) A 'B'.A 'C' = A 'B' A 'C' cos( B'A 'C') aussi une similitude de rapport k ' k.

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1 Vetige d'une terminle S pécilité Le ecret de imilitude Un doc de Jérôme ONILLON ditriué pr l tverne de l'irlndi(wwwtnophcom) Pge 1 ur 6 propo de imilitude ppliquon cette définition u produit clire de vecteur et C Une trnformtion f du pln et une ppliction du pln dn lui-même qui et ijective 1 C C C C Pr une trnformtion f, chque point M' du pln dmet un unique ntécédent M + Le homothétie et toute le iométrie ont de trnformtion du pln C C C C C C Définition d'une imilitude de rpport k Dire que l trnformtion et une imilitude de rpport k ignifie que pour tou point M '' + 'C' 'C' et N d'imge repective M' et N' pr, on M ' N ' De l même mnière, on étlit que : '' 'C' M ' N ' k MN k utrement dit, M ' ( M ) et N ' ( N) multiplie toute le MN L imilitude multiplie toute le ditnce pr on rpport k Pr conéquent : ditnce pr k Vlle i M N '' k 'C' k C 'C' k C Il vient lor : De fcto, le rpport k d'une imilitude et un réel trictement poitif '' + 'C' 'C' k + k C k C Toute le iométrie (trnltion, ymétrie, rottion) ont de imilitude de rpport 1 '' 'C' Une homothétie de rpport k et une imilitude de rpport k + C C k k C Compoée de deux imilitude L compoée ' d'une imilitude de MN M ' N ' ' M"N" k k ' ❷ Le produit clire peut ui 'exprimer vec le coinu Nou von lor rpport k et d'une utre ' de rpport k' et C C co ( C ' ) '' 'C' '' 'C' co( ' 'C') ui une imilitude de rpport k ' k Le ditnce ont multipliée pr k k' L première étpe nou permi de conclure que : k C '' 'C' Pr uite : Comme tou le ppliction ijective, toute imilitude dmet une ppliction réciproque k C co ( C) '' 'C' co( ' 'C') Le ditnce ont multipliée pr k Réciproque d'une imilitude C '' 'C' L trnformtion réciproque d'une imilitude de k C co( C ) k k C co( ' 'C') MN M'N' 1 rpport k et une imilitude notée de rpport 1 1 k co ( C) co( ' 'C') Le ditnce ont diviée pr k Or deux ngle géométrique ynt de coinu égux ont égux D'où : C ' 'C' Le imilitude conervent le ngle géométrique Théorème : une imilitude conerve le ngle géométrique Si ', ' et C' ont le imge repective de point, et C pr l imilitude lor C ' 'C' Nou llon prouver que le ngle géométrique C et ' 'C' ont égux en clculnt le produit clire C et '' 'C' de deux mnière différente ❶ Pr définition, le produit clire de vecteur u et v et donné pr : 1 uv u+ v u v Le imilitude ne conervent que le ngle géométrique Pr conéquent, le meure ont oient égle, oient oppoée de ngle orienté (,C) et ( '', 'C') Expreion complexe d'une imilitude Nou connion déjà le expreion complexe de certine imilitude Une trnltion t de vecteur u pour expreion complexe t + u Une homothétie h de rpport k une expreion complexe de l forme i Une rottion r d'ngle une expreion complexe de l forme h k+ r e + L réflexion S d'xe celui de cie (ou de réel) pour expreion S

2 Vetige d'une terminle S pécilité Le ecret de imilitude Un doc de Jérôme ONILLON ditriué pr l tverne de l'irlndi(wwwtnophcom) Pge ur 6 Théorème : le fonction ffine et ffine-conjuguée complexe ont de imilitude et un nomre complexe non nul et et un nomre complexe quelconque Le trnformtion T du pln dont le expreion complexe ont de l forme : T T + ont de imilitude de rpport + ou T + et une imilitude, nou devon étlir deux choe : ❶ Pour prouver que L fonction ffine T + et-elle ijective ur? Et-ce une trnformtion? Soit ' un nomre complexe dmet-il un unique ntécédent pr l fonction ffine T? ' Si ' et fixé lor ' T ' + ' exite et et unique Donc tout complexe ' dmet un unique ntécédent pr pr l fonction ffine T T et une ppliction ijective de dn lui-même C'et une trnformtion du pln T + et-elle une imilitude? Multiplie-t-elle le ditnce