x 0 h a (x) ln (2 a ) h a 2 a Justifier, par le calcul, le signe de h' a (x) pour x appartenant à ] 0 ; + [. b. Rappeler la limite de ln x x

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1 EXERCICE (6 poits) Commu à tous les cadidats Soit f la foctio défiie sur l itervalle ] ; + [ par f () = l Pour tout réel a strictemet positif, o défiit sur ] ; + [ la foctio g a par g a () = a O ote C la courbe représetative de la foctio f et Γ a celle de la foctio g a das u repère du pla Le but de l eercice est d étudier l itersectio des courbes C et Γ a suivat les valeurs du réel strictemet positif a O a costruit e aee (à redre avec la copie) les courbes C, Γ,5, Γ,, Γ,9 et Γ,4 Nommer les différetes courbes sur le graphique Aucue justificatio est demadée Utiliser le graphique pour émettre ue cojecture sur le ombre de poits d itersectio de C et Γ a suivat les valeurs (à préciser) du réel a Pour u réel a strictemet positif, o cosidère la foctio h a défiie sur l itervalle ] ; + [ par : h a () = l a Justifier que est l abscisse d u poit M apparteat à l itersectio de C et Γ a si et seulemet si h a () = a O admet que la foctio h a est dérivable sur ] ; + [, et o ote h la dérivée de la foctio h a sur cet itervalle Le tableau de variatio de la foctio h a est doé ci-dessous a + h a () + h a l ( a ) Justifier, par le calcul, le sige de h' a () pour apparteat à ] ; + [ b Rappeler la limite de l e + E déduire la limite de la foctio h a e + O e demade pas de justifier la limite de h a e 3 Das cette questio et uiquemet das cette questio, o suppose que a =, a Justifier que, das l itervalle ;, l équatio h, () = admet ue uique solutio O admet que cette équatio a, aussi ue seule solutio das l itervalle ;, b Quel est le ombre de poits d itersectio de C et Γ,? 4 Das cette questio et uiquemet das cette questio, o suppose que a = a Détermier la valeur du maimum de h b E déduire le ombre de poits d itersectio des courbes C et Justifier 5 Quelles sot les valeurs de a pour lesquelles C et Γ a ot aucu poit d itersectio? Justifier Aee

2 EXERCICE (5 poits) Commu à tous les cadidats La partie C peut être traitée idépedammet des parties A et B O cosidère ue variable aléatoire X qui suit la loi epoetielle de paramètre λ avec λ > a t O rappelle que, pour tout réel a strictemet positif, P(X a) = e dt O se propose de calculer l espérace mathématique de X otée E(X), et défiie par E(X) = O ote l esemble des ombres réels O admet que la foctio F défiie sur par F(t) = f (t) = λ t e λ t t e t t lim t e dt est ue primitive sur de la foctio f défiie sur par Soit u ombre réel strictemet positif Vérifier que t t e dt e e E déduire que E(X) = La durée de vie, eprimée e aées, d u composat électroique peut être modélisée par ue variable aléatoire otée X suivat la loi epoetielle de paramètre λ avec λ > La courbe de la foctio desité associée est représetée e aee Sur le graphique de l aee (à redre avec la copie): a Représeter la probabilité P(X ) b Idiquer où se lit directemet la valeur de λ O suppose que E(X) = a Que représete das le cadre de l eercice la valeur de l espérace mathématique de la variable aléatoire X? b Calculer la valeur de λ c Calculer P(X ) O doera la valeur eacte puis la valeur arrodie à, près Iterpréter ce résultat d Sachat que le composat a déjà foctioé ue aée, quelle est la probabilité que sa durée de vie totale soit d au mois trois aées? O doera la valeur eacte Partie C U circuit électroique est composé de deu composats idetiques umérotés et O ote D l évéemet «le composat est défaillat avat u a» et o ote D l évéemet «le composat st défaillat avat u a» O suppose que les deu évéemets D et D sot idépedats et que P(D ) = P(D ) =,39 Deu motages possibles sot evisagés, présetés ci-dessous : Circuit e parallèle A Circuit e série B Lorsque les deu composats sot motés «e parallèle», le circuit A est défaillat uiquemet si les deu composats sot défaillats e même temps Calculer la probabilité que le circuit A soit défaillat avat u a Lorsque les deu composats sot motés «e série», le circuit B est défaillat dès que l u au mois des deu composats est défaillat Calculer la probabilité que le circuit B soit défaillat avat u a Aee

