SYSTEMES LINEAIRES. P. Pansu September 13, 2004

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1 SYSTEMES LINEAIRES P Pansu September 13, Motivation On rencontre des systèmes linéaires à la fois dans la vie courante et dans des problèmes posés par les sciences 2 Objectif Savoir résoudre (ie décrire l ensemble des solutions) à la main un système linéaire de petite taille Savoir conduire une discussion lorsque le système dépend d un paramètre Savoir interpréter géométriquement les résultats obtenus 3 Généralités a Définition : système linéaire Une équation linéaire à n inconnues s écrit a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b où a 1,, a n sont les coefficients de l équation, b est le second membre, x 1,, x n désignent les inconnues b Exemple L équation y = 2x 1 représente une droite affine dans le plan C est une équation linéaire à deux inconnues, car on peut l écrire 2x 1 x 2 = 1 où on a simplement changé les noms des inconnues : x = x 1 et y = x 2 c Exemple L équation x + 2y 3z = 2 représente un plan affine dans l espace C est une équation linéaire à trois inconnues d Définition : système linéaire (suite) Un système linéaire de p équations à n inconnues consiste à se donner p équations linéaires ayant les mêmes inconnues x 1,, x n On range les coefficients des p équations dans un tableau rectangulaire à p lignes et n colonnes appelé matrice du système, et les second membre en une colonne appelée second membre du système Le système de matrice A et de second membre B peut s écrire symboliquement AX = B où X désigne la colonne des inconnues X = x n e Exemple x 1 1

2 Chercher l intersection des droites affines D d équation y = 2x 1 et D d équation y = x + 2 revient à résoudre le système linéaire { 2x y = 1 x + y = 2 La matrice du système est ( ) 2 1 et le second membre 1 1 ( ) 1 2 f Exemple Chercher l intersection des plans affines P d équation x+2y 3z = 2 et P d équation 2x y+z = 3 revient à résoudre le système linéaire { x + 2y 3z = 2 x + y + z = 3 La matrice du système est ( ) et le second membre ( ) 2 3 g Définition : système linéaire (suite et fin) Une solution d un système de p équations à n inconnues, c est un n-uplet (x 1,, x n ) de nombres qui satisfont simultanément les p équations du système Résoudre le système, c est déterminer l ensemble de toutes ses solutions, un sous-ensemble de R n Deux systèmes linéaires sont dits équivalents s ils possèdent les mêmes solutions h Exemple Le système { 2x y = 1 x + y = 2 possède une unique solution (1, 1) C est le point d intersection des droitres D et D Le système { x + 2y 3z = 2 x + y + z = 3 possède une infinité de solutions En effet, l intersection des plans P et P est une droite affine, qui possède une infinité de points On décrit une droite affine de façon paramétrique Dans une droite affine, il y a exactement une direction pour se déplacer, un degré de liberté La droite est balayée par un point dépendant d un paramètre λ Ici, les solutions sont les points de la forme où λ décrit R x = 4 5λ y = 1 + 4λ z = λ 4 Sous-espaces vectoriels et affines a Définition : sous-espace vectoriel Un sous-ensemble E de R n est un sous-espace vectoriel s il est stable par combinaison linéaire, ie si pour tous v, v E et λ, λ R, le vecteur λv + λ v est encore dans E b Exemple Une droite passant par l origine dans le plan ou l espace est un sous-espace vectoriel c Exemple fondamental, 2

3 L ensemble des solutions d un système linéaire homogène, ie dont le second membre est nul, est un sous-espace vectoriel On cherche maintenant à définir le nombre de degrés de liberté dans un espace vectoriel, ie le nombre de paramètres dont dépend un élément du sous-espace Une représentation paramétrique d un sous-espace vectoriel E de R n prend la forme suivante : v 1,, v d sont des vecteurs de E Un vecteur v est dans E si et seulement si il existe des nombres λ 1,, λ d uniques tels que v = λ 1 v λ d v d d Définition : base Une famille (v 1,, v d ) de vecteurs d un sous-espace vectoriel E est une base de E si tout vecteur v possède une écriture unique v = λ 1 v λ d v d comme combinaison linéaire de v 1,, v d e Exemple Considérons la droite D d équation y = 2x dans le plan R 2 C est un sous-espace vectoriel Soit v 1 = (1, 2) On remarque que tout vecteur v de D s écrit de manière unique v = (x, y) = (x, 2x) = x(1, 2) = xv 1 Par conséquent, v 1 est une base de D Théorème 1 Tout sous-espace vectoriel E de R n admet une base Le nombre d éléments de la base est le même pour toutes les bases f Définition : dimension La dimension d un sous-espace vectoriel E de R n est le nombre d éléments d une base de E Par convention, la dimension du sous-espace vectoriel {0} vaut 0 Un sous-espace vectoriel de dimension 1 s appelle une droite vectorielle Un sous-espace vectoriel de dimension 2 s appelle un plan vectoriel Un sous-espace vectoriel de dimension n 1 s appelle un hyperplan vectoriel g Propriétés de la dimension Proposition 1 Soient E et F deux sous-espaces vectoriels de R n Si E est contenu dans F (noté E F ), alors dime dimf, et l égalité n a lieu que si E = F h Moralité Décrire un sous-espace vectoriel, c est en donner une base Etant donné un système linéaire homogène (S), à la question déterminer les solutions de (S), la réponse consiste à calculer une base de l espace des solutions i Exemple Considérons le système homogène { x + 2y 3z = 0 x + y + z = 0 En éliminant x entre les deux équations, on arrive au système équivalent { x + 2y 3z = 0 y 4z = 0, puis à { x = 5z y = 4z Autrement dit, toute solution du système s écrit uniquement v = (x, y, z) = ( 5z, 4z, z) = z( 5, 4, 1), donc l ensemble des solutions est le sous-espace vectoriel de base v 1 = ( 5, 4, 1) j Définition : sous-espace affine 3

