Chapitre 2.2 La force gravitationnelle

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1 Chapite. La foce gaitationnelle La foce gaitationnelle (le poids) La foce gaitationnelle est une inteaction phsique qui cause une attaction ente des objets aant une masse. Tout objet aant une masse est attié gâce à la foce gaitationnelle es les autes masses. Cette foce d attaction s effectue à distance. Situation : Objet situé pès d un objet B et de la suface de la Tee. F B : Foce gaitationnelle ésultant que est attié es B. F : Foce gaitationnelle ésultant que est attié es la Tee. Tee Puisque la foce gaitationnelle est une foce tès faible, il faut beaucoup de masse pou obsee un effet obseable. insi, la foce F B est négligeable. Habituellement, ce n est que les astes (comme la Tee) qui applique une foce gaitationnelle suffisamment imposante su les objets pou ête considéée dans une situation. F B F Tee Tee B a Voici la définition de la foce gaitationnelle appliquée pa un aste, une planète ou une étoile : Peue : = mg F g : Foce gaitationnelle appliquée su l objet (N) m : asse de l objet qui subit la foce (kg) g : ccéléation gaitationnelle que subit l objet sous l influence de l aste en chute libe ( m/s ) F = mg g Tee Supposons un objet subissant uniquement une foce gaitationnelle appliquée pa un aste. los, démontons l epession de la foce gaitationnelle à l aide de la ième loi de Newton et de l accéléation en chute libe à la suface de l aste : F = ma = ma (Une seule foce en jeu, F g ) = m( g j ) (ccéléation en chute libe, a = g j ( a = g )) = mg (ccéléation gaitationnelle, g = g j ) Remaque : La foce gaitationnelle appliquée pa une planète selon un sstème d ae est positif es le haut se décompose de la façon suiante : = mg = mg j La masse gaitationnelle (utilisée dans la foce gaitationnelle) est égale à la masse d inetie (utilisée dans la ième loi de Newton). a Réféence : ac Séguin, Phsique XXI Volume Page 1 Note de cous édigée pa : Simon Vézina

2 5 Situation : L écasement de l ltaï. L ltaï est un aisseau de 8 10 kg qui est 6 populsé pa un moteu qui eece une foce de,4 10 N paallèlement au aisseau. Pou des aisons toujous inconnues, l ltaï s est écasé à la suface de la lune ( g = 1,6 m/s ) aec un angle de 0 o pa appot à la suface. On désie éalue le module de l accéléation de l ltaï tout juste aant l écasement. 0 Voici le schéma des foces de la situation : F p 0 mg a Résolution de la ième loi de Newton gaphiquement : mg F p ma Éaluons l accéléation en et à pati de la somme des foces appliquées su l ltaï selon le sstème d ae et de la ième loi de Newton : F = ma F p cos ( 0 ) = ma (Remplace F ) 6 5 (,4 10 ) cos( 0 ) = ( 8 10 ) a (Remplace aleus num.) =,819 a m/s (Éalue a ) F = ma F p sin ( 0 ) mg = ma (Remplace F ),4 10 sin ,6 = 8 10 a (Remplace aleus num.) ( ) ( ) ( )( ) ( ) a =,66 m/s (Éalue a ) Éaluons le module de l accéléation : = ( ) ( ) a a + a a =,819 +, 66 (Remplace aleus num.) a = 3,853 m/s (Éalue a ) Réféence : ac Séguin, Phsique XXI Volume Page Note de cous édigée pa : Simon Vézina

3 La gaitation unieselle La plus gande éalisation d Isaac Newton fut d unifie le concept de foce gaitationnelle teeste à celui de la foce gaitationnelle céleste. À pati des tois lois de Keple 1 obtenus epéimentalement pa l obseation du mouement des astes pa Johannes Keple en 1609 et 1618, Newton découit en 1687 une epession plus généale à la foce gaitationnelle ce qui lui a pemis de démonte théoiquement les lois de Keple. Cette foce était pincipalement fondée su l attaction à distance des masses. Johannes Keple Isaac Newton ( ) ( ) Voici les quate constatations de Newton : 1) m : La foce gaitationnelle su Tee ( = mg ) est popotionnelle à la masse qui subit la foce. Ceci deait ête alable également dans l espace. ) : Puisque la foce gaitationnelle est la conséquence de l attaction des masses, alos la masse qui applique la foce doit faie patie de l epession de la foce gaitationnelle. 3) 1/ : La tajectoie elliptique des astes autou du soleil à difféentes itesses dans l espace impose une estiction au nieau de l efficacité de la foce gaitationnelle. Pou que le tout soit cohéent, il faut que la foce gaitationnelle ente l aste qui applique la foce et l aste qui subit la foce diminue en fonction du caé de la distance. 4) G : fin d obteni une équation aant comme unité le newton 3, le tout doit ête multiplié pa une constance de popotionnalité. Voici l epession scalaie de la foce gaitationnelle : = G m F g m F g : La foce gaitationnelle d attaction ( N ) G : Constante de la gaitation unieselle ( G = 6,67 10 N m kg ) m : asse qui subit la foce (kg) : asse qui applique la foce (kg) : Distance ente les deu masses et m (m) 1 Les tois lois de Keple sont les suiantes : loi des obites elliptiques, loi des aies et loi des péiodes. Plusieus histoiens affiment que Newton aait pis connaisse des taau de Robet Hooke au sujet du facteu 1/ aant de publie son ouage sans faie éféence puisqu il était en compétition aec lui. 3 La constante G fut déteminée gâce au ésultats de l epéience de Caendish (pendule de tosion, 1793). À l époque de Newton, la foce gaitationnelle n était pas éaluée en newton et la constante G était égale à l. Réféence : ac Séguin, Phsique XXI Volume Page 3 Note de cous édigée pa : Simon Vézina

