Connaissances Capacités Commentaires. Déterminer un antécédent par lecture directe dans un tableau ou sur une représentation graphique.

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1 Chapitre 7 Notion de fonction I. Programme de la classe de troisième Connaissances Capacités Commentaires.. Notion de fonction Image, antécédent, notations f(), f(). [Thèmes de convergence] Déterminer l image d un nombre par une fonction déterminée par une courbe, un tableau de données ou une formule. Déterminer un antécédent par lecture directe dans un tableau ou sur une représentation graphique. Toute définition générale de la notion de fonction et la notion d ensemble de définition sont hors programme. La détermination d un antécédent à partir de l epression algébrique d une fonction n est eigible que dans le cas des fonctions linéaires ou affines. II. Contete du chapitre L un des objectifs est de faire émerger progressivement, sur des eemples, la notion de fonction en tant que processus faisant correspondre à un nombre, un autre nombre. Les eemples mettant en jeu des fonctions sont issus de situations concrètes ou de thèmes interdisciplinaires. L utilisation des epressions «est fonction de» ou «varie en fonction de», amorcée dans les classes précédentes, est poursuivie et est associée à l introduction de la notation f(). L usage du tableur-grapheur contribue aussi à la mise en place du concept, dans ses aspects numériques comme dans ses aspects graphiques. III. Ressources disponibles sur le site compagnon et le manuel numérique Premium Savoir faire Animation : Déterminer l image d un nombre par une fonction. Animation : Déterminer un antécédent d un nombre par une fonction. Eercices PDF à télécharger pour l eercice Travau pratiques avec un ordinateur Du côté du site compagnon Pour aider à la correction en videoprojection : Figure dynamique de l activité Tableur de l activité Figure dynamique de l activité Fichier «boite_noire_7» PDF : Fiches-réponses élèves imprimables pour les quatre activités PDF : Les courbes remarquables IV. Intentions pédagogiques des activités A. Activités d introduction Activité : Vers la notion de fonction Dans les classes antérieures, les élèves ont travaillé la notion de fonction au travers de l usage de la variable dans des eemples concrets mettant en œuvre du calcul algébrique. L epression «en fonction de» est connue depuis la classe de siième. Cette activité a pour objectif de réinvestir ces connaissances afin de les formaliser par l epression algébrique d une fonction. Les notations nouvelles doivent être introduites prudemment et progressivement. La fin de l activité montre qu une fonction peut être représentée graphiquement dans un repère. Il s agit de faire comprendre au élèves que les lectures graphiques qui en découlent facilitent grandement l interprétation de certains éléments du problème posé. 6 Activité : Image d un nombre par une fonction La notion d image d un nombre par une fonction est nouvelle bien que connue des élèves de façon intuitive. Dans les classes antérieures, la substitution d un nombre inconnu par une valeur numérique a déjà été pratiquée. Cette activité réinvestit ce savoir-faire et le formalise. Elle donne l occasion d introduire la notation nouvelle du type f :. La détermination d images passe également par la lecture d un tableau de données (question 5) ou la lecture d un graphique (Activité ). Activité : Antécédent d un nombre par une fonction La lecture graphique facilite l introduction de la notion d antécédent d un nombre par une fonction. Elle est intimement liée à la notion d image. Le passage réciproque d un ae à l autre du repère en passant par la courbe doit faire preuve d une attention particulière.