4 Soit E un sous-espace vectoriel de R n, et v 0 R n Le sous-espace affine F passant par v 0 et de direction E est l ensemble des vecteurs de la forme v 0 + v où v décrit E Sa dimension est celle de E, par définition Les points {v} sont des sous-espaces affines de dimension 0 On peut parler de droites, plans et hyperplans affines k Exemple La droite affine d équation y = 2x 1 dans le plan R 2 est le sous-espace affine passant par v 0 = (0, 1) et dont la direction est la droite vectorielle de base v 1 = (1, 2) Théorème 2 Soit (S) un système linéaire, (H) le système homogène associé (même matrice, mais second membre nul) Soit v 0 une solution particulière de (S) Alors l ensemble S des solutions de (S) est le sous-espace affine passant par v 0 et de direction l ensemble E des solutions de (H) Si (v 1,, v d ) est une base de E, l ensemble S admet la représentation paramétrique suivante Preuve de (H) S = {v 0 + λ 1 v λ d v d ; λ 1,, λ d R} Si v est solution de (S), alors v est solution de (S) si et seulement si v v est solution l Moralité Soit (S) un système linéaire A la question déterminer les solutions de (S), la réponse consiste à donner une solution particulière et une base de l ensemble des solutions du système homogène associé 5 Systèmes échelonnés Ce sont les systèmes pour lesquels la dimension de l ensemble des solutions saute aux yeux a Définition : système triangulaire Un système linéaire est triangulaire s il a autant d inconnues que d équations et si tous les coefficients de sa matrice situés au-dessous de la diagonale sont nuls b Exemple Le système x + 2y z = 4 3y z = 1 2z = 1 est triangulaire Ses coefficients diagonaux 1, 3 et 2 sont non nuls On voit à vue d oeil que ce système possède une et une seule solution En effet, la dernière équation détermine uniquement z, puis la deuxième donne y, et la première donne x Théorème 3 Soit A une matrice triangulaire à coefficients diagonaux non nuls Il existe une matrice triangulaire notée A 1 telle que, pour tout second membre B, l unique solution du système AX = B soit X = A 1 B c Définition : système échelonné Un système linéaire est échelonné si sa matrice est formée d une matrice triangulaire à coefficients diagonaux non nuls, à laquelle on a ajouté des colonnes (quelconques), puis des lignes identiquement nulles La taille du sous-système triangulaire s appelle le rang du système d Exemple Le système x + 2y 3z = 3 y 4z = 1 0 = 1 4

5 est échelonné, de rang 2 Il ne possède pas de solution, puisque la dernière équation n est jamais satisfaite Théorème 4 Soit (S) un système linéaire de p équations à n inconnues On suppose (S) échelonné, de rang q Alors (S) possède des solutions (on dit que (S) est compatible) si et seulement si les p q dernières composantes du second membre sont nulles Si c est le cas, alors l ensemble des solutions de (S) est un sous-espace affine de R n de dimension n q On obtient une solution particulière v 0 en imposant que les n q dernières inconnues soient nulles et en résolvant le système triangulaire obtenu On obtient une base de l ensemble des solutions du système homogène associé (H) en ajoutant à (H) des équations qui expriment que les n q dernières inconnues sont nulles sauf une qui vaut 1 et en résolvant le système triangulaire homogène obtenu Preuve La condition de compatibilité est évidemment nécessaire Supposons la satisfaite On peut donc oublier les p q dernières équations, qui s écrivent 0 = 0 Ajoutons les équations x q+1 = 0,, x n = 0 On obtient un système de n équations à n inconnues, triangulaire à coefficients diagonaux non nuls Il possède une unique solution v 0 C est une solution particulière de (S) Considérons le système homogène (H) associé à (S) Etant donnés des nombres λ q+1,, λ n, ajoutons les équations x q+1 = λ q+1,, x n = λ n On obtient un système de n équations à n inconnues, triangulaire à coefficients diagonaux non nuls, noté A X = B Il possède une unique solution X = A 1 B Pour i = q + 1,, n, soit B i la colonne dont seule la i-ème composante est non nulle est vaut 1 Le vecteur v i suggéré par l énoncé est v i = A 1 B i Soit v = (x 1,, x n ) une solution de H Alors donc A v = (0,, 0, x q+1,, x n ) = x q+1 B q x n B n v = A 1 (x q+1 B q x n B n ) = x q+1 v q x n v n et cette écriture est unique Par conséquent, (v q+1,, v n ) est une base de l espace des solutions de (H) e Exercice Suivant la valeur du paramètre réel a, déterminer le rang, décider si l ensemble des solutions du système (S a ) ci-dessous est non vide, et lorsque que c est le cas, donner sa dimension (S a ) x + 2y 3z = 3 (1 a)y z = 1 az = a(a 1) f Solution Le système (S a ) est triangulaire Si a est distinct de 0 et de 1, les coefficients diagonaux sont non nuls, donc le rang est 3 et le système (S a ) possède une solution unique Si a = 0, le système (S 0 ) est échelonné de rang 2 La dernière équation, 0 = 0, est compatible, donc (S 0 ) possède des solutions D après le théorème 4, l ensemble des solutions de (S 0 ) est de dimension 1, c est une droite affine Si a = 1, le système (S 1 ) n est pas échelonné Néanmoins, il suffit de changer l ordre des inconnues et d ajouter la deuxième ligne à la dernière pour obtenir un système échelonné équivalent à (S 1 ), x 3z + 2y = 3 z = 1 0 = 1 Ce système n a pas de solution, car la dernière ligne est incompatible, donc (S 1 ) n a pas de solution 5

6 6 Méthode du pivot de Gauss La méthode employée pour résoudre un système linéaire quelconque consiste à le transformer en un système équivalent de plus en plus simple, jusqu à ce qu il soit échelonné a Opérations élémentaires Il s agit des opérations suivantes 1 Ajouter à une équation une combinaison linéaire des autres équations 2 Réécrire les équations en changeant l ordre d apparition des inconnues 3 Permuter les équations 4 Multiplier une équation par un nombre non nul Proposition 2 Par opération élémentaire, on transforme un système linéaire en un système équivalent Pour tout système linéaire (S), il existe une suite d opérations élémentaires qui ramènent (S) à un système échelonné Preuve On construit le système échelonné ligne par ligne, ie après la i-ème étape, les i premières lignes ne changeront plus La première étape consiste à choisir une des p équations et une des n inconnues dont le coefficient dans cette équation, appelé pivot, est non nul (les calculs sont simplifiés s il vaut 1, cela guide le choix) On permute équations et inconnues de façon à mettre le pivot en haut à gauche du système Puis on ajoute aux autres équations un multiple de la première équation de façon à annuler le premier terme de chaque équation L étape suivante consiste à faire le même travail dans le sous-sytème obtenu en ignorant la première équation et la première inconnue (qui n apparaît que dans la première équation désormais) Le procédé s arrête lorsqu on ne peut plus trouver de pivot dans aucune des équations restantes, ie lorsqu elles ont toutes un premier membre identiquement nul Les coefficients diagonaux du système (S ) obtenu sont les pivots successifs, ils sont non nuls par construction, donc (S ) est échelonné L algorithme est plus facile a saisir sur un exemple b Exercice Echelonner le système suivant y + z = 1 x + y = 2 x + z = 3 c Solution On choisit comme premier pivot le coefficient de y dans la première équation On élimine donc y dans la deuxième équation en lui retranchant la première Il n y a rien à faire sur la troisième Cela donne le système équivalent y + z = 1 x z = 1 x + z = 3 On choisit comme deuxième pivot le coefficient de x dans la deuxième équation On élimine donc x dans la troisième équation en lui retranchant la deuxième On obtient le système échelonné y + z = 1 x z = 1 2z = 2, 6

