Devoir surveillé n 6 4 heures - Calculatrice collège autorisée.

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1 Lycée Jean Mermoz Année TPC 2 V. Darlay Devoir surveillé n 6 4 heures - Calculatrice collège autorisée. Repris des énoncés de concours : La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation de la copie. En particulier, les résultats non justiés ne seront pas pris en compte. Vous êtes invité à mettre en valeur (souligner ou encadrer) vos résultats. Exercice On cherche à résoudre sur R +, l'équation diérentielle (E) suivante : x 2 y + xy y = 4 1) Déterminer une solution particulière évidente à (E). 2) Résoudre l'équation homogène associée à (E), on cherchera une solution polynômiale. 3) Conclure. Problème 1 Partie I. Résultats préliminaires 1) Soit α un réel, donner le développement limité à l'ordre 2 en 0, de la fonction ϕ α dénie par ϕ α (x) = (1 + x) α 2) Soit α un réel, donner le développement limité à l'ordre 2 en 0, de la fonction f α dénie par f α (x) = (2 + x) α Indication : on pourra mettre 2 en facteur dans l'expression de f α (x). 3) En déduire le développement limité à l'ordre 2 en 0, de la fonction f dénie par f(x) = 2 + x 4) 4a. Soit la fonction u 1 dénie par u 1 (x) = x x(x + 2). 4a1. Déterminer son domaine de dénition et son domaine de dérivation. 1

2 4a2. Résoudre l'équation u 1 (x) = 0. Que peut-on en déduire pour le signe de u 1 (x)? Indication : 3 ( 1) 1, 73. ( 4b. Soit la fonction z 1 dénie sur R + par z 1(x) = ln x ) x(x + 2). Montrer que z 1 est dérivable sur R + et calculer sa dérivée. ( 4c. Soit g 1 (x) = z 1 (x 2 ) = ln x ) x 2 (x 2 + 2), dénie sur R. Pour x > 0, former le développement limité à l'ordre 3 en 0 de g 1 (x). 4d. En déduire que pour x > 0, on a, au voisinage de 0 : z 1 (x) = α 0 + α 1 x + α2 x + α 3 ( x) 3 + o(x 3/2 ) Déterminer la valeur des coecients α 0, α 1, α 2 et α 3. 5) 5a. Soit la fonction z 2 dénie par z 2 (x) = arccos(x + 1). Déterminer son domaine de dénition, son domaine de dérivation et calculer sa dérivée. 5b. Soit g 2 (x) = z 2 ( x 2 ) = arccos(1 x 2 ). 5b1. Pour x > 0, former le développement limité en 0 à l'ordre 2 de g 2 (x). 5b2. On admet que g 2 a un développement limité en 0 à l'ordre 3 pour x > 0. Déduire ce développement limité de 4b1. 5c. En déduire que pour x < 0, on a, au voisinage de 0 : z 2 (x) = β 0 + β 1 x + β2 x + β 3 ( x) 3 + o(( x) 3/2 ) Déterminer la valeur des coecients β 0, β 1, β 2 et β 3. Partie II. Étude d'une équation diérentielle Soit (E) l'équation diérentielle : (E) x(x + 2)y + (x + 1)y = 1 1) Sur quels intervalles de R l'équation diérentielle (E) est-elle résoluble? 2) On pose I 1 =], 2[, I 2 =] 2, 0[ et I 3 =]0, + [. x + 1 Déterminer a et b réels tels que : x I 1 I 2 I 3, x(x + 2) = a x + b x + 2. On désigne désormais par J l'un des intervalles I 1, I 2 ou I 3. 3) Résoudre l'équation homogène (H) associée à (E) sur J. 4) On cherche une solution particulière de (E) sur J, sous la forme y(x) = λ(x)y 0 (x), où y 0 est une solution de (H). 4a. Comment s'appelle cette technique de résolution? 2