pr un réel k? Soient et deux point du pln d'ffixe et Leur imge repective ' et ' pr l trnformtion T ont pour ffixe repective ' T et ' T ' ' ' ' + + Concluion : l trnformtion T + multiplie le ditnce pr le réel poitif et contnt Donc l fonction ffine T + et une imilitude de rpport ❷ Pour montrer que T + et une imilitude, procédon comme précédemment L'ppliction T + et-elle une ijection de dn lui-même? utrement dit, tout nomre complexe ' -t-il un unique ntécédent pr T +? ' ' T ' ' ' Conjuguon Le conjugué du conjugué Donc tout complexe ' un unique ntécédent Donc T et une trnformtion du pln T + et-elle ui une imilitude? L'ppliction ffine-conjuguée En reprennt le même cteur et nottion que précédemment, nou pouvon écrire : ' ' + + Un complexe et on conjugué ont même module Concluion : l trnformtion T + et une imilitude de rpport Théorème : l'expreion complexe d'une imilitude oit + Toute imilitude une expreion complexe qui et de l forme oit + où et un nomre complexe non nul et un nomre complexe quelconque Soit une imilitude rpport k (qui et donc un réel trictement poitif) On ppelle le point d'ffixe 1 Le point ' et O' d'ffixe repective α et β déignent le imge de et O pr l imilitude Enfin, pour tout point M d'ffixe, on ppelle M' d'ffixe ' on imge pr ' O' O Intéreon-nou ux quotient et Et d'ord à leur module ' O' ' O' O'M ' k OM ' O ' ' O' O' ' k O ' O' O O', ' et M' ont le imge de point O, et M pr O O O O Comme l imilitude conerve le ngle géométrique, lor 'O'M ' OM ont oient égux, oient oppoé Donc le ngle orienté ( O' ',O'M ') et ( O,OM) ' O' O rg ( O ' ',O 'M ') ± ( O,OM) ± rg ' O ' O ' O' O ini le nomre complexe et ont de module égux mi de ' O' O rgument qui ont oient égux, oient oppoé Exminon ce deux c : S'il ont même module et même rgument lor il ont égux Pr uite : ' O' O ' β 0 ' β α β 1 0 α β ' O' O L'expreion complexe de l imilitude et lor ( ) ( α β +β ' β α β ' α β +β ) S'il ont même module mi de rgument oppoé lor il ont conjugué ' O' O ' β ' ( α β )+β ' O' O α β α β )+β L'expreion complexe de l imilitude et lor (

3 Vetige d'une terminle S pécilité Le ecret de imilitude Un doc de Jérôme ONILLON ditriué pr l tverne de l'irlndi(wwwtnophcom) Pge 3 ur 6 Le imilitude ux deux vige Le imilitude qui chngent l'orienttion de ngle orienté ont qulifiée Nou von qu'il exite deux orte de imilitude : d'indirecte Leur expreion complexe et de l forme + 1 Celle dont l trduction complexe et une fonction ffine Celle dont l'expreion et une fonction ffine-conjuguée Ce deux type de imilitude conervent le ngle géométrique Voyon quelle ction elle ont ur le ngle orienté? Soient,, C et D qutre point ditinct du pln d'ffixe repective,, C et On ppelle ', ', C', D' leur imge repective pr une imilitude D Nou llon chercher à comprer le ngle orienté (,CD) et ( '',C'D ') 1 Quelle et l'ction d'une imilitude d'expreion complexe Pour le voir, on 'intéree u quotient : D' C' ( D) ( C) ( D + ) ( C + ) D + + ' '? ( C) Deux nomre complexe égux ont le même rgument Il vient lor : D' C' D C ( '',C'D ') rg rg (,CD) ' ' Vlle pour n'importe quel point,, C et D du pln Concluion : le imilitude + conervent le ngle orienté Quelle et l'ction d'une imilitude d'expreion complexe Là encore, intéreon-nou u quotient : ( D) ( C) ( D+ ) ( C+ ) D? D' C' D C D C ' ' + + ( ) L conjugion et comptile vec l différence et le quotient Deux nomre complexe conjugué ont de rgument oppoé Il vient lor : D' C' D C ( '',C'D') rg rg (,CD) ' ' Vlle pour n'importe quel point,, C et D du pln Concluion : le imilitude inverent le ngle orienté ini exite-t-il deux grnde fmille de imilitude : 1 Le imilitude qui conervent le ngle orienté ont ppelée imilitude directe Leur expreion complexe et une fonction ffine C L grnde fmille de