MODELISATION ALGEBRIQUE POUR LE PROBLEME DU VOYAGEUR DE COMMERCE

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1 3 e Conférence Francophone de MOdélsaton et SIMulaton «Concepton, Analyse et Geston des Systèmes Industrels» MOSIM 1 du 25 au 27 avrl 21 - Troyes (France) MODEISATION AGEBRIQUE POUR E PROBEME DU VOYAGEUR DE COMMERCE Frédérc GUEGNARD Unversté d Angers ISA UPRES EA 2168 IUT d Angers-Cholet - GMP - 3, rue Henr HURE 493 CHOET, France guegnard@cholet.unv-angers.fr Marc BOURCERIE Unversté d Angers ISA UPRES EA 2168 IUT d Angers-Cholet - GEII - 4, bd avoser 49 ANGERS, France bourcer@ut.unv-angers.fr RESUME : On reprend dans ce texte une modélsaton algébrque des processus séquentels : à toute séquence (complexe ou non), on assoce un polynôme à une ou pluseurs varables dans un corps fn de caractérstque p. Cet artcle a pour but de présenter une applcaton de cette modélsaton dans le cadre du problème du voyageur de commerce. A tout cycle, soluton réalsable d'un problème du voyageur de commerce à p vlles, on assoce un polynôme, à coeffcents et à valeurs dans 9/p9, modélsant ce cycle. Par la sute, au leu de travaller sur le cycle ntal, nous développons des outls opérants sur les polynômes. Dans cette optque, nous proposons une modélsaton des vosnages 2-Opt et 3-Opt. MOTS-CES : Ensemble 9/p9, fonctons polynômes, problème du voyageur de commerce, vosnage k-opt. 1 INTRODUCTION es domanes de l ordonnancement et de la planfcaton rassemblent des problèmes dffcles, ([1], [2], et [3]), avec un long et varé passé hstorque en recherche opératonnelle et en ntellgence artfcelle, et ls contnuent à être des domanes très actfs de recherche [4]. Dans les problèmes classques d ordonnancement, la modélsaton de séquences se fat souvent sous forme de lens chaînés [5]. Nous supposons que le lecteur est famler avec les modèles classques de modélsaton des processus séquentels. Pour plus de détals à ce suet, se référer à [6], [7] et [8]. Dans [9], nous avons proposé une nouvelle modélsaton algébrque en assocant à chaque séquencement un polynôme à une ou pluseurs varables et à valeurs dans un corps fn de caractérstque p. Dans [1], nous avons présenté une écrture matrcelle permettant de calculer smplement le polynôme de toute séquence smple ou complexe. Nous présentons c un exemple d'applcaton de cette modélsaton au nveau du problème du voyageur de commerce. Après avor rappelé les caractérstques prncpales de notre modèle, nous poursuvons par la présentaton des prmtves nécessares à l'utlsaton des polynômes. Enfn, nous termnons par la modélsaton des vosnages 2-Opt et 3-Opt par ces fonctons polynomales. 2 POYNOMES CARACTERISTIQUES D'UNE SEQUENCE SIMPE 2.1 Défnton On appelle séquence le m-uplet [o,o 1,...,o m ] d éléments de 9/p9. Elle correspond à l ordonnancement, au sens large du terme, des m tâches o, [m], (la tâche o +1 succède à la tâche o ). Une séquence est dte smple s toutes les tâches ont des successeurs dfférents :.e. o o, [m[,. Cela peut représenter une sute de vlles dstnctes à vster pour le problème du voyageur de commerce, ou une sute d opératons (de obs) à effectuer sur une machne dans un ateler. On supposera pour smplfer que l on a une séquence smple complète, c est-à-dre que l on a exactement m=p, avec p premer. On se place alors dans l ensemble 9/p9 qu, nous le rappelons c, est alors un corps dans lequel nous pourrons utlser les dfférentes proprétés présentées dans [11]. Dans le cas où nous aurons m<p, on raouterat (p-m) tâches fctves. 