3 4b. Vérier qu'une telle solution vérie alors l'équation : λ (x)y 0 (x) = 1 x(x + 2) 4c. Déterminer l'expression de λ (x) en distinguant les cas J = I 1, J = I 2 et J = I 3. 1 si a > 0 a a Indication : se rappeler que =. a 1 si a < 0 a 4d. Déterminer λ(x) en utilisant les résultats des parties I.4 et I.5. 5) Quelles sont les solutions de (E) sur J? 6) On cherche à déterminer une solution y de (E) dénie et dérivable sur ] 2, + [. 6a. Quelle est la valeur de y(0)? 6b. D'après II.5, quelles doivent être les expressions vériées par y(x) sur I 2 et I 3? 6c. En utilisant les développements limités de z 1 (x) et z 2 (x) obtenus dans la partie I, montrer que y admet une limite nie en 0 si et seulement si : arccos(1 + x) y(x) = si x ] 2, 0[ et y(x) = ln(x x(x + 2) ) si x > 0. x(x + 2) x(x + 2) 6d. En utilisant un développement limité en 0 de x + 2, montrer qu'on a alors : y(x) = x + o(x) x + o(x) si x ] 2, 0[ ou si x ]0, + [. 6e. En déduire le développement limité à l'ordre 1 de y(x) en 0. 6f. Montrer que y est dérivable en 0 et donner la valeur de y (0). 6g. Montrer que la fonction ainsi obtenue est solution de (E) sur ] 2, + [. 7) On cherche une solution S(x) = + a n x n de (E) développable en série entière sur ] R, R[ avec R > 0. n=0 7a. Déterminer la valeur de a 0 et une relation de récurrence liant les coecients a n et a n 1 pour tout n N. 7b. Montrer que : n N, a n = ( 2) n (n!) 2. (2n + 1)! 7c. Déterminer la valeur du rayon de convergence R de la série ainsi déterminée. 7d. En utilisant les résultats de II.6, déterminer les expressions de la somme de la série entière S(x) = + ( 2) n (n!) 2 (2n + 1)! xn, pour x ] R, 0[ et x ]0, R[. n=0 7e. Déterminer, à l'aide des calculs déjà eectués dans la partie I, l'expression d'une primitive de S pour x ]0, R[, puis pour x ] R, 0[. 3

4 Problème 2 Matrices positives et racines carrées. Pour tout n N, on note M n (R) l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coecients réels. On note O n (R) le sous-ensemble de M n (R) formé des matrices orthogonales, et S n (R) le sous-ensemble de M n (R) formé des matrices symétriques. On identiera R avec M 1 (R). De même, on identiera R n avec M n,1 (R), l'ensemble des matrices à coecients réels ayant n lignes et une colonne. Ainsi, un vecteur X R n de coordonnées x 1,..., x n dans la base canonique de R n sera noté Sa transposée s'écrira donc t X = (x 1,..., x n ). Partie I : Une matrice A. On considère les matrices suivantes de M 3 (R) : A = X = x 1.. x n et D = ) Dire pourquoi A est diagonalisable. 2) Montrer que le spectre de A est {0, 3, 6}. 3) Construire une matrice P orthogonale, de première ligne 1 3 (2, 2, 1), telle que A = P DP 1. 4) Démontrer que pour tout n N, A n = P D n P 1. 5) Calculer alors A n pour tout n N. On considère trois suites (u n ) n 0, (v n ) n 0, (w n ) n 0 vériant u 0 = 1, v 0 = w 0 = 0 et u n+1 = 2u n + 2v n n N, v n+1 = 2u n + 3v n + 2w n w n+1 = 2v n + 4w n Pour tout entier naturel n, on pose X n = u n v n. w n 6) Exprimer X n+1 à l'aide de A et de X n. 7) En déduire des expressions de u n, v n et w n en fonction de n. Partie II : Racines carrées de la matrice A. On conserve les matrices A, P et D de la partie I. Connaître P est inutile pour la suite. On appelle racine carrée de la matrice A toute matrice B M 3 (R) telle que B 2 = A. On note Com(A) = {M M 3 (R) AM = MA} l'ensemble des matrices M qui commutent avec la matrice A. 1) Montrer que Com(A) est un espace vectoriel. Soit M M 3 (R). On pose = P 1 MP, que l'on notera = a b c d e f g h i 4

5 2) Montrer que AM = MA si et seulement si D = D. 3) Montrer que D = D si et seulement si est diagonale. Soit B une racine carrée de A. 4) Montrer que B Com(A). 5) En déduire qu'il existe une matrice diagonale telle que B = P P 1. 6) Montrer que 2 = D. 7) Combien la matrice A possède-t-elle de racines carrées? Les écrire sous la forme P i P 1 en écrivant explicitement les matrices i. Partie III : Matrices positives. Dans cette partie, on xe n N et A S n (R). Soit P O n (R), et D M n (R) une matrice diagonale, telles que A = P DP 1 Les matrices A, P et D ne sont donc plus celles des parties I et II. Pour tout i [[1, n]], on notera λ i le i-ème élément diagonal de D, c'est à dire que l'on a : λ 1 λ 2 (0) D = (0)... λn On considère l'application φ dénie sur R n R n par (X, Y ) R n R n, φ(x, Y ) = t XAY 1) Montrer que (X, Y ) R n R n, φ(x, Y ) R. 2) Montrer que (X, Y ) R n R n, φ(x, Y ) = φ(y, X). 3) Montrer que φ est linéaire par rapport à sa deuxième variable. 4) Pour tous vecteurs X et Y de R n, on pose U = P 1 X et V = P 1 Y. Montrer que : φ(x, Y ) = t UDV 5) Soit U R n (de coordonnées u 1,..., u n dans la base canonique de R n ) et V R n (de coordonnées v 1,..., v n dans la base canonique de R n ). Montrer que : t UDV = n λ i u i v i i=1 Une matrice M M n (R) est dite symétrique-positive si { (i) M Sn (R) (ii) X R n, t XMX 0 On désire prouver que A (dénie en début de III) est symétrique-positive si et seulement si ses valeurs propres sont positives. 6) Montrer que le spectre de A est {λ 1,..., λ n }. 7) Supposons que i [[1, n]], λ i 0. Montrer que A est symétrique-positive. 8) Supposons que A soit symétrique-positive. En calculant φ(x, X) pour un vecteur X bien choisi, montrer que i [[1, n]], λ i 0. 9) Montrer que φ est un produit scalaire si et seulement si i [[1, n]], λ i > 0. Partie IV : Racine carrée positive d'une matrice positive. Soit A M n (R), n N. On rappelle que B M n (R) est une racine carrée de A si B 2 = A. Soit A une matrice symétrique-positive xée. On souhaite montrer que A possède, parmi les matrices symétriques-positives, une unique racine carrée. 5

