STATISTIQUES. 1 Quelques rappels Vocabulaire et définitions Exemple-utilisation de la calculatrice Médiane-quartiles-déciles 3

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1 Table des matières 1 Quelques rappels Vocabulaire et définitions Exemple-utilisation de la calculatrice Médiane-quartiles-déciles Définition Diagramme en boîte Ecart type Définition Exemple-interprétation Exemples Série discrète Série à variable continue /9

2 1 Quelques rappels 1.1 Vocabulaire et définitions L ensemble sur lequel porte l étude statistique s appelle la population. Un élément de cet ensemble est un individu. La population est étudiée selon un ou plusieurs caractères (ou variables). Le caractère est : soit quantitatif (on peut le mesurer) ; on lui donne souvent le nom de variable statistique. soit Qualitatif(on ne peut pas le mesurer) L effectif d une classe statistique est le nombre d éléments de la population observés dans cette classe. Une série de données est soit discrète, soit continue (les valeurs du caractères sont données par des intervalles). Le mode (ou classe modale) est la valeur que la variable statistique prend le plus souvent. C est à dire la valeur du caractère ou de la classe qui a le plus grand effectif. L étendue est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur du caractère. Fréquences : La fréquence d une classe statistique est le rapport de l effectif de cette classe à l effectif total de la population. ( la fréquence peut être exprimée en pourcentage) Les données peuvent être présentées de trois façons : 1. Série statistique discrète sans effectifs : otes obtenues par dix élèves d une classe : avec effectifs (regroupement par valeurs) : otes obtenues par 30 élèves d une classe (tableau 1) : note effectif(nombre d élèves) Série continue (regroupement des données par classe) Dans une succursale de banque, on a noté le montant des 2000 versements effectués au guichet pendant la journée (tableau 2) :. Montant (en euros) ]0 ; 500[ [500 ; 750[ [750 ; 1000[ [1000 ; 1500[ [1500 ; 3000[ effectif Pour la suite on notera x i (i entier naturel) les valeurs du caractère et n i les effectifs correspondants. = n 1 + n n p est l effectif total. Effectifs et fréquences cumulées : L effectif (la fréquence) cumulé(e) croissant(e) d une classe statistique x i est la somme des effectifs (fréquences) des valeurs inférieures ou égales à x i. Moyenne : La moyenne de la série statistique est x = n 1x 1 + n 2 x n p x p. Dans le cas d une série regroupée en classe, on utilise le centre des classes pour faire le calcul de la moyenne. symbole Σ : 2/9

3 n 1 x 1 + n 2 x n p x p = Σ p k=1 n kx k se lit somme des termes n k x k pour k variant de 1 à p et l effectif total est Σ p k=1 n k = x = Σp k=1 n kx k Σ p k=1 n k 1.2 Exemple-utilisation de la calculatrice On utilise le MEU STAT de la calculatrice et les données peuvent être saisies dans les LISTES Il faut ensuite paramétrer les listes utilisées pour faire les calculs : 1VAR X List : valeurs de la variable (centre des classes pour une série à variable continue) 1VAR Freq : effectifs de la série de données. Si chaque valeur apparaît une fois(série sans effectifs), on entre 1VAR Freq :1. 2 Médiane-quartiles-déciles 2.1 Définition Définition : médiane-quartiles-déciles La médiane M est la valeur du caractère telle que a 50% (la moitié) des valeurs soient inférieures ou égales à M et l autre moitié supérieures ou égale à M. Le premier quartile Q 1 est la plus petite valeur du caractère telle que au moins 25% (un quart) des valeurs soient inférieures ou égales à Q 1. Le troisième quartile Q 3 est la plus petite valeur du caractère telle que au moins 75% (trois quarts) des valeurs soient inférieures ou égales à Q 3. L intervalle [Q 1 ; Q 3 ] est l intervalle interquartile et Q 3 Q 1 est l écart interquartile. Le premier décile d 1 est la plus petite valeur du caractère telle que au moins 10% (un dixième) des valeurs soient inférieures ou égales à d 1. Le neuvième décile d 9 est la plus petite valeur du caractère telle que au moins 90% des valeurs soient inférieures ou égales à d Diagramme en boîte Tracer un axe gradué en choisissant une échelle permettant de placer la valeur minimale et maximale Placer d 1, Q 1, la médiane, Q 3 et d 9. Le diagramme en boîte permet de comparer rapidement deux séries de données (dispersion, valeurs extrêmes...) Plus la boîte est large, plus les données sont dispersées. 3/9