2.2 Modélsaton d'une séquence smple Nous proposons la modélsaton suvante : on appelle polynôme caractérstque assocé à la séquence [o,o 1,...,o p ], le polynôme modélsant la foncton table assocée à cette séquence smple. A partr de cette séquence, on défnt une foncton g tel que : pour tout [p], g()=o. e phénomène cyclque est sous-entendu : le successeur de la dernère tâche g(p) est la tâche g(p)=g(), mas l n est plus modélsé explctement par la foncton g. Pour cette modélsaton, nous avons prs la conventon de touours fare commencer nos séquences par la tâche zéro. Sot la séquence de cnq tâches : [1,,3,2,4], on écrt donc notre séquence ntale sous la forme [,3,2,4,1]. On défnt alors la foncton g de la façon suvante : g()=, g(1)=3, g(2)=2, g(3)=4, et g(4)=

2 MOSIM 1 du 25 au 27 avrl 21 - Troyes (France) e polynôme caractérstque assocé à la foncton g de la séquence [o,o 1,...,o p ] est le polynôme d nterpolaton assocé à cette foncton. 2.3 Polynôme de agrange e polynôme d nterpolaton de agrange est le polynôme d nterpolaton défn sur la base partculère des monômes 1, X, X²,..., X p [12]. On rappelle que l une des proprétés du polynôme d'nterpolaton de agrange est que son erreur d'approxmaton est nulle. Il en est de même dans l'ensemble 9/p Exemple récaptulatf On consdère la séquence de cnq tâches : [,3,2,1,4]. On se place dans l'ensemble mathématque 9/59. a lste ordonnée des tâches est modélsée par les valeurs de la foncton g : g()=, g(1)=3, g(2)=2, g(3)=1, et g(4)=4. e polynôme d'nterpolaton assocé à cette foncton est : T(X)=3.X+X 2 +4.X 3. 3 PRIMITIVES OPERANT SUR ES POYNOMES Pour travaller avec cette modélsaton, nous avons développé un certan nombre de prmtves permettant d'utlser les polynômes. Certanes résultent de proprétés mathématques trvales, d'autres ont été spécalement développées pour exploter notre modèle.es prmtves classques permettant de supprmer, d nsérer ou de remplacer une tâche ont été présentées dans [13]. Nous avons développés deux prmtves permettant d applquer notre modèle au problème du voyageur de commerce. a premère ntègre la noton de translaton de séquence et la deuxème l dée de séquence récproque. 3.1 Translaton de séquence a noton de translaton de séquence n a de sens que dans le cas où l on modélse celle-c par sa table. S on note T(X), le polynôme caractérstque de la séquence ntale, le polynôme T (X) de la séquence translatée de α untés est défn de la façon suvante : T (X)=T(X+α), pour toute tâche X de la séquence. Cette noton de translaton de séquence nous servra dans la sute lors de l utlsaton des polynômes dans les problèmes d ordonnancement. Sot la séquence [,4,1,3,2] modélsée dans 9/59 par le polynôme T(X) représentant la foncton table, c est-àdre : T()=, T(1)=4, T(2)=1, T(3)=3 et T(4)=2. e polynôme T (X) de la séquence translatée de deux untés vérfe : T()=1, T(1)=3, T(2)=2, T(3)= et T(4)=4. e polynôme de la séquence s écrt : = T ( X ) a. X, alors T = '( X ) = T p 1 = ( X + α ) = a.