FIGURE DS.11: Tête à polir

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1 2 Cor. : Tête à polir le marbre Sujet page Q. Graphe des liaisons figure DS.. L 56 6 L 6 L 5 L 5 L L 6 : Liaison encastrement(par hypothèse) ; L : Liaison pivot d ae (O, z ) ; L : Liaison pivot glissant d ae ( O, z ) ; L 5 : Liaison pivot glissant d ae ( O, y ), L 56 : Liaison pivot d ae ( O, y ). (a) Graphe des liaisons (b) Liaisons FIGUR DS.: Tête à polir Q2. Hyperstatisme On sait que m h I c c, d où h avec I c 6 : le nombre d inconnues cinématiques ; c 6 γ 6 : le nombre d équations issues de l étude cinématique (avec γ ) ; m par hypothèse. Q. torseurs cinématiques { V/ γ P (O, z) (?,?, { V(5/ β 5 v 5 z ) P (O, y) (?, y,? ) avec pour notation (?, y,? ) pour toute base comportant y. Q. Fermeture cinématique On choisit d écrire la fermeture cinématique en O et dans la base (, y, z ). { V/ γ w P (O, z) (?,?, z ) { V6/5 β 65 P (O, y) (?, y,? ) Changements de point e γ cosθ {V / e γ sinθ γ Équations de fermeture O (, y, z ) h β 65 β 65 e β 65 sinθ O (, y, z ) β 5 β 65 γ γ e γ cosθ h β 65 e γ sinθ v 5 e β 65 sinθ w (DS.) Q5. Degré d hyperstatisme Le système ci-dessus comporte 6 équations et 6 inconnues, le rang est au maimum de 5 en effet la première équation ( ) diminue le rang de. γ γ Le rang du système est r c 5. Pour résoudre ce système il faut poser paramètre (ici il est judicieu de choisir γ ) et on obtient : β 65 e h γ cosθ v 5 γ sinθ { β5 β 65 puis w e β 65 sinθ Le système est donc mobile d ordre m ( paramètre) et hyperstatique d ordre h (h c r c ). Q6. Modification de la liaison Pour rendre le système isostatique, il faut ajouter une mobilité de rotation suivant afin de remplacer l équation supplémentaire

2 On nous propose de modifier la liaison, rajoutons donc une mobilité, le torseur devient : { α V /. Ce torseur ne correspond pas à une liaison normalisée mais se rapproche de la liaison sphère cylindre de centre O et d ae ( O, z ) { γ w O (, y, z ) soit : V/ α β γ w O (, y, z ) La fermeture géométrique devient : α β β 5 β 65 γ γ e γ cosθ h β 65 e γ sinθ v 5 e β 65 sinθ w Le système à résoudre est un système 6 équations et 8 inconnues, le rang est de 6, le système est donc mobile d ordre m 2. La mobilité utile est inchangée, par contre une mobilité interne est rajoutée (équation β β 5 β 65 ), la rotation propre de la pièce autour de l ae ( O, y ). (DS.2)

