Points de fuite et lignes de fuite. Rappels de R 2 et P 2. Vincent Nozick. x y w. x y 1. si w 0

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1 1 / 61 2 / 61 Rappels de R 2 et P 2 Rappels de R 2 et P 2 ( x y catésien ) x y 1 homogène x y w. = x/w y/w 1 ( x/w y/w si w 0 homogène homogène catésien ) 3 / 61 4 / 61

2 Points et droites de P 2 Rappels de R 2 et P 2 Un point x l : x = x y w point l = a b c droite dans R 2 : ax + by + c = 0 dans P 2 : ax + by + cw = 0 soit x.l = l.x = 0 Intersection x de 2 droites : l 1 = (a 1, b 1, c 1 ) l 2 = (a 2, b 2, c 2 ) x = l 1 l 2 où est le produit vectoriel de R 3 Démonstration : x? l 1 : l 1 x = ( ) l 1 l1 l 2 = 0 x? l 2 : l 2 x = ( ) l 2 l1 l 2 = 0 x l 1 et l 2 x intersection de l 1 et l 2 5 / 61 6 / 61 Rappels de R 2 et P 2 Points à l infini Droite l passant par 2 points : x 1 = (x 1, y 1, w 1 ) x 2 = (x 2, y 2, w 2 ) Intersection de 2 droites parallèles : l = x 1 x 2 où est le produit vectoriel de R 3 Démonstration :? x 1 l : x 1 l = x ( ) 1 x1 x 2 = 0? x 2 l : x 2 l = x ( ) 2 x1 x 2 = 0 x 1 et x 2 l l 1 = (a, b, c 1 ) x = l 1 l 2 = b a 0 l 2 = (a, b, c 2 ) l passe par x 1 et x 2 7 / 61 8 / 61

3 Points à l infini Droite à l infini Intersection de 2 droites parallèles : Propriétés : l 1 = (a, b, c 1 ) x = l 1 l 2 = b a 0 l 2 = (a, b, c 2 ) point à l infini 2 droites parallèles s intersectent à l infini. le vecteur (b, a) indique la direction du point à l infini. Droite passant par 2 points à l infini : x 1 = (x 1, y 1, 0) l = x 1 x 2 = 0 0 x 1 y 2 y 1 x 2 x 2 = (x 2, y 2, 0) = = l 8 / 61 9 / 61 Droite à l infini Points et droites à l infini dans P 2 l = Doite à l infini : L ensemble des points à l infini reposent sur la droite à l infini x = (x, y, 0) et l = (0, 0, 1) x.l = 0 x l Intersection : L intersection d une droite l = (a, b, c) avec l donne le point à l infini x = (b, a, 0). 10 / / 61

4 Points à l infini dans P 3 Points et droites à l infini dans P 3 Dans P 3 : de même qu il y a l dans P 2, il y a le plan à l infini π dans P 3. 2 plans parallèles π 1 et π 2 intersectent π sur une même droite : une droite à l infini. 2 droites parallèles l 1 et l 2 intersectent π sur un même point : un point à l infini. 12 / / 61 Points et droites à l infini dans P 3 14 / / 61

5 : Un point de fuite associe a une droite l (de l espace 3d) correspond au projete sur l image du point a l infini issu de l intersection de l avec π. Du point de vue de la came ra : Le point de fuite v d une droite l (de l espace 3d) est l intersection du plan image de la came ra avec un rayon paralle le a l passant par le centre de projection de la came ra. Remarque : Un point de fuite de pend uniquement de l orientation de la droite a laquelle il est associe, pas de sa position. 16 / 61 a l infini 17 / 61 Les perspectives dans le dessin a l infini : Des droites paralle les au plan image apparaissent paralle les sur l image. Leur intersection (leur point de fuite) est a l infini sur le plan image. perspective orthographique perspective frontale (a 1 point) perspective horizontale (a 2 points) perspective tridimensionnelle (a 3 points) 18 / / 61

6 orthographique orthographique 3 points de fuite à l infini / 0 point de fuite fini. 3 points de fuite à l infini / 0 point de fuite fini. 20 / / 61 frontale frontale 2 points de fuite à l infini / 1 point de fuite fini. 2 points de fuite à l infini / 1 point de fuite fini. 22 / / 61