4 Le champ gaitationnel En phsique, un champ epésente une zone d influence dans l espace susceptible d applique une foce à distance su un objet. Puisque la foce gaitationnelle est justement une foce à distance, on peut défini un champ associé à la foce gaitationnelle. Tout objet aant une masse poduit un champ gaitationnel autou de lui, ca l objet doit inteagi gaitationnellement à distance aec des objets de masse m autou de lui. Le champ gaitationnel g associé à une masse est adial, oienté es la masse et diminue en fonction du caé de la distance ( g 1/ ). athématiquement, on utilise un ecteu pou epésente le module et l oientation du champ gaitationnel g en un point de l espace. g Voici l équation pemettant d éalue le module du champ gaitationnel g poduit pa une masse à un endoit P de l espace situé à une distance de la masse. Cette équation s applique uniquement pou les objets sphéiques de masse olumique unifome : g = G g : Le champ gaitationnel adial es ( N /kg) G : Constante de la gaitation unieselle ( G = 6,67 10 N m kg ) : asse qui poduit le champ gaitationnel (kg) : Distance ente et le point P (m) Remaque : Éalue le champ gaitationnel est équialent à éalue l accéléation en chute libe d un objet à un endoit donné (champ g suface de la Tee : 9,8 N/kg ). Peue : Éaluons l epession du champ gaitationnel g à pati des deu epessions de la foce gaitationnelle que nous aons. = mg m m G = mg (Remplace F g = G ) g = G (Simplifie m) g P Réféence : ac Séguin, Phsique XXI Volume Page 4 Note de cous édigée pa : Simon Vézina

5 Situation X : lbet su as. La masse d lbet est égale à 3 90 kg. La masse de la planète as est égale à 6,4 10 kg et son aon est égal à 3397 km. On désie détemine (a) la masse et (b) le poids d lbet su as. (On suppose que la planète as est sphéique et que sa masse olumique est unifome) Voici nos données de base : m = 90 kg (asse qui subit la foce) 3 = 6,4 10 kg (asse qui applique la foce) 3 = m (Distance ente le cente de la as et la suface) Éaluons le champ gaitationnel à la suface de la planète as : g = G ( ) ( 3 ) 6,4 10 = 6, ( ) g g = 3,71 N/kg (a) Puisque la masse est une caactéistique de l objet qui subit la foce, elle ne dépend pas de son enionnement. insi : masse : 90 kg (b) Le poids est le snonme de la foce gaitationnelle qui dépend du champ et de la masse qui subit la foce. insi : = mg = le poids : ( )( 3,71) 333,9 N 90 = La foce gaitationnelle et le cente de masse Losqu un cops ne peut pas ête considéé comme étant ponctuelle (comme dans le chapite 4 : écanique des cops), il faut saoi applique la foce gaitationnelle su le cops. La foce gaitationnelle ésultante est toujous appliquée su un cops à la position du cente de masse (oi chapite 4.3 : Le cente de masse). Le cente de masse C (smbole : ) est un point de éféence imaginaie situé à la position moenne de la masse d un cops. Dans un cops smétique et homogène, le cente de masse est situé au cente géométique du cops. Si l on considèe un cops comme étant un egoupement de N paticules de masse m p, on peut étudie la dnamique Pomme N paticules de masse m p Nm = m p m g g p Pomme 1 paticule de masse m C * pplication de la foce gaitationnelle au cente de masse C d un cops. de tanslation des N paticules comme étant qu une seul paticule de masse m subissant une foce gaitationnelle ésultante appliquée au cente de masse du cops et calcule l accéléation de ce cente de masse pa la ième loi de Newton. Réféence : ac Séguin, Phsique XXI Volume Page 5 Note de cous édigée pa : Simon Vézina mg

