Chapitre 3 Les indicateurs

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1 Chaptre 3 Les dcateurs O se place uqueet das le cas d ue varable quattatve. L objectf est de résuer l eseble des observatos par des dcateurs. Il est toujours suffsat de résuer ue sére par u seul dcateur. D'après Guy Brousseau, u odèle dot : représeter correcteet les observatos (pertece), être u résué plus sple que les observatos (coucablté), perettre de recosttuer au eux l'eseble des observatos (fdélté), perettre de copredre les doées, c'est-à-dre de les placer par rapport à des odèles falers, uversels et doc de perettre la coparaso avec d'autres odèles (tellgblté), être accessble au cotrôle athéatque (cosstace).. Les caractérstques de posto ou de tedace cetrale.. Le ode Pour ue varable statstque dscrète, le ode est la valeur la plus fréquete. Lorsque la varable est cotue, o parle de classe odale : c est la classe correspodat «au pc» de l hstograe (G. Saporta), autreet dt c est la classe pour laquelle d est axale. Plus gééraleet, s X est ue varable statstque (resp. aléatore) absoluet cotue de desté f, o appelle ode toute valeur de la varable pour laquelle f est axu. Be etedu, l peut y avor pluseurs valeurs (resp. classes) odales. Exercce Le but de cet exercce est de otrer que la classe odale 'est pas écessareet celle dot l'effectf est le plus grad. La répartto des salares auels, exprés e llers d euros (k ) de 90 eployés d'ue etreprse est doée das le tableau suvat : Salares e k [3 ; 5[ [5 ;6[ [6 ;7[ [7 ;8[ [8 ;0[ [0 ;[ [ ;4[ Effectfs ( ) Tracer l hstograe et déterer la classe odale. d après Itérares e Statstques et Probabltés (Ellpses) 7/47

2 .. Dstaces usuelles das. Pour les autres dcateurs de tedace cetrale, l s agt de résuer l eseble des observatos par ue valeur uérque relatveet proche. La «proxté» se esurat à l ade de dstaces, l est utle de rappeler les dstaces usuelles das. Sot X = ( x, x,..., x ) R. Les dstaces assocées sot : O déft tros ores usuelles : Pour tout ( XY, ) R R : X = x d ( X, Y) = X Y = = = = X x d ( X, Y) X Y (dstace eucldee) X = Max x d ( X, Y) = X Y Pour chacue de ces dstaces, la boule uté das le pla est doée c-après : Dstace d Dstace d Dstace d.3. La oyee.3.. Cas d ue varable dscrète La oyee x d'ue sére statstque est la soe de ses éléets x + x x dvsée par leur obre : x =. S c, c,..., c sot les valeurs dstctes prses par les x et s désge l'effectf de la valeur c, o a : k c k = x = ou ecore x = fc avec f = = La oyee se la dstace d. Cela sgfe que, par les vecteurs "costats" ( aa,,..., a), le vecteur X= ( x, x,..., x) est le plus proche du vecteur X = ( x, x,..., x ) au ses de d. Preuve : Sot A= ( a, a,..., a) = d ( X, A) = ( x a) = f( a) La focto f est du secod degré. 8/47

3 = = f( a) = a a x + x f sera ale pour A= x = x = = Alors f ( x) = d ( X, X) = ( x x) = V( X) Le calcul de f( x) doe alors : = = V ( X) = ( x x) = x ( x) Iterprétato géoétrque = d ( X, A) X A sera u lorsque A est la projecto orthogoale de X sur la drote vectorelle egedrée par (,,...,) X X = V( X) = s où s est l'écrt-type. Proprété : Léarté de la oyee Sot deux séres statstques ( x, x,..., x ) et ( y, y,..., y ) telles que, pour tout de [ ; ], o at y = ax + b. Alors y = ax + b. E partculer, pour a= et b= x, o a y = 0. La ouvelle sére a ue oyee ulle. O dt qu'o a cetré les doées x. Proprété : Regroupeet ou partto Sot deux séres statstques ( x, x,..., x ) et ( y, y,..., y ) de oyees respectves x et y. Sot ( z, z,..., z ) la sére obteue par regroupeet des deux + séres précédetes et z sa oyee. x + y Alors z =. + La preuve est édate. Moyee élaguée La oyee est sesble aux valeurs extrêes. Pour paller cet covéet, o peut décder de e pas ter copte des valeurs extrêes das le calcul de la oyee. Sot (x, x,, x ) ue sére statstque et α u réel de [0 ; ]. La oyee élaguée de veau α est la oyee de la sére prvée d u obre de valeurs extrêes égal à E(α), sot à gauche, sot à drote, sot blatéraleet. E prcpe α = 0,05 ou α =0,0. 9/47