7 dont le rang vaut 3 d Exercice Suivant la valeur du paramètre réel a, échelonner le système (S a ) suivant ax + 2y 3z = 3 (S a ) (1 a)y z = 1 az = a(a 1) e Solution Comme la matrice du système (S a ) est triangulaire, si a est distinct de 0 et de 1, le système est échelonné de rang 3 Si a = 0, on choisit pour pivot le coefficient de y dans la troisième équation, et on obtient le système échelonné y z = 1 z = 5 0 = 0 de rang 2, compatible Si a = 1, on choisit pour premier pivot le coefficient de x dans la première équation (aucune manipulation à faire) puis le coefficient de z dans la deuxième équation, qu on ajoute à la dernière, ce qui conduit au système échelonné de rang 2, incompatible x 3z + 2y = 1 z = 1 0 = 1 f Exercice Echelonner le système suivant, en fonction du paramètre a (S a ) { 4ax + (a + 1)y + az = 1 (a + 1)x + y + (1 a)z = 1 g Solution Il est prudent de choisir un pivot qui ne dépend pas du paramètre On choisit le coefficient de y dans la seconde équation On ajoute à l autre équation celle-ci multipliée par a + 1 Le système obtenu { y + (a + 1)x + (1 a)z = 1 ( a 2 + 2a 1)x + ( a 2 + 3a 1)z = a est échelonné En effet, si a 1, alors a 2 + 2a 1 n est pas nul Si a = 1, le coefficient de x dans la seconde équation est nul mais celui de z n est pas nul Dans les deux cas, le rang vaut 2 7 Résolution d un système linéaire a Méthode On échelonne le système au moyen d opérations élémentaires sur les équations, comme décrit au paragraphe précédent D après le théorème 4, lorsqu il est non vide, l ensemble des solutions d un système linéaire échelonné est un sous-espace affine qu on décrit au moyen d une solution particulière v 0 et d une base (v 1,, v d ) Ces vecteurs s obtiennent par résolution d un système triangulaire de q équations à q inconnues, où q est le rang 7

8 Voici comment on s y prend En divisant chaque équation non nulle par son pivot, on ramène les pivots à 1 En continuant avec des opérations élémentaires, on peut faire disparaître tous les coefficients, sauf les pivots, ce qui donne le résultat cherché Il vaut mieux expliquer le procédé sur des exemples b Exemple Résolution du système y + z = 1 x + y = 2 x + z = 3 On commence par échelonner On obtient le système y + z = 1 x z = 1 2z = 2 On divise chaque équation par son pivot (ici, seule la troisième équation est concernée), on trouve y + z = 1 x z = 1 z = 1 Pour faire disparaître z des deux premières équations, on ajoute (resp retranche) la dernière ligne à la deuxième (resp première) On trouve et le tour est joué y = 0 x = 2 z = 1 c Exercice Soit a un paramètre réel Déterminer l intersection des trois plans affines P d équation ax + y 3z = 3, Q d équation ax ay + 2z = 4 et R d équation a 2 x + ay = 3a 2 d Solution Cela revient à résoudre le système ax + y 3z = 3 ax ay + 2z = 4 a 2 x + ay = 3a 2 On échelonne On choisit comme pivot le coefficient de y dans la première équation On obtient le système équivalent y + ax 3z = 3 ( a + a 2 )x + (2 3a)z = 4 + 3a 3az = 3a + 3a 2 Si a 0 et a 1, le système est échelonné de rang 3 On divise chaque équation par son pivot, y + ax 3z = 3 x + 2 3a a+a z = 4+3a 2 a+a 2 z = 1 + a On élimine les termes en z, y + ax = 3a x = 6 2a+3a2 a+a 2 z = 1 + a, 8

9 On élimine le terme en x de la première équation, y = 2+a a+a 2 x = 6 2a+3a2 a+a 2 z = 1 + a, ce qui achève la résolution L intersection des trois plans est réduite au point ( 6 2a + 3a2 a + a 2, 2 + a, 1 + a) a + a2 Si a = 0, la première opération a déjà conduit au système échelonné y 3z = 3 2z = 4 0 = 0 Le système est compatible, de rang 2 L ensemble des solutions est donc une droite affine Pour trouver une solution particulière, on impose x = 0 et on résoud le système de 2 équations à 2 inconnues restant, { y 3z = 3 2z = 4, en divisant par les pivots et en éliminant z de la première équation, { y = 3 z = 2, D où la solution v 0 = (0, 3, 2) Pour obtenir une base de l espace vectoriel des solutions du système homogène associé, on donne à x la valeur 1, et on résoud { y 3z = 0 2z = 0, ce qui donne le vecteur v 1 = (1, 0, 0) L intersection des 3 plans, dans ce cas, est la droite passant par v 0, de vecteur directeur v 1, qu on peut représenter paramétriquement par D = {( λ, 3, 2 ) ; λ R} Si a = 1, le système obtenu équivalent à y + x 3z = 3 z = 1 3z = 0 y + x 3z = 3 z = 1 0 = 3,, est incompatible, l intersection des 3 plans est vide On constate que l intersection des 3 plans considérés est en général un point, accidentellement, ie pour des valeurs particulières du paramètre, vide ou une droite 9

