Anneaux et corps Bachelor Semestre 4 Prof. E. Bayer Fluckiger 23 mars Quiz 4

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1 Anneaux et corps Bachelor Semestre 4 Prof. E. Bayer Fluckiger 23 mars 2016 Quiz 4 Question 1. Soit K un corps et P K[X]. Montrer que α K est une racine de P si et seulement si (X α) divise P. On a P = (X α) Q + R, avec R K. Donc P (α) = (α α) Q(α) + R = R. Ainsi P (α) = 0 si et seulement si R = 0. Question 2. Est-ce qu un diviseur de zéro peut être inversible? Non. En effet, si α est inversible alors αβ = 0 implique β = 0. Question 3. Soient A et B deux anneaux tels que A B. (1) Si A est un corps, est-ce que B est un corps? (2) Si A est intègre, est-ce que B est intègre? Soit φ l isomorphisme de A dans B. Si A est commutatif, alors B est commutatif. En effet, b 1 b 2 = φ(φ 1 (b 1 ))φ(φ 1 (b 2 )) = φ(φ 1 (b 1 )φ 1 (b 2 )) = = φ(φ 1 (b 2 )φ 1 (b 1 )) = φ(φ 1 (b 2 ))φ(φ 1 (b 1 )) = b 2 b 1. Clairement φ(a) 0 si a 0, et vice versa. (1) Si tout élément dans A {0} est inversible, alors tout élément dans B {0} est inversible. En effet, soit a l inverse de φ 1 (b), alors 1 = φ(φ 1 (b)a) = bφ(a). (2) Si B n est pas intègre, alors b 1 b 2 = 0 pour certains b 1, b 2 B {0}. Ainsi φ 1 (b 1 ) est clairement un diviseur de zéro de A.

2 Anneaux et corps Bachelor Semestre 4 Prof. E. Bayer Fluckiger 23 mars 2016 Série 4 Exercice 1. (les résultats de cet exercice sont à retenir). Soient K un corps et f, g K[X] deux polynômes. (1) Montrer l existence d une relation de Bézout entre f et g i.e. de deux polynômes r, s K[X] tels que fr + gs = (f, g). (2) Traduire l existence d une relation de Bézout en termes d idéaux de K[X]. (1) Dans l Ex.2, Série 3, nous avons montré qu une division euclidienne était possible dans K[X]. Par conséquent, on peut procéder exactement de la même manière qu à l Ex.5 de la Série 1, Théorie de groupes, pour montrer qu il existe des relations de Bézout dans K[X], avec un algorithme constructif pour déterminer celles-ci ainsi que les plus grands diviseurs communs. Pour une autre démonstration, voir le point suivant. (2) En fait, on peut aussi donner une démonstration (non-constructive) de l existence de relations de Bézout dans K[X] en termes d idéaux, fournissant une seconde interprétation du plus grand diviseur commun. Soient f, g K[X] deux polynômes, dont on dénote par h le pgcd. Considérons l idéal (f, g) de K[X] engendré par f et g. Comme K[X] est principal (voir le cours), il existe l K[X] tel que (f, g) = (l). De cette relation, on tire que l divise f et g, et que tout diviseur commun de f et g divise l. Ainsi, comme le pgcd est unique à multiplication par une unité près, on trouve que (l) = (h). En d autres termes, le plus grand diviseur commun de f est g est égal à tout générateur de l idéal de K[X] engendré par ceux-ci, d où la double notation (f, g) pour le pgcd de f et g ou l idéal engendré par ces derniers. Finalement, puisque h (h) = (f, g), il existe r, s K[X] tels que h = rf + sg, ce qui est la relation de Bézout cherchée.

