Cours de béton armé 14: Flambement

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1 Cours de béton armé 14: Flambement BAC3 - Helmo -Gramme 1 Dr Ir P. Boeraeve - Unité 9 Construction

2 Effet du second ordre = Effets induits par la déformation de la structure Compression centrée d une colonne idéale «parfaitement droite» Pas d effet du second ordre 2

3 Effet du second ordre Compression centrée d un élément élancé «réel» 3

4 Effet du second ordre Prise en compte des effets du 2 nd ordre M Ed = M 0Ed + M 2 où : M 0Ed est le moment du premier ordre, compte tenu de l'effet des imperfections : EC2 6.1(4) excentricité minimale: e 0 = max(h/30;20 mm), h étant la hauteur de la section EC2 5.2 (9) voiles et poteaux isolés dans les structures contreventées : excentricité additionnelle e i = l 0 /400 pour couvrir les imperfections liées aux tolérances normales d'exécution. 4

5 Exemple Béton C25/30, enrobage 25mm Colonne 30cmx30cm avec 4Φ16 dans les coins, étriers Φ6. h=4m, bi-articulée N ED = 1000 kn AXIAL COMPRESSION, N, kn M min MOMENT Mx knm fcuAc 5 Excentricité minimale (20mm) Excentricité additionnelle e i = l 0 /400=1cm -> exc tot=30mm M 0ED = ,03= 30 kn.m

6 Effet du second ordre Prise en compte des effets du 2 nd ordre M Ed = M 0Ed + M 2 où : est le moment nominal du second ordre et vaut : M 2 M 2 = N Ed e 2 où : N Ed e 2 est l'effort normal agissant de calcul est la déformation de second ordre 6

7 Effet du second ordre Colonne infiniment rigide, effort excentré de e 0 7

8 Effet du second ordre Colonne élancée e 2 8

9 Effet du second ordre Non prise en compte des effets du 2 nd ordre si : λ = l 0 / i < λ lim où : l 0 est la longueur efficace de la colonne i est le rayon de giration de la section de béton non fissurée 9

10 Effet du second ordre Non prise en compte des effets du 2 nd ordre si : λ = l 0 / i < où : λ lim = 20 A B C / n A = 1 / (1+0,2ϕ ) ( ef si ϕ ef n'est pas connu, on peut prendre A = 0,7) B = (1 + 2ω) 0,5 (si ω n'est pas connu, on peut prendre B = 1,1) C = 1,7 - r m (si r m n'est pas connu, on peut prendre C = 0,7) ϕ ef coefficient de fluage effectif ω = A s f yd / (A c f cd ) (ratio mécanique d'armatures ) A s est l'aire totale de la section des armatures longitudinales n = N Ed / (A c f cd ); effort normal relatif r m = M 01 /M 02 ; rapport des moments M 01, M 02 sont les moments d'extrémité du premier ordre, M 02 M 01 10

11 Exemple Béton C25/30, enrobage 25mm Colonne 30cmx30cm avec 4Φ16 dans les coins, étriers Φ6. h=4m, bi-articulée, pas de prise en compte du fluage N ED = 1000 kn l 0 = 400 cm I bh 3 /12 h i = 8.66 cm A = bh = 12 = λ = l / i =

12 Exemple Non prise en compte des effets du 2 nd ordre si : λ = l 0 / i = 46.2 < où : λ lim = 20 A B C / n A = 1 (ϕ ef =0 pas de prise en compte du fluage) B = (1 + 2ω) 0,5 =1.24 C = 1,7 - r m = 0.7 ω = A s f yd / (A c f cd ) = n = N Ed / (A c f cd ) = 10 6 /(300x300x14.17)=0.78 r m = M 01 /M 02 = 1 λ lim = 20 A B C / n =15.82 prise en compte des effets du 2nd ordre 12

13 Longueur de flambement : l o Structures contreventées (Braced) Structures non contreventées (Unbraced) 13

14 Longueur de flambement : l o Structures contreventées Structures non contreventées 14

15 Effet du second ordre Prise en compte des effets du 2 nd ordre M Ed = M 0Ed + N Ed e 2 où : N Ed est l'effort normal agissant de calcul e 2 est la déformation de second ordre e 2 = (1/c). (1/r) l o 2 15

16 Effet du second ordre Prise en compte des effets du 2 nd ordre e 2 = (1/c). (1/r) l o 2 2 d y dx 1/r est la courbure, mais la courbure n est pas constante sur la hauteur de la colonne. 2 = χ = 1 r Variation de la courbure sur la hauteur 1/c 1/10 (EC2) 1/r = K r K ϕ 1/r 0 16

17 Calcul de la courbure 1/r Que vaut la courbure en ce point du diagramme d interaction? 17

18 Calcul de la courbure 1/r Que vaut la courbure en ce point du diagramme d interaction? 1 r bal = ( f / E ) / d 1 l ' EC2 prend : = ε yd /(0.45 d) r 0 yd s 18

19 Calcul de la courbure 1/r 1/r trouvé par interpolation 19

20 Exemple Béton C25/30, enrobage 25mm Colonne 30cmx30cm avec 4Φ16 dans les coins, étriers Φ6. h=4m, bi-articulée, sans fluage N ED = 1000 kn Calc effet 2nd ordre 1/rbal 1.851E-05 mm-1 Kφ 1 Kr /r 1.005E-05 mm-1 e mm M knm Mtot knm 20

21 Fluage Charges quasi-permanentes Charges permanentes Ψ 2 x Charges variables 21

22 Fluage E c,eff = E cm (t 0 ) / (1 + φ(t,t 0 )) -t 0 est l'instant initial du chargement -t est l'instant considéré du calcul -E cm (t 0 ) le module d'young au moment du chargement -φ(t,t 0 ) le coefficient de fluage à la référence de 28 jours 22

23 Fluage A 1 ère étape : choisir t 0 instant initial du chargement A 23

24 Fluage A 2 ème étape : tracer droite par 0 et A 24

25 Fluage A 25 3 ème étape : calculer h0 et rechercher φ(,t 0 ) h 0 = rayon moyen = 2Ac /u

26 Fluage A 26 3 ème étape : calculer h 0 et rechercher φ(,t 0 ) Colonne 30cmx30cm h 0 = 2x30x30/(4x30)=15cm φ(,t 0 )=2.8

27 Fluage Colonne 30cmx30cm h 0 = 2x30x30/(4x30)=15cm φ(,t 0 )=2.8 et on a : ϕ ef = ϕ (,t 0 ) M 0Eqp / M 0Ed donnée ho ϕ (,t 0 ) mm M0Eqp= knm M0ED= 30 knm φef=

28 Fluage A XIA L C OMPR ES SION, N, kn Prise en compte du fluage effets du second ordre encore plus forts M min fcuAc selon EC nu n nbal 0.4 Kr Kφ /r= E-05 e2= mm M2 Mtot= knm knm MOMENT Mx knm 42.0 Au lieu de Mtot=50.7 knm, sans fluage

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