( X + α). = = e développement de (X+α) s écrt : ( X + α) = C. X. α, où les C sont les = coeffcents du bnôme de Newton, c est-à-dre le nombre de combnasons de éléments parm éléments. p 1 d où T '( X ) = a. C. X. α. Après un changement de varables udceux, on écrt : p 1 p 1 T '( X ) = C. a. α. X. = = e calcul des nouveaux coeffcents a du polynôme de T (X) se fat alors smplement : = a ' C. a. α, pour [p]. = A partr de cette formule, on peut constater que a p =a p. C est-à-dre que le polynôme de la séquence ntale et le polynôme de la séquence translatée ont même coeffcent en (p). Du pont de vue algorthmque, on passera par le schéma classque, évaluaton-modfcaton-nterpolaton qu confère une complexté en O(p.log p) pour effectuer la translaton d une séquence [11]. 3.2 Polynôme de la séquence récproque orsque l on connaît une séquence donnée et son polynôme caractérstque, l semble opportun de pouvor construre la séquence récproque et donc de défnr le polynôme caractérstque de cette séquence. = On se place dans l ensemble 9/59 dans lequel on consdère la séquence [,4,1,3,2], alors la séquence récproque est la séquence [2,3,1,4,] qu peut s écrre [,2,3,1,4]. Sot T ( X ) = a. X, un polynôme de agrange modélsant la table d une séquence donnée. Nous venons de vor que le polynôme caractérstque de la foncton récproque est alors T (X)=T (-X), c est-à-dre p 1 = 1 T ( X ) = a.( X ) ou 1 T ( X ) = ( 1) a. X. = S [,a 1,a 2,a 3,...,a p-3,a p-2 ] (dans le cas d une permutaton, l est de degré (p-2), c est ce que nous supposons c) sont les coeffcents du polynôme caractérstque de la séquence ntale, alors les coeffcents du polynôme caractérstque de la séquence récproque sont : [,-a 1,a 2,-a 3,...,-a p-3,a p-2 ], c est-à-dre dans 9/p9, [,p-a 1,a 2,p-a 3,...,p-a p-3,a p-2 ]. Sot la séquence [,1,5,3,6,4,2] modélsée dans 9/79 par le polynôme de agrange suvant : T (X)=5.X+6.X 2 +4.X 3 +6.X 4 +X 5. Alors le polynôme de la séquence récproque [,2,4,6,3,5,1] est : T (X)=(-5).X+6.X 2 +(-4).X 3 +6.X 4 +()X 5,

3 MOSIM 1 du 25 au 27 avrl 21 - Troyes (France) sot T (X)=2.X+6.X 2 +3.X 3 +6.X 4 +6.X 5. 4 APPICATION AU PROBEME DU VOYAGEUR DE COMMERCE e problème du voyageur de commerce est l un des plus classques problèmes d optmsaton combnatore En théore des graphes, on parle de parcours hamltonen lorsque dans un graphe G donné, on dot vster une et une seule fos chaque sommet. e problème du voyageur de commerce consste à trouver un cycle hamltonen de coût mnmal. On suppose que le graphe est complet (c est-à-dre qu l exste une arête entre toute pare de sommet). Toute permutaton des sommets (.e. des vlles, des clents,...) défnt alors un cycle hamltonen. Ce problème très connu est souvent posé comme celu d un représentant qu dot vster un ensemble de clents stués dans des vlles dfférentes. Dans le graphe complet valué, l ensemble des sommets est alors dentfable à l ensemble des vlles (ou des clents) plus la vlle de départ du représentant. e coût d une arête [X,Y] est alors la dstance par la route entre les clents X et Y. e but du représentant est de partr de son domcle (vlle de départ), de vster une fos chaque vlle (ou clent), et de revenr à son domcle en mnmsant le nombre total de klomètres parcourus. Ce problème semble très adapté à notre démarche. En effet, nous pouvons assmler une permutaton sur les p vlles à un processus séquentel smple comme on l a défn précédemment. Nous