Cours 4. Rappels de cinématique

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1 Cours Rappels de cinémaique

2 . Inroducion Dans les réacions nucléaires on a besoin de connaîre les énergies, les iesses (ou les impulsions) des différens noyau (ou paricules) qui ineriennen. our ce faire le physicien epérimenaeur doi définir un sysème de référence ; le plus naurel es celui di du "laboraoire" noé par la suie L. Deu lois fondamenales de la mécanique régissen les chocs : La conseraion de l'énergie oale (nergie cinéique + nergie de masse) La conseraion de l'impulsion Appelons le eceur impulsion. La conseraion de l'impulsion enraîne inciden final.

3 Dans une réacion à corps + + supposons que la paricule soi au repos dans le sysème L du laboraoire. La posiion de sera prise comme origine du sysème L e l'ae des sera fié par la direcion du faisceau inciden. Si on consrui un repère droi el que le plan (,y) coniens l'impulsion de la paricule, alors la conseraion de l'impulsion enraîne que soi dans ce plan. our ous les calculs on se placera dans ce plan di "plan de réacion". our les préisions héoriques, un aure sysème de référence, noé G par la suie, perme de simplifier ces calculs: le sysème di du "cenre de masse": Le sysème du cenre de masse es un référeniel pour lequel la somme des quaniés de mouemen des paricules de la oie + d'enrée (ou de la oie de sorie + ) es nulle. Le sysème du cenre de masse se déplace dans le laboraoire selon l'ae des, aec une iesse consane: la iesse du cenre de masse. Les sysèmes son des sysèmes de référence Galiléens. n effe:

4 On appelle sysème de référence Galiléen (ou ineriel), ou sysème par rappor auquel ou obje iniialemen au repos rese au repos, ou iniialemen en mouemen à une iesse consane consere cee iesse. Le mouemen d une paricule libre dans un sysème de référence donné es enièremen défini si l on connaî sa masse, sa iesse e sa direcion. Après une ineracion (choc élasique ou inélasique, désinégraion en ol ou à repos, maérialisaion), on peu calculer n paramères en foncion des paramères iniiau, des lois de conseraion de l énergie e des projecions des quaniés de mouemen e si l on se donne des paramères manquans. ar eemple, dans un choc élasique proon-proon, les énergies e direcions iniiales éan connues, si l on se donne la direcion d un proon diffusé on pourra calculer son énergie, la direcion e l énergie du deuième proon diffusé. Le bu de ce cours es d éablir des relaions générales enre les différenes grandeurs décrian le mouemen des paricules, e nous permere ainsi de préoir :

5 - les condiions énergéiques de producion des paricules par les différens ypes d ineracions possibles. - leurs caracérisiques mécaniques qui déermineron la méhode epérimenale de déecion e de mesure des secions efficaces, don la connaissance es nécessaire pour éablir les lois de force. Ce cours es uile pour comprendre la producion e l uilisaion des paricules nucléaires e es nécessaire pour la résoluion des problèmes epérimenau. Dans ce qui sui raierons le cas général des paricules relaiises. Nous déduiron égalemen les formules dans le cas non relaiise. Définiions Les résulas epérimenau son obenus dans le sysème de référence lié au laboraoire (L). L inerpréaion héorique des résulas se fai le plus simplemen dans le sysème du cenre de masse (G). Les résulas epérimenau deron donc êre ransposés dans le sysème G pour inerpréaion. 5

6 Le sysème G a l aanage supplémenaire de permere une simplificaion des calculs de cinémaique, la résoluion des équaions de conseraion éan souen rès fasidieuse dans le sysème L. Aan la réacion y y Après la réacion Sysème L y Sysème G y Sysème L Sysème G 6

7 . Caracérisiques d'une paricule dans les sysèmes Dans ou ce qui sui, c représene la iesse de la lumière dans le ide (c= 0 8 m/s). Une paricule dans le sysème du laboraoire (L) : masse au repos (en unié d'énergie ev), =mc : iesse c γ β : énergie cinéique = + : énergie oale, e son eprimées dans la même unié (ev). our éier d'aoir c dans l'epression de l'impulsion (qui en soi s'eprime en ev/c) on l'uilise sous la forme =pc. = impulsion (en ev), 7

8 : angle par rappor à l'ae des compé posiiemen dans le sens rigonomérique. Une paricule dans le sysème du cenre de masse (G) : masse au repos : iesse c : énergie cinéique : énergie oale, e son eprimées dans la même unié (ev) = p c impulsion (en ev) : angle par rappor à l'ae des compé posiiemen dans le sens rigonomérique. ouemen de G par rappor à L V : iesse 8

9 9 c V Β Β Γ. Rappel des principales formules en relaiié resreine pour une paricule our que oues les grandeurs soien dans la même unié (ev) on uilisera =pc. β β β β Deu relaions imporanes en cinémaique son: e