imilitude directe Eyon de mieux connître cette i grnde fmille de imilitude directe qui conervent le ngle orienté Nou fréquenton déjà quelque un de e memre : Le trnltion t u d'expreion complexe tu + u r e + Le rottion r d'ngle d'expreion complexe i Le homothétie h de rpport k d'expreion complexe h k+ L'ppliction identité du pln notée Id pr lquelle chque point M et Id propre imge Son expreion complexe et L'ppliction identique peut être vue comme une rottion d'ngle nul, une trnltion de vecteur nul ou une homothétie de rpport 1 Contrirement à l trnltion, le rottion et le homothétie dmettent un point fixe Voyon i d'utre imilitude directe ont de point fixe Le point fixe d'une imilitude directe Soit une imilitude directe Son expreion complexe et de l forme Lorque que on coefficient et égl à 1, l imilitude et une trnltion qui donc n' p de point fixe Dn ce qui uit, nou uppoeron que 1 Déterminer le point fixe de, c'et chercher le point qui ont leur propre imge Ω d 'ffixe ω et un point fixe pour ( Ω ) Ω ω+ ω ( ω) ( 1 ) ω ω 1 1 Comme 1, on peut divier pr 1 0 Concluion : toute imilitude directe qui n'et p une trnltion un unique point fixe Théorème : le point fixe d'une imilitude directe Toute imilitude directe dont l'expreion complexe et et qui n'et ni une trnltion, ni l'ppliction identique Id un unique point fixe Ω d'ffixe utrement dit telle que 1 On dit que ce point Ω et le centre de l imilitude directe 1 Pour une trnltion, une rottion ou une homothétie, l'ngle orienté formé pr deux point et leur imge et contnt Et-ce ui le c pour le utre imilitude directe? Une imilitude directe -t-elle un ngle (comme le rottion)?

4 Vetige d'une terminle S pécilité Le ecret de imilitude Un doc de Jérôme ONILLON ditriué pr l tverne de l'irlndi(wwwtnophcom) Pge 4 ur 6 et une imilitude directe quelconque d'expreion complexe + Forme réduite de imilitude directe Chque imilitude directe poède un rpport, un ngle et un unique point fixe i elle n'et p une trnltion Mi ce troi élément uffient-il à crctérier? Soient et deux point quelconque ditinct du pln On ppelle ' et ' leur imge repective pr l imilitude -t-il une meure contnte (qui ne dépend ni de, ni de )? L'ngle orienté (, '') Pour le voir, intéreon-nou u quotient : ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( ) ' ' Deux nomre égux ont le même rgument Il vient : ' ', ' ' rg rg contnt cr et fixé Concluion : quelque oient le point et, l'ngle orienté (, '') une meure qui et contnte pour une imilitude donnée On peut prler d'ngle pour une imilitude Théorème : l'ngle d'une imilitude directe Si et une imilitude directe dont l'expreion complexe et +, lor il exite un réel tel que pour tou point et ditinct, Ce réel et un rgument du nomre complexe et et ppelé ngle de l imilitude Une imilitude directe une infinité d'ngle Deux ngle d'une même imilitude diffèrent d'un certin nomre de foi π à l'intr de rgument du nomre complexe r e +, un ngle de imilitude et l'ngle de rottion Dn le c d'une rottion i u u rg 1 0 Un ngle de imilitude d'une homothétie de rpport poitif k et 0 Lorque le rpport k et négtif, un ngle de imilitude et π rgument d'un réel négtif Pour une trnltion t +, un ngle de imilitude et égl à Théorème : ngle de imilitude d'une compoée et d'une réciproque L compoée d'une imilitude directe d'ngle et d'une utre ' d'ngle ' et une imilitude directe d'ngle + ' L réciproque de et une imilitude directe d'ngle Crctérier une imilitude directe utre qu'une trnltion Soit une imilitude directe qui n'et p une trnltion où 1 Son expreion complexe et de l forme d'expreion Comme l imilitude directe n'et p une trnltion lor elle dmet : Un rpport de imilitude k (réel trictement poitif) qui et égl u module de Un ngle de imilitude qui et un