4 3 Ecart type 3.1 Définition Définition : Variance et écart type La variance (notée le plus souvent V ) est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. V = n 1(x x 1 ) 2 + n 2 (x x 2 ) n p (x x p ) 2 On peut aussi calculer V plus simplement : V = (n 1x n 2x n px 2 p) x 2 L écart type noté σ est σ = V L écart type est une caractéristique de dispersion.(voir exemple ci-dessous) avec le symbole Σ : V = (n 1x n 2x n px 2 p) x 2 = (Σp k=1 n kx 2 k ) x Exemple-interprétation Exemple 1 : Comparatif de l écart type sur deux séries de données On considère les deux séries de trois notes 0 ; 10 et 20 et 9 ; 10 et 11. Pour chacune des deux séries, la moyenne est 10 mais les données sont radicalement différentes dans leur répartition par rapport à la moyenne. Calcul de l écart type : V 1 = (0 10)2 + (10 10) 2 + (20 10) 2 = et donc σ 1 = V 1 8, 2 V 2 = (9 10)2 + (10 10) 2 + (11 10) 2 = et donc σ 2 = V 2 0, 8 L écart type σ 2 est proche de 0 et σ 1 est beaucoup plus grand que σ 2. Les données de la première série de notes sont très dispersées par rapport à la moyenne contrairement à celles de la deuxième série. Le calcul ne présente que peu d intérêt sur une telle série comportant très peu de données mais permet facilement de comparer la dispersion des valeurs par rapport à la moyenne quand le nombre de données est très grand. 4/9

5 4 Exemples 4.1 Série discrète Exemple 2 :avec les données du tableau 1(notes des 30 élèves) note effectif (nombre d élèves) effectif cumulé croissant 1. Quelle est la population étudiée? le caractère? le mode? l étendue? 2. Calculer la moyenne et l écart type(arrondi aux dixièmes) de cette série de données. 3. Déterminer la médiane, les quartiles Q 1 et Q 3 et les déciles D 1 et D 9 et construire le diagramme en boîte. Solution: 1. La population étudiée est l ensemble des 30 élèves et la variable (le caractère) la note obtenue par chaque élève. mode : 12 étendue : 17 2 = Moyenne : (notée en général x) x = = V = , 5 σ = V 4, = Avec la calculatrice, saisir les notes dans LIST1 puis les effectifs dans LIST2 puis CALC et SET pour paramétrer les listes utilisées 1VAR XList :List1 et 1VAR Freq :List2 3. On peut utiliser les effectifs cumulés croissants pour déterminer la médiane, les quartiles et les déciles. note effectif (nombre d élèves) effectif cumulé croissant 1 1+2=3 3+4= Rappel : L effectif cumulé 15 signifie que 15 élèves ont une note inférieure ou égale à 9. Il y a 30 valeurs donc la médiane m est la valeur du caractère comprise entre la 15 ième et la 16 ième valeur. La 15 ième note est 9 et la 16 ième note est 12 donc la médiane m = = 10, % de 30 est égal à = 7, donc Q 1 est la plus petite note telle que au moins 25% (soit 7,5 donc 8 élèves) ont une note inférieure ou égale à Q 1 donc d après le tableau Q 1 = % de 30 est égal à = 22, 5 donc Q 3 est la plus petite note telle que au moins 75% (soit 22,5 100 donc 23 élèves) ont une note inférieure ou égale à Q 3 donc d après le tableau Q 3 = % de 30 est égal à = 3 donc D 1 est la plus petite note telle que au moins 10% (soit 3 élèves) 100 ont une note inférieure ou égale à D 1 donc d après le tableau D 1 = 4 D 9 est la plus petite note telle que au moins 90% (soit au moins 27 élèves) ont une note inférieure ou égale à D 9 donc d après le tableau D 9 = 15 5/9