10 8 Rang a Définition : rang d un système linéaire Le rang d un système linéaire est le rang d un système échelonné qui lui est équivalent C est le même pour un système et pour le système homogène associé Il ne dépend pas du procédé d échelonnage Cela resulte du corollaire suivant du théorème 4 Corollaire 3 Pour un système linéaire homogène à n inconnues, de rang r, la dimension de l espace vectoriel des solutions est n r b Exemple Considérons le système (a + a 2 )x + ( a + 2a 2 )y + az + ( 1 + a a 3 )t = a (S a ) ax + ( 1 + 2a)y + z a 2 t = 1 ( 1 + a)x + ay + z + ( 1 + a 2 )t = 1 + a Pour connaître son rang, il suffit d échelonner le système homogène associé On choisit comme pivot le coefficient de z dans la deuxième équation On obtient le système homogène équivalent z + ax + ( 1 + 2a)y a 2 t = 0 x + (1 a)y + ( 1 + 2a 2 )t = 0 ax + (a 1)t = 0 Comme il vaut mieux que les pivots ne dépendent pas du paramètre, on choisit comme pivot le coefficient de x dans la deuxième équation On obtient le système homogène équivalent z + ax + ( 1 + 2a)y a 2 t = 0 x + ( 1 + a)y + (1 2a 2 )t = 0 (a a 2 )y + ( 1 + 2a 3 )t = 0 Si a 0 et a 1, le coefficient de y dans la troisième équation est non nul, donc le système est échelonné de rang 3 Si a = 0 ou a = 1, le coefficient de t dans la dernière équation n est pas nul, et il suffit de changer l ordre des termes en y et t pour revenir à un système échelonné Dans tous les cas, le rang vaut 3 c Rang et compatibilité Théorème 5 Le rang d un système linéaire de matrice A est égal à la dimension de l espace vectoriel {B ; le système AX = B est compatible} Preuve Il suffit de le vérifier pour un système échelonné de rang q Le système avec second membre B est compatible si et seulement si les p q dernières composantes de B sont nulles Il reste exactement q paramètres libres, les q premières composantes de B, donc le sous-espace vectoriel obtenu est de dimension q d Définition : rang d une famille de vecteurs Soient v 1,, v k des vecteurs de R n Le sous-espace vectoriel engendré par v 1,, v k est l ensemble V ect(v 1,, v k ) de toutes les combinaisons linéaires λ 1 v λ k v k obtenues lorsque λ 1,, λ k décrivent R Sa dimension est le rang de la famille v 1,, v k e Exemple Si v 1 = v 2 = = v k = 0, le rang vaut 0 10

11 Si v i 0, et tous les autres vecteurs v j sont proportionnels à v i, le rang vaut 1 Si parmi les v i, il existe deux vecteurs v j et v k non nuls et non proportionnels, alors le rang vaut au moins 2, et vaut 2 si et seulement si tous les autres vecteurs sont dans le plan vectoriel engendré par v j et v k f Exercice Soit a un paramètre réel Soient v 1 = (1, 0, 1, 1), v 2 = (0, 1, 1, 2) et v 3 = (1 + a, 1, 0, 1) trois vecteurs de R 4 Donner des équations pour le sous-espace V ect(v 1, v 2, v 3 ) g Solution Soit v = (x, y, z, t ) un vecteur quelconque de R 4 Alors v V ect(v 1, v 2, v 3 ) si et seulement si le système xv 1 +yv 2 +zv 3 = v est compatible Pour faire apparaître les conditions de compatibilité, il suffit d échelonner le système x + (1 + a)z = x y + z = y x + y = z x 2y z = t On choisit comme pivot le coefficient de x dans la première équation, x + (1 + a)z = x y + z = y y + (1 + a)z = x + z, 2y + ( 2 a)z = x + t puis le coefficient de y dans la deuxième équation, x + (1 + a)z = x y + z = y az = x y + z, az = x + 2y + t On ajoute la troisième équation à la dernière, x + (1 + a)z = x y + z = y az = x y + z 0 = y + z + t Si a 0, on trouve une seule condition de compatibilité, y + z + t = 0, qui est l équation du sous-espace V ect(v 1, v 2, v 3 ) Si a = 0, le rang est 2, le sous-espace V ect(v 1, v 2, v 3 ) est de dimension 2, il est défini par les deux équations y + z + t = 0 et x y + z = 0 h Rang des colonnes Théorème 6 Soit (S) un système linéaire de matrice A Le rang de (S) est égal au rang de la famille de vecteurs formée par les colonnes de A Preuve Soit X la colonne de composantes λ 1,, λ k Alors AX = λ 1 v λ k v k Par conséquent, un vecteur v est dans V ect(v 1,, v k ) si et seulement si le système AX = v est compatible D après le théorème 5, la dimension de V ect(v 1,, v k ) est égale au rang du système L échelonnage donne une méthode pratique pour extraire de toute famille v 1,, v k une base du sous-espace vectoriel V ect(v 1,, v k ) 11

12 i Exemple Considérons les quatre vecteurs suivants de R 3, dépendant d un paramètre réel a v 1 = a + a2 a + 2a2 a, v 2 = 1 + 2a, v 3 = a 1 + a a2 1, v 4 = a a a a 2 L échelonnage du système correspondant (effectué à l exercice b ci-dessus) donne les informations suivantes Pour tout a, le rang de la famille v 1,, v 4 vaut 3 Autrement dit, la famille engendre l espace R 3 tout entier Pour a 0 et a 1, les vecteurs v 3, v 1 et v 2 constituent une base de V ect(v 1,, v 4 ) Pour a = 0 ou a = 1, les vecteurs v 3, v 1 et v 4 constituent une base de V ect(v 1,, v 4 ) En effet, si a 0 et a 1, l échelonnage montre que le système zv 3 + xv 1 + yv 2 = v admet une solution unique pour tout v, ce qui signifie que (v 3, v 1, v 2 ) est une base de R 3 Si a = 0 ou a = 1, c est le système qui admet une solution unique pour tout v 9 Indépendance linéaire zv 3 + xv 1 + tv 4 = v a Définition : indépendance linéaire Soient v 1,, v k des vecteurs de R n On dit que v 1,, v k sont linéairement indépendants si dim(v ect(v 1,, v k ) = k, ie si (v 1,, v k ) est une base du sous-espace qu il engendre Proposition 4 v 1,, v k sont linéairement indépendants si et seulement si la seule combinaison linéaire λ 1 v λ k v k qui vaut 0 est celle pour laquelle λ 1 = = λ k = 0 Preuve Soit v R n Considérons le système linéaire x 1 v x k v k = v D après le théorème 6, sont rang est dim(v ect(v 1,, v k )) D après le corollaire 3, dim(v ect(v 1,, v k )) = k si et seulement si la dimension de l espace des solutions du système homogène x 1 v 1 + +x k v k = 0 vaut 0, ie, si et seulement si ce système n admet que la solution triviale b Exemple Un vecteur v 1 est linéairement indépendant si et seulement si il est non nul Deux vecteurs v 1 et v 2 sont linéairement indépendants si et seulement si ils sont non nuls et v 2 n est pas un multiple de v 1 Dans ce cas, on parle aussi de vecteurs non colinéaires c Exercice Soient v 1 = (1, a, 0), v 2 = (1, 1, a), v 3 = (2, 1, a) Pour quelles valeurs de a ces vecteurs sont ils linéairement indépendants? d Solution Il s agit de voir quand le rang du système xv 1 + yv 2 + zv 3 = 0, ie x + y + 2z = 0 ax + y + z = 0 ay + az = 0 12