6 Les maées Le phénomène des maées est une conséquence de la foce gaitationnelle qu applique la Lune su la Tee. Bien que le phénomène des maées soit assez complee à décie, on peut le simplifie et le justifié pa une difféence de foce gaitationnelle qu applique la Lune au deu etémités de la Tee. Pot à maée basse Route à maée haute Cette difféence de foce gaitationnelle défome les océans en fome d oale (sans Lune, la fome seait sphéique comme celle de la Tee). L ae de l oale n est pas aligné 4 su l ae Tee-Lune. Puisque la Tee toune su elle-même plus apidement que la otation de la Lune autou de la Tee, la otation de la Tee pooque la enconte de la maée haute et basse. Puisque la Tee n effectue qu un seul tou su elle-même pa jou, il a donc deu maées complètes pa jous, ca il a deu pointes à la fome oale des océans. côté maée basse F g F g1 côté maée haute Rotation de la Tee su elle-même : 4 h Rotation de la Lune autou de la Tee : 7,3 jous Foce gaitationnelle sous fome ectoielle Puisque la foce gaitationnelle est une foce adiale d attaction. On peut la epésente ectoiellement à l aide du ecteu unitaie adial ˆ désignant l oientation adiale de la foce. On intoduit un signe négatif afin de epésente la natue attactie de la foce : Foce gaitationnelle aec champ g Champ gaitationnelle = mg g = G ˆ Foce gaitationnelle généale m = G ˆ F g : Foce gaitationnelle subit pa m (N) g : Champ gaitationnel poduit pa (N/kg) : asse qui poduit le champ gaitationnel (kg) m : asse qui subit l influence du champ gaitationnel (kg) G : Constante de la gaitation unieselle ( 6,67 10 N m kg ) ˆ : Vecteu unitaie de (souce) à m (cible) F g ˆ g m Rappel : ˆ oientation du champ gaitationnel signe négatif champ gaitationnel attactif 4 L ae n est pas aligné en aison du fottement des maées. Réféence : ac Séguin, Phsique XXI Volume Page 6 Note de cous édigée pa : Simon Vézina

7 Le ecteu déplacement à pati de deu positions Un ecteu déplacement B pou passe d une coodonnée à une coodonnée B peut ête éalué à pati de deu ecteus positions et B. Le module de B pemet d obteni la B distance ente les deu coodonnées et l oientation de B ce ecteu pemet d obteni le sens du déplacement ˆ B : B = B (m) B B B : Vecteu déplacement pou passe de la coodonnée à B. : Vecteu position de la coodonnée. : Vecteu position de la coodonnée B. B Le ecteu oientation ˆ B B (m) Le ecteu oientation ˆ pemet d obteni le sens d un déplacement sans considée le module de celui-ci. Il est impotant de ne pas confonde ce ecteu aec la notion de déplacement et de distance. Cependant, toutes ces notions sont eliées mathématiquement pa l équation suiante : ˆ = et = ˆ ˆ = ˆ ˆ : Vecteu unitaie oientation. : Vecteu déplacement ente deu coodonnées. : Distance ente deu points ( = ). Dans un sstème d ae, le ecteu unitaie ˆ peut ête décomposé de la façon suiante : ˆ = cos + ( θ ) i sin( θ ) j θ : ngle ente le ecteu ˆ et l ae ˆ θ cos ( θ )i sin ( θ ) j Réféence : ac Séguin, Phsique XXI Volume Page 7 Note de cous édigée pa : Simon Vézina

8 Situation : Foce gaitationnelle sous foce ectoielle. Dans un plan catésien, la Lune est positionnée pa appot à la Tee à un angle de -30 o pa appot à l ae tel qu illusté su le schéma ci-conte. On désie éaluez (a) la foce gaitationnelle sous fome ectoielle appliquée pa la Tee su la Lune et (b) le module du champ gaitationnel à l endoit la lune est située. Voici quelques données impotantes : 4 8 m = 5,98 10 kg, m = 7,36 10 kg, = 3,84 10 m Tee Lune Voici les temes de l équation généale à défini : = m Tee mlune Tee Lune m = = Tee Lune Considéons la Tee à l oigine du sstème d ae. insi, on peut facilement éalue le ecteu unitaie ˆ désignant l oientation de la foce gaitationnelle : ˆ = sin 30 i + cos 30 ( ) ( ) j Éaluons le champ gaitationnel poduit pa la Tee su le Lune : g = G ˆ ( ) ( 4 ) 5,98 10 g = 6,67 10 ( sin( 30 ) i + cos( 30 ) j ) 8 ( 3,84 10 ) g =,7 10 ( sin( 30 ) i + cos( 30 ) j ) g = ( 1,35 i,34 j ) 10 N/kg Éaluons la foce gaitationnelle appliquée pa la Tee su la Lune : = mg = ( 7,36 10 )( 1,35 i,34 j ) 10 0 = ( 0,99 i 1,7 j ) 10 N Éaluons le module du champ gaitationnel poduit pa la Tee à l endoit de la lune : g = g (a) g = g + g (odule d un ecteu) ( ) ( ) g = 1, ,34 10 g =,70 10 N/kg (b) Réféence : ac Séguin, Phsique XXI Volume Page 8 Note de cous édigée pa : Simon Vézina