Rapport d Ecoulement libre (Vidange d un réservoir)
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- Simon Pierre Chrétien
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1 CHOUKROUN, Daniel Institut de génie chimique, TAWFFIK, Sleem Département de chimie SINGHANAT, Suradech EPFL, Suisse Grupe 16 13/01/06 Travaux pratiques de génie chimique Semestre III, hiver Rapprt d Eculement libre (Vidange d un réservir) 1. RESUME Dans ce travail nus avns étudié l influence des dimensins d un tube pur vidanger un réservir. Nus avns réalisé deux séries de mesures : l une avec lngueur cnstante et diamètre changeant et l autre avec diamètre cnstant et lngueur changeante. En général, nus avns cnstaté que d une part, plus la lngueur du tube est grande, plus le liquide cule lentement et dnc le temps de vidange augmente et que d autre part, plus le diamètre du tube est imprtant, plus le temps de vidange diminue. En cmparant les deux séries, nus remarquns que le diamètre du tube a une influence plus imprtante que la lngueur sur le temps de vidange expérimental. Les temps de vidange expérimentaux calculés crrespndent plus u mins bien avec les valeurs thériques, cela dépend entre autre de la lngueur d entrée qui dans la plupart de ns cas était supérieure à la lngueur du tube. D autre part nus avns btenu un bilan d énergie nn-nul, ceci peut être expliqué par le fait que les équatins furnies ne prennent pas en cmpte tutes les pertes de charges. 1
2 . INTRODUCTION Le but de ce travail est d étudier l influence des dimensins d un tube de vidange sur le temps de vidange d un réservir cylindrique. Afin de puvir étudier ceci, nus cnsidérns le liquide utilisé cmme étant de densité et de viscsité cnstantes, ainsi que étant dans un état quasi-statinnaire. Nus puvns ensuite déterminer le temps de vidange du réservir par rapprt aux dimensins du tube et aux prpriétés du fluide en cnsidérant le bilan massique nn-statinnaire, ainsi que le bilan énergétique cmme ci-dessus. A. BILAN MASSIQUE NON-STATIONNAIRE : Accumulatin IN - OUT L accumulatin est le changement du vlume d eau dans le réservir par rapprt au temps, la masse IN est égale à zér puisqu n a rien ajuté pendant l expérience et finalement la masse dh OUT, qui est le débit vlumique de srtie. Nus btenns dnc : π R π R v dt par cnséquent nus avns la relatin suivante : v R R dh dt B. BILAN ENERGETIQUE : il crrespnd à une équatin de Bernulli mdifiée Energie ptentiel de Energie cinétique + Dégradatin d énergie par le l eau dans le réservir à la srtie frttement dans le tube mg(l + H) La dégradatin d énergie par le frttement dans le tube dépend de la vitesse d éculement et est définie cmme suit : 1 mv + Ev Ev m f F L R v En remplaçant la définitin de Ev, ntre bilan d énergie devient dnc : mg(l + H) 1 mv + m f F L R v Le facteur de frttement se calcule de manière différente seln le régime d éculement, il est sit laminaire, sit turbulent. Afin de puvir déterminer le régime d éculement, nus avns besin de la valeur du nmbre de Reynlds qui se calcule seln l équatin suivante : ρ v d Re μ
3 B1. Régime laminaire (Re <, ) Pur calculer le facteur de frttement seln Fanning nus utilisns la relatin suivante : f F 16 Re 8 μ ρ v R Par cnséquent, avec le bilan d énergie ci-dessus nus avns une relatin : v ρ g R 8 μ L (L + H) Grâce à cette relatin et celle que nus avns btenue du bilan massique nn-statinnaire, nus puvns calculer le temps de vidange de la façn suivante : t vidange 8 μ L R ρ g R 4 ln [ L + H1] [ L + H ] B. Régime turbulent (, < Re < 10 5 ) Dans ce cas, le facteur de frttement est défini cmme suit : Par cnséquent, nus btenns : f F 0,0791 Re 0,5 v 1 / 7 g 4 / 7 R 0, / 7 4 / 7 (L + H) μ 1 / 7 L 4 / 7 4 / 7 ρ 1 / 7 De la même manière que le régime laminaire, nus puvns calculer le temps de vidange avec l équatin suivante : Avec C défini cmme suit : t vidange 7 R 3 R 3/7 3/7 [(L + H ) (L + H ) ] C 1 C 0,0791 L μ 1/4 g ρ 1/4 1/4 R 5/4 4/7 Les symbles utilisés dans les équatins R R H 1 v Rayn du réservir 0,15 m Rayn du tube (m) Hauteur initiale 0.50 m Vitesse (m/s) 3