2 L étude d un eemple concret permet de débattre de ces notions et plus particulièrement de l opportunité qu a un nombre de posséder plusieurs antécédents alors qu un nombre ne possède qu une seule image. Dans l eemple étudié, à h, on ne peut faire correspondre qu une unique valeur pour la hauteur de marée (image unique). Alors qu une même hauteur de marée peut correspondre à plusieurs heures de la journée. B. Activités TICE Activité : Programmes de calcul et fonctions Considérations didactiques : Le tableur est un outil à privilégier pour introduire la notion de variable. Les calculs peuvent être automatisés ; un changement de valeur dans une cellule entraîne le changement immédiat de l affichage de toutes les cellules liées à celle-ci. Dans les programmes de calculs, le nombre choisi au départ prend le rôle de la variable, le programme lui-même correspond à l epression d une fonction qu il faudra modéliser. Cette activité donne également l occasion de faire du calcul algébrique pour démontrer les résultats conjecturés. En pratique : Aucune difficulté technique n est à attendre si les élèves ont quelques epériences du tableur. Ce type d activité est un grand classique à résoudre à l aide du tableur. Activité : La balle de tennis Considérations didactiques : L utilisation d un logiciel pour représenter et modéliser une situation concrète permet d en faciliter l interprétation. Le logiciel permet d afficher la courbe représentative de la fonction et d y faire glisser un point dont les coordonnées sont affichées. Il s agit ainsi d interpréter les valeurs de ses coordonnées par rapport au problème posé. Par eemple, lire les coordonnées ( ; ) signifie qu après seconde, la balle se trouve à m de hauteur. En pratique : Aucune difficulté technique n est à attendre. Cette activité est l occasion de montrer que de nombreu logiciels permettent de représenter les courbes représentatives de fonctions. C est aussi l occasion de débattre de l ensemble de définition d une fonction qui peut dépasser les contraintes du problème. Activité : L enclos de Mathilde Considérations didactiques : Cette activité permet de résoudre un problème d optimisation en s aidant d un logiciel. Les objectifs didactiques sont identiques à ceu de l activité. Une difficulté supplémentaire est cependant à envisager : la modélisation du problème est ici demandée au élèves. En pratique : Aucune difficulté technique n est à attendre (voir commentaires de l activité ). Activité 4 : La boîte noire du chapitre 7 La boîte noire du chapitre demande de saisir un nombre et lui fait correspondre son image par une fonction. L élève doit déterminer l epression de cette fonction. Il s agit de la fonction f : +. V. Corrigés des eercices Savoir faire L image de est 4. L image de 4 est.. L image de est 5. L image de est.. g( ) = 7 et g() =. 4 et 4,5. 4 4, 6, 48 7, 8, L image de est. L image de est. 6 Réponse C , et. est un antécédent de et est un antécédent de.. g() = et g( ) =. Environ 6,5 cm. Eercices d entraînement. 98 : 8 ; 97 : 85 ; 95 : 85 ; 9 : 85.. Tau le plus élévé en 9 ; le plus faible en 96.. En 95 ; 9 ; 95 ; De 94 à 96 et de 99 à 94. Ces périodes correspondent au deu guerres mondiales.. 6 m ; m ; 4 m.. 5 fois.. 4 m ;,5 m. 4., s min.. Oui car pour t = 7 minutes, on a d =.. km. 4. Le cycliste fait une pause de minutes. 5. Entre 5 et 7 minutes de course jours.. jours.. Entre 4 jours et jours. 4. Après 8 jours. 6. A = 7. B = + 5. C = N = N = + 9. c. πr. h À vérifier sur le cahier de l élève f( ) = 6π π.. Pour < < 6.. f( 4) = π 6, 8. 5 L image de est 4. L image de est 6. 6 L image de est 9. L image de 7 est et , et et 4 L image de par la fonction f est f() = f : L image de par la fonction f est f() = f : L image de par la fonction f est 4 f() = 4 f : 4 L image de par la fonction f est 5 f( ) = 5 f : 5 L image de 6 par la fonction f est 6 f(6) = 6 f : 6 6 L image de 6 par la fonction f est 6 f( 6) = 6 f : 6 6. f : + 4. f :. f() = 5. f : 6 6. f( 4) = 5 4. f :. f : Chapitre 7 Notion de fonction 7

3 . a. L image de 5 par la fonction g est. b. L image de par la fonction g est égale à. c. 4 a pour image par la fonction g.. et ont pour image 6 ; 5 et ont pour image ; 4 et ont pour image , et 6.. Oui , et.., et,6..,5,,5 et, ,, 6 5 et , 9, 8 et. 8 g( ) = 6, g() = 4, g(5) = 6, g() = 6. 9 Octave a calculé l image de. 4 a. f(5) = 65 b. f() = 8 c. f : 7 8 d. f : 5 4. f() = 5 ; f() = ; f() = 7 ; f() = 8 et f(4) =.. Pour = 5, le dénominateur s annule. 4. f( ) = 8, f() =, f()=.. Pour = 6, le dénominateur s annule.. Oui, 5. 4 a. Un antécédent de 4 par la fonction f est le nombre. b. Le nombre 4 est un antécédent de c. Le nombre est un antécédent de ou , est un antécédent de 4 est un antécédent de 6 5 est un antécédent de 7 est un antécédent de 8 est l image de f() = f : 6 est l image de 4 par la fonction f. f(6) = 4 f : 6 4 est l image de 5 f() = 5 f : 5 est l image de 7 par la fonction f. 48 a. 4 b. c.,7,,5 et,6 49 a. ou 4, b.,5 et,7 c.,, et 4 d. 5 a.,5,,,8 ou,6. b.,6 ou,7. c.,, ou. d. 5 a.,5 b. c. 7, d.,4 5 Franck a calculé l image de. 5. L affirmation a.. et.. >, donc + >. f( ) = 7 f : 7 54 a. est un antécédent de par la fonction g. b. est l image de c. 6 est un antécédent de par la fonction h. d. a pour image par la fonction h. e. 5 a pour antécédent 5 55 a. Fau b. Vrai c. Fau d. Vrai e. Vrai 56 a. est un antécédent de 7 b. 8, est l image de 5 par la fonction g. c. est un antécédent de,6 par la fonction g. d. est un antécédent de 9 e. 7 est l image de 57 4,,,, et, et,. 59 (C ) : f, (C ) : k, (C ) : h, (C 4 ) : g. 6. ( + ) = 6.., 44 9, ( + 4) ( ) a. À vérifier sur la copie de l élève. b. On obtient un carré parfait a. À vérifier sur le cahier de l élève. b. À vérifier sur le cahier de l élève. c.. Le programme mène au double du nombre de départ. ( + ) =. 6 Partie. Réduction en Pri de la place en Nombre de spectateurs Recette du spectacle = = =. Réduction en Pri de la place en Nombre de spectateurs Recette du spectacle ( ) (5 + 5) Partie.. Réduction : 7, pri d une place :.. R(8) La recette maimale est de pour une place à 5. Parcours autonome 64 C 65 B 66 A 67 B 68 B 69 B et C f(6) = 7 7. a. f() = b. f : 6 6 c. f( ) = 5 d. f : 5. et 5 ont pour image ; et 4 ont pour image , et 8.., 4 et 5.. Un nombre à peu près égal à ,5. 75 g( ) = 4 ; g() = ; g = et g( ) = a. f(5) = c. f : 98 b. f() = d. f : ou f :

