Brigitte LACAZE Décembre 2006 Académie de Grenoble CMAI «PPRE et Compétences» Page : 1

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2 Préambule Cette séquence de remédiation se situe avant le cours de sixième sur les droites parallèles et perpendiculaires et les quadrilatères. Elle ne repose donc que sur la perception de ces notions vues au cycle 3. Les notations employées pour désigner les droites seront à modifier en fonction de celles vues par l élève au terme du cycle3. L entretien préalable avec l élève permettra de connaître ces éléments. CMAI «PPRE et Compétences» Page : 2

3 Séance 1 Activité 1 1 Colorie en bleu la droite (d 1. Colorie en bleu les autres droites parallèles à (d 1. 2 Colorie en vert la droite (d 2 et les droites qui lui sont parallèles. 3 Colorie en rouge la droite (d 3 et ses parallèles. (d 2 (d 1 (d 3 CMAI «PPRE et Compétences» Page : 3

4 Analyse des erreurs Il y a souvent confusion dans la reconnaissance des différentes positions des droites ; il faut reprendre les notions en associant le mot, la définition et la figure. Remédiation vocabulaire définition figure correspondante Les droites (d 1 et (d 2 se coupent au point A, on dit qu elles sont sécantes en A. (d 1 A sécantes Les droites (d 1 et (d 2 sont sécantes mais leur point commun n apparaît pas sur le dessin. (d 2 (d 1 (d 2 perpendiculaires Deux droites qui sont sécantes et qui forment un angle droit sont des droites perpendiculaires (on le vérifie avec l équerre. (d 1 (d 2 parallèles Deux droites qui n ont aucun point commun (si on les prolonge, elles ne se coupent jamais sont des droites parallèles. (On vérifie que la distance qui les sépare est toujours la même. (d 1 (d 2 CMAI «PPRE et Compétences» Page : 4

5 Activité 2 Observe la figure ci-dessous et nomme toutes les droites parallèles et toutes les droites perpendiculaires. z x C E B A D t y Analyse des erreurs Erreurs de notation L élève parle d une seule droite parallèle ou perpendiculaire. Remédiation phrase en français notation mathématique figure correspondante u Les droites (xy et (uv sont des droites sécantes (xy et (uv sont sécantes x v y Les droites (AB et (xy sont des droites perpendiculaires. ou La droite (AB est perpendiculaire à la droite (xy (AB (xy x y Les droites (CD et (EF sont des droites parallèles. ou La droite (CD est parallèle à la droite (EF. (CD // (EF CMAI «PPRE et Compétences» Page : 5

6 Activité 3 Donne des exemples de droites parallèles et de droites perpendiculaires que tu peux rencontrer dans la vie de tous les jours. Activité 4 Pour comprendre les mathématiques CM2 Hachette 2005 A Avec ton équerre, trouve les rues perpendiculaires au boulevard Aristide Briand. Qu'en déduis-tu pour ces rues? B Mesure l'écart entre le boulevard d'angleterre et la rue Delille à plusieurs endroits. Est-il toujours le même? Que peut-on en déduire? C À l'aide des instruments de géométrie, vérifie si les rues suivantes sont perpendiculaires ou parallèles : - la rue Maréchal Joffre et le boulevard d'angleterre ; - la rue Delille et la rue Salvador Allende La rue d'ecquebouille est-elle perpendiculaire au boulevard d'italie? CMAI «PPRE et Compétences» Page : 6

7 1 Donne la définition de deux droites parallèles. 2 Donne la définition de deux droites sécantes. 3 Donne la définition de deux droites perpendiculaires. Séance 2 Courte évaluation : questionnaire 1 4 Avec quel instrument de géométrie peut-on vérifier que des droites sont perpendiculaires. 5 Comment code-t-on deux droites perpendiculaires? 6 Quels symboles mathématiques utilise-t-on pour écrire plus rapidement les expressions «est parallèle à» et «est perpendiculaire à»? Activité 5 L EQUERRE DU DEBROUILLARD En suivant les indications ci-dessous, tu pourras facilement fabriquer une équerre en papier. On plie en 2... Encore en 2... Attention : bien superposer les 2 bords! Et voilà le travail! Dimathème 6 e 2005 CMAI «PPRE et Compétences» Page : 7

