Les Nouveaux Précis Bréal sont conçus pour apporter aux étudiants des classes préparatoires

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1 Avant-propos Les Nouveau Précis Bréal sont conçus pour apporter au étudiants des classes préparatoires une aide efficace dans leur travail. Ils ont pour objectif de dégager, à travers des énoncés variés et classiques, les méthodes qui permettent la construction progressive et raisonnée de la solution d un eercice ou d un problème. C est pourquoi il est souhaitable de les utiliser tout au long de l année, parallèlement à l acquisition des connaissances. Les eercices proposés ont été sélectionnés pour leur représentativité : ils permettent de présenter l ensemble des méthodes et des raisonnements qui, une fois assimilés, doivent permettre de résoudre, sans trop de difficultés, des eercices analogues. Ce volume traite l ensemble du programme de physique de deuième année MP. Chaque chapitre propose une série d eercices structurés dont la solution est très détaillée, suivis de quelques eercices corrigés de réinvestissement. Chaque eercice de la première catégorie est caractérisé par : un énoncé constitué de questions progressives ; «Ce qu il faut savoir» : la liste des connaissances en physique («Points de cours») et parfois en mathématiques («Outils mathématiques») nécessaires pour traiter l eercice ; «Ce qu il faut comprendre» : l analyse qui propose brièvement les chemins à suivre pour répondre efficacement au questions posées. C est un moment essentiel dans la recherche de la solution : assez brève, l analyse doit précéder la mise en œuvre des calculs. Il nous paraît très important que la recherche de la solution passe systématiquement par cette étape. Il n y a rien de plus stérile que de se lancer dans les calculs sans savoir de façon précise dans quel but ils sont entrepris la solution proprement dite dans laquelle sont souvent rappelés et développés quelques «Points cours» dont une bonne compréhension est indispensable. Des «Points méthodes» (sur fond grisé) permettent d affiner la réfleion : il s agit soit de mises en garde afin d éviter une erreur fréquente de raisonnement, soit le plus souvent d eplications supplémentaires justifiant le choi d un théorème ou la pertinence d un raisonnement. Des «commentaires» conduisent à une discussion des résultats obtenus et à une vérification de leur cohérence (recherche de cas ou de valeurs limites, approches différentes pouvant donner un autre éclairage ). Ces commentaires jouent un rôle comparable à l analyse, mais cette fois après le développement des calculs : c est une forme de contrôle des résultats obtenus. Analyse et discussion, qui sont finalement les deu points les plus importants pour le physicien, sont aussi sans doute les étapes les plus difficiles à mettre en œuvre, mais leur bonne prise en compte facilitera considérablement la construction d une solution structurée (et eacte ) de chaque eercice. Nous espérons que cet ouvrage aidera les étudiants dans cette voie, dans la perspective d une réussite au concours. Nous accueillerons avec reconnaissance les remarques et les critiques des lecteurs, qui peuvent nous être adressées par courrier électronique à l adresse suivante : Les auteurs

2 Partie Mécanique du solide et des systèmes

3 0 Engins mécaniques Partie A Un bulldozer est modélisé par un ensemble de deu «roues» identiques (de rayon a et de moment d inertie I par rapport à leurs aes respectifs O z et O z) d une chenille de masse m, et d un chassis. O O O G O O = constante La masse totale du système est M. On note G son centre de masse.. L engin se déplace, dans le référentiel lié au sol, à la vitesse V 0 u selon l ae horizontal O. Donner l epression de son énergie cinétique.. Il est propulsé par un moteur qui eerce un couple constant Γ m sur la roue de centre O ( Γ m = Γ m u z ). Déterminer l accélération γ ( γ = γu ) prise par l engin dans le référentiel supposé galiléen (les liaisons d aes O z et O z sont parfaites). u z Eercice 0 Partie B On considère deu disques homogènes identiques (masse M, rayon R) reliés par une bielle schématisée par une tige homogène O O O O O de longueur l et de masse m. O θ l Les deu disques roulent sans glisser sur le plan horizontal et les A I I R liaisons en O et O sont parfaites. Les contacts en I et I sont O O = O O = -- ponctuels. On note J = --MR le moment d inertie d un disque par rapport à son ae.. Déterminer une équation différentielle du mouvement en θ(t) et θ (). t Le référentiel d étude (A,, y, z) lié au plan horizontal est galiléen.. En déduire la période T des petites oscillations du système. g u z. Ce qu il faut savoir Composition des vitesses. Champ des vitesses d un solide. Théorème de Kœnig de l énergie cinétique (système matériel fermé quelconque). Théorème de la puissance cinétique (ou théorème de l énergie cinétique). Roulement sans glissement ; notion de liaison parfaite. 9