4 , a. b. c. d., 8 a. ; b. ;,8 et 5 ; c.,5 ;,6 et 6, ; d. 4,5. 8. a. et c.. Eercices d approfondissement 8. 4,5 m puis 5,8 m..,8 s.. 5,8 m après s. 4. s. 8. À vérifier sur le cahier de l élève.. Il y a une forte augmentation démographique à partir de 9.. Entre et Programme : 4 et Programme : 64.. Programme : g et Programme : f.. Choisir un nombre ; lui ajouter ; élever au carré , 7 8,, 8..,,,,, ,4,,6, 7,, 8.,,,,4,5,6 f(),6,8,8,68,55,44.,. 87.,,8,6,4,,,4 f() 5,4 4,4,6,6,64,56,4,6,8,,4,6,8 f(),44,76,6,4,4,6. À vérifier sur le cahier de l élève g(4) =.. Non car g(). 4. Pour = 5, le dénominateur s annule. 89. v = 5 t. v(5) =, v(6) = 5, v(7) = Environ 9 km/h. 4. Environ 79 km/h. 5. a. t = 6,5. b. 6,5. c. Odette parcourt une distance de 5 km durant 6 h 5 min à la vitesse moyenne de 8 km/h. 9. EF = A() = AB AD = ( ) 4 = ( 4) ,5,5 5 7,5,5 A() 76 7, , 54, ,9 5 7,5 A() 5 47,8 4,7 4. À vérifier sur le cahier de l élève 5. =. 9. et. v f(v),58,, 4,9 64,5 9,9 6,4565, Der Bremsweg eines Fahrzeugs verhält sich nicht proportional zu seiner Geschwindigkeit, da die grafische Darstellung keine Gerade erzeugt. 9. To check the eercise books.. To check the eercise books.. We assume that the final number of the sequence of calculations is equal to twice the start number. 4. ( + ) 4 = π 6 9. V ( ) = = π.. Non. V() = 8π 56, 55 ; V(5) = 5π 57, 8 ; V(7) = 98π 7, = 4 94 Courbe : récipient ; Courbe : récipient 4 ; Courbe : récipient ; Courbe 4 : récipient f : et g: +. Non. f() = et g() =,5.. Oui, les valeurs de égales au abscisses des points d intersection des courbes. 4., 8 ou, , 59, 799. Lorsque les valeurs de choisies se rapprochent de 5 tout en lui restant inférieures, les images correspondantes sont des valeurs négatives de plus en plus grandes.. À vérifier sur le cahier de l élève.. Lorsque les valeurs de choisies se rapprochent de 5 tout en lui restant supérieures, les images correspondantes sont des valeurs positives de plus en plus grandes Chapitre 7 Notion de fonction 9

5 5. Autour des points d abscisse 5, la courbe s étire vers le haut et le bas du repère. 6. Non. Pour = 5, le dénominateur s annule. Devoir à la maison f( ) = ,5 5,5, ,5 9,5 9, ,5 7,5 5, ,5 9,5 8, ,5 45,5 7 8, f() = g() < f() < h().. f( ) > h( ) > g( ).. g() > h(). 4. a. = et = 5. b. Non car g() = et h( 5) =. 5. Pour = 6, le dénominateur s annule. 6. > 4