Limites et continuité

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1 ANALYSE Limites et continuité Connaissances nécessaires à ce chapitre Déterminer la ite éventuelle d une suite géométrique Étudier la ite d une somme, d un produit ou d un quotient de deu suites Auto-évaluation Donner la ite de la suite(u n ) n. ) u n = n 3) u n = n 5) u n = 0, 5 n ) u n = n+3 4) u n =, n 6) u n = ( ) n Déterminer la ite de la suite (u n ) n. ) u n = n + n 3) u n = n+ n ) u n = n+ 4) u n = 3n + n+ 3 n Soit une suite géométrique(v n ) n 0 de raison q et de premier terme v 0. Déterminer sa ite éventuelle. ) q = et v 0 = 3 3) q = et v 0 = ) q = 0, 9 et v 0 = 0, 4) q = 0, 5 et v 0 = Utiliser un théorème de comparaison ou d encadrement pour déterminer une ite de suite Établir (par dérivation ou non) les variations d une fonction Des ressources numériques pour préparer le chapitre sur manuel.sesamath.net 6 Soit S n = n n + + n n n n + n. ) Montrer que, pour tout entier n : n n+ S n n n +. ) En déduire la ite de la suite(s n ) n. 7 Soit la fonction f définie par f() = +. ) Soit un réel h >. f(h) f(0) a) Montrer que =. h ( ) h+ + b) Calculer h++. h 0 c) f est-elle dérivable en 0? Si oui, donner f ) Étudier de la même façon la dérivabilité de f en. 8 Soit la fonction f : définie sur R. + ) Justifier qu on a le tableau de variation : 4 Soit deu réels a > 0 et b > 0. Étudier : a n ). ) n + +an n + (an b n ). f + 5 Soit(u n ) n 0 la suite définie par u n = n+ cos nπ. ) Justifier que n u n n+. ) En déduire la ite de la suite(u n ). ) Quelles semblent être les ites de f en ±? 3) Résoudre l équation f() = 0 sur R. Voir solutions p. 49 5

2 Activités d approche ACTIVITÉ Notion de ite On considère la fonction suivante : f : ]0 ;+ [ ]0 ;+ [ Partie A : D une approche quantitative... ) Calculer f() pour = 0 ; 00 ; 000 ; 0 4 ; 0 5 ; etc. ) Que peut-on conjecturer quant à f() lorsque +? 3) De la question précédente, déduire le complètement des notations équivalentes suivantes : f()... lorsque f() =... Partie B :... à une étude qualitative On vient de remarquer la propriété suivante, que l on va par la suite chercher à démontrer : «f() prend des valeurs aussi proches de 0 que l on veut dès que est suffisamment grand.» ) Dans cette proposition, quelle est l hypothèse? la conclusion? ) On considère la locution «est suffisamment grand». Parmi les quatre locutions données ci-dessous, deu la traduisent : lesquelles? est plus grand qu un certain réel il eiste un réel A tel que > A est plus grand que tout réel pour tout réel A, > A 3) Même consigne avec la locution «f() prend des valeurs aussi proches de 0 que l on veut». On notera ε > 0 le réel utilisé. 4) Détermination graphique de A. a) Ci-dessous, on a représenté graphiquement la fonction inverse sur l intervalle]0 ;+ [ et on fie ε > 0, un réel quelconque (de préférence petit). Sur l ae des abscisses, représenter le plus petit réel A à partir duquel on a f() < ε. y = j y = ε O i b) Pourquoi peut-on affirmer que, dès que f() < ε pour un certain, alors f(t) < ε pour tout t? 5) Détermination algébrique de A. Fions ε > 0. En résolvant l inéquation f() < ε, déterminer le plus petit réel A (que l on eprimera en fonction de ε) tel que, si > A, alors f() < ε. 5 Chapitre A. Limites et continuité