3 EXERCICE 3 (4 poits) Commu à tous les cadidats O appelle l esemble des ombres complees Das le pla complee mui d u repère orthoormé ( O ; u, v ) o a placé u poit M d affie z apparteat à, puis le poit R itersectio du cercle de cetre O passat par M et du demi-ae, [O ; u ) Eprimer l affie du poit R e foctio de z z z Soit le poit M' d affie z' défiie par z ' Reproduire la figure sur la copie et costruire le poit M' O défiit la suite de ombres complees (z ) par u premier terme z apparteat à et, pour tout etier aturel, par la relatio de récurrece : z z z + = 4 Le but de cette partie est d étudier si le comportemet à l ifii de la suite ( z ) déped du choi de z Que peut-o dire du comportemet à l ifii de la suite ( z ) quad z est u ombre réel égatif? Que peut-o dire du comportemet à l ifii de la suite ( z ) quad z est u ombre réel positif? 3 O suppose désormais que z est pas u ombre réel a Quelle cojecture peut-o faire sur le comportemet à l ifii de la suite ( z )? b Démotrer cette cojecture, puis coclure EXERCICE 4 (5 poits) Cadidats ayat pas suivi l eseigemet de spécialité O cosidère l algorithme suivat: Variables : k et p sot des etiers aturels u est u réel Etrée : Demader la valeur de p Traitemet : Affecter à u la valeur 5 Pour k variat de à p Affecter à u la valeur,5 u +,5 (k ),5 Fi de pour Sortie : Afficher u Faire foctioer cet algorithme pour p = idiquat les valeurs des variables à chaque étape Quel ombre obtiet-o e sortie? Soit (u ) la suite défiie par so premier terme u = 5 et, pour tout etier aturel par u + =,5 u +,5,5 Modifier l algorithme de la première partie pour obteir e sortie toutes les valeurs de u pour variat de à p À l aide de l algorithme modifié, après avoir saisi p = 4, o obtiet les résultats suivats : 3 4 u,5,75,375 Peut-o affirmer, à partir de ces résultats, que la suite (u ) est décroissate? Justifier 3 Démotrer par récurrece que pour tout etier aturel supérieur ou égal à 3, u + > u Que peut-o e déduire quat au ses de variatio de la suite (u )? 4 Soit (v ) la suite défiie pour tout etier aturel par v =, u, +,5 Démotrer que la suite (v ) est géométrique de raiso,5 et eprimer alors v e foctio de 5 E déduire que, pour tout etier aturel, u =, Détermier alors la limite de la suite (u )

4 EXERCICE 4 (5 poits) Cadidats ayat suivi l eseigemet de spécialité Les parties A et B peuvet être traitées de faço idépedate Pour deu etiers aturels o uls a et b, o ote r (a, b) le reste das la divisio euclidiee de a par b O cosidère l algorithme suivat: Variables : c est u etier aturel a et b sot des etiers aturels o uls Etrées: Demader a Demader b Traitemet: Affecter à c le ombre r(a, b) Tat que c Affecter à a le ombre b Affecter à b la valeur de c Affecter à c le ombre r(a, b) Fi Tat que Sortie: Afficher b Faire foctioer cet algorithme avec a = 6 et b = 9 e idiquat les valeurs de a, b et c à chaque étape Cet algorithme doe e sortie le PGCD des etiers aturels o uls a et b Le modifier pour qu'il idique si deu etiers aturels o uls a et b sot premiers etre eu ou o À chaque lettre de l alphabet o associe grâce au tableau ci-dessous u ombre etier compris etre et 5 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z O défiit u procédé de codage de la faço suivate: Étape : o choisit deu etiers aturels p et q compris etre et 5 Étape : à la lettre que l o veut coder, o associe l etier correspodat das le tableau ci-dessus Étape 3 : o calcule l etier ' défii par les relatios ' p + q [6] et ' 5 Étape 4 : à l etier ', o associe la lettre correspodate das le tableau Das cette questio, o choisit p = 9 et q = a Démotrer que la lettre V est codée par la lettre J b Citer le théorème qui permet d affirmer l eistece de deu etiers relatifs u et v tels que 9 u + 6 v = Doer sas justifier u couple (u, v) qui coviet c Démotrer que ' 9 + [6] équivaut à 3 ' + [6] d Décoder la lettre R Das cette questio, o choisit q = t p est icou O sait que J est codé par D Détermier la valeur de p (o admettra que p est uique) 3 Das cette questio, o choisit p = 3 et q = Coder les lettres B et D Que peut-o dire de ce codage?