pouvons donc défnr le polynôme caractérstque d une soluton réalsable du problème de voyageur de commerce, c est-à-dre, une permutaton sur les p vlles. Ce problème est NP-Dffcle [14], l faut donc utlser une méthode approchée pour le résoudre. Deux grands types de méthodes approchées exstent : - les heurstques assocées à des recherches locales, - les méthodes de recherches globales et les méthodes arborescentes. e lecteur pourra se référer à [15], [16] et [17] pour plus détals sur ce suet. Nous nous ntéressons au premer type de méthodes car elles font appel à une modélsaton qu s ntègre parfatement à notre démarche. 4.1 Modélsaton du problème du voyageur de commerce e vosnage que nous allons consdérer est le k-opt qu fat appel à la noton de séquence récproque. Dans cette optque, nous allons utlser le polynôme de agrange modélsant la foncton table. En effet, le calcul du polynôme de la séquence récproque est smplfé dans ce cas. Nous modélsons donc une permutaton de vlles, c est-à-dre une soluton réalsable pour notre problème de voyageur de commerce par le polynôme de agrange modélsant la table des dfférentes vlles à vster. Nous supposerons un nombre premer de vlles, ce qu n est pas une restrcton pusque l on peut touours raouter des vlles fctves. On a un ensemble de p vlles dont une permutaton est : <V,V 1,V 2,...,V p-2,v p >, avec V [p], p 2 le polynôme T ( X ) = a. X vérfe alors : = T []=V, T [1]=V 1,..., T [p-2]=v p-2, T [p]=v p. Nous savons que nous pouvons détermner ce polynôme en O(p.log p) [11]. 4.2 Modélsaton du vosnage k-opt e vosnage le plus connu du problème du voyageur de commerce est appelé le k-opt, l consste à enlever k arêtes et à reformer un cycle en aoutant k autres arêtes [18]. énumératon complète de ce type de vosnage est en O(N k ) e 2-Opt e cas le plus smple est k=2 : on remplace deux arêtes non consécutves [V,V +1 ] et [V,V +1 ] du cycle par [V,V ] et [V +1,V +1 ], à condton que le coût du cycle dmnue. autre possblté est de remplacer les deux arêtes non consécutves [V,V +1 ] et [V,V +1 ] du cycle par [V,V ] et [V +1,V +1 ]. Cette alternatve nous condut à la séquence nverse de celle construte précédemment. Comme nous savons établr «drectement» le polynôme de la séquence nverse, nous nous lmterons à l étude du premer cas. Notre séquence ntale représentée par le polynôme p 2 T ( X ) = a. X, la nouvelle séquence est mo- = p 2 = délsé par le polynôme T '( X ) = a '. X (On notera T (X), le polynôme de la séquence correspondant à la deuxème possblté de reconstructon). Que se passe-t-l au nveau de la foncton table? Nous rassemblons les dfférentes nformatons dans le tableau 1. c-dessous : Séquence ntale Nouvelle séquence T []=V T []=V T []=V T []=V T [+1]=V +1 T [+1]=V T [+2]=V +2 T [+2]=V T []=V T []=V +2 T []=V T []=V +1 T [+1]=V +1 T [+1]=V T [p]=v p T [p]=v p Tableau 1. comparason entre la séquence ntale et la nouvelle séquence e tableau 1. montre que sur l ntervalle dscret [,] [+1,p], l n y a pas de changement au nveau de