3 Activités d approche ACTIVITÉ Continuité d une fonction Partie A : Approche graphique Au XVII e et XVIII e siècles, la notion de fonction continue sur un intervalle I était celle d une fonction dont on pouvait tracer la courbe représentative sur I sans lever le crayon. ) Dans un repère, représenter graphiquement chacune des fonctions suivantes puis, à l aide de la notion décrite ci-dessus, dire si elles sont continues sur leur ensemble de définition. a) f définie sur [ ; ] par f() =. b) g définie sur ]0 ; ] par g() =. c) u définie sur [0 ; ] par u() = si et u() = si >. d) v définie sur [0 ; ] par v() = si < et v() = si. e) E définie sur R + par E() =, où désigne la partie entière d un réel. Par eemple,, 7 =, 0, 99 = 0, =, etc. Cette fonction n étant pas usuelle, on donne ci-dessous sa représentation graphique sur [0 ; 4] : y = 0 ) Pour chacune des fonctions, donner les éventuels réels en lesquels il y a discontinuité. Partie B : Étude algébrique Au début du XIX e siècle, Bolzano et Cauchy ont défini une approche plus algébrique de la notion de continuité en termes presque modernes, que l on se propose d eplorer ci-dessous. On reprend pour cela les fonctions u et v de la partie précédente. ) D après les définitions (seulement) des fonctions u et v, en quel réel 0 y a-t-il a priori un problème de continuité? Justifier. ) a) Calculer les deu ites suivantes et les comparer avec la valeur de u( 0 ). 0 b) Même question avec la fonction v. u() et u() 0 < 0 > 0 c) En sachant que, graphiquement, la fonction u est continue en 0 et que la fonction v ne l est pas, donner une définition de la continuité d une fonction en un réel 0. 3) Représenter graphiquement une fonction f telle qu en un réel 0 (que l on choisira), on ait : 0 f() = f() = f( 0 0 ) < 0 > 0 Chapitre A. Limites et continuité 53

4 Activités d approche ACTIVITÉ 3 Composée de deu fonctions Partie A : De plusieurs fonctions... à une seule On considère les deu fonctions u et v suivantes : u : R R 3 et v : R R À partir de ces deu fonctions, on considère l enchaînement suivant : R R R u() = y v(y) En notant f cet enchaînement, on a f() = v(y). On appelle f la composée de u suivie de v. ) a) Calculer l image de puis de 4 par la fonction f. b) Traiter le cas général et donner l epression de f() en fonction de. ) a) Parmi u et v, quelle fonction a été utilisée en premier? en dernier? b) Parmi les deu propositions suivantes, en déduire celle qui correspond à f() : u(v()) ; v(u()). c) Trouver un moyen mnémotechnique logique de se rappeler de la bonne notation. Partie B : D une fonction... à plusieurs Si u et v sont deu fonctions, et que f est la composée de u suivie de v, on note f = v u (qui se prononce «v rond u»), c est-à-dire, pour tout D f, f() = v(u()). On donne les fonctions de référence a, b, c et d définies par : a() = +3 b() = c() = d() =. Décrire chacune des fonctions suivantes comme composées des fonctions a, b, c et d. On ne se préoccupera pas ici des ensembles de définition. ) f : + 3 3) h : +3 5) j : (+ 3) ) g : (+ 3) 4) i : ( 6) k : + 3 Partie C : Avec les ensembles de définition Soit u : + définie sur R et v : définie sur R +. On pose f = v u et g = u v. ) Donner les epressions de f() et de g(). ) a) Quel est l ensemble de définition de f? b) Coïncide-t-il avec celui de u? 3) Mêmes questions avec les fonctions g et v. ) DÉBAT 4 Soient u et v deu fonctions définies sur un intervalle I et à valeurs dans I. A-t-on, pour tout I, u v() = v u(), c est-à-dire u(v()) = v(u())? 54 Chapitre A. Limites et continuité

