Chapitre 10. Compléments sur les complexes. Exercices. Module et arguments

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Chapitre 10. Compléments sur les complexes. Exercices. Module et arguments"

Transcription

1 Chapitre 10 Compléments sur les complexes I Exercices Module et arguments 10.1 Dans un repère orthonormé po ; u, vq un point M a pour affixe z x`yi. Écire l expression de la distance OM en fonction de x et y. On appelle module de z cette distance et on la note z. y O M x 10.2 Calculer les modules des complexes suivants : z 1 3 ` 4i z 2 6 i z 3 7 z ` i? On considère les complexes z x yi et z 1 x 1 ` y 1 i. 1. Calculer le produit zz. 2. Que constate-t-on? 10.4 Le plan complexe est rapporté à un repère orthormé po ; u, vq. Le point M a pour affixe z x ` yi et θ est une mesure de l angle p u ; ÝÝÑ OMq. y Mpzq Consigne : écrire z en fonction de z, de cos θ, et de sin θ. Indication : quelques vieux souvenirs de collège... L expression obtenue s appelle la forme trigonométrique d un nombre complexe. θ s appelle un argument du nombre complexe z. v O u θ x COURS : avant de passer aux exercices suivants, lire les paragraphes 10.1.a, 10.1.b, 10.1.c du cours à propos de module, argument, forme trigonométrique. 10-1

2 10.5 Le programme indique qu un élève doit savoir passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique et inversement. Transformer sous la forme trigonométrique le nombre complexe : z 1 ` i? 3. Méthode : calculer z le module de z ; mettre le module de z en facteur dans l expression de z ; écrire z sous la forme trigonométrique Transformer sous la forme trigonométrique le nombre complexe : z 3 ` 3i. Appliquer la méthode précédente en écrivant z sous la forme a? 2. On pourra aussi tracer un repère et placer le point M d affixe z, cela facilitera la détermination de l argument Transformer sous la forme trigonométrique les nombres complexes ci-dessous. Pour les questions 2 à 6 tracer un repère et placer les points des affixes indiqués. 1. z 4? 3 ` 4i. 2. z 5 3. z 7 4. z 4i 5. z 3i 6. z 5 5i 10.8 Écrire sous forme algébrique les nombres complexes ci-dessous cos π 6 ` i sin π 2. 7 cos π 6 2 ` i sin π ˆ ˆ 4. 3pcos π ` i sin πq 5. 6 cos 2π 3 ` i sin 2π 3 cos π 3 ` i sin π 3 Module, arguments et géométrie 10.9 Le plan est rapporté à un repère orthonormé po ; u, vq. A et B sont les points d affixes respectifs z A 1 ` 3i et z B 3 ` 5i. 1. Tracer la figure. 2. Déterminer le module et l argument de z B z A. 3. Préciser ce que représentent les deux résultats précédents sur la figure. 4. Compléter la figure pour faire apparaître l argument de z B z A. COURS : paragraphe 10.1.d TS Math J.L. Poncin Lycée Bellepierre

3 10.10 Le plan est rapporté à un repère orthonormé po ; u, vq. A et B sont les points d affixes respectifs z A 2? 3 ` 2i et z B 3 3i? Déterminer le module et l argument de z A et de z B. 2. Tracer la figure. 3. Calculer l angle orienté de vecteurs ÝÑ ÝÑ OA ; OB et en déduire la nature du triangle OAB Quel est l ensemble des points M du plan d affixe z tels que z 4 2i 3? 2. Quel est l ensemble des points M du plan d affixe z tels que z 10 ď 2? 3. Quel est l ensemble des points M du plan d affixe z tels que z 4 2i z 10? 4. Quel est l ensemble des points M du plan d affixe z tels que argpzq π 4? 5. Tracer ces ensembles dans un repère orthonormé du plan. Indication pour les questions : on appelle A et B les points d affixes respectifs 4 ` 2i et 10. Propriétés des modules et arguments Le but de cet exercice est de démontrer que pour deux complexes z et z 1 on a les égalités : z ˆ z 1 z ˆ z 1 et argpz ˆ z 1 q argpzq ` argpz 1 q Deux complexes z et z 1 sont écrits sous forme trigonométrique : z z pcos θ ` i sin θqq et z 1 z 1 pcos θ 1 ` i sin θ 1 q 1. Démontrer par un calcul que : z ˆ z 1 z z ` 1 cospθ ` θ 1 q ` i sinpθ ` θ q 1 2. En déduire les deux égalités à démontrer z 1 et z 2 sont les nombres complexes : z 1 3 ˆ Déterminer le module et un argument de z 1 z 2. ˆ? 3 2 ` i1 2 ˆ?? 2 2 et z 2 5 ˆ 2 ` i Démontrer que pour tout complexe z, et pour tout entier naturel n on a les égalités : z n z n et argpz n q n ˆ argpzq. Indications Écrire d abord z sous forme trigonométrique : z z pcos θ ` i sin θq. Démontrer ces égalités par récurrence. On suppose connues les égalités : z ˆ z 1 z ˆ z 1 et argpz ˆ z 1 q argpzq ` argpz 1 q TS Math J.L. Poncin Lycée Bellepierre