4 ρ Masse vlumique (kg/m 3 ) μ Viscsité (kg/m.s) Re Nmbre de Reynlds (-) d Diamètre (m) f F Facteur de frttement seln Fanning (-) L Lngueur du tube (m) 3. EXPERIENCE Nus avns rempli le réservir avec de l eau jusqu à un niveau de 50 cm puis la température a été prélevée (afin de puvir calculer la densité et la viscsité de l eau). Deux séries de tubes nt été utilisées : Série 1, lngueur cnstante : Lngueur 00 mm et 3, 5, 7 et 10 mm Série, diamètre cnstant : 5 mm et Lngueur 100, 15, 50 et 500 mm Pur chaque tube de chaque série, nus avns relevé le temps de vidange du réservir pur chaque intervalle de niveau d eau de 3 cm jusqu au mment ù le niveau d eau atteint 0 cm. Les valeurs snt tabulées dans la partie résultats et nt ensuite été calculées seln les équatins présentées auparavant dans la partie intrductin. Schéma d installatin Figure 3.1 : Schéma d installatin L appareillage utilisé lrs de l expérience se cmpse d un réservir cylindrique en acier inxydable d un rayn de 1,5 cm avec un vlume apprximatif de 5 litres, muni d une jauge de niveau, de deux séries de tubes d éculement en acier inxydables interchangeables (mentinnés ci-dessus) et d un chrnmètre. Le liquide utilisé dans cette expérience est l eau. 4
5 4. RÉSULTATS A. SÉRIE DE TUBES À LONGUEUR CONSTANTE La première série que nus avns effectuée était à lngueur cnstante (L0.m) en variant le diamètre : 3, 5, 7, 10mm En reprtant le temps de vidange du réservir en fnctin du rapprt R/R (ù R est le rayn du réservir et R est le rayn du tube), nus btenns : Influence du rayn du tube sur le temps de vidange t exp final [s] R/R [-] Figure 4.1 L influence du rayn du tube sur le temps de vidange Nus puvns également cmparer la variatin de ΔH en fnctin du Δt pur chaque tube : ΔH en fnctin de Δt pur une lngueur cnstante ΔH (m) D 3 mm D 5 mm D 7 mm D 10 mm Δt (s) Figure 4. ΔH en fnctin de Δt pur la série de tubes à lngueur cnstante 5
6 Ensuite, nus avns réalisé les curbes de relatin entre ln(-dh/dt) et ln(<h>) afin de puvir déterminer les pentes, les rdnnées à l rigine et les cefficients de crrélatin en cmparant avec l équatin.1.07 de la réf.1 ln(-dh/dt) en fnctin de ln<h> Tubes à une lngueur cnstante ln<h> y 0.393x R y 0.481x R 0.89 y 0.635x R ln(-dh/dt) D 3 mm D 5 mm D 7 mm D 10 mm -7.5 y x R Figure 4.3 ln(-dh/dt) en fnctin de ln(<h>) de la série de tubes à lngueur cnstante Série Tube n ln(k/a) k/a R E E E E Tableau 4.1 Les valeurs btenues en cmparant les figure 4.3 avec.1.07 de réf.1 B. SÉRIE DE TUBES À DIAMÈTRE CONSTANT La deuxième série que nus avns effectuée était à diamètre cnstant ( 5mm) en variant la lngueur: L 100, 15, 50 et 500 mm En reprtant le temps de vidange du réservir en fnctin de la lngueur, nus btenns : 6
7 Influence de la lngueur du tube sur le temps de vidange t exp final [s] Lngueur du tube [m] Figure 4.4 L influence de la lngueur du tube sur le temps de vidange Nus puvns également cmparer la variatin de ΔH en fnctin du Δt pur chaque tube : ΔH en fnctin de Δt pur un diamètre cnstant ΔH[m] L0.1m L0.15m L0.5m L0.5m Δt[s] Figure 4.5 ΔH en fnctin de Δt pur la série de tubes à diamètre cnstant 7
