( c d) 6i i i(2 4i 2 2 i) 4i 2 2 4i

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1 Nombres complexes Exercces corrgés Qcm et exercce comporte quatre affrmatons repérées par les lettres a, b, c et d Vous deve ndquer pour chacune de ces affrmatons, s elle est vrae (V) où fausse (F) Une réponse exacte rapporte 0,5 pont, une réponse fausse entraîne le retrat de 0,5 pont ucune justfcaton n est demandée Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal R ( O ; u, v) On consdère les ponts,, et D, d affxes respectves a, b, c et d : a ; b ; c ; d a (D) est un parallélogramme b Le pont E, mage de par la rotaton de centre et d angle, est un pont de l axe des abscsses c Soent f 6et F le pont d affxe f Le trangle DF est rectangle et socèle en D d Soent get G le pont d affxe g Le trangle DG est rectangle et socèle en orrecton Lorsqu on fat la fgure on répond mmédatement aux questons snon, avec a ; b ; c ; d : a Vra : (D) est un parallélogramme ss D, sot D ce qu est évdent b Vra : e ( ) ( ) 6 E E c Vra : Le trangle DF est rectangle et socèle en D s a pour mage F dans la rotaton de centre D et d angle / On vérfe : f d e ( c d) 6 ( ) d Faux : DG est rectangle et socèle en s G a pour mage D dans la rotaton de centre et d angle / Il est facle de vor que c est faux Par contre on a : DG est socèle rectangle en D c d e ( g d) ( ) ; Qcm L exercce comporte tros questons ndépendantes Pour chacune d elles, quatre réponses sont proposées, une seule réponse est exacte Une réponse exacte rapporte pont, une réponse fausse enlève 0,5 pont ucune justfcaton n est demandée Z Z vérfe 6 ; l écrture algébrque de D Le pont M d affxe Z est sur le cercle trgonométrque Un argument de 5 Z est 6 8 Z Z Un argument de Z est 6 8 Z est un magnare pur Le pont M d affxe Z est sur le cercle de centre O, de rayon 8 Z Le pont M d affxe Z² est sur l axe des ordonnées 8 Nombres omplexes corrgés TOUTI touatamn@yahoofr

2 est : orrecton Le plus smple est de smplfer Z : ( )( ) Z Donc reponse Ren qu en fasant la fgure on vot que est juste (arg(z)= /6) On peut vor les autres réponses : le module de Z est, n est pas bon ; pour D : donc faux omme est un réel, l faut que, sot = ec élmne et D e module vaut 0/, l faut donc que la parte réelle fasse 8/, réponse Qcm Dans chacun des cas suvants, répondre par VRI ou FUX ucune justfcaton n est demandée Les réponses nexactes sont pénalsées Le nombre complexe ( ) 0 Le nombre complexe ( ) est magnare pur est de module et l un de ses arguments est 7 est le pont d affxe dans un repère orthonormal L ensemble des ponts M d affxe vérfant ( )( ) est le cercle de centre et de rayon orrecton Vra : s on passe en forme trgonométrque c est mmédat : ( ) e e 5 6 e Faux : e e e ( ) Faux : on développe : donc de module mas d argument ( ) 6 6 ( )( ) ( ) ( ) d où en remplaçant par x + y, x y ( )( x y) ( )( x y) 5 x y x y 0 ( x ) ( y ) donc le centre est bon mas le rayon est On aurat pu remarquer drectement que d où est dentque ( ) mas la concluson Qcm, m Nord ponts Pour chacune des quatre questons de ce QM, une seule des quatre propostons est exacte Le canddat ndquera sur sa cope le numéro de la queston et la lettre correspondant à la réponse chose ucune justfcaton n est demandée Une réponse exacte rapporte pont Une réponse nexacte enlève 0,5 pont L absence de réponse n apporte n n enlève aucun pont S le total est négatf, la note de l exercce est ramenée à 0 Dans le plan complexe, on donne les ponts, et d affxes respectves +, et,08+,98 Le trangle est : (a) : socèle et non rectangle (b) : rectangle et non socèle (c) : rectangle et socèle (d) : n rectangle n socèle À tout nombre complexe, on assoce le nombre complexe défn par : L ensemble des ponts M d affxe tels que ' est : ' (a) : un cercle de rayon (b) : une drote (c) : une drote prvée d un pont (d): un cercle prvé d un pont Les notatons sont les mêmes qu à la queston L ensemble des ponts M d affxe tels que est un réel est : (a): un cercle (b) : une drote (c) : une drote prvée d un pont (d): un cercle prvé d un pont Nombres omplexes corrgés TOUTI touatamn@yahoofr

3 Dans le plan complexe, on donne le pont D d affxe L écrture complexe de la rotaton de centre D et d angle est : (a) : (c) : ' ' orrecton Il faut calculer les dstances : (b) : (d) : 7, ' ',08,98,08,0 7,6868 et, 08, 98 5, 08, 98, 6868 La réponse est donc (b) : rectangle et non socèle (on a M d affxe tels que ' est donné par ) ' ' Réponse (b) : c est une drote (la médatrce des ponts d affxe et d affxe ) L ensemble des ponts M d affxe tels que est un réel est : M M arg( ') 0( ) arg 0( ), 0 Il s agt encore d une drote mas c l faut enlever le pont Réponse (c) : une drote prvée d un pont D d affxe La rotaton de centre D et d angle est : ' e ( ) ' ( ) Réponse (a) 5 Qcm 5, N aledone ponts L exercce comporte questons Pour chaque queston, on propose affrmatons Pour chacune d elles, le canddat dot ndquer s elle est vrae ou fausse en cochant la case correspondante ucune justfcaton n est demandée Les réponses à cet exercce sont à nscrre sur la feulle jonte en annexe Toute réponse ambguë sera consdérée comme une absence de réponse haque réponse exacte rapporte 0,5 pont Une bonfcaton de 0,5 pont est ajoutée chaque fos qu une queston est tratée correctement en enter (c est-à-dre lorsque les réponses aux affrmatons sont exactes) réponses nexactes dans une même queston entraînent le retrat de 0,5 pont L abstenton n est pas prse en compte, c est-à-dre ne rapporte n ne retre aucun pont S le total des ponts de l exercce est négatf, la note est ramenée à éro Dans l exercce, le plan complexe est rapporté au repère orthonormal ( O ; u, v ) Q Q Q Pour tout n enter naturel non nul, pour tout réel, e n est égal à : La parte magnare du nombre est égale à : Sot un nombre complexe tel que cos n e Faux Vra n n sn Faux Vra cos( n) sn( n) Faux Vra Faux Faux Faux Vra Vra Vra y Faux Vra Nombres omplexes corrgés TOUTI touatamn@yahoofr

