Crédibilité linéaire bivariée utilisant le nombre de périodes avec réclamations : modèles de Poisson, modèles à barrière et modèles gonflés à zéro

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1 ARICLES ACADÉMIQUES ACADEMIC ARICLES Assurnces e geson des rsques, vol. 75(4), jnver 008, Insurnce nd Rsk Mngemen, vol. 75(4), Jnury 008, Crédblé lnére bvrée ulsn le nombre de pérodes vec réclmons : modèles de Posson, modèles à brrère e modèles gonflés à zéro pr Jen-Phlppe Boucher e Mchel Denu résumé Dns cernes suons, l es ben connu que l crédblé lnére unvrée es rop resrcve e ne modélse ps ben les prmes prédcves. Récemmen, Boucher, Denu e Gullén (006, 006b) on proposé dverses générlsons du modèle de Posson gonflé à zéro e du modèle à brrère. Pour ces modèles, les ueurs on monré que l dsrbuon prédcve du nombre de réclmons nnuelles ne dépend ps seulemen du nombre de réclmons pssées, ms uss du nombre de pérodes u cours desquelles l ssuré f une réclmon. Nous ulsons l héore de l crédblé bvrée fn d esmer l prme fuure en foncon de pluseurs prédceurs fn de comprer l jusemen des prmes de crédblé lnére bvrées ux prmes exces des nouveux modèles. Nous monrons que l jusemen pour les modèles gonflés à zéro es ssfsn lors que celu des modèles à brrère génère des erreurs d pproxmon mjeures, probblemen dues u f que le modèle de crédblé lnére clssque néglge l dépendnce des effes léores. Mos clés : Nombre de réclmons, données de pnel, modèle gonflé à zéro, modèle à brrère, crédblé lnére bvrée. Les ueurs : Jen-Phlppe Boucher es professeur u Dépremen de Mhémques, Unversé du Québec à Monrél, 0, venue du Présden-Kennedy, Monrél, Québec, Cnd, HX 3Y7. Courrel : boucher.jen-phlppe@uqm.c Mchel Denu es professeur à l Insu des Scences Acurelles, Unversé Cholque de Louvn, 6 rue des Wllons, B-348, Louvn-l-Neuve, Belgque. Courrel : mchel.denu@uclouvn.be 487

2 bsrc In some suons, s well-known h he lner credbly pproxmon s oo resrcve nd does no model correcly predcve premums. Recenly, Boucher, Denu nd Gullén (006, 006b) proposed vrous generlsons of he zeronfled Posson nd he hurdle dsrbuons. For hese models, he uhors showed h he predcve premum do no depend exclusvely on he number of ps clms, bu lso on he number of nsured perods wh les one clm. We use he bvre lner credbly heory o esme he fuure premums bsed on hese wo sscs, nd compre he pproxmon wh he exc resul usng Byesn heory. We show h he pproxmons for he zero-nfled models re ssfyng. However, we lso show h he pproxmons of he hurdle dsrbuons cuse mjor errors. We expln hese resuls by showng h he lner credbly premums do no suppose dependence beween rndom effecs of he models. Keywords: Clms number, pnel d, zero-nfled models, hurdle models, bvre lner credbly.. Inroducon Pluseurs crcérsques d un ssuré ne peuven ps êre ulsées dns l rfcon, so prce qu elles ne son ps mesurbles, so prce qu elles son dffclemen jusfbles soclemen. Nénmons, cernes de ces vrbles on un mpc sur l fréquence de réclmons d un ssuré (nous n vons qu à penser à l gressvé u voln, ux réflexes, u slre nnuel ou à l fréquence de condue sous l effe de l lcool...). Afn de modélser ces crcérsques nconnues de chque ssuré, l modélson byésenne emprque es une lernve néressne. En effe, un erme léore joué à l dsrbuon de fréquence de snsres peu ns êre ms à jour nnuellemen selon l expérence de réclmon de l ssuré. L nlyse poseror de ce erme léore perme d juser l prme nnuelle de l ssuré, réveln ns prellemen l effe des crcérsques non observées sur l fréquence de réclmons. Hbuellemen, pour modélser le nombre de réclmons rpporées à l ssureur, les cures on endnce à ulser l lo de Posson, couplée à une dsrbuon gmm pour modélser l effe léore. Récemmen, fn de rvller vec des données de pnel, Boucher, Denu e Gullén (006b) on proposé dverses générlsons du modèle de Posson gonflé à zéro (zero-nfled Posson model) lors que Boucher, Denu e Gullén (006) on générlsé de dverses fçons un modèle à brrère (hurdle model). Pour le modèle gonflé à zéro, un seul fceur d héérogénéé éé joué à l dsrbuon lors que pour le modèle à brrère, deux effes léores on éé joués pour chque processus de l dsrbuon. 488 Assurnces e geson des rsques, vol. 75(4), jnver 008

3 Prce qu l rrve fréquemmen que le développemen des dsrbuons poseror e prédcves soen complexes, les cures ulsen l héore de l crédblé lnére pour esmer les prmes prédcves. Pusque pour ces nouveux modèles, l dsrbuon prédcve du nombre de réclmons ne dépend ps seulemen du nombre de réclmons pssées, ms uss du nombre de pérodes u cours desquelles l ssuré f une réclmon, nous ulsons uss l héore de l crédblé bvrée fn d esmer l prme fuure en foncon de pluseurs prédceurs. Dns cernes suons, l es ben connu que l crédblé lnére unvrée es rop resrcve e ne modélse ps ben les prmes prédcves. En conséquence, le bu de ce pper es de comprer l jusemen des prmes de crédblé lnére bvrées vec les prmes exces. Nous monrons que l jusemen pour les modèles gonflés à zéro es ssfsn lors que celu des modèles à brrère génère des erreurs d pproxmon mjeures, probblemen dues u f que le modèle de crédblé lnére clssque néglge l dépendnce des effes léores. Ce rcle es consru de l mnère suvne. À l secon, nous effecuons une revue des modèles gonflés à zéro e des modèles à brrère pour données de pnel. Les propréés des modèles son explorées e dfférenes nerpréons des modèle son données dns le cs de dverses pplcons curelles. À l rosème secon, nous explorons les prmes prédcves des modèles ns que l héore de l crédblé lnére. Nous y développons l héore de l crédblé bvrée ulsn le nombre de pérodes d ssurnce vec réclmon comme prédceur. L secon suvne llusre nos résuls numérquemen en comprn les résuls obenus pr Boucher, Denu e Gullén (006, 006b) à ceux résuln de nos modèles de crédblé lnére. Alors que l dernère secon conclu, une nnexe en fn de pper développe plus en dél cerns résuls mhémques... Hypohèses e noons ou comme Donne e Vnsse (989, 99), nous exprmons les crcérsques des ssurés pr une foncon de score h(b 0 + x b), où b 0 représene l ordonnée à l orgne e b (b,..., b p ) es un veceur de prmères pour les vrbles explcves x (x,,..., x,p ). En effe, pusque l mjoré des compgnes d ssurnce rvllen vec des vrbles cégorelles, les crcérsques d un ssuré son exprmées pr des vrbles ndcrces prenn les vleurs 0 ou. Prce que l nlyse des prmes prédcves ulse un hsorque de pere, nous le noerons II, cr de nombreuses nformons peuven y êre emmgsnées. Cee noon représene oues les nfor- Crédblé lnére bvrée ulsn le nombre de pérodes vec réclmons 489