4 .3.. Cas d ue varable cotue Le regroupeet des valeurs e classes etraîe ue perte d forato. Das ce cas o e peut calculer qu ue valeur approchée de la oyee. Pour trouver ue telle valeur approchée, o cosdère que toutes les valeurs d ue classe sot rapportées au cetre de cette classe. O replace doc la sére tale par ue sére dscrète. Be etedu, cette valeur approchée déped de la ature du regroupeet e classes effectué. O pourrat predre l approxato de la dstrbuto ufore à l téreur d ue êe classe : ce odèle codut à la êe valeur approchée que précédeet Coparaso des oyees das le cas d ue répartto ufore Les p valeurs x, x,..., x p sot uforéet répartes sur l tervalle [ a, a + [ sgfe : a x x x p a + ( a+ a) k [ ; p], x a+ k p + Notos x la oyee de ( x, x,..., x ). p p ( a+ a) px = x pa + k. p + p pp ( + ) ( a+ a) Or k =. Doc px = pa+ p a + a+ sot x =. x est doc le leu du seget [ a ; a + [ p As, quel que sot le odèle d approxato chos (regroupeet au cetre de classe ou répartto ufore à l téreur de l tervalle), la oyee obteue est la êe. Exercce Lors du regroupeet e classes de doées abodates, l y a évdeet perte d forato. Certes o peut espérer que les erreurs trodutes par la cocetrato des doées au cetre de chaque classe se eutralset das le calcul de la oyee, as l e est pas toujours as, coe le otre l exeple suvat :. Das ue classe, la lste des otes obteues à u devor de athéatques par les élèves classés par ordre alphabétque est la suvate : Déterer ue valeur approchée de la oyee x de cette sére statstque.. Le professeur décde de classer ses élèves e cq groupes : [ 0 ; 4 [ [ 4 ; 8 [ [ 8 ; [ [ ; 6 [ [ 6 ; 0 [ fable édocre oye satsfasat très bo Déterer les effectfs de chaque classe. 0/47

5 E utlsat le cetre des classes, calculer la oyee y de cette sére statstque. 3. Le professeur evsage ue autre répartto et refat ses calculs avec le regroupeet suvat : [ 5 ; 0 [ [ 0 ; 5 [ [ 5 ; 0 [ [ 0 ; 5 [ très satsfasat coveable suffsat très fable Quelle est la oyee z de cette derère sére statstque? Réposes : : 0, ; : 0,8 ; 3 : 0,5. d après Itérares e Statstques et Probabltés (Ellpses).4. La oyee des valeurs extrêes La oyee des valeurs extrêes d'ue sére ( x, x,..., x ) est ( x) + ax( x) doée par r =. Peu usté car très sesble aux valeurs extrêes, elle se. Cela sgfe que, par les vecteurs "costats" ( aa,,..., a), le vecteur (,,..., ) est le plus proche du vecteur (,,..., ) au ses de. rr r x x x d d r se la focto f défe par x f () t = Max t x r x.5. La édae La édae d'ue sére statstque ordoée ( x, x,..., x ) est xp + xp xp s = p+ et + s = p. Das le cas d ue varable cotue, la pratque habtuelle cosste à tracer la focto de répartto e fasat l hypothèse d ue répartto ufore das chaque tervalle pus d exploter cette représetato graphque pour déterer l atécédet de 0,5. D après le docuet du GEPS sur les quatles, cette pratque est pas ustée chez les statstces. Le GEPS précose de parler de classe édae. «La procédure qu cosste à tracer ue courbe dte de fréqueces cuulées crossate, cotue, obteue par terpolato léare à partr des valeurs F(a ) défes c-dessus et à défr la édae coe l tersecto de cette courbe avec la drote d équato y=0,5, où avec ue courbe aalogue dte des fréqueces cuulées décrossates est pas ue pratque usuelle e statstque et e sera pas proposée au lycée. S des doées sot regroupées e classe, o parle de classe édae.» La édae e se la dstace d. Cela sgfe que, par les vecteurs «costats» (a, a,, a), le vecteur M e = ( e, e,, e ) est le plus proche du vecteur X = (x, x,, x ) au ses de d. /47