8 Exercice 1 Les droites suivantes sont-elles sécantes ou parallèles? Cocher la bonne réponse. 1 (d 1 et (d 3 sont : parallèles sécantes 2 (d 1 et (d 5 sont : parallèles sécantes 3 (d 1 et (d 9 sont : parallèles sécantes 4 (d 2 et (d 4 sont : parallèles sécantes 5 (d 2 et (d 6 sont : parallèles sécantes 6 (d 3 et (d 4 sont : parallèles sécantes 7 (d 6 et (d 7 sont : parallèles sécantes 8 (d 6 et (d 9 sont : parallèles sécantes 9 (d 7 et (d 9 sont : parallèles sécantes 10 (d 5 et (d 9 sont : parallèles sécantes CMAI «PPRE et Compétences» Page : 8

9 Exercice 2 Les droites suivantes sont-elles perpendiculaires? Répondre par oui ou non. droites perpendiculaires? droites perpendiculaires? ( et ( ( et ( ( et ( ( et ( ( et ( ( et ( ( et ( ( et ( ( et ( ( et ( CMAI «PPRE et Compétences» Page : 9

10 Exercice 3 Coder tous les angles droits sur la figure suivante. CMAI «PPRE et Compétences» Page : 10

11 Exercice 4 Multi.math 6e Hatier 2005 La ville de Los en Gelée Jenifer, repérée par un point rouge sur le plan de Los en Gelée, doit rejoindre la star Dog Bull qui lui a laissé les indications suivantes : Suivre le boulevard Sainte Monique et prendre la deuxième perpendiculaire. Prendre à droite la troisième parallèle au boulevard Sainte Monique puis prendre la deuxième perpendiculaire vers le sud. Tourner à gauche à la première perpendiculaire rencontrée puis vers le sud à la deuxième perpendiculaire. Arrêtez-vous dès que vous atteignez une rue fréquentée par des sorcières. Tracer le chemin que doit prendre Jenifer pour rejoindre Dog Bull. CMAI «PPRE et Compétences» Page : 11

12 Exercice 4 (suite La ville de Los en Gelée Jenifer veut maintenant rejoindre son point de départ. Décrire le chemin de retour dessiné en violet sur le plan en utilisant les mots «parallèle» et «perpendiculaire». CMAI «PPRE et Compétences» Page : 12

13 Séance 3 Courte évaluation : exercice 5 Classer les droites (deux par deux dans le tableau ci-dessous droites sécantes droites perpendiculaires droites parallèles CMAI «PPRE et Compétences» Page : 13

14 Exercice 6 Pour chaque figure, repasse en vert les droites parallèles et en rouge les droites perpendiculaires. Vérifie tes affirmations. a b c d e f g e Exercice 7 En observant les figures ci-dessous, complète les phrases en utilisant les mots proposés : perpendiculaire(s angle droit parallèle(s sécantes une parallèle la perpendiculaire une perpendiculaire la parallèle Les droites (QR et (FR forment un... La droite (LR est. à la droite (FQ passant par le point T. Les droites (LQ et (TR sont. La droite (FR semble. à la droite (LQ. La droite (RQ semble être.. à la droite (FL passant par le point R. La droite (AC est à la droite (BD. Les droites (AC et (DE semblent. entre elles. La droite (AC est à la droite (BD passant par le point A. La droite (DEet la droite (BD forment un. CMAI «PPRE et Compétences» Page : 14

15 Exercice 8 Décodage de perpendiculaires et de parallèles A En observant les figures (les droites repassées en gras sont parallèles complète les phrases à l aide de noms de droites ou de points : La droite est parallèle à la droite (FT passant par le point R. La droite(le est la perpendiculaire, passant par le point O, à la droite..... Les droites (FT et sont perpendiculaires en.. Les droites (NR et. forment un angle droit en... La droite (SN est a parallèle à la droite (EL passant par le point. B Complète le codage de la figure en repassant les droites parallèles d une même couleur et en codant les angles droits afin que les phrases énoncées ci-dessous soient vraies : Les droites (HK et (HY sont perpendiculaires en H. La droite (GN est perpendiculaire à la droite (CE. Les droites (HP et (KN sont parallèles entre elles. La droite (DG est la parallèle à la droite (CF passant par le point E. La droite (HR est parallèle à a droite (PN. Exercice 9 En t aidant de a figure, et si besoin, de tes instruments de géométrie, complète, lorsque c est possible, avec le symbole qui convient ( // ou : a. (d 1 (d 2 b. (d 4 (d 2 c. (d 4 (d 8 d. (d 4 (d 7 e. (d 5 (d 9 f. (d 1 (d 4 g. (d 7 (d 7 h. (d 3 (d 8 i. (d 1 (d 8 j. (d 2 (d 8 k. (d 7 (d 8 CMAI «PPRE et Compétences» Page : 15

