Primitives et Calcul d une intégrale

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1 Primitives et Clcul d une intégrle I) Primitive ) Définition : Soit f une fonction définie sur un intervlle I. On ppelle primitive de f sur I, toute fonction F dérivle sur I dont l dérivée F est égle à f. Eemple : Soit f l fonction définie sur IR pr f() = Les fonctions F et G définies sur IR pr F() = et G() = sont des primitives de f. 2) Ensemle des primitives d une fonction : ) Propriété : Soit f une fonction définie sur un intervlle I. On suppose qu il eiste une primitive F de f sur I. L ensemle des primitives de f sur I est l ensemle des fonctions G définies sur I pr G() = F() + k où k décrit IR. Soit G une primitive de f sur I. On donc G = F = f. Donc pour tout I, on (G F) () = 0. Donc l fonction G F est constnte sur l intervlle I, il eiste donc un réel k tel que pour tout I, on (G F)() = k d où G() = F() + k pour tout I. Réciproquement soit G l fonction définie sur I pr G() = F() + k où k IR. On G () = F () + 0 donc G () = f() pour tout I donc G est une primitive de f sur I. Remrques : Si l fonction f dmet une primitive sur un intervlle I lors elle en dmet une infinité. Soit G et F deu primitives de f sur I tels que G() =F() + k, lors dns un repère orthogonl ( O ; i, j ) l coure représenttive de G est otenue à prtir de l coure représenttive de F pr trnsltion de vecteur j.

2 ) Primitive prennt une vleur donnée en un réel donné : Propriété : Soit f une fonction définie sur un intervlle I. On suppose que f dmet des primitives sur I. Soit 0 et y 0 deu réels tels que 0 ε I. Il eiste une unique primitive F de f vérifint F( 0 ) = y 0 L fonction f dmet des primitives, soit G une primitive de f. On considère l fonction F définie pr F() = G() G( 0 ) + y 0 F est ussi une primitive de f cr F () = G () = f(). De plus on F( 0 ) = G( 0 ) G( 0 ) + y 0 = y 0 Donc F eiste. Soit H une utre primitive de f vérifint H( 0 ) =y 0. On sit qu il eiste un réel k tel que H() = F() + k pour tout I. Donc en prticulier on H( 0 ) = F( 0 ) + k d où y 0 = y 0 + k donc k = 0 donc H = F. L fonction F est donc ien unique. Eemple : Soit f l fonction définie pour tout R pr f() = Déterminer l primitive F de f telle que F(3) = 5 On vérifie fcilement que les primitives de f sont F() = k, k R Si on veut F(3) = 5 lors k = 5 d où k = 23 L primitive cherchée est donc F() =

3 3) Primitives des fonctions usuelles : Soit C un réel quelconque. f est définie sur I pr f ( ) = Les primitives de f sur I sont définies pr : F () = L intervlle I = k k + C IR IR ² + C 2 n (n ) n + n+ + C IR 2 + C ] - ; 0 [ ou ] - ;0 [ (n 2) n + C (n )n ou 2 + C ln ( ) + C sin () cos () + C IR cos () sin () + C IR e e + C IR

4 4) Primitives et opértions sur les fonctions : Propriétés de linérité : Soit F et G des primitives respectives des fonctions f et g sur un intervlle I lors : F + G est une primitive de l fonction f + g sur I ; Pour tout réel k, kf est une primitive de l fonction kf sur I. Eemples : Les primitives de f() = 3 2 sont F() = k = 3 +, k R Les primitives de f() = 3 2 sont sur : F() = 3 +5 ln() 2 + k, k R Primitives et composées de fonctions Soit u une fonction définie et dérivle sur un intervlle I. Fonction f Primitives de f sur I Condition sur u u n ( n N ) n + un+ + C Aucune condition prticulière u + C 2 u ( ) 0 u u n (n N et n ) u u e u + C (n )un u 2 u + C ln(u)+c e u + C ( ) 0 u ( ) > 0 u ( ) > 0 Aucune condition prticulière