4 Q x y (x et y réels) S est un magnare pur, alors est égal à :, et sont des ponts d affxes respectves a, b et c telles que b a, alors : c a y Faux Vra Faux Vra Faux Vra, k, k Faux Vra Faux Vra orrecton Q Pour tout n enter naturel non nul, pour tout réel, e n est égal à : cos n e n n sn Vra : cours Faux : bof cos( n) sn( n) Vra : cours Faux : ( x y x y ) x Q La parte magnare du nombre est égale à : Vra :on a sn y Faux : ( x y x y ) y y Vra : y y y Q S est un magnare pur, alors est égal à : y Faux : Vra : comme est magnare pur, on a y y et ( y) y Vra : d un côté on a b c c a par alleurs le trangle est rectangle en d où ; Q, et sont des ponts d affxes respectves a, b et c telles que b a, alors : c a, k, k Faux : c a, arg arg b a arg Vra : 0 0 ( ) ( ) Nombres omplexes corrgés TOUTI touatamn@yahoofr

5 6 VRI-FUX - Fesc 00 ex On consdère le nombre complexe : Z e a On a : Z Z e b On a : c Le réel d On a : orrecton est un argument de Z Z e a Vra : On a : Z e ( ) b Faux : On a : Z e ( ) e c Faux : Le réel d Vra : On a : Z e e e e or ( ) Z e 7 VRI-FUX - Esee 999 Queston 8 On consdère les nombres complexes a et b lors : a arg a b Il exste au mons un p de c Il exste au mons un q de d Il exste au mons un n e Il exste au mons un m orrecton tel que tel que tel que b n tel que p a sot réel q a sot magnare pur m a et a Vra : a e donc arg a b Vra : c Faux : p a est réel s q a est magnare pur s m b soent réels p k sot p k avec k * q k sot q k avec * k donc d Faux : b e n d où b donc b n a pas de soluton e Vra : Donc m a et m b est réel s * q m k sot m k avec k * Et d après ) a m est réel s m k avec m b sont réels s m est un multple de et comme par exemple ; ; 6 * k 8 VRI-FUX - Esee 999 Queston 9 Dans le plan mun d un repère O ;, j, on consdère les ponts M d affxe a et N d affxe b tels que a et b soent les solutons de l équaton : a OM ON ab 0 On a : Nombres omplexes corrgés 5 TOUTI touatamn@yahoofr

6 b a b est un nombre réel c Le mleu de MN, est sur l axe des abscsses d La drote MN est parallèle à l axe des ordonnées e M et N appartennent au cercle de centre O et de rayon orrecton d'où a et b donc b a Les affxes de OM et ON dans le plan mun d un repère O ;, j sont respectvement a et b a Faux : Résolvons l équaton : On a donc ab aa a et OM ON b Vra : a b a a a Re est un réel c Vra : Le mleu de, ab aa MN a pour affxe donc l est sur l axe des abscsses d Vra : Les ponts M et N ont la même abscsse égale à donc la drote MN est parallèle à l axe des ordonnées e Faux : On a a a b donc M et N appartennent au cercle de centre O et de rayon 9 Dvers, Polynése ponts Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O ; u, v ) On prendra cm pour unté graphque Les questons suvantes sont ndépendantes Résoudre dans l ensemble des nombres complexes, l équaton 6 0, étant le conjugué de On consdère le pont d affxe Détermner la forme algébrque de l affxe du pont tel que O sot un trangle équlatéral de sens drect Sot le pont D d affxe a Représenter l ensemble (E) des ponts M d affxe dfférente de tels que : arg k k b Représenter l ensemble (F) des ponts M d affxe tels que e, tout pont M d affxe, on assoce le pont M d affxe telle que l ensemble des ponts M tels que ' orrecton x y x y x y y x , sot x y 0 x y 9 5 y, x et x y 6 0 8y ' Détermner O est un trangle équlatéral de sens drect s a pour mage par la rotaton de centre O, d angle r : ' e b e a arg k u ; DM k ; l s agt de la dem-drote fasant un angle de 5 avec l horontale, passant par D et orentée vers la drote b e e : l s agt du cercle de rayon et de centre D Nombres omplexes corrgés 6 TOUTI touatamn@yahoofr

7 ' car le module du conjugué est le même que celu de l orgnal Il s agt du cercle de damètre IJ où I a pour affxe et J a pour affxe prvé des ponts I et J 0 Orthog algnement, France sept pts Dans le plan complexe mun du repère orthonormal ( O ; u, v ), on consdère les ponts M et M d affxes respectves et On pose = x + y et = x + y, où x, x, y, y sont des nombres réels On rappelle que désgne le conjugué de et que désgne le module de Montrer que les vecteurs OM et OM sont orthogonaux s et seulement s Re ' 0 Montrer que les ponts O, M et M sont algnés s et seulement s Im ' 0 pplcatons N est le pont d affxe orthogonaux? On suppose non nul P est le pont d affxe tels que les ponts O, N et P soent algnés a Montrer que Quel est l ensemble des ponts M tels que les vecteurs OM et ON soent On recherche l ensemble des ponts M d affxe b En utlsant l équvalence démontrée au début de l exercce, conclure sur l ensemble recherché orrecton x OM apour coordonnées y, OM x ' y ', ls sont orthogonaux s et seulement s ' ' 0 xx yy alculons ' x' y' x y x' x y' y xy' yx ' Re ' 0 Donc xx' yy' 0 s et seulement s O, M et M sont algnés s et seulement s OM OM xy yx pplcatons Prenons det, ' 0 ' ' 0 Im ' 0, alors xx' yy' x x y y xy x x y ' x y xy produt scalare est donc nul s x 0 (axe des ordonnées) ou a On a ; le x y 0 (cercle trgonométrque) donc la condton du se tradut par Im Im Im b omme est réel, la parte magnare est celle de x y x y xy L ensemble cherché est la réunon des axes des abscsses et des ordonnées arycentres, La Réunon ponts Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé drect ( O ; u, v ),, désgnent les ponts d affxes respectves a, b et c a Écrre b sous forme exponentelle b Placer les ponts et sur une fgure onstrure à la règle et au compas le pont sur ce dessn (lasser les tracés de constructon apparents) On désgne par E le barycentre du système {( ; ) ; ( ; )} et par F le barycentre du système {( ; ) ; ( ; )} a Établr que l affxe e du pont E est égale à Nombres omplexes corrgés 7 TOUTI touatamn@yahoofr