4 Eercice 0. Ce qu il faut comprendre A.. Pour le calcul de l énergie cinétique de la chenille, montrer que, dans le référentiel lié à l engin et se déplaçant à la vitesse V 0, tous les points de la chenille ont une vitesse de même module.. Les liaisons d ae (O z et O z) sont supposées parfaites, la chenille ne glisse pas par rapport au «roues» et elle adhère complètement au sol. Il sera donc judicieu d appliquer au système le théorème de la puissance cinétique : seul le couple moteur produit un travail. B.. Les liaisons ( O z et O z ) sont également parfaites et les deu disques roulent sans glisser sur le plan horizontal. Les efforts associés ne créent donc aucun travail, et le système pourra être étudié, là encore, par le biais du théorème de la puissance cinétique.. L étude des petites oscillations suppose que θ et θ peuvent être assimilés à des infiniment petits du premier ordre. On ne conservera donc que les termes du deuième ordre dans l équation énergétique établie en B.. 3. Solution Partie A. Le bulldozer constitue un système déformable dont l énergie cinétique totale dans est la somme des énergies cinétiques de la chenille, des roues et du chassis : Appliquons le théorème de Koenig en passant par le référentiel du centre de masse K de l engin. On a : E c = + -- MV G = + -- MV 0 et = + +. chassis chenille Le chassis est fie dans K d où Considérons alors la chenille dans K : E c = E c ) chenille + E c ) roues + E c ) chassis. roues chassis E c ) K = 0. V 3 V vitesse dans K des différents éléments de la chenille. V K V O G O V 4 D autre part, la chenille étant inetensible, il vient : V = V = V 3 = V 4 = V. 0 Partie Mécanique du solide et des systèmes MP

5 Pour calculer V, il suffit de remarquer que la partie de la chenille en contact avec le sol adhère à ce dernier (absence de glissement de la chenille par rapport au sol), de sorte que V 4 = 0 vitesse correspondante dans ). Or V 4 = V 4 + V e = V 4 + V 0 u (composition des vitesses) d où 0 = V 4 + V 0 u et V 4 = V 0 u. Et finalement V = V 0. Tous les éléments de la chenille ayant, dans K, une vitesse de même norme V 0, on a : E c ) K chenille = -- m V 0 Eercice 0 Enfin, intéressons nous au deu roues. Dans K, leurs centres de masses O et O sont fies : V( O ) = V( O ) = V 0 u V K ( O ) = V K ( O ) = 0. Chaque roue est, dans K, en rotation autour de son ae. On a donc (absence de glissement de la chenille par rapport au roues) : V = ω u z O P = ω au θ. ω P u z V O De même : V = ω u z O P = ω au θ. V 0 Or V = V = V 0, soit : ω = ω = a Dès lors : roues E c ) K -- I O z ω Iω I = = = ----V a 0. deu roues V P ω O POINT COURS Un solide en rotation autour d un ae fie d un référentiel d étude possède, dans ce référentiel, une énergie cinétique E c telle que : E c = -- J D w où J est le moment d inertie du solide par rapport à cet ae et w = wu D est le vecteur rotation du solide par rapport à.

6 Eercice 0 L énergie cinétique de l engin dans K vaut donc : E c K -- m V 0 I V 0 = E c K -- m I = V0 Et dans puisque E c = E c K + -- MV : ( G) a E c -- I M + m = V0 A.. Appliquons, dans supposé galiléen, le théorème de l énergie cinétique au système global : de c et int = () dt + et et et On a = ( poids) + ( sol chenille) et or ( poids) = 0 (G garde une altitude constante). et ( sol chenille) = 0 (les maillons en contact avec le sol ayant une vitesse nulle). et D où : = 0. D autre part, les liaisons étant supposées parfaites (liaisons d aes O z et O z) et la chenille ne glissant pas par rapport au roues, il reste : int = moteur = Γ m ω. de Et d après () : c I = M + m Vγ dt a soit : I M + m γ V = Γm ω. a V Et avec ω = --- (condition de non glissement de la chenille par rapport au roues) : a a () a γ Γ m = I a M + m a Cette accélération est d autant plus grande que le couple moteur Γ m est important. Partie B. POINT MÉTHODE Il y a roulement sans glissement : le mouvement des disques peut être repéré par la seule variable θ(t). La position de la bielle est définie à chaque instant par la position de O et celle de O donc par l angle θ. Le mouvement du système se réduit ainsi à un problème à une dimension (ici θ). Partie Mécanique du solide et des systèmes MP

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