3 Cor. 2: Changeur d outil Sujet page 2 A. Étude géométrique et cinématique Q. Établir le graphe de structure du module changeur et déterminer le nombre et la composition des cycles indépendants. 6 (B, ) γ L N 2 soit deu cycles indépendants Cycle {, 2,, Cycle 2 {,, 6, 5. (D, ) Liaison indéterminée 5 (, ) (C, ) 2 (H, ) Glissant (H, z 2 ) Q2. Évaluer, par une analyse cinématique, le degré de mobilité de cette chaîne de mise en position. Calculer le degré d hyperstaticité. La boucle {,, 6, 5 est constituée de N solides, reliés par L liaisons pivots. On en déduit : γ L N boucle indépendante I c inconnues cinématiques c 6 γ 6 équations Le rang du système ne peut être plus grand que r c < min( c,i c ). Ici, nous savons que le système est mobile et possède une seule mobilité m. Nous pouvons en déduire le degré d hyperstaticité m h I c c soit h. Q. Préciser le mouvement autorisé par la liaison L entre la biellette de transmission () et le support (), et écrire au point C puis au point B, l epression littérale du torseur cinématique {V / caractérisant ce mouvement, en fonction de la dérivée temporelle de θ, et des grandeurs caractéristiques du mécanisme. Rotation d ae (C, { ) soit : avec {V / / ω / V C / avec ω / dθ C dt { en B le torseur s écrit : {V / / ω / { V B / ω / CB / ω / V B B / b ω / z B Q. Préciser le mouvement autorisé par la liaison L 5 entre la biellette d orientation (5) et le support (), et écrire au point puis au point D, l epression littérale du torseur cinématique {V 5/ caractérisant ce mouvement, en fonction de la dérivée temporelle de θ 5 et des grandeurs caractéristiques du mécanisme. Rotation d ae (, { ) soit : {V 5/ / ω 5/ avec ω 5/ dθ 5 C dt { en D ce torseur le torseur s écrit : {V 5/ 5/ ω / { V D 5/ ω 5/ D 5/ ω 5/ V D D 5/ b ω 5/ z 5 D Q5. La figure constituée des points, C, B et D est un parallélogramme. Sachant que dans un parallélogramme les cotés opposés restent parallèles(θ θ 5 δ), en déduire la nature du mouvement du porte-outil (6) par rapport au support (). Comment est le champ des vecteurs vitesses de ce mouvement? Si θ θ 5 δ alors V B / V D 5/ b dδ dt z Les points B et D sont les centres de deu liaisons pivots respectivement, entre le solide (6) et le solide () et entre le solide (6) et le solide (5). On peut déterminer V B 6/ V B 6/ V B / V B / b dδ dt z et V D 6/ V D 6/5 V D 5/ V D 5/ b dδ dt z donc : V B 6/ V D 6/ b dδ dt z Deu points du solide (6) ont même vitesse, le mouvement de (6) est donc une translation circulaire. Q6. Écrire au point B puis au point P, l epression littérale du torseur cinématique {V 6/ caractérisant le mouvement du porte-outil (6) par rapport au support () en fonction de la dérivée temporelle de δ et des grandeurs caractéristiques du mécanisme. { { Le solide (6) est en translation donc {V 6/ b dδ dt z b ω 5 z b ω P z P P Q7. Écrire au point D puis au point l epression littérale du torseur cinématique caractérisant le mouvement du porte-outil (6) par rapport à la biellette d orientation (5). { {V 6/ {V /5 en D cette égalité devient : b ω 5 en { 6/5 ω 5 6/5 D { 6/5 ω 5 b ω 5 z { 5/ ω 5 z P V D 5/ b ω 5 z { 6/5 ω 65 b ω 65 z D { 6/5 ω 5 { 6/5 ω 65 D D