5 . Limite d une fonction en l infini Dans toute cette partie, C f désigne la courbe représentative de la fonction f dans un repère quelconque du plan. A. Limite finie en l infini DÉFINITION Soit f une fonction définie au moins sur un intervalle de R du type]a ; + [. La fonction f a pour ite l en + si tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de f() pour assez grand. On note alors : f() = l. Eemple Soit f la fonction définie sur ]0 ; + [ par f() = ( ) +. On a + =. En effet, l inverse de se rapproche de 0 à mesure que augmente. Soit un intervalle ouvert I tel que I. Alors, f() sera toujours dans I pour assez grand. Graphiquement, aussi étroite que soit une bande parallèle à la droite d équation y = et qui la contient, il eiste toujours une valeur de au delà de laquelle C f ne sort plus de cette bande. C f : y = + +ε ε DÉFINITION : Asymptote horizontale La droite d équation y = l est asymptote horizontale à C f en + si REMARQUE : On définit de façon analogue horizontale à C f en d équation y = l. f() = l. f() = l qui caractérise une asymptote ( ) ( ) Eemple On a vu précédemment que + =. On a aussi + =. Donc, la droite d équation y = est asymptote horizontale à la courbe C f en + et en. PROPRIÉTÉ (admise) : Limites finies des fonctions usuelles en± Soit n un entier naturel non nul. = n = 0 n = 0 Chapitre A. Limites et continuité 55

6 B. Limite infinie en l infini DÉFINITION La fonction f a pour ite + en + si tout intervalle de R du type ]a ; + [ contient toutes les valeurs de f() pour assez grand. On note alors : f() = +. Eemple Soit f la fonction racine carrée. On a = +. En effet, devient aussi grand que l on veut à mesure que augmente. Soit un intervalle ouvert I =]a ; + [. Alors, f() sera toujours dans I pour assez grand. Graphiquement, si on considère le demi-plan supérieur de frontière une droite d équation y = a, il eiste toujours une valeur de a au-delà de laquelle C f ne sort plus de ce demi-plan. 4 a 3 C f : y = REMARQUE : On définit de façon analogue : f() =, f() = + et f() =. Il eiste des fonctions qui n admettent pas de ite en l infini. Par eemple, les fonctions sinus et cosinus n admettent de ite ni en+, ni en. Une fonction qui tend vers + lorsque tend vers + n est pas forcément croissante y = cos 4+ y = sin PROPRIÉTÉ (admise) : Limites infinies des fonctions usuelles en± Soit n un entier naturel non nul. = n = + n = { + pour n pair pour n impair 56 Chapitre A. Limites et continuité

7 . Limite infinie en un réel DÉFINITION Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert de R du type] 0 ε ; 0 [ ou] 0 ; 0 + ε[. La fonction f a pour ite+ en 0 si tout intervalle de R du type]a ; + [ contient toutes les valeurs de f() pour assez proche de 0. On note alors : 0 f() = +. Eemple Soit f la fonction définie sur ] ; + [ par f() =. On a = +. En effet, si tend, alors tend vers 0 et son inverse tend vers +. Soit un intervalle ouvert I =] ; + ε[. Alors, f() sera toujours dans I pour assez proche de 0. Graphiquement, C f peut être aussi proche que l on veut de la droite d équation = C f : y = + ε 3 4 DÉFINITION : Asymptote verticale La droite d équation = 0 est asymptote verticale à C f si 0 f() = ±. Eemple On a vu précédemment que = +. Donc, la droite d équation = est asymptote verticale à l hyperbole C f. REMARQUE : Lorsque tend vers 0, cela peut parfois se faire en augmentant ou en diminuant. On parle alors de ite de f à gauche (resp. droite) en 0 qu on note f() (resp. f()). 0 0 < 0 > 0 Une fonction admet une ite en 0 si, et seulement si, f admet des ites à droite et à gauche en 0 qui sont égales (ce qui n est pas toujours le cas). Une fonction peut très bien ne pas avoir de ite du tout en un point. Par eemple, la fonction sin n a pas de ite en 0. PROPRIÉTÉ (admise) : Limites finies des fonctions usuelles en 0 Soit n un entier naturel non nul. 0 >0 = 0 >0 n = + 0 <0 { + pour n pair n = pour n impair Chapitre A. Limites et continuité 57