4 MOSIM 1 du 25 au 27 avrl 21 - Troyes (France) la séquence (noté en gras dans le tableau c-dessus). Dans l ntervalle [+1,] les tâches sont prses dans l ordre nverse. Au nveau des polynômes, pour dstnguer l ensemble [,] [+1,p] sur lequel les deux polynômes prennent les mêmes valeurs de l ensemble [+1,] sur lequel les polynômes prennent des valeurs dfférentes, nous défnssons les deux polynômes B 1 (X) et B 2 (X) de la façon suvante : B 1 (X)=1 pour X [,] [+1,p] et B 1 (X)= pour X [+1,], B 2 (X)=1 pour X [+1,] et B 2 (X)= pour X [,] [+1,p]. De par sa constructon, X [,p], B 1 (X)+B 2 (X)=1. Il est alors possble d écrre le polynôme de la séquence ntale sous la forme suvante : T (X)= B 1 (X).T (X)+B 2 (X).T (X). Dès que l on connaît les coeffcents du polynôme B 1 (X), l alors est facle de connaître le polynôme B 2 (X) de la façon suvante : s B 1 (X)=[1,b 1,b 2,...,b p-2,b p ], alors B 2 (X)= [,p-b 1,p-b 2,...,p-b p-2,p-b p ]. En effet, on retrouve l égalté B 1 (X)+B 2 (X)=1, X [,p]. e polynôme B 1 (X).T (X) représente la sous-séquence dont l ordre ne dot pas changer. e polynôme B 2 (X).T (X) modélse la sous-séquence dont l ordre des tâches dot être nversé. Pour ce derner, le processus de calcul se fat en deux étapes. Tout d abord, nous calculons le polynôme T (-X) de la séquence nverse par la méthode mse en place à la secton 3.2. Cependant dans la séquence nverse, la sous-séquence ntale [+1,] se trouve translatée sur l ntervalle [p-,p-(+1)]. En effet, la dernère tâche de la sousséquence ntale [+1,] se retrouve la premère tâche de la sous-séquence nverse mas mantenant en poston (p-). Il faut alors translater la séquence nverse pour que la sous-séquence coïncde avec l ntervalle [+1,]. Deux cas se présentent : - sot (p-)<+1, alors l faut translater de [+1-(p-)] untés,.e. (++1-p), - sot (p-)>+1, alors l faut translater de [(p-)-] untés,.e. (p--). On note λ=(++1-p) ou λ=(p--) suvant le cas. Pour translater la séquence nverse de λ untés, l faut composer le polynôme T (-X) avec le polynôme Q(X)=X+λ (cf. 3.1). e polynôme de la séquence nverse sur [+1,] est alors : B 2 (X).T (-X+λ). Pour conclure, on peut écrre que le polynôme de la nouvelle séquence est : T (X)=B 1 (X).T (X)+B 2 (X).T (-X+λ). Pour détermner le polynôme correspondant au deuxème cas, c est-à-dre à la séquence nverse de celle c-dessus, on écrra : T (X)=T (-X). En terme de complexté, l élaboraton du polynôme de la nouvelle séquence consste à effectuer : la constructon du polynôme de la séquence nverse, en O(p), une translaton de séquence, en O(p.log p), deux multplcatons en O(p.log p) et une addton, en O(p), de polynômes. e calcul pour le deuxème cas se fat en O(p). a complexté globale pour la recherche locale 2-Opt d un seul vosn est O(p.log p). On se place dans l ensemble 9/119 avec un problème de onze vlles numérotées de à 1. Sot la séquence [,2,5,8,9,3,1,1,7,6,4], modélsée par le polynôme de agrange T (X) dont les coeffcents sont [,1,8,3,9,1,7,5,1,4,]. On suppose que l on remplace la 6 ème arête et la 11 ème arête. Notre base est formée des deux polynômes B 1 (X) et B 2 (X), modélsant les séquences [1,1,1,1,1,1,,,,,] et [,,,,,,1,1,1,1,1] dont les coeffcents sont respectvement [1,1,,8,,8,,6,,7,5] et [,1,,3,,3,,5,,4,6]. Pour calculer le polynôme de la nouvelle séquence T (X), on effectue les calculs suvants : B 1 (X).T (X)=[,3,4,2,1,5,8,1,6,1,6], et B 2 (X).T (-X+5)=[,1,3,1,4,4,2,2,2,,5]. Car l faut translater la sous-séquence nverse de λ=(5+1+11)=5. a somme de ces deux polynômes est : T (X)=[,2,7,3,3,9,1,3,8,1,] qu correspond à la séquence [,2,5,8,9,3,4,6,7,1,1]. De plus, T (X)=[,9,7,8,3,2,1,8,8,1,], l correspond à la séquence [,1,1,7,6,4,3,9,8,5,2] e 3-Opt 3-Opt est plus complexe car l y a pluseurs façons de reconstrure le cycle après avor enlevé tros arêtes. Cependant, l est melleur en moyenne que 2-Opt [5]. Dans le cas de 3-Opt, on supprme tros arêtes non consécutves [V,V +1 ], [V,V +1 ] et [V k,v k+1 ]. Il exste alors pluseurs façons de reconstrure le cycle. Evdemment, nous garderons les solutons que s le coût du cycle dmnue. On note, respectvement et, la sous-séquence [V k+1,v ], respectvement [V +1,V ] et [V +1,V k ]. Alors la séquence ntale est. Supposons dans un premer temps que l ordre des éléments de ne change pas pour les reconstructons du cycle. On note S, la séquence récproque de S. Alors les dfférentes possbltés pour reconstrure le cycle sont rassemblés dans le tableau

5 MOSIM 1 du 25 au 27 avrl 21 - Troyes (France) 1 ère 2 ème 3 ème Nature de la transformaton Séquence complète Indce de la séquence Séquence 1 Intale 2-Opt 2 2-Opt S Opt S Opt 5 3-Opt 6 3-Opt S Opt S 3 8 Tableau 2. Reconstructons du cycle Il nous faut mantenant consdérer les cas où l on nverse la premère séquence. Nous pouvons dédure ces cas du tableau précédent en remarquant que : ( S r S s ) =S 1 S -s -r S avec [2,3], [2,3],, r=±1 et s=±1. Cette démarche est rassemblée dans le tableau 3. 1 ère 2 ème 2 ème Nature de la transformaton Séquence complète Indce de la séquence 2-Opt ( S 3 S 2 ) 8 3-Opt ( S 2 ) 6 3-Opt ( S 3 ) 7 3-Opt ( ) 5 3-Opt ( S 2 S 3 ) 4 2-Opt ( S 3 ) 2 2-Opt ( S 2 ) 3 ( ) 1 Séquence nverse Tableau 3. Autres reconstructons du cycle Il ne sera pas nécessare d effectuer les calculs pour la détermnaton des polynômes des séquences de ce tableau car nous connassons drectement le polynôme de toute séquence nverse. Il restera smplement à les évaluer. Dans le cas du problème du voyageur de commerce symétrque, cec n est pas nécessare car l évaluaton de la séquence nverse sera la même que celle de la séquence ntale. Fnalement, cela fat hut transformatons 3-Opt, sx transformatons 2-Opt et deux transformatons trvales (séquence ntale + séquence nverse). e nombre de sx transformatons 2-Opt s explque par le fat qu l y a tros possbltés de chosr deux arêtes parm tros, et qu l y a deux transformatons 2-Opt pour chacune de ces possbltés. Notre séquence ntale est modélsée par le polynôme p 2 T ( X ) = a. X, et on note T (X) le polynôme = de la nouvelle séquence. Notre démarche scentfque pour détermner le polynôme T (X) est smlare à celle utlsée lors du 2-Opt. A partr des tros sous-séquences, et, on se défnt tros polynômes B 1 (X), B 2 (X) et B 3 (X) qu vont former une base. Ils sont défns de la façon suvante : B 1 (X)=1 pour X [,] [k+1,p] et B 1 (X)= pour X [+1,k], B 2 (X)=1 pour X [+1,] et B 2 (X)= pour X [,] [+1,p], B 3 (X)=1 pour X [+1,k] et B 3 (X)= pour X [,] [k+1,p]. On peut constater que l on a ben B 1 (X)+B 2 (X)+B 3 (X)=1 pour tout X. es hut polynômes T k (X) des dfférents cas présentés dans le Tableau 1. sont alors : Séquence 1 : T 1 (X)=B 1 (X).T (X)+B 2 (X).T (X)+B 3 (X).T (X)=T (X), Séquence 2 : T 2 (X)=B 1 (X).T (X)+B 2 (X).T (X)+B 3 (X).T (-X+λ 2 ), Séquence 3 : T 3 (X)=B 1 (X).T (X)+B 2 (X).T (-X+λ 3 )+B 3 (X).T (X), Séquence 4 : T 4 (X)=B 1 (X).T (X)+B 2 (X).T (-X+λ 4 )+B 3 (X).T (-X+λ 41 ), Séquence 5 : T 5 (X)=B 1 (X).T (X)+B 2 (X).T (X+λ 5 )+ B 3 (X).T (X+λ 51 ), Séquence 6 : T 6 (X)=B 1 (X).T (X)+B 2 (X).T (-X+λ 6 )+ B 3 (X).T (X+λ 61 ), Séquence 7 : T 7 (X)=B 1 (X).T (X)+B 2 (X).T (X+λ 7 )+ B 3 (X).T (-X+λ 71 ), Séquence 8 : T 8 (X)=B 1 (X).T (X)+B 2 (X).T (-X+λ 8 )+ B 3 (X).T (-X+λ 81 ). es dfférents λ αβ sont détermnés au cas par cas car ls dépendent des valeurs de, et k, les postons des tros arêtes enlevées. En terme de complexté, la constructon de chaque nouveau polynôme : la détermnaton du polynôme de la séquence nverse, en O(p), deux translatons de séquence, en O(p.log p), tros multplcatons en O(p.log p) et une addton, en O(p), de polynômes. e calcul pour les autres hut cas se fat en O(p). a complexté globale pour la recherche locale 3-Opt d un seul vosn est O(p.log p). On reprend l exemple étudé dans le cas de 2-Opt. On se place dans l ensemble 9/119 avec un problème de onze vlles numérotées de à 1. Sot la séquence [,2,5,8,9,3,1,1,7,6,4], modélsée par le polynôme de agrange T (X) dont les coeffcents sont [,1,8,3,9,1,7,5,1,4,]. On suppose que l on remplace les 3 ème, 6 ème et 9 ème arêtes. Notre base est composée des tros polynômes B 1 (X) (respectvement B 2 (X), B 3 (X)), modélsant les séquences [1,1,1,,,,,,,1,1] (respectvement [,,,1,1,1,,,,,] et [,,,,,,1,1,1,,]) et dont les coeffcents sont

6 MOSIM 1 du 25 au 27 avrl 21 - Troyes (France) [1,,3,,2,,1,,1,,6] (resp. [,6,4,5,1,8,6,4,5,1,8], et [,5,4,6,1,3,6,7,5,1,8]). On peut vérfer que l on a ben B 1 (X)+B 2 (X)+B 3 (X)=1. Pour les valeurs =2, =5 et k=8, on obtent les hut polynômes suvants : Séquence 1 : T 1 (X)=B 1 (X).T (X)+B 2 (X).T (X)+B 3 (X).T (X)=T (X), Séquence 2 : T 2 (X)= B 1 (X).T (X)+B 2 (X).T (X)+B 3 (X).T (-X+3), Séquence 3 : T 3 (X)= B 1 (X).T (X)+B 2 (X).T (-X+3)+B 3 (X).T (X), Séquence 4 : T 4 (X)= B 1 (X).T (X)+B 2 (X).T (-X+3)+ B 3 (X).T (-X+8), Séquence 5 : T 5 (X)= B 1 (X).T (X)+B 2 (X).T (X+3)+ B 3 (X).T (X+8), Séquence 6 : T 6 (X)= B 1 (X).T (X)+B 2 (X).T (-X)+ B 3 (X).T (X+8), Séquence 7 : T 7 (X)= B 1 (X).T (X)+B 2 (X).T (X+8)+ B 3 (X).T (-X), Séquence 8 : T 8 (X)= B 1 (X).T (X)+B 2 (X).T (-X)+ B 3 (X).T (-X). es résultats des calculs des dfférents polynômes sont présentés dans le tableau 4. c-dessous : ste des tâches Coeffcents du polynôme Séquence 1 [,2,5,8,9,3,1,1,7,6,4] [,1,8,3,9,1,7,5,1,4,] Séquence 2 [,2,5,8,9,3,7,1,1,6,4] [,6,5,1,4,1,,8,5,9,] Séquence 3 [,2,5,3,9,8,1,1,7,6,4] [,7,2,,1,1,4,1,9,5,] Séquence 4 [,2,5,3,9,8,7,1,1,6,4] [,3,1,7,5,1,8,2,2,1,] Séquence 5 [,2,5,1,1,7,8,9,3,6,4] [,2,1,,5,3,8,7,2,9,] Séquence 6 [,2,5,1,1,7,3,9,8,6,4] [,1,5,8,4,3,,1,5,1,] Séquence 7 [,2,5,7,1,1,8,9,3,6,4] [,9,2,7,1,3,4,1,9,3,] Séquence 8 [,2,5,7,1,1,3,9,8,6,4] [,6,8,4,9,3,7,4,1,4,] Tableau 4. ste des hut premères séquences Pour les hut séquences nverses, les calculs sont trvaux. es résultats sont rassemblés dans le tableau 5. caprès. ste des tâches Coeffcents du polynôme Séquence 1 [,4,6,7,1,1,3,9,8,5,2] [,1,8,8,9,1,7,6,1,7,] Séquence 2 [,4,6,1,1,7,3,9,8,5,2] [,5,5,1,4,1,,3,5,2,] Séquence 3 [,4,6,7,1,1,8,9,3,5,2] [,4,2,,1,1,4,1,9,6,] Séquence 4 [,4,6,1,1,7,8,9,3,5,2] [,8,1,4,5,1,8,9,2,1,] Séquence 5 [,4,6,3,9,8,7,1,1,5,2] [,9,1,,5,8,8,4,2,2,] Séquence 6 [,4,6,8,9,3,7,1,1,5,2] [,1,5,3,4,8,,1,5,1,] Séquence 