Limites et continuité

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1 1 Limite d une fonction 1.1 Limite d une fonction en + Définition 1. Soit f une fonction définie sur un interve de forme ]A;+ [. On dit que fonction f dmet pour imite e nombre en + si tout interve ouvert contennt contient toutes es veurs f(x) pour x ssez grnd et on note im f(x) =. + L droite d éqution y = est une symptote horizonte à courbe représenttive de fonction f en +. Définition 2. Soit f une fonction définie sur un interve de forme ]A;+ [. On dit que fonction f dmet pour imite + (resp. ) en + si tout interve de forme ];+ [ (resp. ] ;[) contient toutes es veurs f(x) pour x ssez grnd et on note im f(x) = + (resp. im f(x) = ) /5

2 Définition 3. Soit f une fonction définie sur un interve de forme ]A;+ [. On dit que droite d éqution y = mx+p est une symptote obique à courbe représenttive de f en + si im [f(x) (mx + p)] = Limite d une fonction en Définition 4. Soit f une fonction définie sur un interve de forme ] ;A[. On dit que fonction f dmet pour imite e nombre en si tout interve ouvert contennt contient toutes es veurs f(x) pour x négtif de veur bsoue ssez grnde et on note im f(x) =. L droite d éqution y = est une symptote horizonte à courbe représenttive de fonction f en. Définition 5. Soit f une fonction définie sur un interve de forme ] ;A[. On dit que fonction f dmet pour imite + (resp. ) en si tout interve de forme ];+ [ (resp. ] ;[) contient toutes es veurs f(x) pour x négtif de veur bsoue ssez grnde et on note im f(x) = + (resp. im f(x) = ). 2/5

3 Définition 6. Soit f une fonction définie sur un interve de forme ] ;A[. On dit que droite d éqution y = mx+p est une symptote obique à courbe représenttive de f en si im [f(x) (mx + p)] = Limite d une fonction en un rée Définition 7. Soit f une fonction définie u voisinge d un rée. On dit que fonction f dmet pour imite e nombre en si tout interve ouvert contennt contient toutes es veurs f(x) pour x ssez proche de et on note im f(x) =. Définition 8. Soit f une fonction définie u voisinge d un rée. On dit que fonction f dmet pour imite + (resp. ) en si tout interve de forme ];+ [ (resp. ] ;[) contient toutes es veurs f(x) pour x ssez proche de et on note im f(x) = + (resp. im f(x) = ). L droite d éqution x = est une symptote vertice à courbe représenttive de fonction f. 2 Opértions sur es imites 2.1 Limite de somme de deux fonctions Théorème 1. im u(x) + + im v(x) + + im[u(x) + v(x)] + + +? 3/5

4 2.2 Limite du produit de deux fonctions Théorème 2. im u(x) 0 0 im v(x) im[u(x) v(x)]? Le signe de imite s obtennt u moyen de rège des signes pour mutipiction. 2.3 Limite du quotient de deux fonctions Théorème 3. im u(x) 0 0 im v(x) u(x) im v(x) 0?? Le signe de imite s obtennt u moyen de rège des signes pour division. 2.4 Limite de composée de deux fonctions Définition 9. Soit u une fonction définie sur un interve I à veurs dns un interve J et v une fonction définie sur interve J. On ppee fonction composée de u pr v fonction notée v u définie sur interve I pr v u(x) = v[u(x)]. Théorème 4. On désigne pr es ettres α, β et γ un nombre rée ou + ou. Si im u(x) = β et α v(x) = γ ors im (v u)(x) = γ. α im β 3 Comprison de imites Le théorème qui suit est ppeé Théorème des Gendrmes. Théorème 5. On désigne pr ettre α un nombre rée ou + ou et pr ettre un nombre rée. Soient u, v et w trois fonctions définies sur un interve I de R tees que u(x) v(x) w(x) pour tout x I. Si im u(x) = et im w(x) = ors im v(x) =. α α α Démonstrtion. u progrmme dns e cs α = +. Dns e cs d une imite infinie, un seu gendrme est nécessire : Théorème 6. On désigne pr ettre α un nombre rée ou + ou. Soient u et v deux fonctions définies u voisinge de α sur un interve I de R. Si u(x) v(x) pour tout x I et im u(x) = + ors im v(x) = +. α α Si u(x) v(x) pour tout x I et im v(x) = ors im u(x) =. α α 4/5

5 4 Continuité d une fonction Définition 10. Une fonction f définie sur un interve I de R est dite continue en I si im f(x) = f(). Contre-Exempe 1. fonction prtie entière. On note E(x) e pus grnd entier inférieur ou ég à x. Définition 11. Une fonction f définie sur un interve I de R est dite continue sur I si ee est continue en tout point de I. Intuitivement, une fonction continue sur un interve peut être représentée grphiquement sns ever e cryon. Théorème 7. Les fonctions x x n vec n N sont continues sur R. Les fonctions poynômes sont continues sur R. Les fonctions x 1 vec n N sont continues sur ] ;0[ et ]0;+ [. xn Les fonctions rtionnees sont continues sur chcun des interves de eur ensembe de définition. L fonction x x est continue sur [0;+ [. Les fonctions sinus et cosinus sont continues sur R. 5 Théorème des veurs intermédiires Théorème 8. Soit f une fonction définie et continue sur un interve I de R et et b deux rées de I. Pour tout rée k [f(); f(b)] i existe u moins un rée c [; b] te que f(c) = k. f(b) k f() c b Démonstrtion. u progrmme vec utiistion de suites djcentes. Coroire 1. Soit f une fonction définie, continue et strictement monotone sur un interve [;b] de R. Aors pour tout rée k [f(); f(b)] éqution f(x) = k dmet une unique soution dns [; b]. Démonstrtion. u progrmme. 5/5