5 CORRECTION EXERCICE (6 poits) Commu à tous les cadidats Cojecture : si a <,9, C et Γ a se coupet e deu poits, si a =,9, C et Γ a se coupet e u poit, si a >,9, C et Γ a e se coupet pas y l Le poit M( ; y) appartiet à l itersectio de C et Γ a y a l = a h a () = a h' a () = a = a ] ; + [ doc le sige de h' a () est le même que celui de a a = = a or a > = a ou = a Ue epressio du secod degré a le sige de so terme de plus haut degré à l etérieur des racies doc : a + a + h a () + b lim l =, h a () = l a, a > doc lim l a = doc lim h a () = = 3 a, h, () + h, l (, ) + La foctio h, est défiie cotiue strictemet croissate sur l équatio h, () = admet ue uique solutio ;,, l (, ) > doc, das l itervalle ;,, b L équatio h, () = admet deu solutios sur ] ; + [ doc C et Γ, admettet deu poits d itersectio dot les abscisses sot les solutios de h, () = l ( a ) 4 a Le maimum de h est quad a = l soit e or l = doc le maimum de h est b h a +

6 Le maimum de h est sur [ ; + [ doc l équatio h () = admet ue seule solutio doc les courbes C et admettet u seul poit d itersectio,84 o retrouve approimativemet la cojecture iitiale 5 l ( a ) < l ( a) > a > e a > Si a > alors l ( a ) <, le maimum de h a est strictemet égatif doc l équatio h a () = admet pas de solutio doc les courbes C et Γ a ot aucu poit d itersectio EXERCICE (5 poits) Commu à tous les cadidats t t e d t F( ) F() e e e lim u u e u =, or λ > doc lim λ e λ =, de plus lim e λ = doc lim e e = doc E(X) = a P(X ) est l aire comprise etre la courbe de f, les droites d équatio =, = et l ae des abscisses b λ = f () a E(X) = doc la durée de vie moyee d u composat électroique est de as b E(X) = = doc λ =,5 c P(X ) = e λ = e, soit P(X ),63, la probabilité qu u composat ait ue durée de vie iférieure à as est,63 d La loi epoetielle est ue loi à durée de vie sas vieillissemet doc P X (X 3) = P(X 3 ) = e Partie C Les deu évéemets D et D sot idépedats doc P(D D ) = P(D ) P(D ) =,39 soit,5 P(D D ) = P(D ) + P(D ) P(D D ) =,39 +,39,39 doc P(D D ) =,679 EXERCICE 3 (4 poits) Commu à tous les cadidats Le cercle est de cetre O de rayo OM = z doc R = z Soit P le milieu de [MR], P a pour affie M' est le milieu de [OP] z z, doc le milieu de [OP], est le poit d affie z z z ' doc le poit