7 horizontale horizontale 1 points de fuite à l infini / 2 point de fuite fini. 24 / 61 1 points de fuite à l infini / 2 point de fuite fini. 25 / 61 tridimensionnelle tridimensionnelle 0 points de fuite à l infini / 3 point de fuite fini. 0 points de fuite à l infini / 3 point de fuite fini. 26 / / 61

8 Et là, c est quoi? Calcul d un point de fuite Intersection des droites parallèles dans la scène : a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 x v 0 y v = 0... w v 0 a n b n c n 28 / / 61 Calcul d un point de fuite En pratique : on travaille plutôt sur les angles. = droite qui passe par 2 points de fuites. 30 / / 61

9 : Une ligne de fuite associée à un plan π (de l espace 3d) correspond au projeté sur l image de la droite à l infini issu de l intersection de π avec π. Propriétés : des plans parallèles partagent la même ligne de fuite. une ligne de fuite correspond à l ensemble des points fuite issus de l emsemble des droites parallèles appartenant au plan. 32 / / 61 Calcul d une ligne de fuite Détection automatique Construction : on cherche 2 ensembles de droites parallèles. on calcule leur points de fuite respectifs. la ligne de fuite est la droite passant par ces 2 points de fuite. J-linkage : Detecter automatiquement les points de fuites et lignes de fuites dans une scène présentant des droites parallèles. 34 / / 61

10 J-Linkage J-Linkage Filtre de Canny Suppression les coins pour n avoir que des segments 36 / / 61 J-Linkage J-Linkage Érosion pour enlever le bruit Segments détectés 38 / / 61

11 J-Linkage J-Linkage Algorithm 1: J-Linkage input: un ensemble {s i } de segments, iterations Segments détectés forall the iterations do choisir 2 segments au hasard calculer leur point de fuite p foreach segments s i do voir si p est un point de fuite pour s i mettre le résultat dans un tableau end end contracter le tableau 40 / / 61 J-Linkage J-Linkage On obtient le tableau : Que l on contracte : En fuisionant les colonnes les plus ressemblantes d après le critère : d(a, B) = A B A B A B Les segments sont regroupés par points de fuite, il suffit alors de calculer les points de fuite des premières colonnes du tableau. 42 / / 61

12 Résultat Résultat 44 / / 61 Résultat de caméra Matrice de projection : f 0 c x P = 0 f c y } 0 0 {{ 1 } K paramètres intrinseques avec : f : focal (en unité de pixels). r r r t x r r r t y r r r t z } {{ } [R t] paramètres extrinsèques (c x, c y ) : position du point principal sur l image. 46 / / 61

13 Image de la conique absolue Forme matricielle L image de la conique absolue Ω : notée ω déterminée par l association du plan à l infini π et du plan image de la caméra. notion imaginaire et donc non représentable sur une image. très liée aux paramètres de la caméra. la matrice ω peut se noter de la façon suivante : ω 11 ω 12 ω 13 ω = ω 21 ω 22 ω 23 ω 31 ω 32 ω 33 à partir de la forme de K, on peut déduire que : ω 12 = ω 21 = 0 et ω 11 = ω 22 Lien entre ω et la caméra : ω = (KK ) 1 ( ω est symétrique) ω symétrique : ω = ω 11 0 ω 13 0 ω 11 ω 23 ω 13 ω 23 ω / / 61 Propriété Image de la conique absolue Calcul de ω : on pose w = (ω 11, ω 13, ω 23, ω 33 ) à partir de trois points de fuites issus de droites ortogonales deux à deux (par exemple : verticale, largeur et profondeur) chaque contrainte u ωv = 0 s exprime matriciellement par Les points de fuite u et v de deux droites perpendiculaires satisfont : u ωv = 0 Aw = A = x u x v + y u y v x u w v + w u x v y u w v + w u y v w u w v.... on résoud Aw = 0 et on en déduit ω. 50 / / 61

14 de la came ra Re alite aumente e Calcul de K : a partir de trois points de fuites issus de droites ortogonales deux a deux. on calcule ω puis ω 1. on trouve K par une de composition de Cholesky : ω 1 = KK>. image initiale 52 / 61 Re alite aumente e 53 / 61 Re alite aumente e extraction des droites orthorgonales calcul des points de fuite et de K 54 / / 61

15 Re alite aumente e Re alite aumente e de finition d un repe re (4 points coplanaires) incrustations de synthe se 56 / 61 Re alite aumente e 57 / 61 Re alite aumente e incrustations de synthe se 58 / / 61

16 Rapport des hauteurs Rapport des hauteurs 60 / / 61

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