Rem : La fonction inverse étant continue sur ]0;+oo[, elle admet des primitive sur cet intervalle.

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1 Logarithme népérien. I. Définition, caractéristique et conséquences. Rem : La fonction inverse étant continue sur ]0;+oo[, elle admet des primitive sur cet intervalle. Déf : On appelle fonction logarithme, notée ln, la primitive de la fonction inverse sur ]0;+oo[ qui s'annule en 1 : ln '= 1 pour tout R. Equation caractéristique : Tout fonction définie pout tout R et vérifiant f a b = f a f b pour tout a et b de ]0;+oo[ est du genre f()=kln() où k est une constante réelle et réciproquement. Sens direct : pour tout a R +*, et tout R +*, f a = f a f En dérivant par rapport à on obtient af'(a)=f'(),pour tout a R +* et tout R +*. Pour =1, af'(a)=f'(1) pour tout a R +*. D'où,pour tout a R +*,f' est de la forme f ' a =k 1 a k 1 sur R +* etk=f'(1). et f est une primitive de la fonction Or f 1 = f 1 1 = f 1 f 1. Donc f(1)=0. Donc f est la primitive de k 1 1. On en déduit, Ln() étant la primitive de f()=kln(). 1 qui s'annule en 1, que f est de la forme qui s'annule en Réciproque: Soit F()=ln(k) pour tout R +* et k R +*. On sait que F est dérivable sur R +* et que F ' =k 1 k =1 une primitive de la fonction inverse. sur cet intervalle : f est donc

2 F est donc de la forme F()=ln+c avec c R. Or ln1=0. On en déduit c=f(1)=ln(k). AinsiF()=ln(k)=lnk+ln pour tout R +* et k R +*. pour tout a et b de ]0;+oo[ : ln(ab)=lna + lnb ln 1 b = ln b ln a b =lna lnb ln a n =nlna pour tout n N ln a = 1 2 lna Ln (ab)=lna + lnb découle directement de l'équation caractéristique. ln b 1 =ln 1 =0 b Ainsi, lnb ln 1 b =1 et ln b= ln 1 b. Pour ln a n, on procède par récurrence. * Pour n=0, on a bien ln a 0 =ln1=0=0lna * Supposons qu'il eiste n in setn tel que ln a n =nlna. ln a n 1 =ln a n a =ln a n lna=nlna lna= n 1 lna : la propriété devient vraie au rang n+1 * Par récurrence, ln a n =nlna pour tout n N. * ln a=ln a a =ln a ln a =2 ln a. d'où ln a = 1 2 lna. II. Etude de la fonction ln. 1. Variation. La fonction logarithme est continue et dérivable sur ]0;+oo[ et sur cet intervalle (ln()')=1 over. Ainsi la fonction logarithme est croissante strictement sur ]0;+oo[.

3 Conséquences : Pour tout a et b dans ]0;+oo[, ln(a)=ln(b) si et seulement si a=b ln(a)<ln(b) si et seulement si a<b ln(a)>ln(b) si et seulement si a>b 2. Limite en 0 + et +oo. Prop: ln= et 0 + ln=. 3. Comparaison en 0 + et +oo. Pour tout entier naturel n, ln =0 n et n ln=0 0 + Soit f = ln. f est dérivable sur ]0;+oo[ et f ' = = 2 2. D'où le tableau ci-dessous : 0 4 +oo f'() - + f 2-ln4 Or 2-ln4>0 donc f() est positif strictement sur ]0;+oo[ et sur cet interavalle, ln. Pour tout >1, et tout n N *, n donc comme ln n n =0 n, d'après le théorème des gendarmes, ln =0 n

4 Posons maintenant X = 1. X tend vers 0 équivaut à tend vers +oo donc ln 1 ln 0= = n X 0 + X 1 X n = X 0 + ln X X n 4. Tangente en 1 et conséquence f()=ln est dérivable sur ]0;+oo[ et f'()= 1. La tangente à la courbe de f en 1 a pour équation : y=f'(1)(-1)+f(1) y=1(-1)+0 y=-1. Par conséquent, 1 ln ln 1 1 = 1 ln 1 = f ' 1 =1 5. Courbe représentative.

5 III.Dérivés et primitives Soit u une fonction dérivable sur Ic R à valeurs dans ]0;+oo[. Alors f()=lnu() est dérivable u' sur ]0;+oo[ et f ' = u Soit u une fonction continue sur IcR qui ne s'annule pas sur I. Alors, une primitive de f = u ' sur I est F =ln u. u Si u()>0 alors si u()<0 alors F =ln u =ln u et F ' = u ' u = f u' F =ln u =ln u et F ' = u = f IV. Lien avec eponentielle. 1. le lien. Pour tout m R, ln=m admet une et une seule solution qui est e m. Pour tout R, lne = Pour tout in ]0;+oo[, e ln = f()=ln est continue et strictement monotone sur ]0;+oo[. Comme ln= et ln= 0 +, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout m R, ln=m admet une et une seule solution m R. Soit g la fonction qui a tout m R associe la solution de ln=m. La courbe de g a pour équation y=g() avec =lny. Ainsi la courbe de g est symétrique de la courbe de f par symétrie aiale d'ae (d) d'équation y=.

6 (On remarque que g(0)=1) Par conséquent, la courbe de g admet une tangente en tout point sur R. Cette tangente ne peut être vertiacale car f n'admet aucune tangent horizontale. g est donc dérivable sur R. ln(g()) est donc dérivable sur setr et ln g ' =g ' g. g ' or ln(g()= donc g =1. g' =g On a ainsi : { c'est la caractéristation de la fonction eponentielle : g =e g 0 =1. V. Puissances réelles.

7 1. Déf. Déf : Pour tout a ]0+oo[ et tout R, on pose a =e lna. Cette définition est compatible avec les puissances entières et pour tout a et b de ]0;+oo[ et tout 1 et 2 de R, on a : a 1 a 2=a 1 2 a 1 =a 1 2 a 2 a 1 b 1= ab 1 a 1 2 =a 1 2 Si N,e lna =e lna =a. Pour les formules c'est toujours le même principe : on remplace a par e lna, on applique les règles de calculs de la fonction eponentielles puis on revient à une notation en a. a 1 a 2=e 1 lna e 2 lna =e 1 lna 2 lna =e 1 2 lna =a Eponentielle de base a Déf : Soit a R +*. La fonction f qui a tout R associe a est un e eponentielle de base a telle que : Si a ]0;1[, f est décroissante de +oo à 0 + Si a=1, la fonction est constant égale à 1. Si a ]1;+oo[, f est croissante de O + à +oo.

8 f =e lna Posons X= lna. Si, a ]1;+oo[, tend vers +oo équivaut à X tend vers -oo et tend vers -oo équivaut à X tend vers -oo. D'où : oo f = e = oo X oo et oo f = e =0 + X oo Si, a ]0;1[, tend vers +oo équivaut à X tend vers -oo et tend vers -oo équivaut à X tend vers +oo. D'où : oo f = e =0 + et X oo oo f = X oo e = oo. f est dérivable sur R et f ' =lna e lna. Donc, si a ]0;1[, lna<0 et f'()<0 et si a ]1;+oo[, lna>0 et f'()>0.