4 mons recuelles u emps, c es-à-dre n,,..., n,, le nombre de réclmons pssées e k,,..., k,, une vrble ndqun s un ssuré réclmé u mons une fos pendn l pérode d ssurnce. Noons uss l vrble K k, où, 0 0 peu êre vu comme le nombre de pérodes d ssurnce où ucune réclmon n éé effecuée. De même, N n, représene le nombre ol de réclmons pour l ssuré, du emps à. Les moyennes sur observons de ces deux vrbles se noen K K / e N N /. Condonnellemen à un effe lore θ, l moyenne de l vrble léore N, es exprmées comme m, (θ) E [N, θ], lors que l vleur espérée du nombre de snsres rpporés es noée pr m, E [E [N, θ]]. L générlson des modèles gonflés à zéro (Boucher, Denu e Gullén, 006) e des modèles à brrère (Boucher, Denu e Gullén, 006b) es bsée sur l hypohèse que les régresseurs x son ndépendns du emps, sgnfn ns qu ls son denques peu mpore l pérode d ssurnce. Comme ndqué dns les ppers où son présenées ces générlsons des modèles, cee hypohèse n es ps uss resrcve que cel peu lsser prîre. En effe, en prque, pluseurs crcérsques du rsque ne chngen ps dns le emps, cernes ures qu peuven chnger n évoluen ps de mnère léore lors que les chngemens mjeurs de crcérsques mènen fréquemmen le beson de créer une nouvelle polce. Afn de rvller vec les résuls obenus pr Boucher, Denu e Gullén (006, 006b), nous grdons cee hypohèse pour ce pper, ms une générlson de cee hypohèse es ssez drece, moyennn quelques pees rnsformons smples.. Modèles pour données de pnel Cee secon expose les 3 prncpux modèles éudés dns ce pper, ou en ndqun en quo ls se dfférencen e commen ls peuven êre nerpréés pour les données d ssurnce. Afn de fcler l lecure, les dfférens momens de ces modèles ne son ndqués qu en nnexe... Modèles de Posson Pour les données de pnel, l un des modèles de bse pour modélser des données de compge es l dsrbuon de Posson vec effes léores. Le fceur d héérogénéé θ joué u prmère de moyenne peu êre dsrbué selon une lo gmm générn une dsr- 490 Insurnce nd Rsk Mngemen, vol. 75(4), Jnury 008

5 buon jone fermée pour le nombre de réclmons pour les pérodes,...,. En effe, en supposn que le lo gmm es de moyenne e de vrnce, l dsrbuon peu êre exprmée comme (Husmn, Hll e Grlches, 984) Pr[ N n,..., N n ],,,, n, l n!, Γ( N + / ) / Γ( / ) l + / / N ( l + / ) (.) où, el que décr plus ô, les vrbles explcves son ncluses dns le modèle pr l foncon l exp (x b). Cee dsrbuon, qu es rès populre dns de nombreux domnes ssques (vor le chpre 36 de Johnson, Koz e Blkrshnn, 996, pour un résumé), es connue sous les noms bnomle négve bvrée (BNMV) ou mulnomle négve. À noer, évdemmen, que d ures dsrbuons peuven êre obenues en chosssn dfférenes dsrbuons des effes léores, les plus connues én l Posson-nverse gussenne ou l Posson-lognormle (vor Boucher e Denu, 006, pour une pplcon en ssurnce)... Modèles gonflés à zéro Prce qu l exse un grnd nombre de vleurs à zéro dns l nlyse du nombre de réclmons à l ssureur, Boucher, Denu e Gullén (006b) on eu l dée de générlser le modèle de Posson gonflé à zéro (Zero-Infled Posson) pour données de pnel. Les ueurs on ré le erme supplémenre à zéro φ de mnère déermnse, ou en consdérn un erme d héérogénéé θ dns le prmère de moyenne de l lo de Posson. En condonnn sur ce θ e en ulsn l décomposon du bnôme de Newon, l dsrbuon peu s exprmer comme : Pr [ N n,..., N n θ ] 0 j 0,,,, ( I φ + ( φ )Pr[ N n θ ]) ( n, 0),, 0 j V 0 j ( 0 ) + j θ φ φ o ( N ) P j ( ), (.) où l foncon V Po (.) l forme de l dsrbuon de probblé d une lo de Posson, elle qu exprmée pr l équon suvne : Crédblé lnére bvrée ulsn le nombre de pérodes vec réclmons 49

6 V Po j N ( l θ ) exp( ( + j) l θ ) 0 ( N θ ). n!, (.3) Dns l cs où ce effe léore es dsrbué selon une lo gmm de moyenne e vrnce, l dsrbuon jone s exprme : Pr[ N n,..., N n ],,,, 0 0 j V NB ( N ) φ j j 0 ( φ ) (.4) 0 j ( 0 ) + j où le prmère φ exp (y g) / ( + exp (y g)) es modélsé vec des régresseurs y. Ces derners représenen un sous-ensemble des régresseurs x, lors que g es un veceur de prmères pour ces vrbles explcves y. L foncon V j NB (.), qun à elle, es exprmée comme su : V NB j ( N ) Γ( N + / ) / l ( + j) l + / ( j) / 0 l Γ( / ) n! + + 0, / N. (.5) Cee dsrbuon éé ppelée Mulvre Zero-Infled Posson gmm, qu pourr s exprmer en frnçs comme modèle mulvré Posson-gmm gonflé à zéro (MP0-gmm). Au leu de générlser une dsrbuon Posson gonflée à zéro e d y jouer des effes léores, Boucher, Denu e Gullén (006) on ulsé l dsrbuon de Posson e y on joué une héérogénéé dégénérée. Formellemen, cee dsrbuon des effes léores peu êre exprmée comme su : φ pour θ 0 g( θ φ, ), (.6) ( φ ) f ( θ ) pour θ 0 où φ es un prmère, dfféren de celu de l équon (.4), représenn une msse de pon modélsé comme e f(.) es exp( y g) + exp( y g) une dsrbuon d effes léore clssque de moyenne e de vrnce. En supposn que celle-c es gmm, les ueurs en on dédu l dsrbuon jone suvne : 49 Assurnces e geson des rsques, vol. 75(4), jnver 008

7 Pr[ N n,..., N n ],,,, Γ( N + / ) / l I φ + ( φ ) ( 0 ) l + / Γ( / ) n! l + /, / N. (.7) En ulsn le erme ngls exprmn cee dsrbuon (zeronfled mulvre negve bnoml), ce modèle pourr se rdure pr modèle gonflé à zéro de l bnomle négve mulvrée (0-BNMV)..3. Modèles à brrère L nérê du modèle à brrère es bsé sur le f que l mjoré des ssurés rppore mons de deux snsres pr nnées en ssurnce. En conséquence, une clssfcon des ssurés bsée sur une dsrbuon consrue vec deux processus es néressne. Premèremen, une dsrbuon dchoomque dfférencn les ssurés vec ou sns réclmon lors que le second processus précse le nombre ol de réclmons, condonnellemen u succès du premer processus. L consrucon de l générlson du modèle à brrère pour données de pnel s effecue en consdérn deux dsrbuons de probblé f ( θ, ) e f ( θ, ) yn des suppors respecfs de {0, } e {0,,...}. Une dépendnce emporelle enre les conrs d un même ssuré es supposé lorsque des effes léores ndvduels θ, e θ,, pouvn s denfer globlemen pr Θ, son joués à chque processus. Ans, Boucher, Denu e Gullén (006) on chos l dsrbuon condonnelle suvne pour K, : K, Θ Bernoull (θ, ),,..., n,,...,. e, dns le cs où K,, l dsrbuon condonnelle suvne pour N * :, N, * Θ, K Posson (g θ,, ),..., n,,...,. où pour K,, les ueurs on ulsé N, * N,, représenn une verson rnslée du nombre de réclmons effecuées, fn de smplfer les développemens mhémques e revenr à une expresson connue de l nlyse des données de compge. À noer que l vrble N, * es nule dns le cs où K, 0. L nroducon d une foncon de score dns le prmère g exp (y m) es possble, ce qu perme d nclure des crcérsques du rsque dns le deuxème processus. Conséquemmen, l dsrbuon jone du nombre de réclmons de l ssuré pour les pérodes,..., peu s exprmer comme su : Crédblé lnére bvrée ulsn le nombre de pérodes vec réclmons 493