13 vaut 3 On l échelonne en choisissant comme premier pivot le coefficient de x dans la première équation Il vient x + y + 2z = 0 (1 a)y + (1 2a)z = 0 ay + az = 0 Si a 0, on choisit le coefficient de y dans la dernière équation comme pivot On obtient x + y + 2z = 0 y + z = 0 az = 0 qui est échelonné de rang 3 Si a = 0, le système x + y + 2z = 0 y + z = 0 0 = 0 est échelonné de rang 2 On conclut que les vecteurs v 1, v 2 et v 3 sont linéairement in dépendants si et seulement si a 0 10 Opérations sur les sous-espaces vectoriels a Définition : Somme L intersection de deux sous-espaces vectoriels de R n est un sous-espace vectoriel La réunion de deux sous-espaces vectoriels de R n n est pas un sous-espace vectoriel en général Le plus petit sous-espace vectoriel contenant deux sous-espaces E et F s appelle la somme de E et F Il estnoté E + F et caractérisé par E + F = {v + w ; v E, w F } b Exemple Soient v 1 = (1, 1, 0) et v 2 = (1, a, 0) deux vecteurs de R 3 dépendant d un paramètre réel a Soit D 1 la droite vectorielle engendrée par v 1 et D 2 la droite vectorielle engendrée par v 2 Leur somme D 1 + D 2 = {λ 1 v 1 + λ 2 v 2 ; λ 1, λ 2 R} = V ect(v 1, v 2 ) est un plan vectoriel si a 1, et coïncide avec D 1 si a = 1 Plus généralement, Proposition 5 Soient E et F deux sous-espaces vectoriels de R n Soit v 1,, v k une base de E et v k+1,, v k+l une base de F Alors E + F = V ect(v 1,, v k+l ) En particulier, dim(e + F ) dim(e) + dim(f ) c Formule pour la dimension Théorème 7 Soient E et F deux sous-espaces vectoriels de R n Alors dim(e + F ) + dim(e F ) = dim(e) + dim(f ) Preuve Soit v 1,, v k une base de E et v k+1,, v k+l une base de F Alors E + F = {v R n ; le système x 1 v x k+l v k+l = v est compatible} D après le théorème 5, dim(e + F ) est égal au rang du système 13

14 Si (x 1,, x k+l ) est une solution du système homogène associé, alors le vecteur u = x 1 v x k v k = (x k+1 v k x k+l v k+l ) est dans E F Pour chaque u E F, la solution (x 1,, x k+l ) est unique, car elle est formée des composantes de u dans les bases de E et F respectivement Par conséquent, la dimension de l espace des solutions est dim(e F ) D après le théorème 4, dim(e F ) = k + l dim(e + F ) d Exemple Soient P et Q deux plans vectoriels dans l espace R 3 Si P Q, alors P + Q Q donc dim(p + Q) 3 Nécessairement, dim(p + Q) = 3 On en déduit que dim(p Q) = 1, ie que l intersection de P et de Q est une droite e Définition : somme directe Deux sous-espaces vectoriels E et F de R n sont dits supplémentaires, ou bien en somme directe, noté R n = E F, si E + F = R n et E F = {0} Proposition 6 E et F sont supplémentaires si et seulement si la réunion d une base de E et d une base de F est une base de R n Du théorème 7, il résulte que Corollaire 7 R n = E F E F = {0} et dime + dimf = n f Exemple Dans le plan, deux droites vectorielles sont supplémentaires si et seulement si elles sont distinctes Dans l espace R 3, une droite D et un plan P sont supplémentaires si et seulement si D n est pas contenue dans P 11 Conclusion Le rang d un système linéaire de p équations à n inconnues est inférieur ou égal à p et à n Génériquement, il vaut min{n, p} Cela signifie que les coefficients des systèmes dont le rang est < min{n, p} satisfont des équations, donc ces systèmes sont rares De plus, si p n, génériquement, le système est compatible On s attend (mais ce n est pas rigoureusement vrai), à ce que, dans une famille de systèmes linéaires dépendant d un paramètre réel a, le rang soit min{n, p} sauf pour un nombre fini de valeurs exceptionnelles de a C est ce qu on a observé dans les exemples traités dans ces notes Si p n, la plupart des systèmes linéaires de p équations à n inconnues ont un ensemble de solutions non vide et de dimension n p Autrement dit, la solution générale dépend de n p paramètres Accidentellement (lorsque le rang est < p), la dimension de l espace des solutions peut être plus grande, ou bien l ensemble des solutions peut-être vide Autrement dit, un système linéaire se comporte en général comme le dicte l intuition : il faut au moins n p inconnues pour arriver à satisfaire p équations ; si on dispose d exactement n = p inconnues, on trouve une solution unique ; si on dispose de n > p inconnues, il reste n p degrés de liberté Mais il y a des exceptions La théorie (notion de rang) et la pratique (méthode du pivot de Gauss) ont pour objectif de traiter ces exceptions Il ne faut pas prendre ces exceptions à la légère : l expérience quotidienne des ingénieurs est que le traitement des exceptions est indispensable et coûteux 14