16 Séance 4 Donne la définition d un quadrilatère. Questionnement 2 Réponse attendue : c est un polygone qui a quatre côtés. Activité 6 Dénomination des quadrilatères 1 Ecris tous les noms possibles qui permettent de désigner ce quadrilatère : B C Combien de noms possibles peuvent être donnés à un quadrilatère? 2 Sur la figure trace les côtés en bleu et les diagonales en vert. A D Activité 7 Vocabulaire des quadrilatères quelconques a. En observant les figures ci-dessous, complète les phrases en utilisant les mots proposés : cotés sommets diagonales opposés consécutifs P R O U Dans le quadrilatère POUR, [PO] et [PR] sont deux.. Dans le quadrilatère POUR, [PR] et [OU] sont deux.. Dans le quadrilatère POUR, P et O sont deux.. Dans le quadrilatère POUR, [PU] et [RO] sont des.. N A T Dans le quadrilatère ANTI, [AT] et [NI] sont des.. Dans le quadrilatère ANTI, A et T sont deux.. I b. Sur une feuille, construis un quadrilatère BNEK et écris quatre phrases en prenant comme modèle les phrases ci-dessus. CMAI «PPRE et Compétences» Page : 16

17 Exercice 10 Trace les quadrilatères : ABCD ; RSTU ; LMNO. Exercice 11 Sur la figure ci-dessous, trace : 1 En vert, le quadrilatère ILKH. 2 En bleu, le quadrilatère dont les diagonales sont [AC] et [BE] 3 En rouge, le quadrilatère dont le côté opposé à [FG] est [EH]. CMAI «PPRE et Compétences» Page : 17

18 Observe attentivement la figure suivante : Séance 5 Courte évaluation : activité 8 Repasse, en couleur, les côtés d un losange de cette figure. Observe attentivement la figure suivante : Repasse, en couleur, les côtés d un carré de cette figure. Observe attentivement la figure suivante : Repasse, en couleur, les côtés d un rectangle de cette figure. D après évaluation nationale 2004 Commentaires Cet exercice se situe dans la géométrie perceptive ou instrumentée et la géométrie déductive. L affirmation dans l énoncé, de l existence d un losange complète en partie la figure qui n est pas codée. Cet exercice est une bonne introduction pour mettre en place le codage des figures géométriques. La présence du cercle permet en partie d argumenter. Analyse de l erreur L erreur peut être due à une mauvaise lecture des consignes, à une perception des figures simples erronée CMAI «PPRE et Compétences» Page : 18

19 Voici trois figures. Courte évaluation : activité 9 Remplis le tableau ci-dessous Figure Est-ce un rectangle? Entoure la bonne réponse Explique comment tu t en es aperçu. A OUI NON B OUI NON C OUI NON D après évaluation nationale 2003 Commentaires Les justifications basées sur des longueurs égales ou des angles droits vont permettre au professeur d identifier si l élève fait un pas vers le raisonnement déductif. On pourra distinguer les argumentations pertinentes et suffisantes de celles qui, bien que pertinentes, sont surabondantes. CMAI «PPRE et Compétences» Page : 19

20 Analyse de l erreur Les erreurs vont permettre d aborder la définition d un rectangle. Remédiation Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits Un losange est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur. Un carré est un quadrilatère qui a quatre angles droits et quatre côtés de même longueur. Qui suis-je? Exercice 12 S E T 1 R Z M 2 L U P I 3 L O I O 4 P L R S T 5 E M L 6 U Z L M 7 U Z P 8 O L I S R 9 T E Je suis n a. un rectangle dont les diagonales sont [SE] et [TR]. b. un carré dont le côté opposé à [MU] est [LZ] ayant [MZ] pour diagonale. c. un losange dont les sommets consécutifs à P sont L et I. d. un carré dont les côtés consécutifs à [MU] sont [MZ] et [UL]. e. un losange dont le sommet opposé à P est L. CMAI «PPRE et Compétences» Page : 20

21 Exercice 13 Trouve dans cette figure les carrés, rectangles, losanges éventuels et nomme-les. CMAI «PPRE et Compétences» Page : 21

22 Séance 6 Evaluation bilan Exercice 14 A l'aide de ton équerre, trouve les droites perpendiculaires et code les angles droits. Exercice 15 Utilise ton équerre, ta règle et tes crayons de couleur. Repasse d'une même couleur, les couples de droites parallèles. CMAI «PPRE et Compétences» Page : 22

23 Questionnaire 3 A quoi reconnaît-on un rectangle? un carré? un losange? Exercice 16 Combien vois-tu de quadrilatères dans la figure suivante? Exercice 17 Voici une figure composée de différents quadrilatères. Colorie en rouge les rectangles, en bleu les carrés et en vert les losanges. CMAI «PPRE et Compétences» Page : 23

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