8 Pr[ N n,..., N n ],,,, k k, lθ,, e,, * n,, θ ( θ ) ( l θ )! * n, k, (,,, ),, g θ θ dθ dθ (.8) où g(θ,, θ, ) es l dsrbuon jone des effes léores. L ulson d une copule pour modélser l dépendnce enre les deux vrbles léores es pproprée pusque son chox es ndépendn des dsrbuons mrgnles de chcun des effes léores. Ben que d ures chox soen possbles, Boucher, Denu e Gullén (006) on ulsé les dsrbuons suvnes pour Θ : θ, Be (, b),,..., n θ, Gmm ( /, / ),,..., n où le prmère exp (x b), ce qu perme d nclure les crcérsques de l ssuré dns le premer processus. ou comme les modèles BNMV e gonflés à zéro, les prmères de l lo gmm, qun à eux, son séleconnés fn que l moyenne de l dsrbuon gmm so égle à, ce qu ne bse ps le prmère de moyenne de l lo de Posson..3.. Dsrbuons jones des effes léores Comme noé uprvn, l dsrbuon jone des effes léores peu êre déermnée pr une copule, qu es un oul rès pussn pour modélser l dépendnce (vor Nelsen, 999, pour une revue). Ans, dns cee secon, nous llons revor les ros copules que Boucher, Denu e Gullén (006) on ulsées. Il es mporn de comprendre que l ulson d un seul effe léore, que ce so pour le premer ou le second processus, ne peu ps êre ssfsn dns le conexe des ssurnces. En effe, l usge exclusf d un effe léore sur l lo Bernoull créer une suon où l modfcon nnuelle de l prme ser l même pour ous les ssurés yn réclmé u mons une fos, e ce, peu mpore le nombre ol de réclmons. De mnère smlre, s les effes léores n éen ulsés que pour le second processus, ucun rbs ne ser ccordé ux ssurés ne réclmn ps, lors qu l ser ccordé une réducon de prmes à un ssuré qu ne réclmer qu une seule fos! En conséquence, l es évden qu une nlyse du modèle à brrère do s effecuer à l de de deux effes léores, ceux-c én lés pr une copule : 494 Insurnce nd Rsk Mngemen, vol. 75(4), Jnury 008

9 L premère copule ulsée es l copule d ndépendnce, qu s exprme smplemen comme le produ des foncons de densé : g(θ,, θ, ) f (θ, ) f (θ, ). (.9) L ulson de cee copule es dvnge relée à s smplcé pour les clculs qu à son nerpréon cr l ne semble ps rsonnble de crore à des effes léores ndépendns. En effe, l es nuf de crore qu un ssuré qu réclme dns pluseurs pérodes d ssurnce ur sns doue plus de chnce de réclmer souven dns l même pérode. ouefos, encore plus mporn, pusque l nroducon des effes léores éé jusfée pour modélser les crcérsques nconnues du rsque, l es évden que cerns prmères cchés ouchen un le premer processus que le second, crén ns une cerne dépendnce. Pour modélser cee dépendnce, une copule gussenne éé esée, générn ns l dsrbuon jone suvne pour les effes léores : g(θ,, θ, ) c G (u, v) f (θ, ) f (θ, ) (.0) L densé de l copule gussenne s exprme comme su : c G ( u, v) r Φ ( u) + r Φ ( v) rφ exp r exp r ( u) Φ ( v) (.) où Φ es l foncon de dsrbuon d une lo normle(0, ), u F (θ, ) e v F (θ, ). L dernère copule qu éé esée es l copule de Fréche- Hoeffdng. Elle correspond à l borne supéreure de oues les copules, représenn l dépendnce posve prfe enre deux vrbles léores, ppelée comonocé. En f, l esmon d un modèle vec ce ype de copule es smple pusqu un seul effe léore es ulsé. En effe, en ulsn l rnsformon u Φ ( ), cee copule génère des vleurs de l lo be e de l lo gmm pr θ F - (u) e θ F - (u), où F (u) es l foncon de répron de l lo be (, b) e F (u) celle d une gmm ( /, / ). Cernes propréés de cee copule peuven êre obenues en ulsn l copule gussenne vec r. Crédblé lnére bvrée ulsn le nombre de pérodes vec réclmons 495

10 .4. Comprsons e nerpréons des modèles Les modèles gonflés à zéro e les modèles à brrère peuven explquer de mnère néressne les données d ssurnce. Dns le cs du modèle gonflé à zéro MP0-gmm, le prmère supplémenre à zéro peu êre nerpréé comme l effe de l sof du bonus (Lemre,995) en ssurnce. Cee sof du bonus réfère à l suon où les ssurés ne déclren ps ous leurs ccdens uomobles de peur que l ugmenon de leur prme nnuelle so plus hue que ce qu ls on demndé comme remboursemen. Ans, l dée du modèle gonflé à zéro es de dsnguer le nombre de réclmons du nombre d ccdens pr le prmère supplémenre φ. À ce suje, Boucher e Denu (007) explquen cee relon enre ces deux ssques e les conséquences d un chngemen de rfcon sur l dsrbuon du nombre de réclmons. Le second modèle à zéro (0-BNMV) peu êre vu comme une pproxmon du modèle MP0-gmm, où le prmère supplémenre φ représene une pre des ssurés qu ne réclmen jms. Pour l même rson que le celle décre dns le modèle précéden, l peu exser un ype d ssurés qu n osen ps réclmer à leur ssureur, endn probblemen qu un ccden plus mporn jusfe l de de l ssureur. De l ure côé, l jusfcon de l ulson du modèle à brrère se sue u nveu de l dsrbuon des données. En effe, pusque l rès grnde mjoré (près de 99 %) des ssurés ne réclmen ps ou qu une fos pr nnée, l es pernen de se bser plus profondémen sur l modélson des cs 0 e. Ben que le modèle à brrère ne so ps d orgne curelle, l exse de nombreuses pplcons dreces de ce modèle pour les données d ssurnce. Ans, s générlson pour données de pnel peu êre pernene pour l nlyse du nombre de couverures d ssurnce ouchées ou le nombre de personnes blessées. De plus, cee modélson du nombre de réclmons ressemble à l nlyse double effecuée pour le monn des réclmons, où les coûs lmés e les coûs supéreurs à une cerne lme son éudés séprémmen. Nénmons, le modèle à brrère une nerpréon beucoup plus nurelle. En effe, fn de conserver leur bon dosser de condue (bonus), pluseurs conduceurs préfèren ne ps réclmer ous leurs snsres. Ans, lorsqu une réclmon déjà éé effecuée, l pourr êre logque de crore que le comporemen des ssurés n es ps le même pusque leur bonus pour l nnée en cours es déjà perdu. Les deux modèles présenés dns ce rcle semblen prculèremen dpés à l consrucon des sysèmes de Bonus-Mlus. En 496 Assurnces e geson des rsques, vol. 75(4), jnver 008

11 effe, pour llusron, même s ls son dfférens d un pys à l ure, nous pouvons rppeler c grossèremen l consrucon du Bonus- Mlus frnçs qu llusre ben l suon : N K BM ( + d ) ( ) ( + d ) * N + d K ( ). Nous pouvons remrquer que l vrble K joue un rôle mporn dns l modélson, ce qu correspond ben ux modèles gonflés à zéro e à brrère pusqu l s g d une des ssques exhusves des deux modèles. Il pourr êre néressn d ulser un sysème de Bonus-Mlus vec ce genre de dsrbuon fn de vérfer s l jusemen s effecue plus fclemen. Ce genre de recherches n ps encore éé effecué e, de plus, l pourr êre néressn de vor l mpc sur un el sysème, en comprson vec l lo de Posson vec effes léores. 3. Dsrbuon prédcve À chque pérode d ssurnce, le ou les effes léores, exprmés pr le erme Θ peuven êre ms à jour selon l hsorque de pere, révéln ns prellemen l effe des crcérsques non observées sur l fréquence de réclmons. Formellemen, l dsrbuon prédcve peu êre rouvée en ulsn le développemen suvn : Pr[ N n II ], +, +, Pr[ N n Θ ], +, + Pr [ N n Θ ] g( ),, Θ + dθ Pr[ N n Θ ] g( Θ ) dθ,, Pr [ N n Θ ] g( Θ II ) d Θ,, +, +, (3.) où g(θ II, ) es l dsrbuon (jone) poseror des effes léores Θ. Crédblé lnére bvrée ulsn le nombre de pérodes vec réclmons 497