8 En suite, nus avns réalisé les curbes de relatin entre ln(-dh/dt) et ln(<h>) afin de puvir déterminer les pentes, les rdnnées à l rigine et les cefficients de crrélatin en cmparant avec l équatin.1.07 de la réf.1 ln(-dh/dt) en fnctin de ln<h> Tube de lngueur 0,1 m ln<h> y x R ln(-dh/dt) ln(-dh/dt) en fnctin de ln<h> Tube de lngueur 0,15 m ln<h> y 0.08x R ln(-dh/dt) ln(-dh/dt) en fnctin de ln<h> Tube de lngueur 0.5 m ln<h> y x R ln(-dh/dt) ln(-dh/dt) en fnctin de ln<h> Tube de lngueur 0.5 m ln<h> y x R ln(-dh/dt) Figure 4.6 ln(-dh/dt) en fnctin de ln(<h>) de la série de tubes à un diamètre cnstant Série Tube n ln(k/a) k/a Cefficient de crrélatin E E E E Tableau 4.1 Les valeurs btenues en cmparant les figure 4.3 avec.1.07 de réf.1 Pur le bilan d énergie, nus avns utilisé les frmules suivantes : 1 Ecin mv exp, E pt mgh, L Evisq mf F v exp et Δ E E pt + Ecin + Evisq d 8
9 Tube Masse (kg) E cin E pt (J) (J) E visq (J) ΔE (J) 1 Début Fin Début Fin Début Fin Début Fin Début Fin Début Fin Début Fin Début Fin Tableau 4. Les bilans d énergie btenus pur chaque tube des deux séries Cncernant la lngueur d entrée, nus avns truvé dans le réf 1 que pur le régime turbulent elle est définie cmme suit : Len 50 ù d est le diamètre du tube. Nus btenns dnc les valeurs de lngueurs d entrée suivantes : Tube L (m) Diamètre (m) Len (m) Tableau 4.3 La lngueur d entrée de chaque tube d 9
10 5. DISCUSSIONS DES RÉSULTATS Temps de vidange en variant le diamètre du tube : Tut d abrd, l expérience que nus avns effectuée à lngueur de tube cnstante mais diamètre variant, nus a permis d étudier l influence de ce dernier sur le temps de vidange expérimental du réservir. En effet, nus cnstatns que le temps de vidange expérimental augmente quand le diamètre du tube devient petit. Ceci crrespnd tut à fait à ns attentes car si nus prenns la frmule (10) du plycpié n truve que le temps de vidange est directement prprtinnel au rapprt [R/R]. (cf. Figure 4.1) Temps de vidange en variant la lngueur du tube : En ce qui cncerne la variatin de la lngueur des tubes en fixant le diamètre du tube, nus cnstatns que le temps de vidange expérimental augmente quand le tube devient lng. Ceci cncrde également avec ns attentes car la frmule (10) du plycpié nus indique que le temps de vidange est aussi directement prprtinnel à la lngueur du tube. (cf. Figure 4.4) En cmparant les résultats des deux séries, nus avns truvé que la variatin de lngueur en fixant le diamètre dans ntre cas influence le temps de vidange dans une mindre mesure que la variatin du diamètre en fixant la lngueur. Nus puvns en cnclure que le diamètre du tube est un paramètre plus imprtant que la lngueur. Evlutin de ΔH par rapprt à Δt : Nus btenns des lignes drites ce qui est justifié par la frmule () du plycpié. Nus remarquns que pur la série de tubes ù la lngueur est fixée, les lignes de relatin entre ΔH et Δt snt décalées les unes par rapprt aux autres tandis que pur la série ù nus fixns le diamètre, les lignes de relatin snt beaucup plus rapprchées l une de l autre. Ceci peut être expliqué par la frmule () mdifiée du plycpié : R ΔH v Δt R En effet, n vit que la pente est directement prprtinnelle au carré du rapprt R/R. Dans la première série, nus varins le rayn des tubes dnc la pente variera en fnctin du carré de R/R et de la vitesse. Dans la deuxième série, nus fixns le diamètre, dnc c est uniquement le terme vitesse qui altérera la pente, dnc frcément dans une mindre mesure que pur la première série. Bilans d énergie : Nus remarquns que le bilan d énergie que nus avns btenu n est jamais nul. Ceci peut être expliqué par le fait qu il y a certaines pertes de charges qui ne snt pas prises en cnsidératin, c est-à-dire qu ici nus avns cnsidéré uniquement les énergies cinétiques, ptentielles et visqueuses alrs qu en réalité il purrait y avir d autres échanges d énergie sus d autres frmes. Lngueurs d entrée : La lngueur d entrée est la la distance nécessaire pur que le flux se truve dans l état statinnaire. Seln les résultats btenus, nus avns truvé que pur la plupart des tubes, leur lngueur est inférieure à la lngueur d entrée. Ainsi le flux dans chaque tube n attend jamais un régime statinnaire, et par cnséquent il y a un purcentage d erreur entre le temps de vidange thérique et expérimental. 10
