6. SOLIDIFICATION. Métal liquide. Métal solidifié. x = M. x = 0

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1 Phénomène de raner 6. Solidiicaion Solidiicaion dan un en able. 6. SOLIDIFICATION Conidéron un méal ur liquide à a eméraure de uion, mi en conac avec une aroi lie d un de aible conducion hermique. La igure 6.1 monre la diribuion de eméraure dan le méal e dan le à un cerain em duran la olidiicaion. éal olidiié éal liquide T T T x T x = x = Figure 6.1 Diribuion de eméraure duran la olidiicaion d un méal dan un en able Puique la quai-oalié de la réiance au lux de chaleur e due au, la eméraure de urace e reque égale à la eméraure de uion du méal T. Ce qui igniie que duran la olidiicaion l abaiemen de eméraure dan le méal olidiié e ei, e qu à l inerace -méal, une eméraure de T T e mainenue conane. Sou ce condiion, la diribuion de eméraure dan le e donnée ar l équaion 5.31 (la oluion our un olide emi-inini): T T x = er T T α (6.1) avec x : diance à l inérieur du α : diuivié hermique du T : a eméraure iniiale uniorme du ( habiuellemen, il agi de la eméraure ambiane). L uiliaion de cee équaion uoe que le e uiammen éai our aiaire la condiion aux limie T (, ) = T. En raique, cee condiion e ouven aiaie car la zone hermiquemen aecée du e limie à une couche de eulemen environ un quar de on éaieur. Nore rincial inérê n e a la diribuion de eméraure du, mai luô la viee a laquelle la chaleur e exraie du méal en olidiicaion, ce qui conduira inéviablemen à la déerminaion du em oal de olidiicaion. L équaion 5.33 nou erme d obenir la quanié de chaleur qui ae à raver le (q (x = ) ) e cee dernière doi êre égale à la chaleur laene évacuée lor de la olidiicaion :

2 Phénomène de raner 6. Solidiicaion kρc kρc q T T T T π π ( ) ( ) = = (6.) x = Le rodui kρ C reréene la caacié du à aborber de la chaleur à une ceraine viee, e e aelé l euivié hermique. La viee à laquelle la chaleur laene dégagée ar unié de urace eu écrire où d qolidiicaion = ρ ' (6.3) d : denié du méal en olidiicaion [Kg/m 3 ] : chaleur laene de uion du méal [J/Kg] : éaieur du méal olidiié [m] En égalan le équaion (6.)e, (6.3) on obien la viee de croiance de la hae olide: d ( T T ) kρc = (6.4) d π En inégran l équaion (6.4) avec de condiion limie : ( = ) = ( = ) = nou obenon: T T = kρc π (6.5) Nou obervon que la viee de olidiicaion déend de ceraine caracériique du méal, T T, e de l euivié hermique du kρ C. 6. Ee de la orme ur le em de olidiicaion. La olidiicaion dan un lane n e a le ca que l ingénieur renconre habiuellemen en raique. Il lui e lu réquen de déerminer le em de olidiicaion de ièce comlexe, our lequelle, la orme du a quelque inluence ur le em de olidiicaion. Par exemle, la diérence de lux de chaleur à l inérieur d une ièce avec de aroi convexe, concave, ou lane e monrée à la igure 6.. Le lux de chaleur dan une urace (de la ièce) convexe e divergen e ar conéquen, il e à eine lu raide que dan un à urace lane. Par conre, le lux de chaleur à l inérieur d une aroi (de la ièce) concave e convergen e donc moin raide que dan un à urace lane.

3 Phénomène de raner 6. Solidiicaion 3 méal Figure 6. : Ee de conour ur le lux de chaleur dan diérene orme de. En remière aroximaion, de el ee on ouven négligé arce que la zone chauée du e mince e que la diérence de lux enre une aroi lane e une incurvée e eie. De cee manière, nou conaon qu un donné a la caacié d aborber une ceraine quanié de chaleur en un em donné, an enir come de on conour. Nou ouvon ar conéquen généralié l équaion (6.), our ou conour e our une urace A donnée, le aborbe une quanié de chaleur Q en un em. ( ) ρ ( ) A kρc T T A k C T T Q= Aq d = = d x= π (6.6) π Pour qu un moulage de volume V oi comlèemen olidiié, il au que oue a chaleur laene Q ai éé évacuée. Q= V [J] (6.7) En combinan le équaion (6.6) e (6.7) nou arrivon au em de olidiicaion qui e une oncion du raor volume-urace de la ièce: π 1 V = (6.8) 4 T T kρc A = C conane de Chvorinov L équaion (6.8) connue comme la règle de Chvorinov e C: la conane de Chvorinov 7..3 Ee de urchaue ur le em de olidiicaion. Nou ouvon eimer l ee de urchaue ur le em de olidiicaion en enan come du ai que le able ne doi non lu aborber que la chaleur laene de uion mai aui celle de la urchaue. Une oi de lu nou uoon que le gradien de eméraure à l inérieur de la ièce e négligeable, e que lorque le em de olidiicaion e écoulé, oue la ièce e roche de a eméraure de olidiicaion. Dan ce ca, la quanié oale de chaleur à évacuer e: Q= V + VC T (6.9) l, l L indice l igniie que ce roriéé correonden à la hae liquide, degré de urchaue. T e le nombre de