10 es un inarian relaiise, sa aleur our une paricule la quanié es la même dans ous les repères galiléens. Dans le cas où il y a plusieurs paricules l'inarian es: ( ) ( ) i i i i mais aenion cee quanié n'es pas en général égale à ( ) i i.. Transformaions de Lorenz pour une paricule a) Relaions enre les posiions e les emps dans les sysèmes L e G : V V B B V c B V c B y y 0

11 b) Relaions enre les iesses e les direcions dans les sysèmes L e G Sysème L Sysème G cos cos y sin y sin O e aec angle enre O e l'impulsion aec angle enre l'impulsion cos V B cos( ) B V cos cos(θ) V ( V ) B c B cos( ) V ( V ) c cos(θ) V Ββ cos(θ)

12 y sin y y sin (θ) V ( ) c B sin (θ) B Ββ cos(θ) Comme g y, on obien : gθ Γ sin (θ) cos (θ) Κ où K B / V / c) Relaions enre les énergies e les impulsions dans les sysèmes L e G : n paran des epressions de e y calculées ci-dessus on a: c c y cos( ) ( cos( )) sin ( )

13 γ d'où : β γγ( βb cos(θ)) Nous obenons alors pour l'énergie en L en foncion de l énergie en G : γ γγ( ββ cos (θ)) Γ( ββ cos (θ)) Γ( p Β) our le calcul de l'impulsion on uilise les relaions: = cp V Ββ cos(θ) γ γγ( βcos( )) γγ V. On en dédui : p p Γ( β Β cos(θ) ) Γ(p Β)

14 De même pour la projecion suian l'ae y : cp y y γ y Β Ββ cos(θ) γγ( ββ cos(θ)) y γ cp y p p, soi y y. Ces epressions peuen êre mémorisées sous une forme maricielle: Γ p ΓB p ΓB Γ p y p y ou dans l'aure sens: Γ p ΓB p ΓB Γ p y p y aec Γ B

15 5. Cinémaique à deu corps 5.. Sysème à paricules Dans le cas général une réacion nucléaire proien du choc de paricules (ou de noyau). Dans la plupar des cas l'un des noyau (cible) es au repos. Dans le cas présen nous raierons le cas où les "objes" son en mouemen. nergie oale Γ( p Β p Β) par définiion de G, p p 0 alors: Γ Viesse du cenre de graié p p p Γ(p Β p Β) ΓΒ parce que p 0 ; de plus en uilisan l'epression de l'énergie oale p p B ci-dessus, on obien : 5

16 5.. Reour sur l'inarian relaiise ( ) ( ) es rès uile pour calculer simplemen les L'inarian i i i i consanes cinémaiques enre un sysème de référence e un aure sysème. ar eemple pour un sysème à deu paricules : Dans le laboraoire on a: ( ) ( ) K (une ceraine aleur). Dans le sysème du cenre de masse 0 ( ) K our le cas d'une cible au repos : 0,,. soi, ou encore ( ) 6

17 5.. Réacion + + Considérons la réacion + +, le noyau éan au repos dans le laboraoire. L'ae des es pris suian la direcion du faisceau. = 0 cos = = cos = La aleur de B du cenre de masse es donnée par: β γ β p B γ. Dans la oie de sorie, nous aons : β ar définiion du cenre de graié,. De plus, Γ ( Γ ) 7

18 Γ ( Γ ) Si e on a:. 5.. Q de réacion (ou chaleur de réacion) Cee quanié ne dépend que des masses (e de l'éa d'eciaion du noyau de recul). lle es définie par: Q = + ( + ) Les réacions peuen êre élasiques, d'où Q=0. Sinon, les réacions son dies inélasiques. Si Q > 0 la réacion es die eo-énergéique. Une parie de l'énergie de la oie d'enrée es ransformée en énergie cinéique. 8

19 9 Si Q < 0 la réacion es die endo-énergéique. Une parie de l'énergie de la oie d'enrée es ransformée en masse. Il fau donc une énergie cinéique incidene minimum appelée "énergie seuil" pour produire cee masse. our le cas où la paricule se roue au repos dans le laboraoire: e Q (conseraion de l'énergie oale) Si on projee dans le sysème L les impulsions sur les aes e y, on a (conseraion de l'impulsion): sin sin 0 cos cos soi sin sin cos cos e après éléaion au carré e sommaion: cos

20 n uilisan la aleur de Q ci-dessus Q e. n idenifian les ermes des équaions donnan, on obien l'équaion générale : Q Q( ) ( ) ( ) cos 0 Tables de asse Sauf pour les noyau légers, les masses ne son pas données en unié d'énergie (ev). Il eise des ables dies de "défaus de masses aomiques" (souen en kev, e: apsra e al.). La masse es alors donnée par: (ev)=9.506*a 0.5*Z + (-A) aec (-A) défau de masse (à muliplier par 0 - si en kev). 0