8 b Détermner l affxe f du pont F a Démontrer que le quotent e c peut s écrre k où k est un nombre réel à détermner En dédure e b que, dans le trangle, le pont E est le ped de la hauteur ssue de Placer le pont E sur le dessn b Démontrer que le pont F possède une proprété analogue Placer F sur le dessn On désgne par H le barycentre du système {( ; ) ; ( ; ) ; ( ; 6)} Démontrer que le pont H est le pont d ntersecton des drotes (E) et (F) Qu en dédut-on pour le pont H? orrecton a b e b L abscsse de correspond au mleu de [O] ; l ordonnée est obtenue en traçant un trangle équlatéral de base [O] e a 6 b f e c a eb On a donc E, E ; comme E est sur [] comme barycentre, (E) est une hauteur de b omme F est sur [], l ne peut être que le ped de la hauteur ssue de : f c F, F f a 0 0 donc F est le ped de la hauteur ssue de sur le côté [] vec les barycentres partels, on a H le barycentre du système {(F ; ) ; ( ; 6)}, H est sur (F) ; de même H le barycentre du système {( ; ) ; (E ; )} donc H est sur (E) est leur pont d ntersecton et donc l orthocentre de Rotaton et trangle, France sept 00 5 ponts Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal drect ( O ; u, v ) On consdère le pont I d affxe et le pont d affxe a Montrer que le pont appartent au cercle de centre le pont I et de rayon Sur une fgure (unté graphque cm), qu on complètera au fur et à mesure de l exercce, placer le pont I, tracer le cercle, pus construre le pont b On consdère la rotaton r de centre le pont I et d angle Démontrer que le pont mage du pont par la rotaton r a pour affxe Justfer que le pont appartent au cercle c alculer l affxe du pont symétrque du pont par rapport au pont I d Quelle est la nature du trangle? Justfer Dans cette queston, toute trace de recherche, même ncomplète, ou d ntatve même non fructueuse, sera prse en compte dans l évaluaton On consdère les ponts E et F tels que : E I et F I Que peut-on conjecturer pour les drotes (F) et (E)? Valder cette conjecture à l ade d une démonstraton orrecton Nombres omplexes corrgés 8 TOUTI touatamn@yahoofr

9 a On a I() et donc I I Le pont appartent au cercle () de centre le pont I et de rayon Pour construre le pont l sufft de tracer l horontale contenant le pont qu coupe le cercle () est le pont d abscsse postve b Par défnton un pont M d affxe a pour mage M d affxe tel que ' I e I, sot ' ' ; on a donc La rotaton est une sométre, donc I = I = d après la queston a : le pont appartent donc au cercle () c Par défnton du mleu I I Remarque : on aurat pu dre que est l mage de par la rotaton r d Par défnton de la rotaton, la drote (I) est perpendculare à la drtote (I) D autre part [] est un damètre de () Le trangle est nscrt dans le cercle () ; un de ses côtés est un damètre, l est donc rectangle en et (I) étant à la fos hauteur et médane, le trangle est socèle en Le trangle est rectangle socèle en Il semble que (F) et (E) soent perpendculares et de même longueur E Démonstraton : l sufft de vérfer que F E I ; E I F I ; F I E F Rotaton et carré, Polynése ponts Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormal ( O ; u, v ) Unté graphque : cm On rappelle que, pour tous nombres complexes a et b, l ensemble des nombres complexes l équaton = 8 a b ( a b)( a ab b ) Résoudre dans On désgne par, et les ponts d affxes respectves a, b et c défnes par : a =, b et c On appelle r la rotaton de centre et d angle et r la rotaton de centre et d angle On pose ' r'( ) et ' r( ) et on note b et c les affxes respectves de et a Placer les ponts, et dans le repère ( O ; u, v ) Dans la sute de l exercce, on complètera cette fgure b Montrer que b' Nombres omplexes corrgés 9 TOUTI touatamn@yahoofr

10 c Montrer que b et c sont des nombres conjugués On appelle M, N, P et Q les mleux respectfs des segments [], [ ], [ ] et [ ] On note m, n, p et q leurs affxes a Montrer que l affxe n du pont N est égale à algnés b Montrer que n + = (q + ) Que peut-on en dédure pour le trangle MNQ? c Montrer que le quadrlatère MNPQ est un carré orrecton vec a = et b = on a : 0, ( )( ) En dédure que les ponts O, N et sont ; 6, a a =, b et c b b' a e ( b a) b' c d où les solutons c' a e ( c a) c' Qu est ben le conjugué de b b b' a n ( ) et est parel vecteurs sont colnéares, les ponts sont algnés n c ON O, les b c b M a pour affxe, q est le mleu de [ ] et a pour affxe le conjugué de n (pusque c et c sont les conjugués respectfs de b et b ), sot q On a alors n et ( ) q d où n + = (q + ) Le trangle MNQ est un trangle rectangle socèle car le vecteur MQ a pour mage le vecteur MN par la rotaton r c omme Q est le symétrque de N par rapport à (Ox) et que M et P sont sur (Ox), les trangles MNP et MQP sont sométrques donc MNPQ est un carré Nombres omplexes corrgés 0 TOUTI touatamn@yahoofr

11 ' N j M O P Q ' Etude confguraton, France ponts Dans le plan orenté, on consdère les ponts O et fxés et dstncts, le cercle de damètre [O], un pont M varable appartenant au cercle et dstnct N des ponts O et, ans que les carrés de sens drect MPN et MKLO La fgure est représentée c-contre Le but de l'exercce est de mettre en évdence P quelques éléments nvarants de la fgure et de montrer que le pont N appartent à un cercle à K détermner On munt le plan complexe d'un repère orthonormal drect de sorte que les affxes des M ponts O et soent respectvement 0 et L On désgne par le nombre complexe de module et d'argument On note k, l, m, n et p les affxes respectves des ponts K, L, M, N et P O Démontrer que, quel que sot le pont M chos sur le cercle, on a Établr les relatons suvantes : l = m et p = m + + On admettra que l'on a également n ( ) m et k ( ) m m a Démontrer que le mleu du segment [PL] est un pont ndépendant de la poston du pont M sur le cercle b Démontrer que le pont appartent au cercle et précser sa poston sur ce cercle a alculer la dstance KN et démontrer que cette dstance est constante b Quelle est la nature du trangle NK? 5 Démontrer que le pont N appartent à un cercle fxe, ndépendant du pont M, dont on détermnera le centre et le rayon Nombres omplexes corrgés TOUTI touatamn@yahoofr

12 orrecton N K P M L O V Le centre du cercle a pour affxe, le rayon est, on a donc m L est l mage de M par la rotaton de centre O, d angle, on a donc l = m ; de même P est l mage de M par la rotaton de centre, d angle ( ) ( ) p e m p m m De la même manère on a n ( ) m et k ( ) m a a pour affxe, on a donc p l m m ; comme m n apparaît plus, ne dépend pas de M b On a évdemment donc appartent au cercle est à l ntersecton de et de la médatrce de [O] a La symétre de la fgure par rapport à la drote (LMP) montre que KN O Par le calcul on a KN n k ( ) m ( ) m m m Il est nutle de fare le calcul b Pour la même rason de symétre, NK est l mage de O et est donc socèle rectangle e coup-c on ne fat pas le calcul 5 Pusque NK est socèle rectangle, son côté est de centre de rayon La dernère queston est asse pénble s on utlse le calcul, vor KN donc N, N parcourt un cercle Nombres omplexes corrgés TOUTI touatamn@yahoofr