12 3.. Prédceur opml qudrque Les dsrbuons poseror e prédcve ulsen l héore byésenne e son foremen lées à l héore de l crédblé. (Bülhmnn, 967; Bülhmnn e Srub, 970; Hchemeser, 975; Jewell, 975). L correcon poseror pplquée sur l prme de l ssuré es bsée sur une dsrbuon de pere spécfque. Le chox le plus populre pour l foncon de pere es l erreur qudrque. Pour cee suon, le mnmum de : E [(m,+ (θ) ψ (II, )) ] (3.) pour oues les foncons mesurbles ψ : es obenu pour : ψ * (II, ) ψ *, E [N,+ II, ] (3.3) Ce qu peu êre prouvé relvemen fclemen. Evdemmen, d ures foncons de peres peuven êre envsgées. L dfférence bsolue es une lernve ben connue, de lquelle l peu êre prouvé que l médne en le mnmum de l équon de pere. L foncon de pere développée pr Young (998) où un erme de deuxème ordre es joué à l foncon de pere qudrque, ou encore le modèle de Young e DeVylder (000) qu fvorsé l jou d un erme qu encourge l esmeur de crédblé à êre près d une consne pour les queues de dsrbuons son d ures possblés. Prce que l dsrbuon de pere qudrque pénlse un les surchrges que les sous-chrges, l dsrbuon de pere exponenelle es une lernve néressne cr elle perme de corrger ce poenel défu de l erreur u crré (Ferrer, 977; Denu e Dhene, 00 ou encore Boucher e Denu, 007, qu l ulse pour le modèle MP0-gmm). Mlgré ou, dns ce pper, nous foclsons sur cee pere qudrque, ms le développemen vec d ures foncons de pere pourr êre néressn Modèles de Posson Il es ben connu que l dsrbuon poseror d un modèle de Posson vec effes léores gmm( /, / ) es uss gmm vec prmères l + / e N + /. En conséquence, l espérnce prédcve d un el modèle es égl à : E [ N N,..., N ] l, +,, N l + /. + / (3.4) 498 Insurnce nd Rsk Mngemen, vol. 75(4), Jnury 008

13 À noer que ce momen ne dépend que de l somme du nombre de réclmons pssées. De plus, lorsque le nombre de pérodes d expérence end vers l nfn, l prme prédcve de l ssuré converge vers son nombre moyen de réclmons nnuelles Modèles gonflés à zéro Dns l esmon de l prme prédcve pour les modèles gonflés à zéro, l consrucon suvn l équon (3.) es uss effecué, à l de de l dsrbuon de θ. Ans, selon le modèle, Boucher, Denu e Gullén (006b) on monré les dverses prmes prédcves de ces modèles. Dsrbuon MP0-gmm E [ N n,..., n ] vec :, +,, ( N + / ) H( j) l 0 j 0 ( + + j ) l + / (3.5) 0 H( j) 0 0 j ( + 0 ) + j ( ) ( j φ φ + j) l + / ) 0 0 k 0 n + / 0 0 j ( 0 ) + k φ ( k φ ) ( + k) l + / ) 0 n + /, (3.6) Conrremen u modèle clssque BNMV, l moyenne prédcve ne dépend ps seulemen du nombre de réclmons pssées, ms uss du nombre de pérodes d ssurnce dns lesquelles l ssuré réclmé. Dsrbuon 0-BNMV Ce modèle es prculer cr l génère deux formes de prme prédcve, dépendn de l hsorque de pere. Dns le cs où l ssuré réclmé u mons une fos dns les dernères nnées, l espérnce es égle à : N + / E [ N N,..., N, ] l, +,, 0 l + /, (3.7) qu es smlre à l prme prédcve obenue pour le modèle BNMV. A l nverse, l prme pour les ssurés n yn ps réclmé es égle à : Crédblé lnére bvrée ulsn le nombre de pérodes vec réclmons 499

14 E [ N N,..., N, ], +,, λ 0 / α ( φ ) λ + / α + / α / α φ + ( φ ) λ + / α / α. (3.8) Ans, ben que les équons des prmes prédcves ne dépenden que de N, le modèle dépend uss de Modèles à brrère Pusque le modèle à brrère ulse deux effes léores el que Θ (θ,, θ, ), l forme de l dsrbuon poseror es beucoup plus complexe : ( ) g θ, θ, II,, θ e c( F ( θ ), F ( θ ), K K θ + ( θ ) N K + / θ ( K l + / ),,,,, K + K N K K + / θ, ( l + / ) θ ( θ ) θ e c( F ( θ ), F ( θ ) dθ dθ,,,,,,, 0 0 où c(.) es l densé de l copule déermnn l dépendnce enre les effes léores. ou comme le modèle gonflé à zéro, l dsrbuon poseror ne dépend ps unquemen du nombre de réclmons pssées N, ms uss du nombre de pérodes d ssurnce vec u mons une réclmon K. ouefos, pr opposon à ces modèles gonflés à zéro, l dsrbuon prédcve de N,+ ne peu ps s exprmer de mnère nlyque pour oues les copules. ouefos, dns le cs de l copule d ndépendnce, chcun des processus du modèle à brrère vec effes léores modélsé peu êre exprmé ndépendmmen de l ure. En conséquence, les deux processus peuven uss êre éudés séprémen lors de l nlyse prédcve. Comme prouvé pr Boucher, Denu e Gullén (006b), l espérnce prédcve de ce modèle es égle à : K, +, K g E [ N II ] + g N + ( + g ) / + / + b +. (3.9) ou comme les modèles gonflés à zéro, l moyenne prédcve dépend uss du nombre de pérodes d ssurnce dns lesquelles l ssuré réclmé. Nénmons, lorsque e que K es relvemen grnd, ou comme le modèle BNMV, l prme de l ssuré ne dépend plus de K, ms end vers s moyenne nnuelle de snsres réclmés. 500 Assurnces e geson des rsques, vol. 75(4), jnver 008

15 Les modèles ulsn les copules gussenne e de Fréche- Hoeffdng ne peuven ps s exprmer de mnère close, ou comme leur dsrbuon prédcve. Ans, Boucher, Denu e Gullén (006) on ulsé des smulons Mone Crlo pr chînes de Mrkov (MCMC) pour esmer ces prmes prédcves. Le prncpe des smulons MCMC es de smuler des rélsons d une chîne de Mrkov yn une dsrbuon sonnre correspondn à l dsrbuon jone des effes léores (Smh e Robers, 993; ou Scollnk, 00, pour une nroducon vec pplcons en scences curelles). Pusque cee méhode n es ps rès rpde, n fcle ou ccessble, l nous semble pernen d éuder une ure mnère d évluer ces prmes. 3.. Esmon pr crédblé lnére L crédblé lnére es une héore ulsée fn d obenr l prme d ssurnce d un ssuré en foncon d une moyenne pondérée enre son expérence pssée e s prme pror. L vnge d une elle pproche es qu l n es plus nécessre de clculer l dsrbuon prédcve exce d une dsrbuon e que les hypohèses de l crédblé lnére dépenden beucoup mons des prculrés des modèles éudés Crédblé unvrée L forme l plus ncenne e l plus connue de l héore de l crédblé es l prme de Bühlmnn (967), qu n ulse que les nformons sur les n,,,..., pour prédre l prme. Ans, cee prme prédcve l forme suvne : P *,+ n N + p P,0 (3.0) où P * es l prme prédcve u emps +, P es l prme,+,0 pror. En mnmsn l erreur qudrque, Bühlmnn (967) monré que les prmères n e p son égux à : Cov( N, N ), + n Vr( N ) (3.) p n. (3.) Ben évdemmen, prce que cee prme prédcve n ulse ps oues les ssques pernenes u modèle, el que les k,, le modèle es pluô lmé dns ses prédcons. Le bu es donc d ulser un modèle de crédblé lnére bvrée ulsn non seulemen les n, ms uss ces k,. Crédblé lnére bvrée ulsn le nombre de pérodes vec réclmons 50