6 4.2 Série à variable continue Exemple 3 : série à variable continue-interpolation linéaire Avec les données du tableau 2 : Dans une succursale de banque, on a noté le montant des 2000 versements effectués au guichet pendant la journée. Montant (en euros) ]0 ; 500[ [500 ; 750[ [750 ; 1000[ [1000 ; 1500[ [1500 ; 3000[ effectif effectifs cumulés croissants 1. Quelle est la population étudiée? le caractère? la classe modale? l étendue? 2. Calculer la moyenne et l écart type(arrondi aux dixièmes) de cette série de données. 3. Compléter le tableau (effectifs cumulés croissants) et tracer le diagramme des effectifs cumulés croissants 4. Déterminer graphiquement une valeur approchée de la médiane, fes quartiles Q 1 et Q 3 et construire le diagramme en boîte. 5. Déterminer la médiane puis les quartiles par interpolation linéaire. Solution: 1. La population étudiée est l ensemble des versements au guichet pendant une journée. Le caractère ou la variable étudiée est le montant de chaque retrait. La classe modale est l intervalle [1000; 1500[ et l étendue est de = 3000 euros. 2. Il faut utiliser le centre des classes pour calculer la moyenne et l écart type. Rappel : Le centre de l intervalle [a; b] est c = a + b Avec la calculatrice : LISTE 1 :250- = et LISTE 2 : e pas oublier de paramétrer les listes utilisées dans SET On a alors x = 1035 et σ 666, 6 Le montant moyen des versements est de 1035 euros. Montant (en euros) ]0 ; 500[ [500 ; 750[ [750 ; 1000[ [1000 ; 1500[ [1500 ; 3000[ effectif effectifs = = cumulés croissants Pour tracer le diagramme des effectifs cumulés croissants, il faut placer les points : L effectif cumulé 440 signifie qu il y a 440 versements d un montant inférieur à 500 euros donc on place le point (500; 440) L effectif cumulé 760 signifie qu il y a 760 versements d un montant inférieur à 750 euros donc on place le point (750; 760)... 6/9

7 Il faut donc graduer de 0 à 3000 sur l axe des abscisses et de 0 à 2000 sur l axe des ordonnées. - diagramme des effectifs cumulés croissants : Graphiquement Q 1 540, med 900 et Q Diagramme en boîte : 5. 50% de 2000 versements représente 1000 versements. med est donc le montant tel que 50% des versements (soit 1000 versements) sont d un montant inférieur ou égal à med euros et 50% des versements sont d un montant supérieur ou égal à med euros. med [750; 1000[ et est situé sur le segment [A; B] avec A(750; 760) et B(1000; 1160) 7/9

8 Schématiquement, on a donc y B y A x B x A = y M y A x M x A = 250 x M 750 1, 6 = 260 x M 750 1, 6(x M 750) = 240 1, 6x M = 1440 x M = , 6 = 900 Par interpolation linéaire, on a med = 900 En utilisant cette méthode, on suppose que les montants des versements de la classe [750; 1000[ sont uniformément répartis dans cette intervalle % de 2000 versements représente 500 versements. Q 1 est donc le plus petit montant tel que au moins 25% des versements (soit 500 versements) sont d un montant inférieur ou égal à Q 1 euros. Q 1 [500; 750[ et est situé sur le segment [A; C] avec C(500; 440] et A(750; 760) Schématiquement, on a donc y C y A x C x A = y Q y A x Q x A = 250 x Q 500 1, 28 = 60 x Q 500 1, 28x Q 640 = 60 x Q = 700 1, 28 Par interpolation linéaire, on a Q 1 = 700 1, % de 2000 versements représente 1500 versements. Q 3 est donc le plus petit montant tel que au moins 75% des versements (soit 1500 versements) sont d un montant inférieur ou égal à Q 3 euros. Q 3 [1000; 1500[ et est situé sur le segment [D; E] avec D(1000; 1160] et E(1500; 1640) y E y D = y Q y D = x E x D x Q x D 500 x Q , 96 = x Q , 96x Q 960 = 320 x Q = , 96 Par interpolation linéaire, on a Q 3 = , Signification : Au moins 25% (soit 500) des versements sont d un montant inférieur ou égal à 547 euros, et au moins 75% des versements sont d un montant inférieur ou égal à 1333 euros. 8/9

9 La moitié des versements sont d un montant inférieur ou égal à 900 euros et l autre moitié d un montant supérieur ou égal à 900 euros. Attention : on peut donc dire que moins de 75% des versements sont d un montant strictement supérieur à 547 euros. On peut aussi utiliser le critère de colinéarité de deux vecteurs pour traduire l alignement des trois points. Par exemple, pour la médiane, on a : AB( x ; y ) soit AB(250; 400) AM(x M x A ; y M y A ) soit AM(x 750; 240) A, M et B sont alignés AB et AM sont colinéaires 400(x 750) = x = x = 900 9/9

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