Calcul intégral. Supposons tout d abord une fonction f continue et non décroissante sur [a, b] et telle que f(a) 0.

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1 Mster ynmique terrestre et risques nturels Mthémtiques pour géologues Clul intégrl Rppel de ours. Intégrle de Riemnn Supposons tout d ord une fontion f ontinue et non déroissnte sur [, ] et telle que f(). y 2 n- Fig. étermintion d une intégrle omme somme de Riemnn ivisons l intervlle [, ] en n intervlles pr les points =,, 2,..., n, n = et onsidérons les sommes suivntes représentnt l somme des ires des retngles u-dessus et en dessous de l fontion f (Fig. ) n = ( )f() + ( 2 )f( ) ( n )f( n ) n = ( )f( ) + ( 2 )f( 2 ) ( n )f( ). Si le nomre d intervlles élémentires ugmente indéfiniment lors n n. L limite ommmune S de n et n se désigne pr le symole S = f()d, qui se lit somme de à de f()d ou intégle de à de f()d. L présenttion préédente s dpterit sns diffiulté u s d une fontion déroissnte, ou dont le sens de vrition hnge un nomre fini de fois ou enore qui ne reste ps positive sur [, ]. L intégrle de Riemnnn se trouve insi définie pour toute fontion ontinue pr moreu.

2 .2 Vleur moyenne d une fontion sur un intervlle [, ] On ppelle vleur moyenne d une fontion sur un intervlle [, ] l quntité µ définie pr µ =.3 Propriétés générles f()d = lim n n n f k= ( + k ) n e l définition de l intégrle déoule les propriétés trduisnt l linérité de l intégrtion [f() + g()]d = λf()d = λ f()d + g()d f()d où λ est une onstnte Si on permute les ornes de l intervlle [, ], les roissements = k+ k hnge de signe. On don f()d = f()d. Supposons que soit un nomre fie ompris entre et. On peut prtger l intervlle [, ] en [, ] et [, ]. En dditionnnt les sommes reltives à hque intervlle on otient l reltion de Chsles : f()d = f()d + f()d. Si f() est intégrle sur [, ] il en est de même pour f() et de plus f()d f() d..4 Théorème de l moyenne Si f et g sont ontinues sur [, ] et si g grde un signe onstnt, il eiste [, ] tel que.5 Inéglité de Shwrz f()g()d = f() f()g()d f 2 ()d g()d. g 2 ()d..6 Primitive et intégrle fontion de s orne supérieure F() est une primitive de f(), fontion ontinue, si F () = f(). Cette primitive est définie pr une intégrle fontion de s orne supérieure, F() F() = f()d(). Si une fontion f est pire (impire) lors s primitive est impire (pire)..7 Clul des primitives et des intégrles définies Pr l suite, α seront des onstntes réels et une vrile réelle. Pr souis de simpliité d ériture les ornes d intégrtion ne seront ps notées e qui revient à ne ps mentionner l onstnte ssoiée à tout lul de primitive.

3 .7. Primitives usuelles immédites d = oshd = sinh α d = α+ α+ ve α d = ln osd = sin sin d = os os 2 d = ( + tn 2 )d = tn sin 2 d = ( + ot 2 )d = ot e d = e d = ln ve et sinhd = osh osh 2 = ( tnh 2 )d = tnh sinh 2 = ( oth 2 )d = oth + 2 = rtn ( = rg tnh = 2 2 ln + 2 = rsin + 2 = rgsinh = ln( ) 2 = rgosh = ln( + 2 ) ).7.2 Primitives usuelles ln d = ln tn d = ln os otd = ln sin tnhd = ln osh oth d = ln sinh sin d = ln tn 2 os d = ln tn ( 2 + ) π 4 sinh d = ln tnh 2 osh d = 2 rtne 2 + d = 2 rtn, ve 2 d = 2 2 ln +, ve 2 2d = rsin, ve > 2 + = ln + 2 +, ve.8 Méthodes d intégrtion.8. Intégrtion pr linéristion L méthode onsistnt à déomposer en somme de plusieurs intégrles (linéristion) permet de luler d ssez nomreuses intégrles, [λf() + µg()]d = λ f()d + µ g()d, où λ et µ sont des onstntes..8.2 Intégrtion pr prtie u et v étnt deu fontions dérivles, on sit que (uv) = u v + uv. On en déduit don l formule dite d intégrtion pr prtie : uv = uv u v. On emploie ette méthode d intégrtion pour les fontions de type