21 5.5. Seuil de réacion Dans un choc enre deu paricules ou deu noyau, la masse oale après la réacion peu êre supérieure à celle aan la réacion. Dans ce cas, la réacion ne peu se produire que si l'énergie incidene dépasse une énergie seuil s. ar définiion cee énergie s es définie comme éan l'énergie pour laquelle oues les paricules de la oie de sorie son au repos dans le sysème du cenre de masse. ( m) ( Q) (m : la masse "produie") L'énergie seuil es l'énergie cinéique minimum de la paricule pour laquelle la réacion aura lieu : s Γ( m) () n supposan que la paricule possède une impulsion : s Γ Β ( ) ( ) ( ). () s s s n remplaçan i par suiane : i i dans () e dans (), on obien la relaion

22 s s ( a( )) ( a) aec a Q Q ( )] [ 0 Si la paricule es au repos s Q[ Q ( )] nergie dans le laboraoire des paricules émises au seuil Au seuil les paricules son émises sans iesse dans le sysème G, par conre elles en on une dans le laboraoire. our une paricule n: Γ( β cos( )) Au seuil de réacion, nous aons n n n n n e 0 n n d'où : ns nγ e ns n(γ )

23 n uilisan la aleur de s calculée ci-dessus e Q Γ s, d'où Q Q Q Q Q Γ s s s on obien Q Q s n ns

24 5.7. Transformaion des secions efficaces différenielles La secion efficace oale d'un processus, quanié indépendane du référeniel, es: d ( ) d ( ) d ( ) d ( ) d e d son les o sin( ) dd sin( ) dd d d secions efficaces différenielles par unié d'angle solide dans L e G. Ces quaniés son indépendanes de l angle. d ( ) sin( ) d d ( ) sin( ) d gθ Γ sin θ cosθ Κ n remplaçan () dans (), on obien la relaion : g( ) sin( ) sin( ) g ( ) (cos( ) ) sin ( ) g( ) () où K B/ e sin( ) g ( ) sin( ) (cos( ) ) sin ( ) sin( ) () ()

25 n différenian l'epression de g, nous obenons : dθ dθ Γ ( cos(θ) Κ) sin Γ( Κ cos(θ)) (θ) () d ( ) d ( ) sin( ) d sin( ) d ( ( cos( )) (cos( ) ) sin ( )) / 5.8. Cas pariculiers Désinégraion d'une paricule en ol Dans ce cas pariculier, la oie d'enrée es composée d'une seule paricule. Β p p p β Des relaions générales, nous déduisons : our la oie de sorie, les paricules saisfon au relaions dans le sysème G: 5

26 e dans le laboraoire γ( ββ cos(θ )) ( cos( )) g(θ ) β β sin (θ ) cos(θ β ) β), 6

27 7 Désinégraion en corps d'une paricule au repos La paricule (unique) de la oie d'enrée es au repos B = 0 = = our la oie de sorie: Dans le référeniel du laboraoire ) ( ) (

28 sin( n) g( n) g( n) cos( ) n Les deu paricules de la oie de sorie son émises en opposiion, oues les direcions d'émission son équiprobables. 8

29 6. Approimaion classique our << on peu raier les calculs de cinémaique dans l'approimaion classique. emples. n négligean cβ c dean, l'impulsion, on reroue.,. our la iesse du cenre de masse (dans le cas ou la paricule es au B repos) nous aons obenu: c 9

30 0 Si on néglige les énergies cinéiques dean les masses, c B e V V soi

31 . Nous aons d'aure par obenu la relaion générale 0 cos ) ( ) ( ) ( Q Q n négligean, Q, Q i i on arrie à: ) ( ) cos( ) ( Q

32 n mécanique classique, on peu ajouer les iesses. Une paricule de iesse dans le sysème G aura dans le sysème L la iesse V, soi la consrucion géomérique: V Consrucion géomérique Dans le sysème G, l'impulsion p (donc ), à un module consan e ourne aec. Son erémié décri un cercle cenré sur le cenre de masse. ar la consrucion ci-dessus, l'erémié de dans le laboraoire poine sur un aure cercle, de même rayon que le précéden, mais don le cenre es ranslaé de V. n poinillé les iesses dans le laboraoire. Cercle de gauche: sysème G.

33 Si peu oujours arier enre 0 e 80, il peu ne pas en êre de même pour, dans cerains cas il peu y aoir un angle limie. a) Si < alors la iesse V es faible e les cercles son peu décalés. our =80, on à =80 ; il n'y a pas d'angle limie.

34 b) Si > alors V a une aleur imporane e les cercles son rès décalés. La limie en e es donnée lorsque le cercle de droie es angené par. V lim On a: où sin lim V

35 g lim K Dans le cas d'une réacion élasique p p,, donc sin θ lim emple: C + H pour inciden = 00 ev on a: 0 < <.8 5

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