rgument du nomre complexe Un unique point fixe Ω dont l'ffixe et ω 1 Là, nou définion deux trnformtion 1 h et l'homothétie de centre Ω et de rpport k h k ω +ω L'expreion complexe de h et : r et l rottion de centre Ω et d'ngle i L'expreion complexe de r et : r e ( ) ω +ω Intéreon-nou à leur compoée h r Pour tout nomre complexe, nou von : ( ) i i ( ) h r h r k r ω +ω k e ω +ω ω +ω k e ω +ω i ke ( ω ) +ω ω+ω + ( 1 ) ω + ( 1 ) 1 + Donc l compoée h r n'et rien d'utre que l imilitude directe Mintennt, intéreon-nou à l'utre compoée r h Pour tout, nou von : i i i ( ) ( ) ( ) r h r h e h ω +ω e k ω +ω ω +ω e k ω +ω i ke ω +ω ω+ω + 1 ω Donc l compoée r h et ui égle à l imilitude directe Concluion : toute imilitude directe qui n'et p une trnltion et prfitement crctériée pr on rpport, on ngle de imilitude et on unique point fixe L compoée de deux imilitude conervnt l'orienttion de ngle le fit ui Donc l compoée de deux directe et directe De plu, pour tou point et ditinct, on : (, ' ( ) ' ( )) (, ) + ( ( ), ' ( ) ' ( )) +' ngle de imilitude de ' ngle de imilitude de ngle de imilitude de ' Théorème : forme réduite d'une imilitude directe Si et une imilitude directe de rpport de imilitude k et d'ngle de imilitude lor : ou ien et une trnltion ou ien un unique point fixe Ω L imilitude et lor l compoée permutle de l'homothétie h de centre Ω et de rpport k et, de l rottion r de centre Ω et d'ngle Cette décompoition r h h r et ppelée forme réduite de l imilitude directe

5 Vetige d'une terminle S pécilité Le ecret de imilitude Un doc de Jérôme ONILLON ditriué pr l tverne de l'irlndi(wwwtnophcom) Pge 5 ur 6 Le imilitude pr leur point fixe Soit n' ucun point fixe à l'extérieur de l droite () Nou von que le imilitude directe utre que l'ppliction identique du pln ont u Il exite lor un point N n'pprtennt p à l droite () qui n'et p mximum un point fixe Dn ce prgrphe, nou llon chercher quelle ont le propre imge pr ppelon cette dernière N ' ( N) N imilitude qui ont u moin deux point fixe, et N ynt pour imge repective, et N' pr l'iométrie, il vient : N N ' N N ' Théorème : l imilitude ux troi point fixe non ligné Comme et ont équiditnt de point ditinct N et N', lor il L eule imilitude ynt troi point fixe non ligné et l'ppliction identique du pln pprtiennent à l méditrice du egment [NN'] qui une longueur non nulle On ppelle S l réflexion d'xe () et f compoée S une imilitude de rpport k ynt troi point fixe non ligné, et C Déterminon le imge de point, et N pr cette imilitude f Ditnce f S S ( ) S Cr pprtient Cr et un point fixe de ❶ Comme le point et ont leur propre imge lor k 1 à l'xe () f S Son rpport étnt égl à 1, l imilitude et donc une iométrie S ( ) S ❷ Soit M un point quelconque du pln On ppelle M' on imge pr l imilitude et ui un point fixe de Procédon pr l'urde : uppoon que M et M' oient ditinct Qu'dvient-il lor? f ( N) S Comme le point,, C et M ont pour imge repective,, C et M' lor : ( ( N) ) S( N ') N ( M) Cr () et l méditrice de [NN'] M ' 1 M ' M M M ini l imilitude f dmet troi point fixe, et N qui ont non ligné De l même mnière, on étlit : M ' M et CM ' CM Donc f et l'ppliction identique Pr uite : S f S Id S Le troi églité précédente nou conduient à dire que le point, et C ont Compoer vec l'ppliction identique Id, équiditnt de M et M' c'et comme multiplier pr 1 ou jouter 0 Comme ce dernier ont été uppoé ditinct lor il forment le egment [MM'] et le Or on églement : S f S S Id point, et C pprtiennent à l méditrice de celui-ci propre Une ymétrie xile et utrement dit, le point, et C ont ligné Ce qui n'et p poile cr ce troi réciproque point fixe ont été pri non ligné Concluion : S f S L imilitude et l réflexion d'xe () Concluion : pr l imilitude, un point M et on imge