4 10.15 Le nombre complexe z est donné par : z 7 ˆ Déterminer le module et un argument de z ˆ? 3 2 i1 2 Démontrer que pour tout complexe z, et pour tout complexe z 1 non nul on a les égalités : ˇ z z z ˇˇˇ et arg argpzq argpz 1 q z 1 z 1 z 1 Indications On pose Z z z 1 et ainsi on a : z Zz 1 On suppose connues les égalités : z 1 ˆ z 2 z 1 ˆ z 2 et argpz 1 ˆ z 2 q argpz 1 q ` argpz 2 q ˆ?? 2 2 z 1 et z 2 sont les nombres complexes : z 1 15 ˆ 2 i 2 Déterminer le module et un argument de z 1 z 2.? ˆ1 3 et z 2 3 ˆ 2 ` i Le nombre complexe p1 ` iq 52 est-il un nombre réel? Justifier. COURS : les propriétés des modules et argument sont récapitulées dans la section Propriétés des modules et arguments et géométrie Le plan est rapporté à un repère orthonormé po ; u, vq. A, B, C sont les points d affixes respectifs z A 2 ` i z B 6 ` 2i z C 5 ` 6i. 1. À quoi sont associés les affixes z C z A et z B z A? 2. Que représentent les arguments des affixes z C z A et z B z A? 3. Calculer z C z A z B z A. 4. Déterminer un argument de z C z A z B z A. 5. Que représente cet argument? COURS : paragraphe 10.2.d. TS Math J.L. Poncin Lycée Bellepierre

5 10.20 Le plan est rapporté à un repère orthonormé po ; u, vq. A, B, C, D sont les points d affixes respectifs z A 1 ` 2i z B 1 ` 4i z C 3 2i z D Tracer la figure. 2. Calculer z C z A z B z A. 3. Quelle est la nature du triangle ABC? Justifier. 4. Démontrer que les points A, B, C, D sont sur un même cercle, dont on précisera le centre et le rayon. Forme exponentielle d un nombre complexe Pour tout réel θ, on pose fpθq cos θ ` i sin θ Démontrer que : fpθqq ˆ fpθ 1 q fpθ ` θ 1 q COURS : avant de faire les exercices suivants, lire la section Écrire sous forme algébrique les nombres complexes ci-dessous. a) z 1 6e i π 4 b) z 2 3e i π 2 c) z 3 2e i 3π 4 2. Écrire sous forme exponentielle les nombres complexes ci-dessous. a) z 1 1 ` i b) z 2 2? 3 ` 2i c) z 3 3 d) z 4 4 e) z 5 2i f) z 6 3i Justifier pourquoi le nombre complexe z 7e i π 4 n est pas sous la forme exponentielle. 2. Écrire z sous la forme exponentielle. Indication : écrire d abord 7 sous la forme exponentielle Écrire sous forme exponentielle les nombres complexes ci-dessous. 1. z 1 3e i π 2 ˆ 5e i π 4 2. z 2 8eiπ 4e i π On donne z e i 2π 3. Calculer z ` 1 z. 3. z 3 p7e i π 6 q 2 4. z 4 1 2e i π 3 5. z 5 2e i π 3 TS Math J.L. Poncin Lycée Bellepierre

6 10.26 On donne z 3? 3 ` 3i. 1. Écrire z sous forme exponentielle. 2. En déduire une forme exponentielle de chacun des complexes suivants : z ; z 2 ; 1 z ; z On donne z 1 1 ` i et z 2? 3 ` i. 1. Écrire z 1 et z 2 sous forme exponentielle. 2. Écrire la forme algébrique de z 1 z Écrire une forme exponentielle de z 1 z En déduire les valeurs exactes de cos 5π et de sin 5π 12. Retrouver les formules donnant cospa ` bq et sinpa ` bq en utilisant le fait que e ipa`bq e ia ˆ e ib Calculer : e iθ ` e iθ 2 et eiθ e iθ. Les égalités obtenues sont appelées formules d Euler. 2i On donne z e i 2π 5. Calculer 1 ` z ` z 2 ` z 3 ` z 4. TS Math J.L. Poncin Lycée Bellepierre