8 MÉTHODE Interpréter graphiquement les ites d une fonction E. p. 65 L aperçu de la courbe représentative d une fonction avec une calculatrice ou un logiciel peut aider à conjecturer une ite (et donc éventuellement une asymptote à la courbe) mais il faut paramétrer correctement la fenêtre d affichage pour iter les erreurs de jugement. Eercice d application Soit f une fonction dont on a un aperçu du graphe C. Déterminer son ensemble de définitiond, puis conjecturer les ites au bornes de D et les asymptotes à C. ) f : 3 3 ) f : 4 + Correction ) D = R\{ }. A priori, on aurait : ±+ f() = ; < f() = + et > f() =. C aurait alors une asymptote horizontale d équation y = en± et une asymptote verticale d équation =. ) D =] ; [ ] ; + [. On a : f() = et f() = et, il semblerait que / / f() = et f() = 0. C aurait alors une asymptote horizontale d équation y = 0 (l ae des abscisses) en+. La vérification des conjectures est l objet de l eercice 8 page Opérations sur les ites PROPRIÉTÉ : Limite d une somme, d un produit et d un quotient de deu fonctions Limite d une somme : f g f + g l l l+l l ??? Limite d un produit : f g f g l l ll l =0 0??? Limite d un quotient : f g f /g l l =0 l/l l =0 0 l 0 0 0?????? REMARQUE : peut signifier+ ou. Les règles du signe d un produit ou d un quotient demeurent. Pour la ite de la différence f g, on considère la ite de la somme f +( g). Les quatre lignes grises des tableau correspondent au quatre cas d indétermination : «(+ )+( )» «0» «0 0» Plusieurs techniques seront vues pour lever une indétermination. E. p. 60 Eemple ( Soit f : ( ) Par somme, ( )= et + 58 Chapitre A. Limites et continuité 3 + ) définie sur R*. Calculons ( 3 + f(). ) =+ donc, par produit, f()=.

9 4. Limite d une fonction composée A. Fonction composée Une composée de deu fonctions correspond à un enchaînement de deu fonctions l une après l autre. Par eemple, composons la fonction f : suivie de g :. On peut ainsi schématiser :. f g Cependant, on voit que la fonction g ne peut s appliquer que si l ensemble des images par la fonction f est inclus dans l ensemble de définition de g. Ainsi, pour appliquer ici la racine carrée, il faut que 0 c est-à-dire que. La composée eiste donc dans le schéma suivant où on précise les ensembles de départ et d arrivée pour f : ] ; ] [0 ; + [ R f g En composant f suivie de g, on a ainsi défini sur ] ; ] la fonction. DÉFINITION Soit f une fonction définie sur E et à valeurs dans F, et soit g une fonction définie sur F. La composée de f suivie de g est la fonction notée g f définie sur E par g f() = g( f()). REMARQUE : Il ne faut pas confondre g f et f g qui sont, en général, différentes. Eemple En reprenant f et g de l eemple précédent, définissons f g. La composée de g suivie de f est possible en partant de l ensemble de définition de g : [0 ; + [ [0 ; + [ R g f En composant g suivie de f, on a ainsi défini sur [0 ; + [ la fonction. B. Théorème de composition des ites THÉORÈME Soit h la composée de la fonction f suivie de g et α, β et γ trois réels ou±. Si α f() = β et β g() = γ, alors α h() = γ. Eemple Déterminons la ite en de la fonction g f de l eemple précédent. La composée de f : suivie de g : est h : définie sur ] ; ]. Or, ( ) = + (par somme) et = + (ite de référence). Donc, d après le théorème de composition, = +. Chapitre A. Limites et continuité 59