4 Phénomène de raner 6. Solidiicaion 4 Conidéron mainenan une laque ininie, dan le bu de aire un calcul imle mai uiammen réci, nou uoon que l équaion (6.6) e valable bien que la eméraure à l inerace -méal n e a conane lorque la hae liquide erd a urchaue. En aian une elle aroximaion, nou ouvon négliger la diérence de denié enre le hae liquide e olide. Par conéquen, l, e en égalan le équaion (6.9) e (6.6), nou obenon: π 1 V = (6.1) 4 kρc T T A Dan cee exreion, e la chaleur eecive de uion, elle reréene la omme de la chaleur laene de uion e la urchaue du liquide: = + C T (6.11), l Remarquon que le em de olidiicaion e encore roorionnel à (V/A) oulage avec une eméraure de urace conane. Prenon une mae d un méal liquide ur, à a eméraure de uion, don la urace e oudainemen reroidie à la emérauret. Arè la olidiicaion d une arie de la ièce, le roil de eméraure dan le méal olide era idenique à celui dan le ca d un olide emiinini (igure 6.3), à un déail rè: la lage de eméraure dan le méal en olidiicaion éend de T à T luô que d aller juqu àt. algré cela, la diribuion de eméraure dan le méal olidiié emble aeindret, ce qui nou erme d écrire: T T x = er (6.1) T T α ' éal olidiié éal liquide T T 8 T x = x = Figure 6.3 : Reemblance enre la diribuion de eméraure dan un méal en olidiicaion.

5 Phénomène de raner 6. Solidiicaion 5 A la igure 6.3, T n e a riori a connue, c e une eméraure imaginaire qui rend la diribuion de eméraure analogue à celle du ca d un olide emi-inini. Déveloon mainenan l exreion de la viee de olidiicaion en uilian la condiion limie: T(, ) = T (6.13) C e-à-dire que l inerace olide-liquide e à eméraure de uion. En lu, nou avon que la viee de olidiicaion muliliée ar la chaleur laene ar unié de volume (denié de lux de chaleur (q) qui or du liquide, donc avec un igne négai) équivau à la denié de lux de chaleur dan le olide (à l inerace): T d k' (, ) = (6.14) x d En aliquan l équaion (6.13) à la diribuion de eméraure, l équaion (6.1) devien: T T = er (6.15) T T α ' Comme le membre de gauche e une conane, l argumen de la oncion d erreur doi aui êre une conane. E donc: = β α ' (6.16) Une oi de lu, l éaieur olidiiée e roorionnel à. Pour évaluer la conane β, nou cherchon le lux de chaleur à l inerace olide-liquide, que nou obenon de l équaion 5.3 our x =, T ( T T) k' C k' (, ) = ex x π 4 α' (6.17) Avec le relaion (6.16) e (6.15) on eu rouver our (6.17) : ( ) T T T k' C k' (, ) = ex dx er β π ( β ) (6.18) L évoluion de la chaleur laene à l inerace écri, ar dérivaion de l équaion (6.16) d α ' q= = ρβ (6.19) d En ubiuan le équaion (6.18) e (6.19) dan l équaion (6.14), arè imliicaion, il vien: C β βe er β = ( T T) (6.) π Nou oédon mainenan l exreion ermean de calculer (diicilemen) β.

6 Phénomène de raner 6. Solidiicaion 6 En réumé, β eu êre déerminé ar l équaion (6.). Comme l éaieur de olidiicaion e connue ar l équaion (6.16), T eu êre calculé grâce à l équaion (6.15), e donc la diribuion de eméraure eu êre racée (équaion (6.1)). Ce réula ne on, bien ûr, valable que our un lux de chaleur unidirecionnel. Il euven êre aliqué à une laque our déerminer le em de olidiicaion, en évaluan β e en uilian l équaion (6.16) avec = L, la demi-éaieur de la laque. 6.5 Gradien dan le e dan le méal, an réiance à l inerace. éal olidiié éal liquide T T T x = x = Figure 6.4 : Diribuion de eméraure duran la olidiicaion an réiance à l inerace. Ce ca e illuré ar la igure 6.4. Le e le méal ormen le deux de barrière au lux de chaleur. Le e iniialemen à eméraure ambiane, le méal liquide e à a eméraure de uion. Suoon que le oi aez éai our qu une augmenaion de eméraure n aaraie a à a urace exerne. Nou ouvon le conidérer comme emiinini. Ce ca e uile our calculer la viee de olidiicaion d un lingo dan un en méal (ar ex: Cu, Fe). Il alique lorque uiammen de maériau e déjà olidiié, de cee manière la réiance à l inerace n e lu igniicaive. Dan le roblème récédan, T éai ixé comme une condiion limie de la iuaion. Dan ce ca, T déend de roriéé hermique du e du méal. Déveloon une oluion qui aiae la condiion: T T lim k k' = (6.1) ξ x x= ξ x x= + ξ c e-à-dire que la denié du lux de chaleur venan du méal en olidiicaion, à l inerace -ièce, doi êre égal au lux quian l inerace dan le. Comme récédemmen, deux condiion limie à l inerace olide-liquide doiven êre aiaie: T(, ) = T (6.) T d k' (, ) = (6.3) x d Le e évidemmen emi-inini dan le domaine de x négai, avec une eméraure de urace T (inerace /ièce olidiiée) inconnue. Aini, du coé du (x négai):