15 12 Application associée à une matrice Définition 8 A une matrice A à p lignes et n colonnes est associée une application f A de R n x 1 dans R p, définie comme suit Si X = est un vecteur de R n, f A (X) = AX est un vecteur x n de R p Exemple Considérons le système linéaire de deux équations à trois inconnues (S) = { x + 2y + z = 1 x y + 2z = 2 L application linéaire associée f S : R 3 R 2 est définie par 121 Noyau et image f S (x, y, z) = (x + 2y + z, x y + 2z) On va donner une sorte d interprétation géométrique des résultats sur les systèmes linéaires Pour cela, on introduit deux sous-espaces vectoriels associés à f A Définition 9 Le noyau de f A, noté ker(f A ) est le sous-espace vectoriel de R n défini par ker(f A ) = {X R n ; f A (X) = 0} L image de f A, notée ima(f A ), est le sous-espace vectoriel de R p défini par ima(f A ) = {f A (X) ; X R n } La raison pour laquelle ker(f A ) et ima(f A ) sont des sous-espace vectoriels est que f A passe au travers des combinaisons linéaires : si u, u sont des vecteurs de R n et λ, µ R, f(λu + µu ) = λf(u) + µf(u ) Exemple Résoudre le système (S) ci-dessus revient à décider si le vecteur (1, 2) R 2 est dans l image de f S ou non Autrement dit, (S) est compatible (1, 2) ima(f S ) Lorsque c est le cas, (S) admet une unique solution kerf S = {0} 122 Rang, dimensions du noyau et de l image Théorème 8 Soit A une matrice p n, soit f A : R n R p l application correspondante Alors dim(ima(f A )) est égal au rang de A ; dim(ker(f A )) = n dim(ima(f A )) Preuve La première assertion est une traduction du théorème 5, la seconde, du corollaire 3 13 Applications linéaires, formes linéaires, endomorphismes Les considérations qui précèdent sont des cas particuliers de notions générales 15

16 131 Définition Définition 10 Soient E et F deux espaces vectoriels Une application f : E F est dite linéaire si pour tous vecteurs v, v E et tous scalaires λ, µ R, f(λu + µu ) = λf(u) + µf(u ) Interprétation Une application est linéaire si elle préserve la structure d espace vectoriel 132 Exemples Exemple Soit E l espace vectoriel des polynômes à coefficients réels La dérivation f : E E, f(p ) = P et l évaluation en un réel t, g : E R, sont linéaires Par conséquent, leur composition g f : E R, g(p ) = P (t) P P (t) est linéaire Exemple Soit E = F = R 2, soit la projection sur le premier axe (dessin) Soit f : E E, f(x, y) = (x, 0) g : E E, f(x, y) = (y, x) la symétrie par rapport à la première bissectrice (dessin) Alors f et g sont linéaires, de même que leur somme f + g définie par (f + g)(x, y) = f(x, y) + g(x, y) = (x + y, x) Si α K est un scalaire, l application αf définie par est linéaire Exemple L application (αf)(x, y) = αf(x, y) f : R 2 R, f(x, y) = (x, 1) n est pas linéaire En effet, f n envoie pas le vecteur nul de R 2 sur le vecteur nul Exemple L application f : R 2 R, f(x, y) = (x 2, 0) n est pas linéaire En effet, f( 1, 0) = (1, 0) f(1, 0) Exemple On peut aussi considérer des espaces vectoriels sur C Il n y a rien a changer aux définitions Soit E le C-espace vectoriel C La conjugaison f : C C, f(z) = z n est pas linéaire En effet, f(i) = i i f(1) = i Pourtant, pour tous z, z C et tous réels λ, µ R, f(λv + µv ) = λf(v) + µf(v ) 16

17 133 Notations Définition 11 Soient E et F deux espaces vectoriels On note L(E, F ) l ensemble des applications linéaires de E dans F Lorsque E = F, une application linéaire de E dans E s appelle un endomorphisme de E, et on note L(E, E) = End(E) Lorsque F = R, une application linéaire de E dans R s appelle une forme linéaire, et on note L(E, K) = E Exemple Soit E un espace vectoriel L application identique id E : E E est linéaire, c est un endomorphisme de E 14 Applications linéaires et sous-espaces vectoriels 141 Noyau Définition 12 Soient E, F deux espaces vectoriels Soit f L(E, F ) Le noyau de f, noté kerf, est le sous-espace vectoriel de E défini par v kerf f(v) = 0 Exemple Soit E l espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et f : E E, f(p ) = P la dérivation Alors kerf est formé des polynômes constants Remarquer que le vecteur nul est dans le noyau de toutes les applications linéaires Exemple Soit E = R 2, soit la projection sur le premier axe Soit f : E E, f(x, y) = (x, 0) g : E E, f(x, y) = (y, x) la symétrie par rapport à la première bissectrice Alors kerf est le second axe C est une droite vectorielle Quant à kerg et ker(f + g), il sont réduits à {0} Remarquer que déterminer le noyau d un endomorphisme de R 2 revient à résoudre un système linéaire homogène de deux équations à deux inconnues Définition 13 On rappelle qu une application (quelconque) entre deux ensembles E et F est injective si pour tout v F, l équation f(u) = v admet au plus une solution dans E Proposition 14 Soient E, F deux espaces vectoriels sur un corps K Soit f L(E, F ) Alors f est injective si et seulement si kerf = {0} Preuve f(u) = f(u ) u u kerf 142 Image Définition 15 Soient E, F deux espaces vectoriels Soit f L(E, F ) L image de f, notée imaf, est le sous-espace vectoriel de F défini par v imaf u E tel que f(u) = v 17