10 MÉTHODE Déterminer une ite de fonction E. 6 p. 65 On applique les propriétés d opérations sur les ites. Si la ite est indéterminée, «+ +( )», «0», ou «0», on essaye de : 0 factoriser par le terme prépondérant ; multiplier par la quantité conjuguée a si des racines carrées interviennent ; effectuer un changement de variable (voir théorème de composition des ites). D autres techniques eistent et seront vues ultérieurement. a. on désigne généralement par a b c la quantité conjuguée de a+b c Eercice d application Calculer les ites suivantes : ( ) 3+ ) + ) 3) 4 4 Correction Ces ites sont indéterminées (respectivement formes, et «0 0»). ) On multiplie le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée de + ( : )( ) = = Or, par composition : (+ ) = + et = + donc + = +. ( ) Et, par somme : + + = +. Donc, par inverse : = ) Divisons le numérateur et le dénominateur par. Alors, 3+ Or, par somme : ( 3 + ) = et ( ) =. = Donc, par quotient : + =. 3) Changeons de variable en posant u =. Si tend vers 4, alors u tend vers. 4 = u 4 (u+)(u ) = = u+ pour u =. Donc, par somme : (u+) = 4. u u u 5. Limites et comparaison A. Théorème de comparaison THÉORÈME Soit f et g deu fonctions telles que f() g() sur un intervalle]α ; + [ de R. f() = + g() = +. g() = f() =. Soit f et g deu fonctions telles que f() g() sur un intervalle] ; β[ de R. f() = + g() = +. g() = f() =. Soit f et g deu fonctions telles que f() g() sur un intervalle]α ; β[ de R et 0 ]α ; β[. f() = + g() = g() = f() = Chapitre A. Limites et continuité

11 Eemple Déterminons la ite en + et en de f() = + sin. La ite de sin en ± est indéterminée donc, celle de f() aussi. Mais pour tout R, sin donc + sin +. Ainsi : De + sin et ( ) = +, on déduit que De + sin + et (+) =, on déduit que (+sin ) = +. (+sin ) =. B. Théorème d encadrement dit «des gendarmes» ou «sandwich» THÉORÈME Soit deu réels α etlet trois fonctions f, g et h telles que, pour > α, on a f() g() h(). Si f() = h() = l, alors g() = l. REMARQUE : On a, comme pour le théorème de comparaison précédent, deu théorèmes analogues lorsque tend vers et lorsque tend vers un réel 0. Eemple Déterminons la ite en de f() = cos +. La ite de cos en est indéterminée. Donc celle de f() aussi. Cependant pour tout réel strictement négatif, cos donc cos. Et en divisant membre à membre par cos + > 0 on a : Pour R, + = ( +. Or, + ) = donc Donc, d après le théorème des gendarmes, cos + = 0. + = + = Continuité d une fonction REMARQUE : Les programmes itent la continuité à une approche intuitive qui est de considérer qu une fonction est continue sur un intervalle I si sa courbe représentative sur I peut être tracée entièrement sans lever le crayon. PROPRIÉTÉ (admise) Les fonctions usuelles (affines, carré, inverse, racine carrée, valeur absolue) sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition. Toute fonction construite algébriquement (par somme, produit, inverse ou composée) à partir de fonctions usuelles est continue sur tout intervalle de son ensemble de définition. On convient qu une flèche oblique dans un tableau de variation traduit la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l intervalle considéré. Une fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle. REMARQUE : Attention, la réciproque de cette dernière propriété est fausse. Par eemple, la fonction valeur absolue est continue en 0 mais non dérivable en 0. Chapitre A. Limites et continuité 6

