Chapitre 18 : Intégration

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1 PCSI 2 Préprtio des Khôlles Chpitre 8 : Itégrtio Eercice type Soit f :[,] R cotiue d itégrle ulle sur[,]. O pose m= if f et M =sup f (justifier l eistece de m et [,] [,] M). Que dire de l foctio g=(m f)(f m)? E déduire l iéglité ue fois. f 2 mm, puis que f s ule u mois Solutio : L foctio f est cotiue sur[,] doc dmet u miimum et u mimum. O lors M f et f m sur[,], isi g sur[,]. O e déduit que g=(m+m) cr f est d itégrle ulle sur[,]. O doc De plus f 2 doc f f 2 g pr croissce de l itégrle. Mis f 2 mm Mm= f 2 Mm f 2 mm = mm. Aisi m et M sot de siges opposés, et puisque mm, o mm. Puisque m et M sot des vleurs prises pr f, (l imge d u segmet pr ue foctio cotiue est u segmet), il eiste(,) [,] 2 tels que m=f() et M = f(). D près le TVI ppliqué à f etre et, o e déduit que f s ule u mois ue fois. Eercice type 2 Soit p N, o défiit S (p)= = p et I (p)= p d.. Motrer, pour tout etier, (+) p 2. E déduire que pour tout etier 2 : + p d p. S (p) I (p)s (p) puis que l suite(s (p)) coverge si et seulemet si p2. Solutio : L idée développée ds cet eercice portet le om de "compriso séries-itégrles" (il est coseillé de fire u dessi).. Pr décroissce de p, o [,+], (+) p p p. O itègre lors etre et +, pr croissce de l itégrle, o otiet + (+) p = 2 2. Pr Chsles, o I (p)= p d+ l questio précédete, o otiet = 3 2 (+) p d + (+) p p d+ + + = p d p = p d= p d=i (p) = = + + d p d. Si o somme les iéglités de p p = S (p) /8 G H

2 PCSI 2 Préprtio des Khôlles Or pour 2, = U clcul simple doe (+) p = j=+ I (p)= j=2 O peut mitet coclure à l équivlece j p = S (p) d où l ecdremet demdé. p d= p p l + = p (S (p)) coverge p2 + si p= p si p2 Ses= : Supposos que S (p) coverge, lors p=cr si p=, o I (p) + et puisque I (p) + S (p), pr le théorème d ecdremet, o e déduit que(s (p)) diverge. Aisi p2. Ses = : Supposos que p2, lors L suite est doc mjorée, elle coverge. S (p)i (p)+= p p ++ p Eercice Doer u équivlet de u = l. = Solutio : L foctio f défiie sur ],+ [ pr f() = l est strictemet croisste. O e déduit que pour [,+],lll(+). Pr croissce de l itégrle sur[,+], o lors + l()d=l + l()d + O peut sommer ces iéglités pour vrit deà, o otiet lors l= u l = = + l()d= U clcul élémetire (l primitive del est l() ) doe l()d l(+)= = l(+)d=l(+) l(i)=u l()=u i=2 l()d=l() +. O doc u ll() +u l() +u l() +l()+ Ce qui doe et prouve que + l u l l l + u l() Eercice type 3 O défiit pour, u = si + d. Doer l limite, puis u équivlet de u. 2/8 G H

3 PCSI 2 Préprtio des Khôlles Solutio : Pour [,], o Pr croissce de l itégrle, o e déduit que si + crsi et+ u = si + d Pour l équivlet, o v méliorer l ecdremet. O pose v = v u = Le même risoemet que pour u doe O doc ce qui s écit u = 2 + o + si d= + [,], si + = d = + si d= si (+) d= si + d u = v + ε si oùε = + d +, et doe l équivlet u 2. sid= 2. Alors si + d d = 2 + Eercice type 4 Formule de l moyee : Soiet f et g cotiues sur[,] où < vec g positive, motrer qu il eiste c [,] tel que f(t)g(t)dt=f(c) Applictio : Soit f défiie et cotiue surr, motrer que lim + 2 g(t)dt. f(t) dt=f()l2. t Solutio : L foctio f est cotiue sur[,], l imge du segmet[,] est doc u segmet[m,m], il eiste doc (α,β) [,] 2 tels que m=mif= f(α) et M=m f = f(β) [,] [,] L positivité de g sur[,] et l croissce de l itégrle ( < ) permet lors d écrire que [,], mg()f()g()mg()= m g()d f()g()dm g()d Si f(c) g()d =, lors g étt cotiue et positive, o g = et pour tout c de [,] o = g(t)dt=. Sio, o, e divist pr g()d (cr g) ce qui e chge ps le ses de l iéglité : f(t)g(t)dt = f(α)=m f()g()d M = f(β) g()d 3/8 G H