13 5 RO+rotaton, Pondcherry 06/008 5 pts et exercce content une resttuton organsée de connassances Parte On suppose connus les résultats suvants : Dans le plan complexe, on donne par leurs affxes, et tros ponts, et lors Sot un nombre complexe et sot θ un réel : k est un enter relatf et arg, e s et seulement s et arg k, où Démonstraton de cours : démontrer que la rotaton r d angle et de centre d affxe est la transformaton du plan qu à tout pont M d affxe assoce le pont M d affxe tel que ' e Parte Dans un repère orthonormal drect du plan complexe ( O ; u, v ) d unté graphque cm, on consdère les ponts,, et D d affxes respectves,, et a Donner le module et un argument pour, chacun des quatre nombres complexes,, et D b omment construre à la règle et au compas les ponts,, et D dans le repère ( O ; u, v )? c Quelle est la nature du quadrlatère D? On consdère la rotaton r de centre et d angle Soent E et F les ponts du plan défns par : E = r () et F = r () a omment construre à la règle et au compas les ponts F et E dans le repère précédent? b Donner l écrture complexe de r c Détermner l affxe du pont E orrecton Parte Démonstraton de cours : la rotaton r d angle et de centre d affxe envoe M() sur M ( ) de ' M' M ' sorte que e ' e M, M' ' arg Parte a,, et e e 6 ; D 5 6 ; e D e b Les ponts sont sur le cercle de centre O, de rayon (cercle de damètre [PQ]) ; est un sommet de trangle équlatéral, D est damétralement opposé à, est sur la bssectrce de QOD et est tel que l arc Q Q' ; est damétralement opposé à (trats pontllés nors sur la fgure) ; D Nombres omplexes corrgés TOUTI touatamn@yahoofr

14 D ' a E Q O P F c Le quadrlatère D est un rectangle (c est un parallélogramme car ses dagonales se coupent en leur mleu et les deux dagonales sont de même longueur) est même un carré car les dagonales sont à angle drot (calculer l angle) a Pusqu l s agt de trangles équlatéraux, on construt les deux cercles de rayon, de centre et de centre ; une des deux ntersectons est E ; même chose avec les cercles de rayon, de centres et (en rouge et vert sur la fgure) b ' e ' c E E, sot E 6 Rotatons, pont de Fermat, Lban pts Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( O ; u, v ) Unté graphque : 0,5 cm On note j le nombre complexe e On consdère les ponts, et d affxes respectves a = 8, b = 6j et c = 8j Sot l mage de par la rotaton de centre et d angle, l mage de par la rotaton de centre et d angle, l mage de par la rotaton de centre et d angle Placer les ponts,,,, et dans le repère donné On appelle a, b et c les affxes respectves des ponts, et a alculer a On vérfera que a est un nombre réel b Montrer que b' 6e En dédure que O est un pont de la drote ( ) c On admet que c' 7 7 Montrer que les drotes ( ), ( ) et ( ) sont concourantes en O Nombres omplexes corrgés TOUTI touatamn@yahoofr

15 On se propose désormas de montrer que la dstance M+M+M estmnmale lorsque M = O a alculer la dstance O + O + O b Montrer que j et que j j 0 c On consdère un pont M quelconque d affxe du plan complexe On rappelle que a = 8, b = 6j et c = 8j Dédure des questons précédentes les égaltés suvantes : a b j c j a bj cj d On admet que, quels que soent les nombres complexes, ' '' ' '' Montrer que M+M+M est mnmale lorsque M = O orrecton ' ' O j ' a Notons au préalable que b 6 j 6e 6 et a' c e ( b c) a' 8e e 6e 8e 8e 6e 8e c 8 j 8e b b' a e ( c a) b' 8 e 8e 8 8 8e 8e e Nombres omplexes corrgés 5 TOUTI touatamn@yahoofr

16 b' On a alors O, O' arg arg b' argb donc O et O ' sont colnéares et O est b sur ( ) c et sont sur (Ox) ;, O et sont algnés, l sufft de montrer que, O et sont algnés : c' 7 7 e a O OO a b c b 6 j e e e c c' d où O, O ' arg arg c' argc, ok c, j j 0 a b j c j a bj cj j j a bj cj ( j j ) avec (a ), b j et d Utlsons ' '' ' '' c j : a b j c j a b j c j a b c M M M ; comme a b j c j a bj cj, cette valeur est le mnmum de M+M+M et l est obtenu lorsque = 0, sot lorsque M est en O 7 alcul a On consdère le nombre complexe Mettre sous forme trgonométrque alculer b Résoudre dans l'équaton réelle) En dédure les solutons dans algébrque orrecton a e e, 8e 8 et En dédure 99 et (on remarquera que cette équaton a une racne évdente de l'équaton ( ) 8 0 Donner les solutons sous forme omme on tourne à chaque fos de 60, tous les exposants multples de ramèneront sur l axe réel (un coup postf, un coup négatf) ; tous les multples de + (comme,, 7, ) seront sur la drote ssue de O et passant par, enfn tous les multples de + seront sur la drote ssue de O passant par 99 est un multple de 6 (x), on a b e, et 8 0 a comme racne évdente ; on factorse + : développant et dentfant les coeffcents : Les autres racnes sont alors :, Pour résoudre 8 ( )( ) e ( ) 8 ( )( a b c) ce qu donne en ( ) 8 0 on reprend l équaton précédente avec le changement d nconnue Z, ce qu donne les solutons en Z ; on revent en arrère pour les solutons en Z Z Z Z d où les tros solutons : 0 ( ), ( ) et ( ) 8 alcul, équaton, rotaton, France 00-5 pts Dans l ensemble des nombres complexes, désgne le nombre de module et d argument Montrer que ( ) 8 6 On consdère l équaton (E) : 8 Nombres omplexes corrgés 6 TOUTI touatamn@yahoofr

17 a Dédure de une soluton de l équaton (E) b L équaton (E) possède une autre soluton ; écrre cette soluton sous forme algébrque Dédure également de une soluton de (E ) : 8 On consdère le pont d affxe et la rotaton r de centre O et d angle a Détermner l affxe b du pont, mage de par r, ans que l affxe c du pont, mage de par r b Montrer que b et c sont solutons de (E ) 5 a Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal ( O ; u, v ) (unté graphque cm), représenter les ponts, et b Quelle est la nature de la fgure que forment les mages de ces solutons? c Détermner le centre de gravté de cette fgure orrecton Sot on développe brutalement en utlsant le bnôme de Newton, sot on calcule d abord 6 ( ), ce qu donne ( ) ( ) 8 Une autre possblté état de mettre + sous e forme trgonométrque : d où ( ) e 8e 8 a omme trouver + 6 ( ) 8, on a b D une manère générale l équaton racne ( ) 8 ( ) ( ) ( ) ( ) donc 6 De la même manère on peut écrre ( ) ( ) smplfer et trouver ) a La défnton de r donne : pour : ( ) est une soluton On peut développer et u a les deux solutons u ' e, sot avec : c be e e e et u, sot c l autre donc ( ) est une soluton de (E ) (on peut b e ; pus 6 b En utlsant la forme trgonométrque on a : b e 8e 8 et la même chose pour c 5 a b c : La rotaton de centre O d angle transforme en, en et en donc le trangle est équlatéral de centre O qu est donc son centre de gravté 9 alcul, ntlles 00 - pts On donne le nombre complexe a Exprmer ² sous forme algébrque b Exprmer ² sous forme exponentelle c En dédure sous forme exponentelle orrecton a ² ²( ) ( )( ) b ² e c ² ², arg( ²) [ ] arg( ) [ ] arg( ) [ ] e 8 Nombres omplexes corrgés 7 TOUTI touatamn@yahoofr