4 P()e α où P() est un polynôme et α un réel. Le ut de ette méthode est lors pr intégrtion suessives de réduire le degré du polynôme. f()g() où g est une fontion rtionnelle et f une fontion trnsendnte (fontion non lgérique, i.e. ne se déduisnt ps de pr des opértions lgériques de type e, ln, sin,...) de dérivée lgérique. Pr eemple f() = rtn..8.3 Chngement de vrile Cette tehnique onsiste à rempler l epression de l fontion f à intégrer en hngent l vrile d intégrtion. Ce hngement doit étre réperuté en trois points : dns l fontion f(). dns le différentiel d. dns les ornes. Les hngements de vriles lssiques sont : f( + )d = f(u)du où u = + f( + )d = 2 uf(u)du où u = + f( 2 2 )d = f( osu)osudu où = sinu f( )d = f( os u ) os 2 udu où = tnu f( 2 2 )d = f( tnu) tn u os udu où = os u f(rsin )d = f(u)osudu où u = rsin f(sin, os)d = 2 f( 2u +u 2, u2 +u 2 ) du +u 2 où u = tn Intégrtion et prité L prité d une fontion doit toujours être étudiée si l intervlle d intégrtion est entré sur r { 2 f()d = f()d si f est pire si f est impire.9 Eemples d pplitions du lul intégrl.9. Clul d ires L ire délimitée pr l oure y = f() et les deu droites d sisses et est donnée pr S =.9.2 Clul d un volume de révolution f()d. Si un orps une géométrie de révolution utour de l e ( Fig. 2) lors son volume est donné pr V = π(f()) 2 d, où f() est l fontion donnnt le ryon ssoié à hque vleur de.

5 y f() z Fig. 2 étermintion d une intégrle pour un volume de révolution.9.3 Clul d un volume quelonque Si S() est l surfe d une setion du volume lors un élément de volume dv = S()d. En intégrnt on otient le volume ompris entre les plns de otes et,. Intégrles multiples.. Notion d intégrle doule V = S()d. Le symole f(, y)ddy représente l limite lorsqu elle eiste de l somme i ( Sf( i, y i )), où S est l ire élémentire tendnt vers dns toutes es dimensions, ( i, y i )) S. Son lul se rmène à elui de deu intégrles simples. En oordonneés rtésiennes ds = ddy. Si le domine est le retngle défini pr et d lors [ ] d [ d ] f(, y)ddy = f(, y)dy d = f(, y)d dy. En oordonneés polires ds = rdrdθ. Si le domine est défini pr r r r 2 et θ θ θ 2 lors [ r2 ] θ2 f(r, θ)rdrdθ = f(r, θ)dθ rdr. θ..2 Notion d intégrle triple r Le symole f(, y, z)ddydz représente l limite lorsqu elle eiste de l somme i ( V f( i, y i, z i )), où V est le volume élémentire tendnt vers dns toutes es dimensions, ( i, y i, z i )) V. Son lul se rmène à elui d une intégrle simple et d une intégrle doule. En oordonneés rtésiennes dv = ddydz. Si le domine est le ue défini pr, y d et e z h lors [ [ d ] ] h f(, y, z)ddydz = f(, y, z)dz dy d. e