6 Preuve : d ( X, A) = a x = f( a) = La focto f est cotue, dérvable sur chaque tervalle e coteat pas x. Pour tout t x, f (t) sera égatf s l y a plus de valeur x supéreures à t que de valeurs x féreures et f (t) sera ul s l y a autat de valeurs x supéreures à t que de valeurs x féreures. D où le u est attet pour a = e. Le prograe de ère S prévot la oto de quartle. Le GEPS propose la défto suvate pour ue oto plus géérale de quatle : E statstque, pour toute sére uérque de doées à valeurs das u tervalle I, o déft la focto quatle Q, de [0,] das I, par : Q(u) = f{x, F(x) u}, où F(x) désge la fréquece des éléets de la sére féreurs ou égaux à x. Sot la talle de la sére ; s o ordoe la sére par ordre crossat, Q(u) est la valeur du tere de cette sére dot l dce est le plus pett eter supéreur ou égal à u. Das le cadre de cette défto, les tros quartles sot Q = Q(0,5), Q = Q(0,50) et Q 3 = Q(0,75). Les 9 décles sot les valeurs de Q(/0), = 9, les 99 cetles sot les valeurs de Q(/00), = 99. O déft assez souvet la édae e par e = Q(0,5) : la édae est alors le secod quartle, le cquèe décle, le cquatèe cetle, etc. Vor le docuet du GEPS (PDF, 58 Ko). Les caractérstques de dsperso.. L étedue L étedue de la sére (x, x,, x ) est égale à : ax(x ) (x ). Coe la oyee des valeurs extrêes, elle est très sesble à ces valeurs extrêes... L écart terquartle L écart terquartle est la quatté Q 3 Q..3. Ue autre représetato : «la boîte à oustaches». Elle est due à JW. Tukey et est appelée «box plot» e aglas. Le dess sufft à l explcato : M er cetle 99 e cetle Médae Q Q 3 Max Pour coparer des populatos qu ot pas le êe effectf, o trace la largeur du rectagle proportoelle à la race carrée de la populato. /47

7 Exercce Coparer les salares das les tros etreprses suvates d u êe secteur dustrel. Etreprse Talle Q Me Q3 ax A B C À partr des doées, o obtet la représetato suvate : Etreprse A Q Me Q3 ax Etreprse B Etreprse C d après Itérares e Statstques et Probabltés (Ellpses) Das les preers dagraes de Tukey, la logueur des «oustaches» est,5 fos l écart terquartle. Les dagraes de Tukey étaet utlsés das des secteurs où les doées peuvet le plus souvet être odélsées e utlsat ue lo de Gauss ; das ce cas, au veau théorque, les extrétés des «oustaches» sot voses du preer et 99 e cetle : ces dagraes étaet surtout utlsés pour détecter la présece de doées exceptoelles. O utlse aujourd hu les dagraes e botes pour représeter des dstrbutos eprques de doées quelcoques, o écessareet syétrques autour de la oyee, et le chox de oustaches de logueurs,5 fos l écart terquartle e se justfe plus. (Docuet d accopageet des prograes de re S).4. Varace et écart type O a déjà recotré la varace das l terprétato géoétrque de la oyee. Pour ue sére ( x, x,..., x ) de oyee, o déft la varace V( X) et l'écart-type s par : V( X) = ( x ) et s= V( X) = Proprétés V( X) = ( x ) = Pour tous a et b réels : V( ax + b) = a V( X) sax ( + b) = asx ( ) 3/47