18 Exemple Soit E l espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et f : E E, f(p ) = P la dérivation Alors imaf = E En effet, tout polynôme P = a 0 + a 1 X + + a d X d est la dérivée d un polynôme Q On peut prendre Q = a 0 X a 1X d a dx d Exemple Soit E = R 2, soit la projection sur le premier axe Soit f : E E, f(x, y) = (x, 0) g : E E, g(x, y) = (y, x) la symétrie par rapport à la première bissectrice Alors imaf est le premier axe C est une droite vectorielle Quant à imag et ima(f + g), il sont égaux à R 2 Dans le cas de f + g, montrons le par le calcul Soit (x, y ) E Alors (x, y ) ima(f + g) x, y E tels que (f + g)(x, y) = (x, y ) x, y E tels que (x + y, x) = (x, y ) et il suffit de prendre x = y et y = x y Remarquer que déterminer l image d un endomorphisme de R 2 revient à résoudre un système linéaire de deux équations à deux inconnues avec second membre Définition 16 On rappelle qu une application (quelconque) entre deux ensembles E et F est surjective si pour tout v F, l équation f(u) = v admet au moins une solution dans E Proposition 17 Soient E, F deux espaces vectoriels Soit f L(E, F ) Alors f est surjective si et seulement si imaf = F 143 Image et image réciproque d un sous-espace vectoriel Définition 18 Soient E, F deux espaces vectoriels Soit f L(E, F ) Soit E E un sousespace vectoriel de E L image de E par f, notée f(e ), est le sous-espace vectoriel de F défini par v f(e ) u E tel que f(u) = v Par exemple, imaf = f(e) Soit F F un sous-espace vectoriel de F L image réciproque de F par f, notée f 1 (F ), est le sous-espace vectoriel de E défini par Par exemple, kerf = f 1 (0) u f 1 F f(u) F Exemple Soit E = R 2, soit g : E E, g(x, y) = (y, x) la symétrie par rapport à la première bissectrice Soit E la droite vectorielle d équation x+2y = 0 Un dessin montre g(e ) et g 1 (E ) 18

19 Exemple Soit E = R 3, soit f : E E, f(x, y, z) = (y, x + y, z x) C est une application linéaire Soit E le plan vectoriel d équation x + 2y + z = 0 Pour déterminer f 1 (E ), il suffit de remarquer que f(x, y, z) E x = y, y = x + y et z = z x satisfont x + 2y + z = 0 y + 2(x + y) + z x = 0 x + 3y + z = 0 donc f 1 (E ) est le plan d équation x + 3y + z = 0 Pour déterminer f(e ), on cherche d abord une base de E ( 1, 0, 1)) On en déduit une représentation paramétrique de E (ici, les vecteurs ( 2, 1, 0) et On calcule E = {( 2s t, s, t) ; s, t R} f( 2s t, s, t) = (s, s t, 2s + 2t) Etant donné (x, y, z ) E, (x, y, z ) f(e ) si et seulement si il existe s et t R tels que s = x s t = y 2s + 2t = z Dans ce système, les inconnues sont s et t Le système est équivalent à s = x t = x + y 0 = z 2x + 2x + 2y On conclut que f(e ) est le plan d équation 2y + z = Rang Définition 19 Soient E, F deux espaces vectoriels Soit f L(E, F ) On appelle rang de f la dimension de l image de f Exemple Soit E = R 2, soit la projection sur le premier axe Soit f : E E, f(x, y) = (x, 0) g : E E, g(x, y) = (y, x) la symétrie par rapport à la première bissectrice Alors le rang de f vaut 1, celui de g vaut 2 Remarque En général, rang(f) dimf avec égalité si et seulement si ima(f) = F ; rang(f) dime avec égalité si et seulement si kerf = {0} ; rang(f) ne vaut 0 que pour l application identiquement nulle 19

20 145 Applications linéaires et bases Théorème 9 Soient E et F des espaces vectoriels Soit (e 1,, e n ) une base de E et v 1,, v n des vecteurs de F Il existe une unique application linéaire f : E F telle que f(e 1 ) = v 1, f(e n ) = v n Interprétation On peut choisir librement l image d une base Corollaire 20 Soient E et F des espaces vectoriels Soit f L(E, F ) Soit (e 1,, e n ) une base de E Alors f est injective si et seulement si f(e 1 ),, f(e n ) sont linéairement indépendants f est surjective si et seulement si f(e 1 ),, f(e n ) engendrent F f est bijective si et seulement si (f(e 1 ),, f(e n )) est une base de F Interprétation On voit tout sur l image d une base Exemple Soit E = F = R 2, soit f : E E, f(x, y) = (x + y, 2x y) L image de la base canonique est formée de deux vecteurs (1, 2) et (1, 1) non colinéaires forment une base de E, donc f est bijective Il 15 Théorème noyau-image Théorème 10 Soient E et F des espaces vectoriels, avec E de dimension finie Soit f L(E, F ) Alors dimkerf + dimimaf = dime Interprétation Si on connaît le rang, on connaît la dimension du noyau, et inversement Cela généralise le theorème 8 Corollaire 21 Soient E et F des espaces vectoriels de même dimension Soit f L(E, F ) Alors les propriétés suivantes sont équivalentes f est injective f est surjective f est bijective kerf = {0} imaf = F Dans ce cas, l application f 1 : F E définie par est linéaire f 1 (v) = u f(u) = v Interprétation L unicité de la solution d une équation garantit son existence 20

21 16 Matrice d une application linéaire Définition 22 Soient E et F deux espaces vectoriels de dimensions finies n et p Soient B et B des bases de E et F Soit f L(E, F ) La matrice dont les colonnes sont les composantes dans la base B des images par f des vecteurs de B s appelle la matrice de f dans les bases B et B Elle possède p lignes et n colonnes Lorsque F = E et B = B (ie dans le cas d un endomorphisme de E), on parle de la matrice de f dans la base B Interprétation Une fois choisies des bases, toute application linéaire est de la forme f A Exemple Soit E l espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, degré n 1 On note f la dérivation f : E E, f(p ) = P et g l évaluation en un réel t, g : E R, g(p ) = P (t) On choisit pour E la base B = (1, X, X 2,, X n 1 ) On choisit pour R la base B = (1) On calcule f(1) = 0, f(x) = 1,, f(x n 1 ) = (n 1)X n 2 D où la matrice M f = 0 n On calcule g(1) = 1, g(x) = t,, g(x n 1 ) = t n 1 d où la matrice M g = ( 1 t t 2 t n 1 ) 161 Ecriture matricielle d une application linéaire Proposition 23 Soient E et F deux espaces vectoriels de dimensions finies n et p sur un corps K Soient B et B des bases de E et F Soit f L(E, F ), de matrice M dans les bases B et B Soit u un vecteur de E, soit X la colonne de ses composantes dans la base B Alors la colonne Y des composantes de f(u) dans la base B est donné par le produit de matrices Y = MX Interprétation On peut se donner une application linéaire par sa matrice dans des bases, et calculer mécaniquement l image d un vecteur Exemple Soit f l unique application linéaire de R 2 dans R 3 qui envoie (1, 0) sur (1, 2, 1) et (0, 1) sur ( 1, 1, 1) Alors f(x, y) = xf(1, 0) + yf(0, 1) = (x y, 2x + y, x y), ce qu on retrouve avec la matrice dans les bases canoniques, x y 2x + y = 1 1 ( 2 1 x y x y 1 1 ) 21