5 Eemples : Pour chque fonction f, déterminer ses primitives et en déduire une primitive sur l intervlle I. ) f() = 2 ( 3 ) 5 3 ; I = IR ; ) f() = 2 ; I = ] ; + [. c) f() = Réponses : 2 4 ; I = ]2 ; + [ ; d) f() = 2 e ; I = ]0 ; + [. ) f() = 2 ( 3 ) 5 en utilisnt l formule u n vec u() = 3 on otient : F() = 8 (3 ) 6 + C 3 u ) f() = 2 en utilisnt l formule u vec u() = 2 on otient : F() = C c) f() = u 2 en utilisnt l formule 4 u vec u() = 2 4 on otient : F() = 2 ln (2 4 ) + C d) f() = 2 e en utilisnt l formule e u vec u() = F() = e + C on otient : II) Clcul d une intégrle : ) Primitive d une fonction continue : ) Théorème : Si f est une fonction continue sur un intervlle I et si est un réel de l intervlle I lors l fonction F définie sur I pr F() = f()d est l unique primitive de f sur I s nnulnt en. Cs où f est une fonction continue et croissnte sur I. Soit 0 un réel de I et soit h tel que 0 + h pprtienne à I. On F( 0 + h) F( 0 ) 0 +h = f()d F( 0 + h) F( 0 ) = 0 +h 0 f()d 0 f()d + f()d D près l reltion de Chsles on F( 0 + h) F( 0 ) = 0 +h 0 f()d

6 Si h > 0, l fonction f étnt croissnte, pour tout [ 0 ; 0 + h], on : D près l inéglité de l moyenne, on : f( 0 ) f() f( 0 + h) f( 0 ) F( 0+h) F( 0) h f( 0 + h) Si h < 0, l fonction f étnt croissnte, pour tout [ 0 ; 0 + h], on : D près l inéglité de l moyenne, on : L fonction f est continue en 0 donc f( 0 + h) f() f( 0 ) f( 0 + h) F( 0+h) F( 0) h lim h 0 f( 0 + h) = f( 0 ). f( 0 ) F( Donc d près le théorème des gendrmes, on :lim 0 +h) F( 0 ) = f( h 0 h 0 ) Donc l fonction F est dérivle en 0 et F ( 0 ) = f( 0 ). Donc F est dérivle sur I et F = f. F est une primitive de f sur I. On F() = f()d = 0. F est donc l unique primitive de f qui s nnule en. On peut fire une démonstrtion équivlente lorsque f est continue et décroissnte sur I Eemples : Eemple : Soit F l fonction définie sur IR pr F() = Déterminer le sens de vrition de F sur IR. D près ce qui précède F est l unique primitive de f() = Donc F () = 2 + croissnte sur IR t 2 + dt. qui s nnule en = 0 et F (0) = 0 donc F () 0 sur IR et de ce fit F est strictement Eemple 2 : Soit F l fonction définie sur [ ; + [ pr F() = d t t Déterminer le sens de vrition de F sur [ ; + [ F est l unique primitive def() = qui s nnule en = Donc F () = et F () = 0 donc F () 0 sur [ ; + [ et de ce fit F est strictement croissnte sur [ ; + [ Remrque F () = ln()

7 2) Intégrles et primitives : Propriété : Soit f une fonction continue sur un intervlle I, et sont deu réels de I. Soit F une primitive de f sur I. On f()d = F() F() Nottion : On écrit ussi f()d = [F()] Soient F l primitive de f qui s nnule en, on f()d Or F() = 0 donc f()d = F() F(). = F() Si G est une utre primitive de f lors il eiste un réel k tel que : G() = F() + k pour tout I. Donc G() G() = (F() + k) (F() + k) = F() F(). Donc on ussi f()d Eemples : 3 Eemple : Clculer I = 3 d I = [ 4 ] 3 3 = 4 = = G() G(). = 20 Eemple 2 : Clculer J = ln() d e J = [ e 2 (ln())2 ] = 2 ((ln(e))2 (ln()) 2 ) = 2