3 Exercice 2. Calculer une relation de Bézout entre les deux polynômes à coefficients rationnels suivants : X 4 + X 3 + 3X + 1 et X 2 2. Est-ce qu ils ont des racines communes dans Q? On utilise l algorithme (Ex.5 de la Série 1, Théorie de groupes). Itération 1 : La division euclidenne du premier polynôme par le second donne Itération 2 : X 4 + X 3 + 3X + 1 = (X 2 2)(X 2 + X + 2) + 5X + 5. X 2 2 = (5X + 5)(1/5)(X + 1) 1 En combinant ces deux équations, on trouve que X 4 + X 3 + 3X + 1 et X 2 2 sont premiers entre eux, avec la relation de Bézout 5 = (1 X)(X 4 + X 3 + 3X + 1) + (X 3 + X + 3)(X 2 2). Par le Quiz 1., α est une racine commune de X 4 + X 3 + 3X + 1 et X 2 2 si et seulement si (X α) divise le pgcd de X 4 + X 3 + 3X + 1 et X 2 2. Les deux polynômes sont premiers entre eux, donc ils n ont pas de racines communes. Exercice 3. On note M 2 (Z) l anneau des matrices à coefficients dans Z et {( ) } a b T := M 0 d 2 (Z) : a, b, c, d Z I := {( 9a b 0 9d ) } M 2 (Z) : a, b, d Z. Montrer que T est un sous-anneau de M 2 (Z), que I est un idéal bilatère de T, et que T/I est isomorphe à Z/9Z Z/9Z. La vérification que T est un sous-anneau de M 2 (Z) est ordinaire. Pour la seconde partie de la question, considérons l application f : T (Z/9Z) 2 ( ) a b (a, d). 0 d Notons que f(( )) = (0, 0), f(( )) = (1, 1) et que pour tous a, b, d, a, b, d Z, on a ( ) ( ) ( ) a b a b + a + a b + b 0 d 0 d = 0 d + d, 3

4 4 ( ) ( ) ( ) a b a b aa ab 0 d 0 d = + bd 0 dd. Par conséquent, il suit que f est un homomorphisme d anneaux, qui est de plus clairement surjectif. Or, ker f = I, donc I est un idéal bilatère de T et par le premier théorème d isomorphisme pour les anneaux, on a T/I = (Z/9Z) 2 comme souhaité. Exercice 4. Soit C l ensemble des fonctions continues de R dans R. (1) Montrer que C est un anneau commutatif, avec les opérations (f +g)(x) := f(x) + g(x) et (f g)(x) := f(x)g(x). (2) Soit M := {f C f(2) = 0}. Montrer que M est un idéal de C et que C/M R. (3) Montrer que si I C est un idéal tel que M I, alors M = I. (1) La vérification que C est un anneau commutatif est ordinaire. Le zéro de C est la fonction constante f : x 0 et l identité de C est la fonction constante f : x 1. (2) Soit φ : C R la fonction definiée par φ(f) := f(2). On a clairement que φ est un homomorphisme surjectif d anneaux. En effet, φ(f + g) = (f + g)(2) = f(2) + g(2) = φ(f) + φ(g) et φ(fg) = (fg)(2) = f(2)g(2) = φ(f)φ(g). En plus, φ est surjectif parce que pour obtenit φ(f) = c R il est suffisant de prendre la fonction constante f : x c. On a que M = ker φ, donc M est un idéal et C/M R par le premier théorème d isomorphisme. (3) On a que I/M est un idéal de C/M, qui est un corps. Donc I/M = M/M ou I/M = C/M. Mais I C, donc I = M. Exercice 5. Montrer que les anneaux R[X]/(X 2 + 1) et C sont isomorphes. Premièrement, on montre que pour tout f R[X], il existe un couple (a, b) R 2 unique tel que [f] = [ax + b] dans R[X]/(X 2 + 1). En effet, pour f R[X], il existe par division euclidienne des polynômes g, r R[X] tels que f = g(x 2 + 1) + r avec deg r < 2, c est-à-dire que [f] = [r] avec r linéaire, comme souhaité. De plus, s il existe a, b, c, d R, avec (a, b) (c, d), tels que [ax + b] = [cx + d],

5 alors [(a c)x +(b d)] = [0]. En d autres termes, X 2 +1 divise (a c)x +(b d) ce qui est impossible à cause des degrés, d où l unicité de l écriture. Notons que pour a, b, c, d R, on a [ax + b][cx + d] = [(ax + b)(cx + d)] = [acx 2 + (ad bc)x + bd] = = [ac(x 2 + 1) + (ad bc)x + (bd ac)] = [(ad bc)x + (bd ac)]. Par conséquent, R[X]/(X 2 + 1) s identifie isomorphiquement à C. 5 Notons que cet isomorphisme est explicitement donné par l homomorphisme ev i : R[X]/(X 2 + 1) C, [f] f(i) qui est bien-défini puisque i = 0.