12 MÉTHODE 3 Interpréter graphiquement la continuité d une fonction E. 40 p. 68 Par convention, une fonction est continue là où elle est tracée. S il n y a pas continuité en 0 : le symbole indique le point de la courbe de coordonnées ( 0 ; f( 0 )) ; le symbole indique un point qui n appartient pas à la courbe mais dont l ordonnée est égale à la ite à gauche ou à droite en 0. Eercice d application Déterminer graphiquement les intervalles sur lesquels f est continue. ) Soit la fonction partie entière f :. ) Soit la fonction f représentée ci-dessous. C f C f 3 3 Correction ) En tout point d abscisse a Z, C f présente un saut : on a f(a) = a mais a Ainsi, f n est pas continue en a mais f est continue sur tout intervalle[a ; a + [. <a f() = a. ) f est «affine par morceau». C f a un «saut» en 0 donc f n est pas continue sur [ ; 3] mais elle est continue sur [ ; 0] et]0 ; 3]. En effet, on a f(0) = mais f() =. 0 >0 7. Théorème des valeurs intermédiaires THÉORÈME : Cas général Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant deu réels a et b tels que a < b. Si f est continue sur[a ; b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il eiste au moins un réel c appartenant à [a ; b] tel que f(c) = k. REMARQUE : f prend au moins une fois toute valeur intermédiaire entre f(a) et f(b). Autrement dit, l équation f() = k a au moins une solution dans [a ; b] et, sur [a ; b], la courbe représentative de f coupe la droite d équation y = k en un point au moins. Eemple Soit f la fonction définie sur [0 ; 6] par f() = On dresse le tableau de C f Chapitre A. Limites et continuité variation de f. f admet pour minimum et pour maimum 6. f est continue sur[0 ; 6]. f Donc, d après le théorème des valeurs intermédiaires, f prend toutes les valeurs de [ ; 6]. En particulier, l équation f() = 0 a au moins une solution dans [0 ; 6]. 6

13 THÉORÈME : Cas d une fonction strictement monotone Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant deu réels a et b tels que a < b. Si f est continue et strictement monotone sur[a ; b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il eiste un unique réel c appartenant à [a ; b] tel que f(c) = k. Eemple C f Reprenons la fonction f : α f 0 α 0 Sur[0 ; ], f est continue, strictement croissante et admet pour minimum et maimum. Donc, f prend une fois, et une seule, toutes les valeurs intermédiaires entre et. En particulier, l équation f() = 0 a une unique solution α entre 0 et. REMARQUE : Le théorème des valeurs intermédiaires s applique aussi pour f continue sur un intervalle I de type : [a ; b[, ]a ; b], ]a ; b[, [a ; + [, ]a ; + [, ] ; b] ou ] ; b[, ] ; + [. Si une borne a ou b de l intervalle est ouverte, alors on remplace f(a) ou f(b) par la ite de f en cette borne ; si une borne de l intervalle est±, alors on considère la ite de f en±. MÉTHODE 4 Eploiter le théorème des valeurs intermédiaires E. 45 p. 69 Le théorème des valeurs intermédiaires (T.V.I.) est utile pour prouver l eistence d une solution d une équation du type f() = k et dénombrer ces solutions. Pour cela : On dresse le tableau de variation de la fonction f ; On applique le T.V.I. à chaque intervalle où la fonction est strictement monotone. Eercice d application Dénombrer les solutions de l équation (E) : = 0. Correction f : est une fonction polynôme de degré 4 dérivable sur R. f () = = ( ) = (+ )(4+ ) après factorisation du trinôme. On établit alors le tableau de signes de f () et de variation de f : f () α β f + 0 0, 0 + Sur ] ; ], f est continue, strictement décroissante et : f() = + ; f( ) =. Donc, [ d après le T.V.I., l équation (E) a une unique solution α inférieure à. Sur ; ] (, f est continue, strictement croissante et : f( ) = ; f ), 0 > Donc, d après le T.V.I., l équation (E) a une unique solution β comprise entre et 4. Sur [ 4 ] ; 0 et [0 ; + [, le minimum de f est > 0 donc on n y trouve pas de solution. Conclusion : l équation (E) admet eactement deu solutions dans R. Chapitre A. Limites et continuité 63