7 Si z est u ombre réel égatif alors z = z doc z =, d où z = etc lim z = z Si z est u ombre réel positif, z = z doc z = et z = z Motros par récurrece que pour tout de N, z = z Iitialisatio : z = z, la propriété est iitialisée pour = Hérédité : Supposos que z = z, z est u ombre réel positif, doc z = La propriété est iitialisée et héréditaire doc pour tout de N, z = z z est u ombre réel positif, doc z = z, < < doc lim z, doc z + = 4 z = z = doc lim z = 3 a A la calculette, e choisissat z = + i, doc apparemmet lim z z b z + =, e utilisat que a + b a + b doc z + z z soit z z Motros par récurrece que pour tout de N, z z Iitialisatio : z = z doc z z, la propriété est iitialisée pour = Hérédité : Motros pour tout de N que si z doc z z z + z z z z soit z + z z alors z + z doc La propriété est iitialisée et héréditaire doc pour tout de N, z lim = doc lim z + z z =, d après les théorèmes de comparaiso : lim z z z = z z = EXERCICE 4 (5 poits) Cadidats ayat pas suivi l eseigemet de spécialité Iitialisatio étape étape Affichage k u 5,5,5 Variables : k et p sot des etiers aturels u est u réel Etrée : Demader la valeur de p Traitemet : Affecter à u la valeur 5 Pour k variat de à p Affecter à u la valeur,5 u +,5 (k ),5 Afficher u Fi de pour u 3 < u < u < u mais u 4 > u 3 doc la suite (u ) est pas décroissate

8 3 Iitialisatio : u 4 > u 3, la propriété est iitialisée pour = 3 Hérédité : Motros que, pour tout de N, 3, si u + > u alors u + > u + u + =,5 u + +,5 ( + ),5 =,5 u + +,5 u + > u doc,5 u + >,5 u soit,5 u + +,5,5 u +,5 or,5 u +,5 = u + +,5 u + > u + +,5 >,5 La propriété est iitialisée et héréditaire doc pour tout de N, supérieur ou égal à 3, u + > u La suite (u ) est croissate à partir du rag 3 4 Soit (v ) la suite défiie pour tout etier aturel par v =, u, +,5 v + =, u +, ( + ) +,5 =, (,5 u +,5,5), ( + ) +,5 v + =,,5 u +,5,5,, +,5 v + =,,5 u,5 +,5 v + =,5 (, u, +,5) v + =,5 v, la suite (v ) est géométrique de raiso,5 v =, u +,5 = doc v =,5 v soit v =,5 5 v =, u, +,5 doc,5 =, u, +,5, u =,5 +,,5 doc e multipliat par : pour tout etier aturel, u =, <,5 < doc lim,5 =, lim 5 = + doc lim u = + EXERCICE 4 (5 poits) Cadidats ayat suivi l eseigemet de spécialité Iitialisatio Etape Etape a b 9 8 c 8 Lors de l eécutio de l algorithme, b pred la valeur du derier reste cou avat l eécutio de la derière étape Traitemet: Affecter à c le ombre r(a, b) Tat que c Affecter à d le ombre r(a, b) Affecter à a le ombre b Affecter à b la valeur de c Affecter à c le ombre r(a, b) Fi Tat que Si b = Afficher «a et b sot premiers etre eu» Sio Afficher «a et b e sot pas premiers etre eu» Fi Si a Étape : à la lettre V l o veut coder, o associe l etier correspodat Étape 3 : o calcule l etier ' défii par les relatios ' 9 + [6] et ' 5 soit [6] = doc 9 [6] doc = 9 Étape 4 : à l etier 9, o associe la lettre J correspodate das le tableau b Les ombres 9 et 6 sot premiers etre eu doc d après le théorème de Bézout, il eiste deu etiers relatifs u et v tels que 9 u + 6 v = 3 9 = 7 doc = le couple (3 ; ) coviet c ' 9 + [6] 3 ' 3 (9 + ) [6] 3 ' [6] 3 ' [6] 3 ' + [6] d Étape : à la lettre R que l o veut coder, o associe l etier 7 correspodat Étape 3 : o calcule l etier défii par les relatios 3 ' + [6] et 5 doc [6] or = 7 = doc 9 [6], 5 doc = 9 Étape 4 : à l etier 9, o associe la lettre T correspodate das le tableau R est décodé par T J est codé par D or J correspod à 9 et D à 3 doc 3 9 p + [6] soit 9 p [6] doc e multipliat par 3 : 7 p 3 [6] 7 [6] doc p 3 [6], p est compris etre et 5 et p est uique doc p = 3 3 A la lettre B, o associe le ombre, puis 3 + [6] et 5 doc = 5, à 5 o associe la lettre P A la lettre D, o associe le ombre 3, puis [6] et 5 or = 4 = doc 5 [6] doc = 5, à 5 o associe la lettre P B et D sot codés par même lettre P, le codage est iefficace

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