7 Phénomène de raner 6. Solidiicaion 7 T T x = er (6.4) T T α où T e la eméraure iniiale du. Pour le méal en olidiicaion, l équaion (6.1) alique encore. Toueoi, remarquon qu à ce ade, T e T on encore inconnue. Si on alique l équaion (6.) à l équaion (6.1), nou conaon que l argumen de la oncion d erreur doi êre conan, déinion-le à nouveau comme β, de cee manière l équaion (6.16) alique. En dérivan le équaion (6.4) e (6.1), e en uilian le équaion(6.1), (6.), e (6.3), nou obenon: ( T ) ' T k C β = βe + er β (6.5) kρc π ( T T ) C π ( T T ) C π β = β e er β (6.6) β = βe (6.7) T ' T k C = (6.8) T T kρc Pour réumer le réula de ce aragrahe, nou avon calculé le roil de eméraure dan le e dan le méal en olidiicaion, nou avon aui déerminé la viee de olidiicaion. Pour calculer le roil de eméraure du, il nou a ui de uivre la démarche uivane: 1) calculer β ar l'équaion (6.5) ) calculer T ar l équaion (6.6) 3) calculer T ar l équaion (6.7) ou (6.8) 4) racer le roil de eméraure en uilian l équaion (6.1). 6.6 Réiance à l inerace. Sur la igure 6.5, la réiance à l inerace e lu grande que celle à l inerace olideliquide. Une imorance raique e aachée à ce ca lorque le em de olidiicaion e cour. Cee aroche e uile our eimer le em de olidiicaion de eie e ine ecion dan de en méaux el que ceux uilié our de moulage ou reion ou de en coquille. Dan ce ca, le gradien de eméraure du e de la ièce on négligeable, e la chaleur échae du moulage comme i un coeicien de raner de chaleur agiai à la urace. Alor, la quanié oale de chaleur Q qui ravere l inerace -méal en un em e : Q= ha T T (6.9) ( )

8 Phénomène de raner 6. Solidiicaion 8 éal olidiié éal liquide T T T x = x = Figure 6.5 : Diribuion de eméraure duran la olidiicaion avec une grande réiance à l inerace Si le gradien de eméraure dan le méal olidiié e dan le on négligeable, alor T T e c e eulemen la chaleur laene qui doi êre évacuée duran la olidiicaion. Il e ar conéquen acile de monrer qu en combinan le équaion (6.7) e (6.9), nou obenon: V ht ( T ) = = (6.3) A Remarquon que la orme n a a d ee ur l alicabilié de l équaion (6.3). La orme n e a non lu éciiée dan le ca du reroidiemen ou du chauage d un olide, avec de gradien de eméraure inerne négligeable. Ici, l éaieur olidiiée e roorionnelle au em luô qu à a racine carrée. Conidéron mainenan le ca oùt T, e où la chaleur quie la ièce via h à la urace, mainenue à la emérauret, d un reroidi à l eau. Ici, nou imliion l éude en aroximan le roil de eméraure à l inérieur du méal en olidiicaion comme une oncion linéaire. De cee manière, le lux de chaleur à l inerace -ièce écri: T T q = k' (6.31) x= E aui: q = h ( T T ) (6.3) = x Éliminon alor la eméraure de uracet, qui varie, en combinan le équaion (6.31) e (6.3). Grâce au roil de eméraure linéaire, nou ouvon exrimer le lux à l inerace - liquide imlemen ar (mur comoie): T T q = q = (6.33) x= x= 1 + h k' De lu, en x =, la chaleur laene de uion e dégagée, c e-à-dire que q d = x= (6.34) d En combinan le équaion (6.33) e (6.34), e en inégran enre = en = e = en =, nou obenon:

9 Phénomène de raner 6. Solidiicaion 9 ( ) ht T h = k' (6.35) Si on uoe que le roile de eméraure n e a linéaire, une oluion lu exace, mai imilaire à l équaion (6.35) eu êre obenue grâce à un aceur addiionnel α : ht ( T ) h = (6.36) α k' où 1 1 C ( T T ) α + + (6.37) 4 3 L équaion (6.36) e reque exace our h/k 1/, our h/k < 1/, l éaieur olidiiée e ureimée d environ 1-15%.