22 17 Multiplication 171 Composition et produit Théorème 11 Soient E, F et G trois espaces vectoriels de dimensions finies n, p et q Soient B, B et B des bases de E, F et G Soit f L(E, F ), de matrice M f dans les bases B et B, et g L(F, G), de matrice M g dans les bases B et B Alors la matrice de g f dans les bases B et B est le produit M g M f Interprétation La composition de deux applications linéaires se calcule mécaniquement une fois qu on dispose des matrices Remarque L espace M(n, n) des matrices carrées n n est muni d une structure d anneau, ie de deux lois, l addition et la multiplication, qui satisfont l axiome de distributivité : (M + M )M = MM + MM Par conséquent, on peut, dans une certaine mesure, manipuler des matrices comme si c étaient des nombres Par exemple, si P est un polynôme à coefficients réels, et M une matrice carrée, on peut parler de la matrice P (M) Exemple Si P = 2 + 3X X X3, P (M) = 2I n + 3M + 3M M Matrices inversibles Définition 24 Une matrice carrée M est dite inversible s il existe une matrice M telle que MM = M M = I n La matrice M est unique, et s appelle la matrice inverse de M et se note M 1 Théorème 12 Soit E un espace vectoriel de dimension finie Soit B une base de E Soit f End(E) Soit M f la matrice de f dans la base B Alors f est bijective si et seulement si M f est inversible Dans ce cas, M 1 f est la matrice dans la base B de f 1 Interprétation L application réciproque se calcule mécaniquement à partir de la matrice Remarque Le procédé de calcul de l inverse par la méthode du pivot est une façon abrégée de rechercher l application réciproque Exemple Inversion de la matrice Voici les étapes intermédiaires , , , , , /2 1/

23 18 Rang Théorème 13 Soient E et F deux espaces vectoriels de dimensions finies n et p sur un corps K Soient B et B des bases de E et F Soit f L(E, F ), de matrice M dans les bases B et B Alors le rang de f est égal au rang de M, ie à la dimension de l espace vectoriel de R p engendré par les colonnes de M ; au rang du système linéaire homogène MX = 0 Exemple Soit E l espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré 3 et soit f l endomorphisme de E défini par f(p ) = (X 1)P P Pour calculer le rang de f, on calcule d abord la matrice de f dans la base (1, X, X 2 ) Comme f(1) = 1, f(x) = 1, f(x 2 ) = 2X + X 2, f(x 3 ) = 3X 2 + 2X 3, la matrice de f est M = Le système MX = 0 est de rang 3 donc f est de rang 3 19 Changement de base Définition 25 Soient B et B deux bases d un même espace vectoriel E de dimension finie La matrice de passage de B vers B, notée P B,B, est la matrice dont les colonnes sont les composantes dans la base B des vecteurs de B Théorème 14 Soient E et F deux espaces vectoriels de dimensions finies n et p sur un corps K Soient B et B des bases de E, soient B et B des bases de F Soit f L(E, F ), de matrice M dans les bases B et B Alors la matrice de f dans les bases B et B est P B,B MP B,B En particulier, si f End(E) a pour matrice M dans la base B et M dans la base B, alors où P est la matrice de passage de B vers B M = P 1 MP Exemple Soit B la base canonique de R 3 Posons e 1 = (1, 1, 2), e 2 = (2, 0, 2) et e 3 = ( 1, 1, 1) Soit f l endomorphisme de R 3 donné par f(x, y, z) = (x y, 2y + z, x y) Alors la matrice de f dans la base (e 1, e 2, e 3) est /2 1/ On peut vérifier que = / f(e 1) = 2e 2 + 4e 3, f(e 2) = 2e 2 + 2e 3, f(e 3) = 1 2 e 2 + e 3 Remarque Une conséquence de ce théorème (qu on vérifie aussi directement), est que pour tout entier k 1, (P MP 1 ) k = P M k P 1 23

24 NFIO2/S3SMPE 2004/2005 Remise à niveau, septembre 2004 Feuille d exercices 1 Suivant la valeur du paramètre réel a, déterminer le rang, décider si l ensemble des solutions du système (S a ) ci-dessous est non vide, et lorsque que c est le cas, donner sa dimension x + 2y 3z = 3 (S a ) (1 a)y z = 1 az = a(a 1) 2 Echelonner le système suivant y + z = 1 x + y = 2 x + z = 3 3 Echelonner le système suivant, en fonction du paramètre a (S a ) { 4ax + (a + 1)y + az = 1 (a + 1)x + y + (1 a)z = 1 4 Chercher l intersection des plans affines P d équation x + 2y 3z = 2 et P d équation 2x y + z = 3 On en donnera une représentation paramétrique 5 Soit a un paramètre réel Déterminer l intersection des trois plans affines P d équation ax + y 3z = 3, Q d équation ax ay + 2z = 4 et R d équation a 2 x + ay = 3a 2 6 Déterminer le rang du système (a + a 2 )x + ( a + 2a 2 )y + az + ( 1 + a a 3 )t = a (S a ) ax + ( 1 + 2a)y + z a 2 t = 1 ( 1 + a)x + ay + z + ( 1 + a 2 )t = 1 + a 7 Soit a un paramètre réel Soient v 1 = (1, 0, 1, 1), v 2 = (0, 1, 1, 2) et v 3 = (1 + a, 1, 0, 1) trois vecteurs de R 4 Donner des équations pour le sous-espace V ect(v 1, v 2, v 3 ) 8 Considérons les quatre vecteurs suivants de R 3, dépendant d un paramètre réel a v 1 = a + a2 a + 2a2 a, v 2 = 1 + 2a, v 3 = a 1 + a a2 1, v 4 = a a a a 2 Déterminer le rang de la famille v 1,, v 4, et en extraire une base du sous-espace qu ils engendrent 9 Soient v 1 = (1, a, 0), v 2 = (1, 1, a), v 3 = (2, 1, a) Pour quelles valeurs de a ces vecteurs sont ils linéairement indépendants? 24

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