Analyse des difficultés des élèves en algèbre

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1 Analyse des difficultés des élèves en algèbre Brigitte Grugeon IUFM d Amiens et DIDIREM Exemple 1 énoncé : Quand 5 est additionné à 2 fois un certain nombre, la somme est 35. Quelle est la valeur du nombre?" résolution arithmétique : On soustrait 5 à 35 puis on divise le résultat par 2 PAF Stage de Formation : Mat résolution algébrique : Recherche d un nombre x vérifiant la relation 2x+5 = 35 Ici, la mise en équation nécessite l'addition et la multiplication, opérations inversesde la soustraction et de la division 3 Deux principes fondateurs Exemple 2 la rupture épistémologique entre l arithmétique et l algèbre Quelles difficultés soulèvent le passage de l arithmétique à l algèbre? les deux dimensions outil et objet de l algèbre outil : mobilisation de l algèbre dans la résolution de problèmes? Dans quels types de problèmes? Comment? objet : utilisation des différents objets de l algèbre lettres, expressions, équations, fonctions comment? 2 énoncé : Daniel rend visite à sa grand -mère qui lui donne 12,50F. Il achète un livre de 32F. Il lui reste 23F. Combien avait-il avant de rendre visite à sa grand-mère? résolution arithmétique : = 55 ; 55-12,5 = 42,5 ou = 55-12,5 = 42,5 résolution algébrique : Mise en équation : (x + 12,5) -32 =

2 Double rupture entre l arithmétique et l algèbre (1) fausses continuités mêmes symboles mais interprétations différentes ex : signe d égalité annonce de résultat équivalence significations différentes des lettres selon le contexte ex: statut des lettres lettres étiquettes lettres inconnues ou variables discontinuités côté outil, côté objet 5 Analyse des difficultés des élèves en algèbre Trois points d'entrée pour cette analyse : les difficultés liées aux objets de l'algèbre les difficultés liées aux manipulations formelles les difficultés liées aux types de problèmes à résoudre 7 Double rupture entre l arithmétique et l algèbre (2) discontinuités côté outil démarches inversées du connu vers le connu de l inconnu vers le connu procédures de résolution différentes intuitives, essai-erreurs formelles, algorithmique côté objet nouveaux objets : expressions algébriques, équations, fonctions conceptions d ordre procédural / structural 6 Difficultés et objets de l algèbre (1) Lettres : Six niveaux d interprétation des lettres par les élèves : lettre ignorée lettre-objet lettre évaluée inconnue nombre généralisé variable Équations 8 2

3 Difficultés et objets de l algèbre (2) deux rapports aux expressions selon le domaine arithmétique : 5+8 = 13 algèbre : a + b non évaluée accepter une expression non évaluée (Collis, Davis) ou en dehors d une égalité transformer une méthode verbale pour exprimer une relation, un algorithme de calcul en une expression algébrique (Booth) 9 Interprétations d une expression algébrique Niveau procédural réfère à un processus de calcul exemple : 2x + 3 un processus opératoire «prendre un multiple de 2 et lui additionner 3», applicable sur des valeurs numériques Niveau structural réfère à un ensemble d objets étudiés, sur lesquels on réalise des opérations relatives à ce nouvel ensemble exemple : 2x + 3 le nombre résultat du processus opératoire calculé à partir du nombre x ; la fonction de la variable x, qui à x associe 2x+3 11 Difficultés et objets de l algèbre (3) Lettres Équations : Rupture entre les démarches de résolution des équations du type ax=b ; ax+b=c méthodes arithmétiques du type ax+b =cx+d méthode algébrique Difficultés et manipulations formelles (1) Plusieurs aspects syntaxique formation des écritures algébriques technique de la manipulation formelle transformation des écritures sémantique dénotation ou référence, interprétation et sens Dimension sémiotique du travail algébrique

4 Difficultés et manipulations formelles (2) Aspects syntaxique, technique, sémantique Dimension sémiotique du travail algébrique règles utilisées pour passer d une écriture algébrique à une représentation dans un autre registre de représentation langage naturel représentations graphiques, etc. articulation de ces règles Difficultés et types de problème délimiter le champ des problèmes algébriques qui met en jeu l outil algébrique difficultés des élèves à articuler les différents statuts des objets exemple : le statut des lettres Problèmes «arithmétiques» Inconnues Problèmes de généralisation Problèmes de modélisation Nombres généralisés Grandeurs, Variables Problèmes du domaine algébrique Indéterminées Écritures algébriques (x-1)² et x² - 2x + 1 Dimensions de la compétence algébrique (1) réfèrent la même expression sens distincts : les informations données par des écritures différentes permettent de choisir une stratégie adaptée pour résoudre des problèmes ex: Résoudre l équation : x²-2x+1 = (2x-2)(x+3) plusieurs interprétations selon le cadre de travail : cadre des fonctions de R vers R x²+2x+1 : fonction du second degré : x--> x²+2x+1 cadre algébrique x²+2x+1 : résultat du processus opératoire calculé à partir de x 14 utiliser le calcul algébrique comme outil pour : établir des formules, produire des relations algébriques pour modéliser exprimer de façon générale et prouver des propriétés numériques mettre en équation et résoudre des problèmes dans des contextes variés puis à mobiliser les outils algébriques adaptés à leur résolution. transformer les expressions algébriques en prenant en compte leur syntaxe et les techniques de manipulation, leur sémantique (dénotation et sens) les interpréter en articulation avec plusieurs registres de représentation (graphique, verbal,..) et aussi

5 Dimensions de la compétence algébrique (2) utiliser le calcul algébrique comme outil pour : transformer les expressions algébriques les interpréter en articulation avec plusieurs registres de représentation (graphique, verbal,..) A ce niveau scolaire, il est nécessaire de prendre en compte la nécessaire rupture épistémologique avec l'arithmétique le lien incontournable entre compétence algébrique et rationalité algébrique 17 5

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