4 PCSI 2 Préprtio des Khôlles D près le TVI, il eiste c [,] tel que f(c)= f()g()d. g()d Applictio : L itégrle eiste pour > cr [,2] R. Pour =, o pplique l formule de l moyee vec 2 f(t) 2 dt g(t)=t, il eiste c [,2] tel que dt=f(c) = f(c) l2. Puisque c2 o c, et t t + pr cotiuité de f e =, il viet f(c) f(). Aisi + 2 Remrque : Si >, o le même résultt, e effet précédet à f(t)g(t)dt pour oteir, f(t) dt=f(c) l2 f()l2. t + f(t)g(t)dt= f(c) f(t)g(t)dt = g est égtive, o le même résultt (o deu iversios de l iéglité). g(t)dt=f(c) f(t)g(t)dt. O pplique le résultt g(t)dt. où c [,]. De même si Eercice 2 Soit f ue foctio de clsse C sur[,]. vec <. Motrer que qud λ ted vers +. (lemme de Riem-Leesgue). f(t)si(λt)dt et f(t) cos(λt)dt tedet vers Solutio : Puisque f estc sur[,], o peut itégrer pr prties e dérivt f. O lors, pour λ= O e déduit que f(t)e iλt dt = u(t)=f(t) v (t)=e iλt i λ eiλt f(t) u (t)=f (t) v(t)= iλ eiλt = i, u,v λ eiλt sotc sur [,] + i λ f (t)e iλt dt= i e iλ f() e iλ f() + i f λ λ (t)e iλt dt f(t)e iλt dt i e iλ f() e iλ f() i + λ λ f (t)e iλt dt Puisque f est cotiue sur[,], elle est orée sur[,], soit M u mjort de f sur[,] (pr eemple M=sup f ) [,] lors i e iλ f() e iλ f() e iλ f() + e iλ f() = f() + f() 2M λ λ λ λ d où i λ f (t)e iλt dt = λ f (t)e iλt dt λ f(t)e iλt dt 2M λ + λ Efi, puisque Re(z) z et Im(z) z, o e coclut que f(t) cos(λt)dt et f (t)e iλt dt= λ f (t) dt λ + f(t)si(λt)dt tedet verssi λ ted vers + f (t) dt 4/8 G H

5 PCSI 2 Préprtio des Khôlles Eercice 3 O défiit F sur],+ [ pr F()= e+. Solutio : Soit ϕ:t 2 dt t+ e t. Justifier que F est ie défiie sur],+ [, détermier s limite t+ e t, pour t >, o <e t <, isi e t >= t+ e t >. L foctio ϕ est doc défiie et cotiue (iverse d ue foctio cotiue et o ulle) sur],+ [. Pour >, o [,2] ],+ [, isi ϕ est itégrle sur[,2] (cr cotiue), ceci prouve que F() eiste pour >. Pour l limite e+, si t >, o <e t <= < e t <= <t<t+ e t < t+ et e psst à l iverse O itégre cette iéglité sur[, 2] pour oteir soit Puisquel >, t R +, 2 dt t+ t+ f(t) t 2 f(t)dt 2 l 2+ =[l(t+)] 2 + F()[lt]2 =l 2 =l(2) l(2), o pr ecdremet F() + l(2). dt t Eercice type 5 O défiit f pr f()=e 2 e t2 dt. Justifier que f est ie défiie et estc surr, est impire et vérifie l équtio différetielle y 2y=. Doer ue reltio etre f (+), f () et f ( ) pour. Solutio : L foctio ϕ:t e t2 est défiie et cotiue surr, isi F : e t2 dt est défiie et dérivle surrvec F = ϕ. Puisque ϕ estc, o e déduit que F est églemetc. Il e découle que f est défiie etc surr (produit de foctiosc ). Pour R, o lors f ()=2e 2 e t2 dt+e 2 e 2 =2f()+ ce qui prouve que f est ie solutio de l équtio différetielle y 2y =. Posos h : f(), o doc f 2h=, pour, o e déduit que (f 2h) () == f (+) 2h () = Mis puisque g: et f sotc, l formule de Leiiz doe (e utilist g () = si 2) h () () = = g () ()f ( ) ()= g () ()f ( ) ()+ g () ()f ( ) () = f () ()+f ( ) () O doc, f (+) ()=2f () ()+2f ( ) () 5/8 G H

6 PCSI 2 Préprtio des Khôlles Eercice type 6 Soit(u ) N l suite défiie pr u = = Détermier s limite. Solutio : O u = = = = = = o recoît ue somme de Riem pour l foctio cotiue sur [, ] défiie pr f() = coverge lors vers f()d= + 2d=[rct] = 4 + 2, o sit que u Eercice type 7 Clculer l limite de u = = Solutio : O u >, o peut psser u logrithme. lu = 2l+ l = 2l+ l = = = 2l+ 2l+l = 2l+2l+ = est ue somme de Riem à pour l foctio cotiue f()=l + 2 etreet. Aisi lu + O itègre pr prties (o dérivel + 2 ) pour oteir, l + 2 d l d = l2 2 + d=l d + = 2 +l2 2 = l d où, pr cotiuité de l epoetielle u + 2e 2 2 Eercice type 8 Doer u équivlet de l suite défiie pr u =. = 6/8 G H

7 PCSI 2 Préprtio des Khôlles Solutio : O ssocie à(u ) ue somme de Riem. O défiit doc pour, v = de Riem pour l foctio cotiue sur[,] défiie pr f()=. O doc v = 2. E prticulier, o 3 + v 2 3 qui est ue somme = d= 2d= O peut coclure puisque u = v = 3 2 v Eercice 4. Motrer que pour, 2, o 3 2. Détermier l limite de l suite u = 6 si. si si 2. = Solutio :. Pour l iéglité de guche. O peut fire ue étude de foctio, mis l formule de tylor à l ordre 3, vec reste itégrl pour l foctiosi etreet s écrit Si, 2 si= ( t) 3 si tdt 3!, lors t [,], o sit doc ( t) 3 3. L utre iéglité proviet de l coveité O lors, puisquesi lorsque {,,}, 3! sit, isi ( t) 3 sitdt et si 3! = si u = 2si = = si L somme de droite S = = si est ue somme de Riem pour l foctio cotiue f()=si sur l itervlle[,], o doc S + sid O cherche ue primitive de e i sous l forme(+)e i, o dérive pour voir e i +i(+)e i = e i = i= et +i== = i et = e i d=( i+)e i +K= sid=si cos+c 7/8 G H

8 PCSI 2 Préprtio des Khôlles d où Pour l somme de guche, o Or d où et coclusio = S + sid=si cos si = S si 3 = 6 6 = = = 3 si = 3 = 4 = 3 si si si cos + u + si cos 8/8 G H