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1 Chpitre 6 : Clcul intégrl I Intégrle d une fonction continue positive 1 Unité d'ire Le pln est muni d un repère orthogonl O;i!,! j!!" "!!! " " En posnt OI = i et OJ = j, l ire du rectngle OIKJ définit une unité d'ire (u) 2 Propriétés et définitions Dns tout ce prgrphe, f et g sont des fonctions continues et positives sur un intervlle ; C f est l coure représenttive de l fonction f Définition On ppelle intégrle de f sur l'intervlle ; le nomre qui eprime l'ire, en u, du domine délimité prc f, l'e des scisses, et les droites d'éqution = et = Ce nomre est noté f ( )d Remrques f ( )d se lit «intégrle de à de f ( )d et sont les ornes de l'intégrle et est une vrile muette ; elle n'intervient ps dns le résultt On utilise ussi les lettres t et u Ainsi, f ()d = f (t)dt = f (u)du Si l fonction f est négtive sur l intervlle ;, lors f ( )d est l opposé de l ire Chpitre 6 : Clcul intégrl 1

2 Eercice 1 6 Clculer I = d, J = ( 2)d 2 2 Déclic p 2 et K = ( 5 )d 1 Définition : Vleur moyenne L vleur moyenne de f sur l'intervlle ; est le réel : µ = 1 f ( )d Ce nomre correspond à l huteur du rectngle de se dont l'ire est égle à l'ire sous l coure C f sur ; Propriété : Reltion de Chsles Pour tout c de ;, on : f d = f d = f d c c Propriété : Conservtion de l'ordre Si pour tout de ;, on f ( ) g( ), lors : f d g( )d Chpitre 6 : Clcul intégrl 2

3 Propriété : linérité Pour tous réels α et β, on : α + βg( ) f d = α f d + β g d Eercice 2 On considère l fonction f définie sur! pr f 1 Clculer f ( )d 2 En déduire l vleur moyenne de f sur ; + Clculer 4 f d = II Intégrtion et primitives 1 Notion de primitive Définition Soient deu fonctions f et F définies sur un intervlle I On dit que F est une primitive de f sur I si F est dérivle sur I et dmet pour dérivée f: Pour tout réel de I, F ' Eemple = f ( ) Soit f l fonction définie sur! pr f ( ) = 2 L fonction F définie sur! pr F ( ) = 1 est une primitive de f sur! En effet F '( ) = 1 2 = 2 = f ( ) Appliction Montrer que F ( ) = ln est une primitive de f ( ) = ln Soit une fonction f définie sur un intervlle I dmettnt une primitive F sur I Alors l'ensemle des primitives de f sur I est l'ensemle des fonctions G définies sur I pr : G = F ( ) + k, où k est un réel Chpitre 6 : Clcul intégrl

4 Démonstrtion = F '( ) = f ( ) Donc G est ien une primitive de f G' Soit F et G deu primitives de f sur I Soit ϕ l fonction définie pr ϕ = F ( ) G = F '( ) G' ( ) = f ( ) f ( ) = ϕ ' Donc ϕ est une fonction constnte sur I Soit f une fonction définie et dmettnt des primitives sur un intervlle I Soit I et y!, lors il eiste une unique primitive F de f sur I telle que F ( ) = y Eercice Soit f l fonction définie sur! pr f 1 Montrer que l fonction F définie pr F 2 Déterminer l primitive de f qui s nnule en 1 e 2 +1 = = e 2 +1 est une primitive de f sur I 2 Détermintion de primitives Fonctions usuelles En lisnt le tleu des dérivés à l'envers, on otient les résultts suivnts : Fonction f Primitive F Intervlle I f = k, k réel F ( ) = k! f ( ) = n, n 1 entier F ( ) = 1 n +1 n+1 ; f ( ) = 1 F ( ) = ln ;+ f ( ) = 1 F ( ) = 2 ;+ ou ;+ = cos F ( ) = sin! = sin F ( ) = cos! f ( ) = e F ( ) = e! f f Chpitre 6 : Clcul intégrl 4

5 Opértions des fonctions composées u est une fonction dérivle sur un intervlle I Eercice 4 Fonction Primitive Conditions u'u n, n 1 entier 1 n +1 un+1 Si n <,u u' u 2 u u u' u lnu u'e u e u u'cosu sinu u'sinu cosu > u( ) > Déterminer une primitive F de l fonction f : 1 f = f ( ) = e 2 f ( ) = 2 4 f ( ) = 5 f ( ) = cos( 2) sin( 1) 6 f ( ) = Intégrle et primitive Soit f une fonction continue sur un intervlle I et un réel de I L fonction F définie sur I pr : F ( ) = f ( t)dt est dérivle sur I et pour dérivée f Démonstrtion : Cs où f est croissnte sur [ ; ] Pour tout de ;, F ( ) est l'ire sous l coure entre C f et On fie dns ; Chpitre 6 : Clcul intégrl 5

6 F ( ) égl à l'ire sous l coure C f entre Pour h > tel que + h ;, on F + h et + h Cette ire est comprise entre les ires des 2 rectngles de se h et de huteur f ( ) et f + h Autrement dit f Ainsi on : f ( ) h F ( + h) F ( ) f ( + h) h F ( + h ) F ( ) f ( h + h) F ( ) F Or comme f est continue en, lors lim + h h h = f ( ) Soit f une fonction continue sur un intervlle I et F une primitive de f sur I Alors pour tous réels et de I on : f ( )d = F F Démonstrtion D'près le théorème précédent l fonction G en Soit F une primitive de f Alors on G Comme G Donc G En posnt = on otient = f t = F ( ) + k =, lors F + k =, cd k = F = f ( t)dt = F ( ) F f ( )d = F F dt est l primitive de f qui s'nnule Appliction = et g( ) = Soit f et g deu fonctions définies sur! pr f C f et C g sont leur coure représenttive dns un repère orthogonl O;i!,! j! j = cm 1 Déterminer l position reltive entre C f et C g, vec i! = 2 cm et 2 Déterminer l'ire du domine délimité pr C f et C g et les droites d'éqution = 2 et = 1 On donner le résultt en u puis en cm 2 Chpitre 6 : Clcul intégrl 6

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