7 [,4,6,3,9,8,1,1,7,5,2] [,2,2,4,1,8,4,1,9,8,] Séquence 8 [,4,6,8,9,3,1,1,7,5,2] [,5,8,7,9,8,7,7,1,7,] Tableau 5. ste des hut autres séquences 5 CONCUSION Après un bref rappel sur l écrture de notre modèle et sur le problème du voyageur de commerce, ce texte propose une écrture algébrque des transformatons 2-Opt et 3-Opt à partr d opératons smples (addton et multplcaton) sur les polynômes. Cette écrture n apporte pas une melleure soluton en terme de complexté. Elle a pour but de promouvor la modélsaton algébrque que nous avons proposé et utlsé au nveau des réseaux de Petr [19]. a fablesse de notre modèle résde dans le coût en terme de complexté pour évaluer dans un sens et nterpoler dans l autre sens. Cependant l peut s applquer dans les cas où l évaluaton des solutons n est pas systématque comme dans le cas des vosnages 2-Opt et 3-Opt. e chox du problème du voyageur de commerce est dû à sa structure partculère qu peut être assmlée à un processus séquentel smple. Dans l avenr, l peut-être ntéressant d utlser notre modèle sur d autres problèmes d ordonnancement comme le problème à une machne ou les problèmes d ateler. REFERENCES [1] E.. AWER, J. K. ENSTRA, K. RINNOY KAN, D. B. SHMOYS, «Optmzaton and approxmaton n determnstc schedulng : a survey», Ann. Dsc. Math. N 5, pp , [2] J. CARIER, J. CHRETIENNE, Problèmes d ordonnancement, MASSON, [3] M. GONDRAND, M. MINOUX, Graphes et Algorthmes, EYROES, [4] E. PINSON, «The Job Shop Schedulng Problem: A Concse Survey and Some Recent Developments», Schedulng Theory and ts applcatons, John Wley and Sons td, [5] C. PRINS, Algorthmes de graphes, EYROES, [6] N. WIRTH, Algorthmes et structures de données, EYROES, [7] M.C. GAUDE, M. SORIA, C. FROIDEVAUX, Types de données et algorthmes, McGRAW-HI, [8] D. BEAUQUIER, J. BERSTE, Ph. CHRETIENNE, Eléments d algorthmques, MASSON, [9] M. BOURCERIE, J.Y. MORE, «Algebracally structured colored Petr nets to model sequental processes», Systems, Mans, and Cybernetcs, Part B : Cybernetcs, Volume 27, number 4, IEEE, [1]F. GUEGNARD, M. BOURCERIE, «Characterstc polynomal of sequental processes», Mathematcal Theory of Network and System, MTNS 98, Padova, Italy, ullet [11]F. GUEGNARD, «Caractérsaton polynomale des processus séquentels», Thèse de doctorat, 2. [12]J. KUNTZMANN, Méthodes Numérques, Hermann, [13]F. GUEGNARD, F. BOUSSEAU, M. BOURCERIE, «Geston des perturbatons des processus séquentels», Conférence Internatonale Francophone d Automatque, CIFA 2, ullet 2. [14]M. R. GAREY, D.S. JOHNSON, Computers and ntractablty : A gude to the theory of NP-completeness, Freeman, San Francsco, [15]A. HERTZ, M. WIDMER, «a méthode TABOU applquée aux problèmes d ordonnancement», RAIRO-APII, vol. 29, n 4-5, pp , Hermès, [16]P. SIARY, «la méthode du recut smulé : théore et applcatons», RAIRO-APII, vol. 29, n 4-5, pp , Hermès, [17]C. CAUX, H. PIERREVA, M-C. PORTMANN, «es algorthmes génétques et leur applcaton aux problèmes d ordonnancement», RAIRO-APII, vol. 29, n 4-5, pp , Hermès, [18]D. S. JOHNSON,. A. MCGEOCH, ocal search n combnatoral optmsaton, chap. 8 : «The travelng salesman problem : a case study», pp , Edted by E. AARTS and J.K. ENSTRA, WIEY, [19]F. GUEGNARD, M. MARES, M. BOURCERIE, «An algebrac approach to model complex sequencng problems», INCOM 98, Nancy, Jun