18 Sur [ ; [, on aurat sot e 8, sot e e Le sgne de la parte réelle et de la parte magnare de donné dans l énoncé nous donne 0 ème degré, tr équlatéral, m du Nord 00 P On consdère le polynôme P défn par : alculer P et P 7 8 e pus montrer qu l exste un polynôme Q du second degré à coeffcents réels, que l on détermnera, tel que, pour tout, on at P Q Résoudre dans l équaton P() = 0 Placer dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal ( O ; u, v ), les ponts,,, D d affxes respectves,, et D, pus montrer que ces quatre ponts appartennent à un même cercle On note E le symétrque de D par rapport à O Montrer que e pus détermner la nature E du trangle E orrecton P , P P a b a a b a b donc a 6 et b, sot 6 P 6 : ,, P() = 0 a pour racnes et ans que et omme et d un côté, et D de l autre sont symétrques par rapport à l axe ( O, u, les trangles et D ont mêmes cercles crconscrts, ls appartennent donc au même cercle E, le symétrque de D par rapport à O a pour affxe D e E Le trangle E est donc équlatéral nd degré et barycentre, France 00-5 pts Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O ; u, v ) (unté graphque cm) Résoudre dans l équaton On consdère les ponts et qu ont pour affxes respectves les nombres complexes a et b a Ecrre a et b sous forme exponentelle b alculer les dstances O, O, En dédure la nature du trangle O On désgne par le pont d affxe c et par D son mage par la rotaton de centre O et d angle Détermner l affxe du pont D On appelle G le barycentre des tros ponts pondérés (O ; ), (D ; +), ( ; +) a Justfer l exstence de G et montrer que ce pont a pour affxe g 6 b Placer les ponts,,, D et G sur une fgure c Montrer que les ponts, D et G sont algnés Nombres omplexes corrgés 8 TOUTI touatamn@yahoofr

19 d Démontrer que le quadrlatère OGD est un parallélogramme orrecton : (8 ) d où ou a a 8 8e 6 et b b e b Il est mmédat que O O 8 ; b a 8 8 O est équlatéral 5 r: ' e d e ( ) e e e 6 e 6 (on peut le fare évdemment en utlsant les coordonnées cartésennes) a G : barycentre de (O ; ), (D ; +), ( ; +) exste car la somme des coeffcents n est pas nulle Son affxe est G ( O D ) d b 6 b Il faut évdemment utlser les formes trgo G D O c, D et G sont algnés : D a pour affxe d c ( ) et DG a pour affxe g d 6 ( d c) donc DG D d ppelons K le mleu de [D], alors G est le barycentre de (O ; ), (K ; ) d où OG OK OG OK, donc K est le mleu de [OG] Mêmes mleux donc parallélogramme ème degré, losange, N alédone 00 On consdère le polynôme P de la varable complexe, défn par : P( ) 7 7 a Détermner le nombre réel y tel que y sot soluton de l équaton P() = 0 b Trouver deux nombres réels a et b tels que, pour tout nombre complexe, on at P( ) a b Nombres omplexes corrgés 9 TOUTI touatamn@yahoofr

20 c Résoudre dans l ensemble des nombres complexes, l équaton P() = 0 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O ; u, v ) On prendra cm pour unté graphque a Placer les ponts, et I d affxes respectves = ; = 7 5 et b Détermner l affxe de l mage du pont I par la rotaton de centre O et d angle c Placer le pont d affxe = + Détermner l affxe du pont N tel que N sot un parallélogramme d Placer le pont D d affxe D = + I alculer Z sous forme algébrque pus sous forme trgonométrque Justfer que les drotes D () et (D) sont perpendculares et en dédure la nature du quadrlatère D orrecton a y soluton de l équaton P() = 0, sot P y 0, sot y y 7 y 7 0 y y y y 7y 7 0 ec donne le système y y 0 y y y qu ne convent pas dans la seconde lgne et y qu convent b P( ) a b 7 c P() = 0 : 7 0, d où les racnes b ' e I 95 95,, ; la premère lgne donne comme solutons y 0 c N est un parallélogramme s N d alculer N Z e D On a donc D, donc les drotes () et (D) sont perpendculares ; comme D est un parallélogramme, c est un losange Système, Losange et rotaton, Polynése 00 Parte et sont des nombres complexes ; résoudre le système d équatons suvant Dans le plan complexe mun d un repère orthonormé drect de centre O, d unté graphque cm, on consdère les ponts et d affxes respectves : et Donner les écrtures de et sous forme exponentelle Placer les ponts et alculer module et argument de En dédure la nature du trangle O et une mesure de l angle O, O Détermner l affxe du pont tel que O sot un losange Placer alculer l are du trangle en cm Parte Nombres omplexes corrgés 0 TOUTI touatamn@yahoofr

21 Sot f la transformaton qu à tout pont M d affxe assoce le pont M d affxe telle que ' e 6 Défnr cette transformaton et donner ses éléments caractérstques Quelles sont, sous forme exponentelle, les affxes de, et mages par f de, et? Quelle est l are du trangle en cm? orrecton Parte e et e e e e donc module et argument 6 e Le trangle O est socèle en O pusque On dot avor O L are du trangle est : et O O, arg 6, sot Z O O O, u=0 sot 6 cm O I Parte ' e 6 : rotaton de centre O, d angle 6 e ', ', ' 6 L are du trangle est évdemment la même que celle de Nombres omplexes corrgés TOUTI touatamn@yahoofr

22 nd degré On consdère dans l équaton du second degré Z² + Z + = 0 Résoudre cette équaton On note les solutons et, la parte magnare de étant postve Vérfer que Mettre et sous forme trgonométrque Indquer sur quel cercle de centre O sont stués les ponts M et M d affxes respectves et Placer alors ces ponts avec précson dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal d unté graphque cm orrecton Une équaton ultra-classque qu donne les racnes e e e et e Déjà fat Les ponts en queston forment un trangle équlatéral avec le pont d affxe sur le cercle trgo 5 nd degré On désgne par P le plan complexe Unté graphque : cm Résoudre l équaton d nconnue complexe : 0 On notera la soluton dont la parte magnare est postve et l autre Donner le module et l argument de chacun des nombres,,, Ecrre sous forme algébrque et On consdère dans le plan les ponts ( ), ( ), ( ) et D( ) a Représenter les ponts,, et D dans le plan P Quelle est la nature du quadrlatère D? b Montrer que les ponts O, et D d une part et les ponts O, et d autre part sont algnés Quel est le pont d ntersecton des dagonales de D? c Quelles sont les affxes des vecteurs et? Montrer que les drotes et sont perpendculares orrecton 0 : les racnes sont et, dont le module est et l argument / et / Pour les carrés on a e e et a omme on pouvat s y attendre (enfn, des fos c est dfférent ) les résultats du se retrouvent comme affxes des ponts du On fat la fgure : D est un trapèe socèle (les drotes () et (D) sont vertcales donc parallèles ; les ponts et étant conjugués sont symétrques par rapport à (Ox), même chose pour et D b vec les arguments c est mmédat, snon on utlse les vecteurs : O ( ) O La symétre par rapport à l axe réel montre que les dagonales se coupent en O c D et On peut fare le produt scalare : D est bon - D O Nombres omplexes corrgés TOUTI touatamn@yahoofr

