

3 3. E déduire que u et efi la limite de u. De l iégalité précédete, o obtiet u = = 1 = Or lim = +. Sachat que,u, d-après le théorème de comparaiso, lim u = + Exercice 6 O cosidère le quart de disque ci-cotre, de rayo 1 et de cetre O.O souhaite détermier l aire A du domaie D, compris etre les axes du repère et le quart de cercle. Pour cela, o crée : ue suite I de rectagles iférieurs de largeur 1, dot la somme des aires doe u miorat de A. ue suite S de rectagles supérieurs 1, dot la somme des aires doe u majorat de A Démotrer que les deux suites S et I sot covergetes. I est croissat et majorée.s est décroissate miorée. Doc elle coverge toutes les deux. 2. A l aide d u algorithme que l o programmera détermier la limite commue à ces deux suites. E remarquat que : I = 1 k= 1 ( k )2 et S = 1 k= 1 1 ( k )2, la programmatio deviet facile avec ue boucle... k=1 Exercice 7 O cosidère la suite (u ) défiie par u 0 = 1 et, pour tout etier aturel, 1. O cosidère l algorithme suivat : u +1 = 2u. k=0 Variables : est u etier aturel u est u réel positif Iitialisatio : Demader la valeur de Affecter à u la valeur 1 Traitemet : Pour i variat de 1 à : Affecter à u la valeur 2u Fi de Pour Sortie : Afficher u (a) Doer uevaleur approchée à 10 4 près du résultat qu affiche cet algorithme lorsquel o choisit = 3. O trouve u (b) Que permet de calculer cet algorithme? Cet algorithme calcule le terme de la suite situé au rag, état choisi au départ. (c) Le tableau ci-dessous doe des valeurs approchées obteues à l aide de cet algorithme pour certaies valeurs de Valeur affichée 1,4142 1,9571 1,9986 1,9999 1,9999

4 Quelles cojectures peut-o émettre cocerat la suite (u )?Il semble que la suite semble croissate et covergete vers (a) Démotrer que, pour tout etier aturel, 0 < u 2. Démotros la propriété par récurrece. Posos P : 0 < u 2. Alors : Iitialisatio :u 0 = 1 doc P 0 est vraie et la propriété est iitialisée. Hérédité :Supposos la propriété vraie au rag k, c est-à-dire que 0 < u k 2. Alors o a : 0 < 2u k 4 puis par la croissace de la foctio racie, 0 < 2u k 4. D où 0 < u k+1 2 et la propriété est héréditaire. Coclusio :La propriété est vraie pour tout. (b) Détermier le ses de variatio de la suite (u ). u +1 u = 2u u = ( 2u u )( 2u +u ) = 2u u 2 = u (2 u ) 2u +u 2u +u 2u +u Or pour tout,u > 0,2 u 0 et 2u +u 0. Doc pour tout, et la suite est croissate. u +1 u 0 (c) Démotrer que la suite (u ) est covergete. O e demade pas la valeur de sa limite.la suite est d après les questios précédetes, croissate et majorée. Doc elle coverge. 3. O cosidère la suite (v ) défiie, pour tout etier aturel, par v = lu l2. (a) Démotrer que la suite (v ) est la suite géométrique de raiso 1 2 et de premier terme v 0 = l2. v +1 = lu +1 l2 = l( 2u ) l2 = 1 2 l l(u ) l2 = 1 2 l l(u ). Soit avec lu = v +l2 : v +1 = 1 2 l (v +l2) = 1 2 v pour tout etier. Doc (v ) est ue suite géométrique de raiso 1 2 et de premier terme v 0 = l2. (b) Détermier, pour tout etier aturel, l expressio de v e foctio de, puis de u e foctio de. Doc, v = v 0 q = l2 ( 1 2 ) puis de la relatio v = lu l2, o e déduit que : (c) Détermier la limite de la suite (u ). u = e v+l2 = e l2 (1 2 ) +l2 V est ue suite géométrique de raiso 1 2 doc coverge vers 0. Doc par opératio, la suite u ted vers e l2+0 = 2. Doc (u ) coverge vers 2. (d) Recopier l algorithme ci-dessous et le compléter par les istructios du traitemet et de la sortie, de faço à afficher e sortie la plus petite valeur de telle que u > 1,999. Variables : est u etier aturel u est u réel Iitialisatio : Affecter à la valeur 0 Affecter à u la valeur 1 Traitemet : Tat que u < u pred la valeur de 2u et pred la valeur de +1 Sortie : Afficher Exercice 8 Partie A : étude d ue foctio O cosidère la foctio f défiie sur l itervalle ]1 ; + [ par f(x) = x lx

5 Ci-après, o a tracé das u repère orthogoal la courbe C représetative de la foctio f aisi que la droite D d équatio y = x. 1. Étudier les variatios de la foctio f sur l itervalle ]1 ; + [. O trouve après simplificatios : f (x) = 1 lx x 1 x (lx) 2 = lx 1 (lx) 2 Or l iéquatio lx 1 0 a pour solutio x e. D où le tableau de variatios ci-dessous : x 1 e + + f(x) ց ր f(e) 2. E déduire que si x e alors f(x) e.le tableau de variatios motre que si x e alors f(x) f(e)=e Partie B : étude d ue suite récurrete O cosidère la suite (u ) défiie par : { u 0 = 5 pour tout etier aturel, u +1 = f (u ) 1. Sur l aexe joite, à redre avec la copie, e utilisat la courbe C et la droite D, placer les poits A 0, A 1 et A 2 d ordoée ulle et d abscisses respectives u 0, u 1 et u 2. O laissera apparets les traits de costructio. Quelles cojectures peut-o faire sur les variatios et la covergece de la suite (u )? La suite semble décroissate vers e. 2. (a) Motrer que, pour tout etier aturel, o a : u e. Par récurrece e s aidat des résultats de la partie A, o démotre facilemet le résultat. (b) Détermier les variatios de la suite (u ). u +1 u = u l(u ) u = u (1 l(u )).Or d après le résultat de la questio précédete, u e l(u ) doc 1 l(u ) 0 sachat que quelques soit,l(u ) > 0. D où pour tout,u +1 u < 0 et la suite est décroissate. (c) E déduire que la suite (u ) est covergete. La suite est décroissate et miorée par e; doc elle coverge. (d) Détermier sa limite l. Par uicité de la limite, l est solutio de l équatio l = f(l) soit l = l l(l). l état o ulle, l équatio deviet l(l) = 1 d où l = e. 3. O doe l algorithme suivat : X est ue variable réelle; Y est ue variable etière Affecter 5 à X et 0 à Y Tat que X > 2,72 Faire Affecter (X/lX) à X Affecter Y +1 à Y Fi de Tat que Afficher Y À l aide du tableau suivat, obteu avec u tableur, détermier la valeur affichée par l algorithme. = u 5 3, , , , ,

6 u 1 u 34 2 j O ı u 43 2 u 1 u 0

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