11 Répnse aux questins : a) En effet, nus remarquns que les temps de vidange expérimentaux diffèrent des temps de vidanges thériques, ils deviennent plus curts dans les deux cas (lrsque les tubes de srties snt plus curts et lrsque le diamètre des tubes augmente). Il faut dnc une vitesse d éculement plus élevée et l énergie cinétique ne peut plus être négligée dans la frmule du plycpié. Ainsi, n se rend cmpte que certains paramètres snt négligés et que les frmules ne snt plus valables. b) Le facteur de frictin à l entrée du tube est plus élevé que celui pur tut le tube. En effet, cela s explique par le fait que l entrée du fluide dans le tube va créer des turbulences sur une certaine lngueur à l intérieur du tube, c est ce que l n appelle la «lngueur d entrée», et que le fluide ne se stabilise seulement après. c) Lrsque les tubes snt très lngs n peut dire que L tend vers l infini. Si n remplace ceci dans l équatin (9), n truve que la vitesse tend vers 1, et si n remplace dans (10), le terme entre crchet tend vers 0, dnc le temps de vidange tend vers 0. Lrsque les tubes snt très curts, n peut dire que L tend vers 0. Quand n remplace dans (9), la vitesse tend vers 0 et dans (10), le temps de vidange tend également vers 0. Ces résultats snt ttalement inchérents et dnc n peut dire que ces équatins n nt plus de sens lrsque L est très grand et très petit. Ici encre, n expliquer ceci par le fait que dans les cas extrêmes, n néglige certains facteurs et dnc que les équatins snt mdifiées. 6. CONCLUSIONS L expérience nus a permis de nus familiariser avec la dynamique de vidange d un réservir ainsi que les principes de bases de calculs pur les bilans massiques nn-statinnaires et la déterminatin thérique des temps de vidange d une cuve en fnctin de ses dimensins. Nus avns cnstaté que le diamètre des tubes est un paramètre qui influence plus le temps de vidange que ne l influence la lngueur. Nus avns aussi truvé que si nus cnnaissns le diamètre d un tube, nus puvns déterminer sa lngueur d entrée et ainsi chisir la lngueur nécessaire pur que le régime sit statinnaire et par cnséquent réduire l erreur expérimentale. 7. RECOMMENDATIONS L étude de l influence de la lngueur et du diamètre d un tube d éculement serait plus précise si nus faisins des tests pur un plus grand nmbre de tuyaux de dimensins variées. Il serait également intéressant de tester l éculement avec un autre fluide de viscsité et de masse vlumique différente. Il y a cependant un certain nmbre de détails qui purraient affiner la précisin des résultats : - L état des tubes est peut-être mauvais (dépôts à l intérieur, curbure), il faudrait veiller à bien les stcker et à les nettyer. - La lecture du niveau de l eau, le déclenchement du chrnmètre et la fermeture de la vanne peuvent influencer également les résultats. Un meilleur myen de lire et de manier le chrnmètre purrait être envisagés. 11
12 - Nus avns également une remarque par rapprt à la frmule utilisée dans le plycpié pur le calcul de la viscsité, en effet n peut vir que le dmaine d utilisatin de cette frmule est cmpris entre 0 C et 40 C alrs que nus avns des valeurs allant de 18 C à 7 C pur l eau utilisée. 8. RÉFÉRENCES 1. Ph. Javet, W.Caprez, Curs de Phénmènes de transfert, vl.1, vl., MER Dr. Habil Ch.Wandrey, Travaux pratiques de génie chimique, EPFL, 005 1
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