23 6 Polynôme Développer ( ) Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l' équaton Résoudre dans l'ensemble des complexes les équatons pus Sot P() le polynôme de la varable complexe défn par Vérfer que pour tout non nul, on a En dédure les solutons de l'équaton P() = 0 orrecton ( ) P( ) ( ) ( ) ( ) P ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 : ( ) ( ) d où et () : 0, sot (): 0 sot ; ' ', " ", P( ) ( ) ( ) ( ) ; on développe ( ) ( ) ( ), on met au même dénomnateur et on smplfe : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ok! En fasant le changement de varable Z on a l équaton Z ( ) Z 0 qu a donc les solutons Z, Z Il reste à revenr sur, ce qu donne les deux équatons du et donc les quatre solutons ' ' " ",,, 7 Interprétaton géométrque Le plan complexe est mun d un repère orthonormal drect ( O ; u, v ) (unté graphque cm) Sot I le pont d affxe On note le cercle de damètre [OI] et on nomme son centre Parte On pose ao et on note 0 son mage Montrer que le pont 0 appartent au cercle Sot le pont d affxe b, avec b, et le pont d affxe b telle que b' a0 b a alculer b b Démontrer que le trangle O est rectangle en Parte Sot a un nombre complexe non nul et dfférent de, et son mage dans le plan complexe tout pont M d affxe non nulle, on assoce le pont M d affxe telle que ' a On se propose de détermner l ensemble des ponts tels que le trangle OMM sot rectangle en M' Nombres omplexes corrgés TOUTI touatamn@yahoofr

24 a Interpréter géométrquement arg( ) a a Montrer que ( M ' O ; M ' M) arg( ) k (où k ) a En dédure que le trangle OMM est rectangle en M s et seulement s appartent au cercle prvé de O et I orrecton Parte a pour affxe / et a pour rayon / ; on calcule 0 donc 0 est sur a b' a0 b ( ) b vec l argument : on calcule b b' / / ( )( ) ' O, ' arg arg arg arg arg 0 b' / / 0 On pouvat auss fare Pythagore Parte a arg( ) O, I a pusque le vecteur I a pour affxe a et O a pour affxe a ' a a a ( M ' O ; M ' M) arg( ) k arg( ) k arg( ) k arg( ) k 0 ' a a a OMM est rectangle en M s ( ' ; ' ) arg( ), ( ), c est-à-dre a lorsque le trangle OI est rectangle en dot donc être sur le cercle de damètre [OI] On enlève les a ponts O et I snon l écrture arg( ) O, I n a pas de sens a 8 Interp géom, m Nord 06/008, 5 pts a M O M M, sot lorsque O I Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O ; u, v ) d unté graphque : cm On consdère le pont d affxe et le cercle ( ) de centre et de rayon Fare une fgure qu sera complétée tout au long de l exercce a Détermner les affxes des ponts d ntersecton de ( ) et de l axe ( O ; u ) b On désgne par et les ponts d affxes respectves et Détermner l affxe D du pont D damétralement opposé au pont sur le cercle ( ) Sot M le pont d affxe a alculer le nombre complexe D b Interpréter géométrquement un argument du nombre appartent au cercle ( ) M M D M M ; en dédure que le pont M On note ( ) le cercle de damètre [] La drote (M) recoupe le cercle ( ) en un pont N a Montrer que les drotes (DM) et (N) sont parallèles b Détermner l affxe du pont N 5 On désgne par M l mage du pont M par la rotaton de centre et d angle a Détermner l affxe du pont M b Montrer que le pont M appartent au cercle ( ) orrecton Nombres omplexes corrgés TOUTI touatamn@yahoofr

25 y D M v N O x a a une équaton de la forme x y x x M x ; y O ; u ou y0 y0 y 0 y 0 x y x Par conséquent, les affxes des ponts d ntersecton de et de l axe O ; b D est damétralement opposé à sur donc D D D a pour affxe a u sont respectvement et, d où D, sot 6 6 D M D M, d où 6 M 0 M b Un argument de D M, MD arg k k M M est une mesure de l angle M, MD ; le trangle MD est rectangle en M ; M appartent alors au cercle de damètre D, le pont M appartent au cercle a omme N appartent au cercle, le trangle N est rectangle en N, les drotes N et M sont donc orthogonales De plus les drotes MD et M sont orthogonales d après la queston précédente Par conséquent, les drotes N et MD, orthogonales à la même drote, sont parallèles entre elles Nombres omplexes corrgés 5 TOUTI touatamn@yahoofr

26 b Dans le trangle MD les drotes N et MD sont parallèles et est le mleu de le théorème des mleux la drote N coupe le segment M, N 6 M a L écrture complexe de la rotaton de centre et d angle D ; d après M en son mleu Donc N est le mleu de e, c est-à-dre est : 6 lors M b M M Le trangle M est rectangle en M et est nscrt dans le cercle de damètre Par conséquent, le pont M appartent au cercle 9 Homographe+RO, m Nord pts Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal drect ( O ; u, v ) (unté graphque cm), on consdère les ponts, et d affxes respectves, et Parte a Donner la forme exponentelle de pus de b Placer les ponts,, et Détermner la nature du quadrlatère O Détermner et construre l ensemble des ponts M du plan tels que Parte tout pont M d affxe tel que a Résoudre dans l équaton, on assoce le pont M d affxe défn par b En dédure les ponts assocés aux ponts et c Détermner et placer le pont G assocé au centre de gravté G du trangle O a Queston de cours Prérequs : le module d un nombre complexe, noté, vérfe Démontrer que : * pour tous nombres complexes et, ; * pour tous nombres complexes non nul, b Démontrer que pour tout nombre complexe dstnct de, ' où est le conjugué de c On suppose dans cette queston que M est un pont quelconque de, où est l ensemble défn à la queston de la parte Démontrer que le pont M assocé à M appartent à un cercle dont on précsera le centre et le rayon Tracer orrecton a e ; e Quadrlatère O : l s agt d un losange est la médatrce de [O] : OM M Nombres omplexes corrgés 6 TOUTI touatamn@yahoofr