6 1) En diagonalisant A dans une base orthonormée, construire une racine carrée B de A, symétriquepositive. 2) Soit B 1 et B 2 deux matrices symétriques-positives telles que B 2 1 = B2 2. 3) Montrer qu'il existe P 1, P 2 deux matrices inversibles, D 1 et D 2 deux matrices diagonales telles que P 1 D1 2P 1 1 = P 2 D2 2P ) Posons P = P2 1 P 1. Montrer que P D1 2 = D2 2 P. 5) En déduire que P D 1 = D 2 P, puis que B 1 = B 2. 6) La matrice A dénie dans la partie I est-elle symétrique-positive? 7) Citer, parmi les matrices de II.4, la racine carrée symétrique-positive de cette matrice A. Problème 3 Soit p un réel appartenant à l'intervalle ouvert ]0; 1[. On note q = 1 p. On dispose dans tout l'exercice d'une même pièce dont la probabilité d'obtenir PILE vaut p. On procède à l'expérience suivante E : On eectue une succession illimitée de lancers de la pièce. On note : pour tout entier naturel non nul n, X n la variable aléatoire égale au nombre de PILE obtenus lors des n premiers lancers de la pièce ; pour tout entier naturel non nul j, F j l'événement : La pièce donne FACE lors du j-ième lancer ; Y la variable aléatoire égale au nombre de FACE obtenus avant l'apparition du second PILE. Par exemple, si les lancers ont donné dans cet ordre : alors Y = 4. FACE, PILE, FACE, FACE, FACE, PILE On admet que les variables aléatoires X n (n N ) et Y sont dénies sur un même espace probabilisé modélisant l'expérience E. 1) Simulation informatique. a) Écrire, en Python, une fonction "LANCER" d'une variable "p" qui crée un nombre aléatoire dans l'intervalle [0; 1] et renvoie 1 si ce nombre aléatoire est strictement inférieur à p et 0 sinon. b) Écrire, en Python, une fonction "PREMIERPILE" d'une variable "p" qui simule autant de lancers de la pièce que nécessaire jusqu'à l'obtention du premier PILE et renvoie le nombre de lancers eectués. Indication : si on le souhaite, on pourra utiliser la fonction "LANCER" en la répétant convenablement. c) Écrire un programme en Python qui demande un réel p à l'utilisateur, puis qui simule autant de lancers de la pièce que nécessaire jusqu'à l'obtention du second PILE, et ache le nombre de FACE obtenus en tout. 2) Cas "n=2" : Indication : on pourra utiliser la fonction "PREMIERPILE" en la répétant convenablement. a) Déterminer P (X 2 = 0), P (X 2 = 1) et P (X 2 = 2) b) En déduire E(X 2 ) 3) Cas "n=3" : 6

7 a) Déterminer P (X 3 = 0). b) Déterminer la probabilité d'obtenir au moins un FACE lors des 3 lancers. 4) Soit n un entier naturel non nul. Donner la loi de X n. Préciser la valeur de son espérance E(X n ) et de sa variance V (X n ). 5) Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire Y. 6) Donner les valeurs des probabilités : P (Y = 0), P (Y = 1) et P (Y = 2) 7) Soit n un entier naturel. Justier que les événements : sont égaux. (Y = n) et (X n+1 = 1) F n+2 8) Prouver que : 9) Vérier par le calcul que : n N, + n=0 P (Y = n) = (n + 1)p 2 q n P (Y = n) = 1 10) Démontrer que la variable aléatoire Y possède une espérance E(Y ) et donner sa valeur. On pourra utiliser la dérivée d'une série géométrique. 11) Soit k N. On note Y k la variable aléatoire égale au nombre de FACE obtenus avant l'apparition du k-ième PILE. En particulier, on a Y 2 = Y. En généralisant la méthode utilisée dans les questions précédentes, déterminer la loi de Y k. 7

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