16 3... Crédblé bvrée En ulsn un ype de prmes de crédblé ulsn uss le nombre de pérodes d ssurnce vec réclmons K, un modèle de crédblé bvrée peu s exprmer comme su : P **,+ d K + N + ω (3.3) où les deux prmères d e peuven êre vus comme des vrbles explcves provenn respecvemen de l régresson de l prme fuure vec K e N. Ans, ces prmères décomposen l prme fuure de l ssuré en deux ssques, explqun plus en déls l mpc d une réclmon sur l prme d ssurnce. Il peu êre monré que les prmères de ce modèle de crédblé lnére bvrée son égux à : Cov[ K, P ] Vr[ N ] Cov[ N, P ] Cov[ K, N ] (3.4) Vr[ N ] Vr[ K ] Cov[ K, N ], +, + d Cov[ N, P ] Vr[ K ] Cov[ K, P ] Cov[ K, N ] (3.5) Vr[ N ] Vr[ K ] Cov[ K, N ], +, + n ω P,0 ( n ) d E[K ]. (3.6) Le modèle clssque de l crédblé lnére de Bühlmnn (967), represené à l équon (3.0), génère des résuls égux à l espérnce prédcve pour les dsrbuons conjuguées (Jewell, 975), comme pour le cs Posson vec effes léores gmm. Pusque l crédblé lnére ne se bse que sur les deux premers momens de l dsrbuon des effes léores, l pproxmon lnére d un modèle de Posson vec effes léores l même forme peu mpore l dsrbuon des effes léores (nverse-gussenne, lognormle ou ures). Évdemmen, l pproxmon de l crédblé lnére pr P * + ne génèrer ps des prmes prédcves exces pour ces ures modèles. À l opposé, lorsque l crédblé lnére bvrée P ** es ulsée vec le nombre de pérodes d ssurnce vec réclmons, l es- + meur de l espérnce prédcve ne ser ps le même pour ces dfférens modèles de Posson vec effes léores. En effe, l prme de crédblé ne dépendr ps seulemen des deux premers momens de l dsrbuon d héérogénéé, E [θ] e Vr [θ], ms uss des expressons E [θe -lθ ], E [e -lθ ] ou E [e -lθ ]. En conséquence, 50 Insurnce nd Rsk Mngemen, vol. 75(4), Jnury 008

17 les prmères obenus pr les équons (3.4) à (3.6) n on clremen ps l même forme s les effes léores son gmm, nverse- Gussenne ou lognormle. L pproxmon pr crédblé lnére peu êre vue comme une projecon de l vre prme prédcve sur l espce de Hlber créée pr l prme de crédblé P ** +. Conséquemmen, l prme de crédblé ulsn les équons (3.4) e (3.5) devr uss générer une prme de crédblé exce pour le modèle Posson-gmm. Pour obenr ce résul, d do êre égl à 0, révéln l églé suvne : Cov [K, P,+ ] Vr [N ] Cov [N, P,+ ] Cov [K, N ]. (3.7) Pour un modèle de Posson vec effe léore, ce résul ne en que lorsque ce effe léore es gmm. En effe, en développn cee dernère églé, le résul suvn es obenu : lθ E[ e ] ( + l θ). (3.8) l θ E[ θe ] Cee églé es vérfée pour une héérogénéé gmm, ms ps pour une héérogénéé nverse-gussenne. En effe, dns cee suon, le résul suvn es généré : lθ E[ e ] + l θ. (3.9) l θ E[ θe ] Un résul ndqun que l églé de l équon (3.7) ne en ps pour un effe léore lognorml peu uss êre prouvé. En conséquence, suf pour le modèle vec héérogénéé gmm, le modèle à crédblé lnére bvrée ulsn le nombre de pérodes vec réclmons ne génère ps l même résul que le modèle clssque de Bülhmnn (même s les deux prmes son rès proches...). Pour les modèles nlysés dns ce rcle, l semble évden que l crédblé bvrée mélore l pproxmon pusque K es l une des ssques exhusves de l dsrbuon prédcve. Une ure pproxmon de crédblé mére d êre menonnée. En effe, une prme de crédblé ulsn seulemen les nformons sur K, une ssque poenellemen exhusve pour cerns modèles, e sgnfn un n 0 es néressne : *** P d K + ω (3.0), Crédblé lnére bvrée ulsn le nombre de pérodes vec réclmons 503

18 vec : Cov( K, N ), + d Vr( K ) (3.) ω P,0 d E [K ] (3.) Prce que K n es ps un bon esmeur de P, le complémen de crédblé ω,+ n es ps seulemen égl à d. En effe, ce derner do corrger cee erreur d pproxmon. Pour lléger l srucure du pper, comme décr précédemmen, les momens nécessres ux clculs des prmes de crédblé son nscrs en nnexe. 4. Exemple numérque Afn d llusrer e comprer les prmes de crédblé lnéres ux moyennes prédcves exces, nous rvllons vec les résuls obenus dns les ppers de Boucher, Denu e Gullén (006, 006b). Ces données corresponden à un échnllon d un porefeulle d une grnde compgne d ssurnce espgnole. Seules les données de l responsblé cvle ouchn ux véhcules de prculers on éé ulsées. Les prmes prédcves on éé clculées pour dverses confgurons d hsorque de réclmons, sur une pérode d ssurnce de 0 ns. Mlgré que les deux ppers ulsen l même bse de données, les données ulsées pour clculer les prmes fuures ne peuven ps êre comprées d un modèle à l ure. En effe, dns Boucher, Denu e Gullén (006), les ueurs ulsen les 7 premères nnées de l bse de données, lors que Boucher, Denu e Gullén (006b) n ulsen que les 6 premères. L exercce réfère donc prncplemen à l nlyse de l pproxmon de l héore de l crédblé lnére. 4.. Modèles gonflés à zéro Le ype d ssurés qu éé séleconné pour le clcul des prmes prédcves des modèles gonflés à zéro correspond à un profl de rsque moyen, yn les prmères suvns selon les deux modèles nlysés. 504 Assurnces e geson des rsques, vol. 75(4), jnver 008

19 bleu 4. Prmères ulsés pour les modèles gonflés à zéro Modèles Prmère MP0-gmm 0-BNMV φ 0,08 0,06 l 0,084 0,0677 0,8304 0,7678 Le bleu suvn ndque les résuls numérques obenus en ulsn les prmes clculées de mnère exce e le modèle de crédblé bvrée pour le modèle MP0-gmm. bleu 4. Prme de crédblé pour le modèle MP0-gmm Méhodes K Somme des snsres rpporés (N ) Prmes exces 0 0,0434 0,0789 0,5 0,55 0,88 0,450 0,38 0,498 0,860 0, ,48 0,839 0, ,88 0, ,367 Crédblé bvrée 0 0,0436 0,0786 0,4 0,498 0,854 0,3989 0,35 0,49 0,847 0, ,485 0,84 0, ,835 0, ,3933 Crédblé lnére bvrée ulsn le nombre de pérodes vec réclmons 505