6 En oordonneés sphériques dv = r 2 sin θdrdθdφ. Si le domine est défini pr r r r 2 et θ θ θ 2 et φ φ φ 2 lors [ r2 [ θ2 ] ] φ2 f(r, θ, φ)r 2 sinθdrdθdφ = f(r, θ, φ)dφ sin θdθ r 2 dr. φ. Fontion d une vrile réelle définie pr une intégrle.. Fontion du type f(t)dt r ns l résolution des équtions u dérivées prtielles, il rrive de tomer sur des fontions f intégrles dont on ne peut ps luler l intégrle. On utilise lors des fontions spéiles dont l dérivée n est utre que l fontion f. En voii quelques eemples le sinus intégrl de, noté S i (), défini pr S i () = sin t t dt. le osinus intégrl de, noté C i (), défini pr C i () = os t t dt. l fontion erreur de, notée erf(), définie pr erf() = e t2 dt. l fontion erreur omplémentire, notée erf(), définie pr erf() = + e t2 dt = erf()...2 Fontion du type f(, t)dt (fontion eulérienne de premiére espée) Si f(, t) est ontinue sur [, ], lors f f(, t)dt est ontinue sur. Si (, t) est ontinue sur [, ] et d f(, t)dt est ontinue sur lors d f(, t)dt = f fdt. Un eemple élère de e type de fontion est l fontion ét, notée B(, y) est définie pr B(, y) = t ( t) y dt et qui onverge pour et y stritement positifs...3 Fontion du type + f(, t)dt, eemple de l fontion Γ() (fontion eulérienne de deuième espèe) On définit l fontion gmm de, notée Γ(), l intégrle + t e t dt, qui onverge pour stritement positif. L fontion Γ() vérifie l éqution de réurrene Γ( + ) = Γ(). ns le s où est un entier noté n on Γ(n) = n!. Les fontions B et Γ sont liée pr 2 Eeries. Trouver l limite de 2 dt ln t θ B(, y) = Γ()Γ(y) Γ( + y) lorsque tend vers. 2. Soir f() intégrle sur [, ], ve <. On ppelle µ l vleur moyenne de f sur [, ] et on définit l vleur effie de f sur [, ] pr l formule f e = [f()] 2 d. Comprer f e et µ. 3. Cluler rtnd. 4. Cluler +os sin d. 5. Cluler tn 3 d. 6. Cluler e +2e d. 7. Cluler sin 6 os 4 d. 8. Cluler sin 5 os 3 d.

7 9. Cluler e d.. Cluler sin n sin[(n + )]d.. Soit I n () = d os n pour n entier nturel. Cluler I, I, I 2. Puis étlir une formule de réurene permettnt de luler I n (). 2. Cluler (ln ) 2 d. 3. Cluler 2 d On onsidére l fontion f définie sur [ 2, 4] à l ide de l figure 3. y Fig. 3 éfinition de l fontion f Sns eprimer f() luler 4 2 f()d et 4 2 f() d. 5. Cluler 2 6. Cluler π/2 2 2 d. os +sin d. 7. Cluler π/2 sin 2os3d. 8. Cluler l vleur moyenne de l fontion f définie pr f() = + tn sur l intervlle [ π/4, π/4]. 9. Un llon de rugy l forme d un ellipsoïde de révolution, est-à-dire d un volume engendré pr l rottion utour de l e des sisses d une demi-ellipse de révolution y = (/) 2 ve et positif et >. () Construire l oure représenttive de l fontion f() = y définie sur l intervlle [, ]. () Cluler le volume d un llon de rugy. () En déduire le volume d un llon de foot de ryon. 2. On ppelle moment d inertie d un orps onstitué des msses m i pr rpport à un point O, l somme des produits des msses pr le rré de leur distne r i u point O, I = i m i r 2 i () Cluler le moment d inertie d un ylindre homogéne de ryon R et de huteur h pr rpport à son e. () éterminer le moment d inertie d une plque homogéne retngulire de dimension et, d épisseur négligele, pr rpport é un de ses sommets. () éterminer le moment d inertie d une sphére de ryon R pr rpport à son entre. 2. Cluler 22. Cluler ddy (+y) 3 ve défini pr ddy ( 2 +y ) 2 ve défini pr ddydz y + y 3 { y 23. Cluler z, étnt le domine limité pr l demi-sphére de entre O, de ryon R et z et pr le ône de révolution d e Oz et d ouverture zα ( < α < π/2).

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