4 5 Q8. Écrire au point B puis au point l epression littérale du torseur cinématique caractérisant le mouvement du porte-outil (6) par rapport à la biellette de transmission (). { De la même manière, 6/ ω { 6/ ω 6 B B B e y e z mais pour faciliter les calculs, on pose B f y g z V 6/ V B 6/ 6/ B ω ( b y f y g z ) b ω z f ω z g ω y { finalement le torseur s écrit en : 6/ ω { b ω z f ω z g ω 6/ ω 6 y b ω 6 z f ω 6 z g ω 6 y Q9. Écrire les si équations liées à la fermeture cinématique de la chaîne de solide constituée des solides (), (), (5) et (6). {V / {V /5 {V 5/6 { On choisit d écrire cette relation en, il reste {V / à déplacer { {V / / ω { V / ω ( f y g z ) / ω V / f ω z g ω y { 6/ ω 6 { b ω 6 z f ω 6 z g ω / ω { 6 y V / f ω z g ω y 5/ ω 5/ C d où les 6 équations de la fermeture cinématique : ω 6 ω ω 5 ω 65 g ω 6 g ω b ω 6 f ω 6 f ω b ω 65 { 6/5 ω 65 b ω 65 z Q. Déterminer le rang du système obtenu à la question précédente. n déduire le degré de mobilité et le degré d hyperstatisme de la chaîne de solide étudiée. Le degré de mobilité est m (il faut fier une des vitesse de rotation pour trouver les autres). Le rang est r c On déduit le degré d hyperstaticité du nombre équations supplémentaires h c r c Q. Proposer une modification permettant de rendre le mécanisme isostatique. pour rendre le système isostatique, il faut ajouter dans une liaison pivot (ou plusieurs), un degré de liberté en translation suivant et deu rotations suivant z et y. on peut donc : soit transformer une liaison pivot en Sphère Cylindre dont l ae est suivant, soit transformer une liaison pivot glissant et une autre en rotule. Q2. Montrer, par une analyse cinématique que, si la liaison L est une liaison pivot d ae (A, ), le degré d hyperstaticité de la chaîne de mise en mouvement n est pas nul. (C, ) (A, ) Glissant(H, z 2 ) { I c 2 et c 6 ; Le sous mécanisme étudié comporte donc 6 équations avec 5 inconnues, le rang ne peut être supérieur au plus petit de c et I c, il est donc au maimum de r c 5. On peut donc en déduire qu il y a au moins c r c équation supplémentaire, le degré d hypertatisme est donc h. 2 (H, ) Q. Dans le cas où la liaison L est une liaison rotule de centre A, calculer le degré de mobilité de la chaîne de mise en mouvement, et montrer que ce système est isostatique. Identifier la (ou les) mobilité(s) de cette chaîne de mise en mouvement. (C, ) Sphérique de centre A 2 (H, ) Glissant(H, z 2 ) I c 2 7 et c 6 ; Le sous mécanisme étudié comporte donc 6 équations avec 7 inconnues, le rang ne peut être supérieur au plus petit de c et I c, il est donc au maimum de r c 6. Il est au moins mobile d ordre m On peut montrer que le mécanisme possède ici deu mobilités une mobilité utile m u une mobilité interne m i, la rotation de autour de son ae (A, 2 ). On peut alors écrire que m h I c c soit h.

5 6 B. Détermination de l'eort développé par le vérin support de l action de 6 5 Équilibre de 5 25mm 5N P Triangle des forces de 6 B 6 57mm 6mm D 5 6 Équilibre de 6 support de l action de A C 75mm 57mm 5mm N B 6 Triangle des forces de quilibre de quilibre de 2- FIGUR DS.2: Équilibres de, 5, 6, 2- Q. n isolant la biellette d orientation (5), préciser sur le document réponse page la direction de l action mécanique en D du porte outil 6 sur la biellette 5, justifier et tracer sur le document réponse.

6 Soumise à 2 actions mécaniques, directement opposées (voir Équilibre de 5 sur la figure DS.2). Q5. Préciser à combien d action est soumis le porte outil (6), en déduire la direction et la norme de l action en B de () sur (6), justifier et tracer sur le document réponse. le solide 6 est soumis à actions mécaniques, ces glisseurs sont concourants, On connaît la norme et la direction de l action en P (5 N verticale) la direction de l action en D (déterminée ci-dessus) le point d application de la troisième est en B et passe par le point d intersection des deu autres (voir Équilibre de 6 sur la figure DS.2) à partir de ces données, on trace le triangle des forces, en reportant les parallèles et en choisissant une échelle de représentation des forces, ici 25 mm5 N. Q6. Justifier que l action en A de la biellette () sur la tige (2) est portée par la droite (A H), tracer sur le document réponse. l ensemble 2- est soumis à deu glisseurs qui sont directement opposés Q7. n isolant maintenant la biellette de transmission (), déterminer graphiquement la norme de l action en A de la tige du vérin (2) sur la biellette (). La biellette () est soumise à glisseurs, on connaît : la norme et la direction de l action en B (déterminée par l équilibre de 6) la direction de l action en A (déterminée par l équilibre de 2-) on deduit donc la direction de l action en C Le triangle des forces permet de résoudre complétement le problème, on obtient l action en A de norme N. 7

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