20 Pour les suons les plus communes,.e. pour N 4, le modèle de crédblé bvrée pproxme relvemen ben l srucure de prmes. Nénmons, l pproxmon es beucoup mons bonne pour les ures suons qu peuven qulfées de plus exrêmes. En effe, l forme de l prme prédcve en foncon de K ou N es rès complexe e l semble que l pproxmon lnére de ces deux vrbles ne génère ps un jusemen néressn. En nlysn plus en dél les résuls obenus pour ce modèle de crédblé, nous voyons que d -0,0063 e n 0,3560, sgnfn que l mpc de K rese rès mrgnl dns le clcul de l prme. Ben que cel semble jusfé pour l mjoré des cs (l pre du guche du bleu), cel n es ps vlde pour les ures suons où l on peu remrquer une dfférence de prmes consdérble selon K. Ans, s l deven essenel d évluer l prme de crédblé lnére pour un el modèle, l prme de crédblé de Bühlmnn ser sns doue plus néressne pusque mons complexe, e générn qusmen les mêmes résuls que l prme de crédblé bvrée. Noons c que nous rvllons vec des données ne dépendn que légèremen de K, ns, l pourr êre néressn de refre l exercce pour une couverure d ssurnce où cee dépendnce es plus fore. Le bleu suvn, qun à lu, llusre les prmes de crédblé obenues pour le modèle 0-BNMV. Pr opposon à l ure modèle gonflé à zéro de ce pper, l crédblé lnére ulsée n es ps bvrée, ms pluô unvrée. En effe, l prme prédcve ne dépend drecemen de K. Comme menonné plus ô dns le pper, l esmeur de crédblé lnére d une dsrbuon Posson vec effes léores gmm (modèle BNMV) génère des prmes qu son égles à l espérnce prédcve du modèle. Nénmons, pour ce modèle 0-BNMV, le modèle de Bühlmnn de l équon (3.) ne génère ps de résuls excs, comme l ndque le bleu suvn. bleu 4.3 Prme de crédblé pour le modèle 0-BNMV Somme des snsres rpporés (N ) Modèles Prmes exces 0,046 0,0787 0,9 0,47 0,83 0,3864 Crédblé unvrée 0,049 0,0778 0,8 0,477 0,86 0, Insurnce nd Rsk Mngemen, vol. 75(4), Jnury 008

21 Dns ce exemple numérque, l vleur de n de l équon (3.) génère une vleur de 0,3495. Même s les prmes ne son ps ou-àf exces, elles resen nénmons rès smlres. Une smple pee rnsformon du modèle perme ouefos d obenr des prmes exces pour l pproxmon lnére. En effe, s le modèle 0-BNMV é ulsé comme un modèle BNMV sndrd, les prmes de crédblé seren denques ux prmes exces pour les ssurés vec u mons une réclmon. Pour les ssurés n yn ps réclmé, cee prme de crédblé lnére n qu à êre dvsée pr un fceur de correcon. En ulsn l équon (3.8) cee correcon se clcule drecemen : φ / + φ l + / /. En conséquence, l es néressn de noer que le modèle 0- BNMV se veu une lernve néressne u modèle clssque MVNB. En effe, non seulemen prce que ses prmes de crédblé son mons sévères que le modèle clssque, ms uss prce que l prme de crédblé clssque de Bülhmnn peu êre ulsée moyennn une légère correcon pour un groupe d ssurés spécfques. 4.. Modèles à brrère Pour le modèle à brrère, le profl d ssuré chos pr Boucher, Denu e Gullén (006) correspond à un rsque moyen (pr rppor à l bse de données nlysée). Plus spécfquemen, les prmères ulsés pour le clcul des prmes son les suvns, où les momens jons on éé obenus numérquemen (bleu 4.4). Crédblé lnére bvrée ulsn le nombre de pérodes vec réclmons 507

22 bleu 4.4 Prmères ulsés pour les modèles à brrère Copule du modèle à brrère Prmère Indépendnce Gussenne Fréche-Hoeffdng,309,30,39 b 9,9640 9,9568 0,0836 g 0,0770 0,0434 0,040 0,8 0,758 0,888 r 0,844,0000 E [θ, θ, ] 0,06 0,09 0,53 E [θ θ,, ] 0,0063 0,06 0,076 E [θ, θ ] 0,09 0,3454 0,347, E [θ, θ ] 0,05 0,064 0,068, Le premer modèle à brrère réfère à l dsrbuon supposn que les effes léores son ndépendns. Ben qu l exse une mnère d obenr une prme exce en ulsn une formule fermée (équon (3.9)), l rese pernen d nlyser l jusesse de l pproxmon de l crédblé lnére bvrée. Le bleu 4.5 llusre l prme exce e l prme de crédblé lnére obenues pour ce modèle. L pproxmon du modèle pr l crédblé lnére es ssfsne e les écrs enre l pproxmon e le résul exc son mnces. Pour les ssurés yn une expérence de snsres normle, l prme de crédblé es même rès proche de l prme exce. Les dfférences survennen pour les suons plus exrêmes, c es-àdre dns les suons où l ssuré réclmé plus de 3 fos dns l même nnée, ou dns le cs où 0 réclmons on éé effecuées. ou comme l nlyse de l sévéré, ben déllée dns Goule e Forgues (006), l es uss possble d éuder une ure forme de prme de crédblé pour ce modèle. Prce le monn ol des réclmons correspond u produ de l fréquence e de l sévéré, Gerber (97) proposé d ulser un esmeur de crédblé de Bühlmnn pour l fréquence e un second pour l sévéré. L même 508 Assurnces e geson des rsques, vol. 75(4), jnver 008

23 bleu 4.5 Prme de crédblé pour l copule d ndépendnce Somme des snsres rpporés (N ) Méhode K Prmes exces 0 0,0448 0,0790 0,0833 0,0876 0,090 0,80 0,8 0,87 0,46 0, ,465 0,538 0,97 4 0,800 0, ,3786 Crédblé bvrée 0 0,0448 0,0788 0,0846 0,0904 0,096 0,308 0,9 0,86 0,44 0, ,469 0,56 0,87 4 0,809 0,55 0 0,3849 pproche pourr êre néressne pour les modèles à brrère. Pusque l héore de l crédblé lnére donne des résuls excs pour les dsrbuons conjuguées (Jewell, 975), ces prmes de crédblé pour les combnson Bernoull-be (n, ) e Posson-gmm (n, ) génèren excemen leur moyenne prédcve. Dns cee suon, à l de des équons (3.) e (3.), l peu êre prouvé que : n, + + b n K K + g,, (4.) (4.) Crédblé lnére bvrée ulsn le nombre de pérodes vec réclmons 509

24 ce qu génère une prme prédcve correspondn à celle obenue à l équon (3.9). Pr conre, en développn l équon de l prme de crédblé, nous pouvons vor que l expresson n es ps l même que celle exprmée à l équon (3.3) pusque : P,+ (n, K + ( n, ) m, ) (n, N + ( n, ) m, ) n, n, K N + ( n, ) n, m, N + ( n, ) n, m, K + ( n, n, + n, n, ) m (4.3) où les prmes pror son défnes comme : m, m + g, m m m P.,,,,, 0 + b Les suons de corrélon enre les effes léores son néressnes à nlyser cr elles permeen de vor s l pproxmon des prmes pr l ulson des premers e seconds momens du modèle cpure ben l corrélon des Θ (bleu 4.6). Pour les ssurés n yn ps réclmé ou seulemen réclmé une fos u cours des 0 dernères nnées, le modèle de crédblé s juse ben. Pr conre, pour les ures suons, des écrs ssez mporns peuven êre observés. En effe, dns le cs d ssurés yn effecué pluseurs réclmons dns l même nnée d ssurnce, le modèle de crédblé lnére bvrée ne semble ps ben cpurer l effe des Θ sur l prme fuure. En observn plus envemen les dfférences enre les prmes exces e les prmes de crédblé, nous pouvons conser que l régresson sur les K e les N n es ps suffsne cr un erme en K N semble nécessre pour modélser l congon (dépendnce) des effes léores. En effe, nous pouvons vor que ben que l pproxmon es pluô juse pour les élémens de l dgonle, elle es pluô médocre pour les élémens sués dns le con supéreur dro du bleu. Dns le cs du modèle vec effes léores ndépendns, nous pouvons vor que pour un N fxe, l relon enre K e l prme prédcve é proporonnelle. L nroducon de l corrélon enre les effes léores chnge ce len pusqu l es plus renble pour un ssuré d vor oues ses réclmons suées dns l même pérode qu échelonnées sur pluseurs conrs d ssurnce. Smlremen, ou pore à crore que l nroducon d un erme crosé mélorer l prédcon. 50 Insurnce nd Rsk Mngemen, vol. 75(4), Jnury 008