27 0 a b On a donc = et = c G a pour affxe a Queston de cours On utlse 0, donc G a pour affxe 9 ans que les proprétés de * ; * omme b, on a : c On a et centre, de rayon 0 Homographe donc Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( O ; u, v ) On appelle, et les ponts d affxes respectves = + et = et donc M appartent au cercle de Sot f l applcaton du plan prvé de dans le plan qu, à tout pont M d affxe dstncte de, assoce le pont M d affxe défne par : ' Factorser ² en remarquant que = en est une soluton, pus résoudre l équaton (E) : ² = 0 Détermner les affxes des ponts nvarants par f (Un pont est nvarant lorsque = ) Détermner l ensemble des ponts M tels que M appartenne au cercle de centre O de rayon En posant = x + y, détermner Im( ) en foncton de x et y En dédure l ensemble des ponts M tels que M appartenne à l axe des abscsses 5 a Montrer que pour tout dfférent de + on a l équvalence suvante : 5 ( )( ) b En dédure l ensemble des ponts M tels que M at une affxe magnare pure (on peut répondre à la queston b en admettant le résultat de la queston a) orrecton On remplace par, sot 0 Ok = est soluton de (E) donc on factorse par ( ) et on obtent ( )( ) M() est nvarant, s et seulement s : ( ) ² ² 0 ou Les ponts M () et M () sont nvarants par f Dre que M appartent au cercle de centre 0 et de rayon est équvalent à écrre ' ' M M Nombres omplexes corrgés 7 TOUTI touatamn@yahoofr

28 car ( ) M et ( ) M ela revent donc à chercher l ensemble des ponts M tels que M = M, ce sont les ponts équdstants de et de, c'est-à-dre la médatrce du segment [] x y x y ( x y)( x ( y )) ' x y x ( y ) ( x )² ( y )² x² x x( y ) x ( y ) xy y y( y ) ( x)² ( y )² x² x x y( y ) x( y ) ( y ) xy y ( x )² ( y )² ( x )² ( y )² Sot pour la parte magnare : x( y ) ( y ) xy y xy x y 6 xy y x y 6 ( x )² ( y )² ( x )² ( y )² ( x )² ( y )² M appartent à l axe des abscsses, s et seulement s la parte magnare de est nulle, c'est-à-dre x y 6 0 (avec (x ; y) ( ; ) ), ou encore M appartent à la drote d équaton yx 6 prvée du pont de coordonnées ( ; ) 5 a vant de commencer le calcul, l est mpératf de se famlarser avec les valeurs et et ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) Rasonnons avec le deuxème membre de l équvalence de départ : 5 5 ( )( ) ( )( ) Il ne reste à montrer que 5 : on peut calculer d où l égalté : b On remarque que ' et donc que 5 ' ' ' ' ' 0 x' 0 En effet, s = x + y, alors ' ' x' y' x' y' x' L équvalence devent donc : 5 est un magnare pur équvaut à ( )( ), autrement dt M M M M M Nombres omplexes corrgés 8 TOUTI touatamn@yahoofr

29 M appartent donc au cercle de centre de rayon 5 (prvé de ) En effet Homographe, Polynése 006 Le plan complexe est mun du repère orthonormal drect ( O ; u, v ) ; unté graphque cm On appelle et les ponts du plan d affxes respectves a = et b = On consdère l applcaton f qu, à tout pont M dfférent du pont, d affxe, fat correspondre le pont M d affxe défne par On fera une fgure qu sera complétée tout au long de cet exercce Détermner les ponts nvarants de f c est-à-dre les ponts M tels que M = f(m) a Montrer que, pour tout nombre complexe dfférent de, b En dédure une relaton entre et, pus entre arg ( ) et arg ( + ), pour tout nombre complexe dfférent de Tradure ces deux relatons en termes de dstances et d angles Montrer que s M appartent au cercle () de centre et de rayon, alors M appartent au cercle ( ) de centre et de rayon Sot le pont P d affxe p a Détermner la forme exponentelle de (p +) b Montrer que le pont P appartent au cercle () c Sot Q le pont d affxe q p où p est le conjugué de p Montrer que les ponts, P et Q sont algnés d En utlsant les questons précédentes, proposer une constructon de l mage P du pont P par l applcaton f orrecton M=f(M), sot (0;) et (0;-) ou Il y a donc deux ponts nvarants : pour tout nombre dfférent de - a b En passant la relaton précédente au module, on a : en passant à l argument : arg arg arg arg arg c ec se tradut par : M M u M u M et ; ; ; de même S M appartent au cercle () de centre et de rayon, alors M d où M (d après M la queston c)) donc M ' donc M appartent au cercle ( ) de centre et de rayon a p e b On a p car e donc P appartent au cercle () (on se sert du a évdemment) q p q ; par alleurs comme P appartent au cercle () donc c son mage P appartent au cercle ( ) d après la queston (ou encore P' ) Nombres omplexes corrgés 9 TOUTI touatamn@yahoofr

30 D autre part : u ; P u ; P et q et P ; donc p' q P Q On a donc p p' d Pour ceux qu ont cherché le rapport de proportonnalté entre les deux vecteurs (avec la méthode cdessus ou une autre) on peut dre que P est le mleu de [Q] Il faut placer P, Q et P sur le dessn avec les pontllés explcatfs omplément : D une façon plus générale, en partant d un pont P sur le cercle (), pour construre son mage P on commencera par fare le symétrque de P par rapport à l axe des ordonnées (le pont Q) ; Le pont Q se construt en deux étapes : d abord P symétrque de P par rapport à l axe des abscsses pour le conjugué, pus Q symétrque de P par rapport à l orgne pour fare l opposé) ou drectement symétrque par rapport à (Oy) Pus on placera P sur le cercle ( ) à l ntersecton avec le segment [Q] Il faudrat fare la démonstraton dans le cas général (cas général de P sur le cercle ()) pour le rapport de proportonnalté et vérfer qu l est toujours postf snon le pont P serat le deuxème pont d ntersecton de la drote (Q) et de ( ) Transf nd degré, France 06/008 5 pts Le plan est mun d'un repère orthonormal drect ( O ; u, v ) (unté graphque : cm) Soent, et I les ponts d'affxes respectves +, et À tout pont M d'afïïxe, on assoce le pont M d'affxe telle que ' Le pont M est appelé l'mage de M Fare une fgure sur une feulle de paper mllmétré et compléter cette fgure tout au long de l'exercce alculer les affxes des ponts et, mages respectves des ponts et Que remarque-t-on? Détermner les ponts qu ont pour mage le pont d'affxe 5 a Vérfer que pour tout nombre complexe, on a : ' b En dédure une relaton entre ' et et, lorsque est dfférent de, une relaton entre et arg arg ' c Que peut-on dre du pont M lorsque M décrt le cercle () de centre I et de rayon? e Nombres omplexes corrgés 0 TOUTI touatamn@yahoofr