M' ont toujour confondu Tout point M et propre imge pr Donc et l'ppliction identique du pln Une imilitude directe pour deuxpoint Théorème : le imilitude ux deux point fixe Une imilitude ynt u moin deux point fixe et oit l'ppliction identique du pln, oit une réflexion (ymétrie xile) une imilitude de rpport k ynt u moin deux point fixe ditinct et ❶ Comme précédemment, et étnt leur propre imge : k 1 Donc l imilitude et une iométrie Elle conerve longueur et ditnce ❷ Concernnt d'éventuel utre point fixe pour, deux c peuvent e préenter : 1 Soit dmet un troiième point fixe I qui n'pprtient p à l droite () Le théorème précédent 'pplique ux point non ligné, et I Donc Id Théorème : une imilitude directe pour deux Si et, et, ' et ' ont deux couple de point ditinct du pln lor il exite une ' ' eule imilitude directe telle que le imge repective de et pr oient ' et ' On ppelle,, ' et ' le ffixe repective de point,, ' et ' Le imilitude directe du pln ont le fonction ffine non contnte de Cherchon 'il exite un complexe non nul et un complexe quelconque tel que : + ' (1) ' + ' () ( ) '

6 Vetige d'une terminle S pécilité Le ecret de imilitude Un doc de Jérôme ONILLON ditriué pr l tverne de l'irlndi(wwwtnophcom) Pge 6 ur 6 Chque couple olution ( ;) de ce ytème linéire complexe correpond à une vec 0 imilitude indirecte telle que ' et ' Et réciproquement chque imilitude directe préentnt cette propriété et ociée à une olution de cette forme Réolvon ce ytème linéire comme nou von le fire dn! Pour déterminer l'inconnue, on Pour otenir, on remplce pr l vleur élimine pr cominion linéire trouvée dn l'éqution (1) (1) + ' ' ' ' () + ' ' ' Comme lor on peut divier pr 0 ' ' ' ' ' + ' ' ' + ' Le ytème pour unique olution ' ' ' ' ; + ' Comme le point ' et ' ont ditinct lor l différence ' ' et non nulle ' ' Il en v lor de même pour Concluion : il exite une eule imilitude telle que ' et Son expreion complexe et : ' ' ' ' + Similitude, rycentre et conéquence Théorème : le imilitude conervent le rycentre ' Si et une imilitude et G le rycentre de n point pondéré ( 1, α1),,( n, αn) lor on imge ( G) et le rycentre de n point ( ), α,,, α ( 1 1) ( ( n) n) Comme G et le rycentre de n point pondéré lor on ffixe G et donnée pr : α 1 + +α n G α 1+ +αn Or une imilitude peut être de deux orte : 1 peut être directe Son écriture complexe et lor de l forme : α 1 + +α n α 1+ +α n G G + + α 1+ +αn α 1+ +α n On ditriué ur le numérteur de G 1 Donc ( G) α α + α n 1 + +α n α 1+ +αn α 1+ +αn ( ) et le rycentre de n point ( 1), α1,, n, αn peut être indirecte Son expreion complexe et lor du type : 1 n ( ) + G G α + +α α + +α L conjugion et comptile vec le quotient, l omme et le produit Comme le coefficient α1,, αn ont réel, il ont leur propre conjugué 1 n 1 n Pui on procède comme dn le c "directe" α + +α + α + +α α + + +α + α + +α α + +α α + +α Là encore, ( G) et le rycentre de n point ( 1, α1),,( ( n), αn) L'pprtennce d'un point à une droite () peut e crctérier u moyen d'un rycentre M Il exite un réel λ tel que M λ M λ M +λm ( 1 λ )M +λ M o M rycentre de (,1 λ) et (, λ) L omme de coefficient donc prler du rycentre M un en ( 1 λ ) +λ 1 et non nulle C'et ini que l'on montre que l droite () et l'enemle de rycentre de et Un rpport de colinérité peut ui être crctérié u moyen de rycentre Pr exemple : et le rycentre de λ CD λ C +λd +λc λ D o L omme de coefficient (,1 ), ( C, λ) et ( D, λ) 1+λ λ 1 et non nul Le imilitude conervnt le rycentre, on en conclut : Le imilitude conervent le églité vectorielle et le reltion de colinérité Le imilitude conervent l'lignement L'imge de l droite () pr l imilitude et l droite L'imge du egment [] pr l imilitude et le egment Dn ce dernier c, le réel λ et compri entre 0 et 1