8 Exercce O cosdère deux séres statstques portat sur le êe caractère : ( x, ),...,( x, ), effectf total, oyee x, écart-type σ ; ( y, ),...,( y, ), effectf total, oyee y, écart-type σ. p p x q q y O ote ( z, r ) la sére statstque obteue e regroupat les deux k k séres, z sa oyee et σ so écart-type. x + y. Motrer que z =. + z ( x ) ( y ) z. Déotrer que : ( + ) σ = σ + ( x z) + σ + ( y z) σ x + σy z = + x y E dédure : σ + ( ) ( + ) 3. U professeur a corrgé copes d'exae. La oyee des otes est x et l'écart-type de la sére de otes est σ. Ue cope suppléetare (à corrger) lu est attrbuée. O désge par y la ote obteue pour cette cope. Exprer e focto des doées la oyee et l'écart-type de la sére de ( + ) otes as obteue. Exste-t-l ue valeur de y qu e odfe pas la oyee? l'écart-type? les deux? Das le cas d ue varable cotue et d u regroupeet par classes, o obtet ue valeur approchée de la varace à l ade de la odélsato utlsée pour obter ue valeur approchée de la oyee, c est à dre e raeat toutes les valeurs d ue classe au cetre de cette classe. Rappelos que pour avor ue valeur approchée de la édae, o avat utlsé la odélsato de la répartto ufore par classe..5. À propos du regroupeet e classes.5.. Coparaso des varaces Sot ( x, x,..., x ) ue sére réparte e classes [ a ; a [ ;[ a ; a [...[ a ; a [ 3 + d'effectfs respectfs pour (et = ). O ote x la oyee obteue par l'u ou l'autre des odèles choss. O ote σ l'écart-type réel de la sére, σ l'écart-type obteu e raeat les valeurs au cetre de chaque classe, et σ = ue répartto ufore à l'téreur de chaque classe. l'écart-type obteu e supposat σ La varace σ est systéatqueet sous estée par, car o églge la varato à l'téreur de chaque classe ( σ <σ). σ E revache, σ est e gééral assez proche de. Coparos σ et σ : ( k ) a + a+ ( ) où = σ = x x σ = c x c = 4/47

9 σ = ( ) xk x e regroupat les valeurs par classe. = D'après ce qu précède, pour la èe classe, o a : kd x a où d a a. k = + = + + = + = ( xk x) ( xk c c x) = + Or ( c x) ( xk c ) + c x ( xk c) c = x k ( xk c) d ( ). doc le derer tere est ul. k = + = k + d k ( ) d d d ( + )( + ) d ( + ) = + d ( + ) d ( + ) = d 6( + ) 4 d = + d Faleet, σ = ( c x) + = = + d Sot : σ =σ + = + D'après ce qu précède, pour la èe classe, o a : kd x a où d a a. k = + = + + = + = ( xk x) ( xk c c x) = ( c x) + x c + ( c x) x c. k k ( ) ( ).5.. Regroupeet e classe et précso deadée das les exercces doés Lorsque l'o propose, e teps lté, u exercce de statstque, o est codut à lter le obre de doées à trater (pour duer les problèes de sase et de calcul). Pour cela o regroupe fréqueet les doées e u pett obre de classes. Il est portat de veller à ce que ce regroupeet (qu costtue toujours ue perte d'forato) sot be copatble avec la précso deadée par la sute et que les réposes aux questos posées pusset être trouvées sas abguïté. Docuet de J.P. POUGET IA-IPR, acadée de Crétel (PDF, 98 Ko) 5/47

10 .6. Iégalté de Beayé-Tchebychev Sot ue sére statstque de oyee et d écart type s. Pour tout α réel strcteet postf, o ote f α la fréquece des valeurs coprses etre α s et + α s (c est-à-dre X α s). Alors f α > α Cette égalté, be que édocre, est valable quelle que sot la sére statstque. As plus de 75 % des valeurs sot das [ s ; + s ], plus de 88 % des valeurs sot das [ 3 s ; + 3 s ], plus de 93,75 % des valeurs sot das [ 4 s ; + 4 s ], 6/47