31 e 5 Soent E le pont d'affxe, J le pont d'affxe et E l'mage de E a alculer la dstance IE et une mesure en radans de l'angle u, IE b alculer la dstance JE et une mesure en radans de l'angle u, JE ' c onstrure à la règle et au compas le pont E ; on lassera apparents les trats de constructon orrecton La fgure est lassée au lecteur ', ', les ponts et sont confondus ,, a ' b ', arg ' arg c Lorsque M décrt le cercle () de centre I et de rayon, on a ', le pont M parcourt le cercle ( ) de centre J le pont d'affxe et de rayon 5 IE e e donc E est sur () et E est sur ( ) u, IE arg e u, JE' u, IE c La fgure est lassée au lecteur faut pas charrer Transf nd degré, N alédone 00-5 pts Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal drect ( O ; u, v ), on consdère l applcaton f du plan dans lu-même qu, à tout pont M d affxe assoce le pont M d affxe telle que : ' Soent et les ponts d affxes et a alculer les affxes des ponts et mages des ponts et par f b On suppose que deux ponts ont la même mage par f Démontrer qu ls sont confondus ou que l un est l mage de l autre par une symétre centrale que l on précsera Sot I le pont d affxe a Démontrer que OMIM est un parallélogramme s et seulement s b Résoudre l équaton 0 a Exprmer ' en foncton de arg( ' ) et arg( ) 0 En dédure une relaton entre ' et pus entre b On consdère les ponts J et K d affxes respectves J et K Démontrer que tous les ponts M du cercle () de centre J et de rayon ont leur mage M sur un cercle que l on détermnera c Sot E le pont d affxe E Donner la forme trgonométrque de E et démontrer à l ade du a qu l exste deux ponts dont l mage par f est le pont E Précser sous forme algébrque les affxes de ces deux ponts orrecton a ' ( ) ( ) et ' 9 6 b appelons u et v les affxes des ponts U et V en queston : u' u u et v' v v ; leurs mages sont dentques s u' v' u u v v u v u v 0 ( u v)( u v) ( u v) 0 ( u v)( u v ) 0 Nombres omplexes corrgés TOUTI touatamn@yahoofr

32 u v On a donc sot u v, sot u v, et dans ce cas le mleu de [UV] a pour affxe et l un est l mage de l autre par la symétre de centre a I( ) OMIM est un parallélogramme s et seulement s b OM M ' I 0 ' ' : 9 d où, ' ' ( ) arg( ' ) arg( ) k a b Sot M un pont du cercle () de centre J() et de rayon, son affxe est telle que, et son mage M est telle que ' d où M est sur le cercle de centre K( ), de rayon c e ; s E est l mage d un pont, on a E arg( E ) arg( ) k arg( ) k arg( ) k Sur le cercle trgo l y a donc deux arguments possbles, modules : et oncluson on a E Il reste à trouver les e ou e, sot e ou e Smltude, Lban ponts Le plan complexe est mun d un repère orthonormé drect ( O ; u, v ) On prendra cm pour unté graphque Sot le pont d affxe et le pont d affxe a Détermner l affxe du pont mage de par l homothéte de centre et de rapport b Détermner l affxe du pont mage de par la rotaton de centre et d angle Placer les ponts, et On appelle f la transformaton du plan dans lu-même qu, à tout pont M d affxe, assoce le pont M d affxe tel que = ( + ) + a Montrer que a pour mage par f b Montrer que est le seul pont nvarant par f ' c Établr que pour tout nombre complexe dstnct de, Interpréter ce résultat en termes de dstances pus en termes d angles En dédure une méthode de constructon de M à partr de M, pour M dstnct de a Donner la nature et précser les éléments caractérstques de l ensemble des ponts M du plan dont l affxe vérfe b Démontrer que = ( + )( ) En dédure que s le pont M appartent à, alors son mage M par f appartent à un cercle, dont on précsera le centre et le rayon c Tracer et sur lamême fgure que, et orrecton a : '/ ' ' h (, ) b : ' ''/ '' ' '' ' r(, / ) e e ' e, sot Nombres omplexes corrgés TOUTI touatamn@yahoofr

33 ' Remarque : s on développe dès le début, les calculs sont vrament très lads a ' b 0 donc est le seul pont nvarant par f ' c On a donc avec les vecteurs MM ' d affxe ' et M d affxe MM ' : MM ' M M et arg M, MM ' arg Pour un pont M quelconque on trace le cercle de centre M, de rayon M pus la perpendculare à (M) passant par M qu va couper le cercle précédent en un seul pont M pour lequel l angle drot sera négatf a caractérse le cercle de centre, de rayon b On vérfe par le calcul : ' Donc lorsque, on a ' ' donc M appartent au cercle de centre, de rayon c La fgure est lassée au lecteur, le correcteur est fatgué 5 Transformatons Sot P le plan complexe rapporté à un repère orthonormé ( O ;, j ) (unté graphque : cm) Pour tout complexe on consdère dans P les ponts M d affxe, N d affxe et Q d affxe Détermner les nombres complexes pour lesquels deux au mons de ces tros ponts, M, N et Q sont confondus Dans ce qu sut on supposera M, N et Q deux à deux dstncts Exprmer les dstances MN et MQ en foncton de Détermner et construre dans P l ensemble E des ponts M tels que MN = MQ Montrer que l angle ( MN, MQ ) a pour mesure un argument de + Détermner et construre l ensemble F des ponts M tels que le trangle MNQ sot rectangle en M Dans cette queston = alculer les affxes de N et Q et construre le trangle MNQ dans le plan P Que peut on constater? Explquer ce résultat à partr des questons et orrecton M, N confondus : confondus : MN, 0, ; M, Q confondus : 0,, ; N, Q 0, Deux des ponts sont confondus lorsque = 0, ou MQ ; MN MQ Il s agt du cercle de centre le pont d affxe, de rayon ( )( ) ( MN, MQ) arg arg arg( ) ( ) MNQ est rectangle en M ss ( MN, MQ) arg( ) x 0 x : l s agt de la drote vertcale passant par = : ; ( ) Le trangle MNQ est rectangle socèle : socèle car et rectangle car Re( ) 6 Rotaton-homothéte, m Nord pts Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O ; u, v ) (unté graphque cm) Nombres omplexes corrgés TOUTI touatamn@yahoofr

34 Sot le pont d affxe et le pont d affxe 5 6 e Sot r la rotaton de centre O et d angle On appelle l mage de par r a Détermner une écrture complexe de r b Montrer que l affxe de est e 6 c Ecrre et sous forme algébrque d Placer les ponts, et Sot D le barycentre des ponts, et affectés respectvement des coeffcents, et a Montrer que l affxe de D est D Placer le pont D b Montrer que,, et D sont sur un même cercle Sot h l homothéte de centre et de rapport On appelle E l mage de D par h a Détermner une écrture complexe de h b Montrer que l affxe de E est E Placer le pont E a alculer le rapport D E b En dédure la nature du trangle DE orrecton a b c ; 5 6 e r: ' e e e e e 5 On écrra le résultat sous forme exponentelle 6 e ; 6 e d Fgure c-dessous a D b Tous ces ponts sont sur le cercle trgonométrque car leur module est h: '/ ' ' a b a E D e E b Le trangle DE est équlatéral : D E et E, D Nombres omplexes corrgés TOUTI touatamn@yahoofr