25 bleu 4.6 Prmes de crédblé pour l copule gussenne Méhode K Somme des snsres rpporés (N ) Prmes exces 0 0,044 0,0776 0,063 0,336 0,598 0,37 0,3 0,403 0,687 0, ,444 0,750 0, ,774 0, ,3770 Crédblé bvrée 0 0,044 0,0773 0,55 0,536 0,98 0,408 0,05 0,487 0,868 0, ,437 0,89 0, ,769 0, ,376 Le modèle vec copule d ndépendnce pu générer une bonne pproxmon du modèle. L présence d un élémen crosé enre K e N, el qu exprmé pr l équon (4.3) n es peu-êre ps érnger à cel. ouefos, dns le cs où l exse une dépendnce enre chque processus ou dns le cs des modèles gonflés à zéro, l es évden que ce modèle de crédblé lnére n es ps ppropré cr héorquemen fux. En effe, cee fçon d exprmer l prme suppose l ndépendnce enre le nombre de réclmons e le nombre de pérodes vec réclmons. De prochnes recherches pourren permere de vor s l jou d un el erme dns l pproxmon de l prme mélore l jusemen. Il es à noer que l ddon de cee ssque créer le beson de clculer des momens du rosème ou même du qurème ordre. Comme derner exemple numérque, nous nlysons les résuls obenus pour l copule représenn l borne supéreure de dépendnce enre les effes léores (bleu 4.7). Crédblé lnére bvrée ulsn le nombre de pérodes vec réclmons 5

26 bleu 4.7 Prmes de crédblé pour l copule de Fréche-Hoeffdng Somme des snsres rpporés (N ) Méhode K Prmes exces 0 0,044 0,0775 0,37 0,500 0,86 0,4044 0,06 0,469 0,86 0, ,438 0,795 0, ,764 0, ,3704 Crédblé bvrée 0 0,044 0,077 0,76 0,580 0,985 0,44 0,0 0,506 0,90 0, ,43 0,835 0, ,76 0, ,374 Sns surprse, le modèle de crédblé lnére bvrée n juse ps ben les données e un erme crosé semble uss nécessre fn de modfer le len enre l prme fuure e K pour un N fxe. 5. Concluson Ce pper nous perms de révser les modèles gonflés à zéro e les modèles à brrère. Les dfférences d nerpréons enre les modèles on éé ponées, ou comme l mpc de l effe léore dns leur consrucon. Alors que les modèles gonflés à zéro son vldes vec un seul effe léore, l n es ps possble d ulser un modèle à brrère sns l ulson de deux ermes d héérogénéé. 5 Assurnces e geson des rsques, vol. 75(4), jnver 008

27 Plus spécfquemen, pour ces modèles, nous vons pu vor que le chox de l copule pour modélser l dépendnce enre les effes léores une mpornce prmordle pour le clcul des prmes prédcves. L pproxmon des prmes prédcves pour les modèles gonflés à zéro éé ssfsne. Pr opposon, ben que nous yons pu rouver une fçon d exprmer les prmes prédcves de mnère exce vec l héore de l crédblé lnére pour le modèle yn des effes léores ndépendns, nous vons pu remrquer que cee héore n es ps effcce pour pproxmer l srucure de dépendnce des effes léores vec d ures copules. Pusque chque réclmon k, modfe l effe léore θ, e que celu-c es corrélé à θ, (e vce-vers), l nous semble logque de présumer qu une melleure pproxmon de l prme résuler de l jou d un erme crosé enre K e N. Des recherches fuures ouchn non seulemen à ce ype d pproxmon pr l héore de l crédblé lnére semblen êre une voe néressne, prculèremen pour les modèles à brrères qu ne génèren ps une forme fermée d espérnce prédcve. Crédblé lnére bvrée ulsn le nombre de pérodes vec réclmons 53

28 Annexe L expresson des momens nécessres à l évluon des coeffcens de crédblé es présenée dns cee nnexe. A.. Générlés Plus générlemen, les équons suvnes son ulsées fn d obenr les momens nécessres : Vr[ N ] E[ Vr[ N Θ] ] + Vr[ E[ N Θ ]] (A.),,, E[ Vr[ N Θ] ], Vr[ N ] + Vr[ E[ N Θ ]] (A.), Vr[ K ] E[ Vr[ K Θ] ] + Vr[ E[ K Θ ]] (A.3),,, E[ Vr[ K Θ] ], Vr[ K ] + Vr[ E[ K Θ ]] (A.4), E[ Cov[ K, N Θ] ],, Cov[ N, K ] + Cov[ E[ K Θ ], E[ N ]],, Θ (A.5) Cov[ N, P ] Vr[ E[ N Θ ]] (A.6), +, Cov[ E[ K Θ], E[ N Θ ]] Cov[ K, P ] (A.7) +,,, A.. Dsrbuon BNMV Ben que les momens de cee dsrbuon so ben connus, l es ule d en rppeler quelques expressons, prculèremen pour les momens mplqun les vrbles K, ou K : E[ N ] E[ N ] l (A.8), / E[ K ] E[ K ], l + / / (A.9) E[ Vr[ N Θ ]] l, (A.0) Vr[ E[ N Θ ]] l, (A.) / / / E[ Vr[ K Θ ]], + / / l l + / (A.) 54 Insurnce nd Rsk Mngemen, vol. 75(4), Jnury 008

29 / / / Vr[ E[ K Θ ]], + / / l l + Cov[ K, P ] l, + / l + / / / E[ Cov[ K, N Θ ]] l,, l + / / / l + / / + / + (A.3) (A.4) (A.5) A.3. Modèles gonflés à zéro Le clcul des momens des deux modèles gonflés à zéro es beucoup plus smple à obenr. Ans, les sous-secons suvnes ndquen ces dfférens momens. A.3.. Dsrbuon MP0-gmm E[ N ] E[ N ] l ( φ ) (A.6), / E[ K ] E[ K ] φ ( φ ), l + / / (A.7) E[ Vr[ N Θ ]] ( φ ) l + φ( φ) l ( + ), (A.8) Vr[ E[ N Θ ]] ( φ ) l, (A.9) / E[ Vr[ K Θ ]] ( φ), + / l / / ( φ) l + / / Vr[ E[ K Θ ]] ( φ ), l + / / Cov[ K, P ] ( φ ) l, + l + / / / / / + l + / / l / + / l / + / / + / (A.0) (A.) (A.) / E[ Cov[ K N Θ ]] ( φ ) l,, l + / / + + ( φ ) φ l (A.3) Crédblé lnére bvrée ulsn le nombre de pérodes vec réclmons 55

30 A.3.. Dsrbuon 0-BNMV E[ N ] E[ N ] l ( φ ) (A.4), / E[ K ] E[ K ] ( φ ), l + / / (A.5) E[ Vr[ N Θ ]] l ( φ ), (A.6) Vr[ E[ N Θ ]] l (( φ ) ( + ) ( φ ) ), (A.7) / E[ Vr[ K Θ ]] ( φ ), l + / / / l / + / (A.8) / Vr[ E[ K Θ ]] ( φ ), l + / / / Cov[ K, P ] l ( ), + φ l + / ( φ ) / / E[ Cov[ K N Θ ]] l ( φ ),, l + / / l +/ / ( φ ) l + / / + / / + (A.9) (A.30) (A.3) A.4. Modèles à brrère Pusque les dfférenes copules ssocées ux modèles à brrère génèren des dsrbuons jones dfférenes pour les effes léores, les momens son exprmés en ulsn ces momens jons. Ces momens jons ne peuven ps êre clculés nlyquemen, ms de smples esmons numérques suffsen pour obenr leurs vleurs. Le clcul des dfférens momens nécessres à l évluon des prmes de crédblé s effecue en suvn souven l même méhode. Pr exemple, en supposn que f(. l) es l foncon de probblé d une lo Posson vec prmère l, les deux premers momens du modèle se clculen comme su : E[ N Θ ] j f ( j ), θ g θ,, j (A.3) θ ( + k) f ( k g θ ),, k0 θ + g θ θ (A.33),,, 56 Assurnces e geson des rsques, vol. 75(4), jnver 008

31 E[ N Θ ] θ ( + k) f ( k g θ ),,, k 0 θ ( g, θ g θ ). (A.34),, Pluseurs ures momens de l dsrbuon à brrère se clculen sensblemen de l même mnère pusque l vrble léore K, ne prend que des vleurs égles à 0 ou. Ans, pour connuer dns le développemen des momens : Cov[ K, P ] Cov[ E[ K Θ ], E[ P Θ ]] + E[ Cov[ K, P Θ ]], +, + Cov[ E[ K Θ ], E[ P Θ,, + ]] + 0 Cov[ θ, θ + g θ θ ] E[ θ,,,,,, + ] + g E[ θ θ ] E[ θ ] g E[ θ ] E[ θ θ,,,,,, ] (A.35) où le second erme de l premère équon es égl à 0 cr les K,,,..., son ndépendns de P,+ lorsque condonnés sur les effes léores Θ. Suvn l même consrucon, l covrnce suvne peu êre clculée : Cov[ N, P ] Cov[ E[ N ], E[ P ]], + Θ Θ,, + E[ ] + E[ ] + E[ θ g θ θ g θ θ,,,, E E E,,,,, ] [ θ ] g [ θ ] [ θ θ ] (A.36) Le clcul de l covrnce enre K e N es nénmons un peu plus complexe cr, mlgré le condonnemen ux effes léores Θ, l exse une dépendnce enre cerns ermes : Cov[ K, N ] Cov[ E[ K Θ ], E[ N Θ ]] + E[ Cov[ K, N Θ ]] (A.37) où le premer élémen se clcule comme su : Cov[ E[ K Θ ], E[ N Θ ]] Cov[ θ, θ + g θ θ ],,,, E[ ] + E[ ] E[ ] E[ e le second selon le développemen suvn : θ g θ θ θ g θ,,,, E,,, ] [ θ θ ] (A.38) Crédblé lnére bvrée ulsn le nombre de pérodes vec réclmons 57

32 E[ Cov[ K, N Θ E Cov K N ]] [ [, Θ j ]],, j q q E [ Cov [ K, N Θ ]],, ( [ Θ ]] E[ E[ K Θ Θ q ]] E[ E[ N q ]],, ) q q E E [ K N,, E[ θ ] + g E θ θ E θ g E θ θ,,,,,, [ ] [ ] [ ] (A.39) où le momen jon enre K,q e N,q se déermne selon le même rsonnemen que celu ulsé pour E[N, Θ ] : E[ K, N Θ m j f j q q ] ( ),, θ g θ,, m j θ + g θ θ.,,, (A.40) Ans, en ulsn les résuls précédens e des développemens smlres, les momens suvns peuven êre rouvés : E[ θ ] E[ θ ],, Vr[ K ] E[ θ ] E[ θ ] +,, (A.4) Vr[ N ] E[ Vr[ N ]] + Vr[ E[ N ]] (A.4) E[ Vr[ N Θ] ] g E[ θ θ ] + 3g E[ θ θ ] + E[ θ ] E[ θ ] g E[ θ θ ] g E[ θ,,,,,,,,, θ ], (A.43) Vr[ E[ N Θ] ] E[ θ ] + g E[ θ θ ] + g E[ θ θ ] E[ θ ] g E[ θ ] E[ θ θ ] g E[ θ θ ],,,,,,,,,,,. (A.44) 58 Insurnce nd Rsk Mngemen, vol. 75(4), Jnury 008

33 Références Bühlmnn, H. (967). «Experence Rng nd Credbly». ASIN Bullen, 4 : Bühlmnn, H. e Srub, E. (970). «Glubwürdgke für Schdensäze». Melungen der Verengung Schwezerscher Verscherungsmhemker, 70 :-33. Boucher, J.-P. e Denu, M. (006). «Fxed versus Rndom Effecs n Posson Regresson Models for Clm Couns: Cse Sudy wh Moor Insurnce». ASIN Bullen 36 : Boucher, J.-P. e Denu, M. (007). «Credbly Premums for he Zero-Infled Model nd New Hunger for Bonus Inerpreon». Insurnce: Mhemcs nd Economcs, sous presse. Boucher, J.-P., Denu, M. e Gullén, M. (006). Independen nd Correled Rndom Effecs for Hurdle Models Appled o Pnel D Coun. Documen de rvl, Unversé du Québec à Monrél, dsponble u hp:// Boucher, J.-P., Denu, M. e Gullén, M. (006b). Number of Accdens or Number of Clms? An Approch wh Zero-nfled Posson Models for Pnel D. Documen de rvl, Unversé du Québec à Monrél, dsponble u hp:// Denu, M. e Dhene, J. (00). «Bonus-Mlus Scles usng Exponenl Loss Funcons». Germn Acurl Bullen, 5 : 3-7. Denu, M., Mréchl, X., Prebos, S. e Wlhn, J.-F. (007). Acurl Modellng of Clm Couns: Rsk Clssfcon, Credbly nd Bonus-Mlus Scles. Wley : New York. Donne, G. e Vnsse, C. (989). «A Generlzon of Auomoble Insurnce Rng Models: he Negve Bnoml Dsrbuon wh Regresson Componen». ASIN Bullen, 9 : 99-. Donne, G. e Vnsse, C. (99). «Auomoble Insurnce Remkng n he presence of symmercl nformon». Journl of Appled Economercs, 7 : Ferrer, J. (977). Idenfyng Equble Insurnce Premums for Rsk Clsses: n Alernve o he Clsscl Approch. Lecure presenée à l 3 e renconre nernonle de l Insu of Mngemen Scences, Ahène, Grèce. Gerber, H. (97). «Dscusson of Hew (97)». Proceedngs of he Csuly Acurl Socey, 58 : 5-7. Goule, V., Forgues, A., e Lu, J. (006). «Credbly for Severy Revsed». Norh Amercn Acurl Journl, 0 : Hchemeser, C. (975). «Credbly for Regresson Models wh Applcons o rend». dns Credbly: heory nd Applcons, ed. P. M. Khn, Acdemc Press, New York, Husmn, J., Hll, B. e Grlches, Z. (984). «Economerc Models for Coun D wh Applcon o he Pens-R nd D Relonshp». Economerc, 5 : Jewell, W. (975). «he Use of Collerl D n Credbly heory: A Herrchcl Model». Gornle dell Isuo Ilno degl Aur, 38 : -6. Crédblé lnére bvrée ulsn le nombre de pérodes vec réclmons 59

34 Johnson, N., Koz, S. e Blkrshnn, N. (996). Dscree Mulvre Dsrbuons. New York : Wley, nd ed. Lemre, J. (995). Bonus-Mlus Sysems n Auomoble Insurnce. Boson : Kluwer Acdemc Publshers. Nelsen, R. (999). An Inroducon o Copuls. Sprnger-Verlg, New York. Scollnk, D. (00). «Acurl Modelng Wh MCMC nd BUGS». Norh Amercn Acurl Journl, 5 : Smh, A. e Robers, G. (993). «Byesn Compuon v he Gbbs Smpler nd Reled Mrkov Chn Mone Crlo Mehods» (vec dscusson). Journl of he Royl Sscl Socey, Seres B, 55 : 3-3. Young, V. (998). «Credbly usng Loss Funcon from Splne heory: Prmerc Models wh One-Dmensonl Suffcen Ssc». Norh Amercn Acurl Journl, : 0-7. Young, V. e De Vylder, F. (000). «Credbly n Fvor of Unlucky Insureds. Norh Amercn Acurl Journl, 4 : Noes. À l excepon peu vrsemblble où le porefeulle nlysé ne comprendr que des ssurés yn réclmé u mxmum une fos pr nnée.. Vor Denu e l. (007) pour une explcon plus déllée de ce sysème. 50 Assurnces e geson des rsques, vol. 75(4), jnver 008

35 Reproduced wh permsson of he copyrgh owner. Furher reproducon prohbed whou permsson.