7 Problème On donne : z 0 8 et pour tout entier naturel n, z n`1 1 ` i 2 z n. On appelle A n le point d affixe z n. 1. a) Calculer z 1, z 2, z 3. b) Placer les points A 0, A 1, A 2, A 3 dans un repère orthonormé. c) Quelle est la nature du triangle A 0 A 1 A 2? Le démontrer. 2. La suite pr n q est définie par : r n z n a) Justifier que la suite pr n q est géométrique. On donnera son premier terme et sa raison. b) Écrire r n en fonction de n. c) Quelle est la limite de la suite pr n q? Justifier. d) Que peut-on en déduire pour la suite des points A n? 3. Étant donné un réel positif d, on souhaite déterminer, à l aide d un algorithme, la plus petite valeur de l entier naturel n telle que r n ă d. Recopier l algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions de traitement et de sortie, de façon à afficher la valeur cherchée de l entier n. Variables : r est un réel d est un réel n est un entier Initialisation : Affecter à n la valeur 0 Affecter à r la valeur 8 Entrée : Demander la valeur de d Traitement : Sortie : TS Math J.L. Poncin Lycée Bellepierre

8 Chapitre 9 Nombres complexes Pour réviser Ce chapitre du livre contient tout ce qui concerne les nombres complexes. Ce qui est indiqué ci-dessous concerne seulement les formes trigonométriques et exponentielles des nombres complexes. Pour ce qui concerne la forme algébrique, l équation du second degré, l affixe d un point ou d un vecteur, le conjugué, voir les fiches du chapitre 5. Les exercices résolus ex 32 p 245 : passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique ex 33 p 245 : passer de la forme trigonométrique à la forme algébrique ex 38 p 247 : utiliser la forme trigonométrique et la forme algébrique d un complexe pour ˆ5π calculer cos 12 ex 39 p 247 : puissance d un nombre complexe ex 44 p 249 : forme algébrique et forme exponentielle ex 45 p 249 : retrouver des formules de trigonométrie Rubrique Pour s exercer, corrigés page 467 ex 35 p 245 : mettre un complexe sous forme trigonométrique ex 37 p 245 : mettre un complexe sous forme algébrique ex 40 p 247 : mettre un complexe sous forme trigonométrique ex 42 p 247 : mettre un complexe sous forme algébrique ex 46 p 249 : mettre une forme exponentielle sous forme algébrique ex 51 p 249 : retrouver des formules de trigonométrie Rubrique Objectif bac, corrigés page 476 ex 160 p 257, questions 2 à 5 ex 161 p 257, questions 2 et 3 ex 162 à 165 p 257 TS Math J.L. Poncin Lycée Bellepierre

9 II. COURS CHAPITRE 10. COMPLÉMENTS SUR LES COMPLEXES II Cours Rappel Les nombres complexes ont été introduits au chapitre 5, et les notions suivantes ont été traitées : forme algébrique ; opérations ; équations du second degré ; représentation géométrique ; conjugué Module et arguments 10.1.a Module d un nombre complexe Définition Module d un nombre complexe. Le module d un nombre complexe z x ` yi s écrit z et il est défini par : z? x 2 ` y 2. Interprétation géométrique Pour un point M d affixe z dans un repère orthonormé du plan d origine O, le module z est égal à la distance OM. Pour un vecteur u d affixe z dans un repère orthonormé du plan, le module z est égal à la norme u du vecteur u. y M u y x O Propriété x Pour deux complexes z et z 1, on a zz z 2 Démonstration?x2 zz px ` yiq ˆ px yiq x 2 y 2 i x 2 ` y 2 ` y 2 2 z b Argument d un nombre complexe Définition Argument d un nombre complexe. Pour un point M d affixe z dans un repère orthonormé po ; u, vq du plan, on appelle argument de z, et on note argpzq, une mesure de l angle de vecteur p u, ÝÝÑ OMq. y v θ Mpzq Exemple : sur la figure ci-contre, argpzq θ. O u x TS Math J.L. Poncin Lycée Bellepierre

10 II. COURS CHAPITRE 10. COMPLÉMENTS SUR LES COMPLEXES 10.1.c Forme trigonométrique d un nombre complexe Dans un repère orthonormé po ; u, vq du plan, considérons un point M d affixe z x ` yi (voir plus haut Définition Argument d un nombre complexe). Si θ est un argument de z, alors x z ˆ cos θ et y z ˆ sin θ. Ainsi : z x ` yi z ˆ cos θ ` z ˆ sin θ ˆ i z ˆ pcos θ ` i sin θq. Définition z est un nombre complexe non nul et θ est un argument de z. On appelle forme trigonométrique de z l écriture z pcos θ ` i sin θq d Module et argument d un vecteur AB Le plan est rapporté à un repère orthonormé po ; u, vq. B Pour des points A et B d affixes respectifs a et b on a : ÝÑ AB b a et p u ; ABq argpb aq v A θ u O u 10.2 Propriétés des modules et arguments 10.2.a Nombres complexes égaux Propriété Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs modules sont égaux, et si leurs arguments sont égaux à un multiple de 2π près. Autrement dit : z 1 z 2 ðñ z 1 z 2 et argpz 1 q argpz 2 q ` 2kπ k P Z 10.2.b Opposé, conjugué, réel, imaginaire Propriétés Pour tout nombre complexe z, z z et argp zq arg z ` π ` 2kπ z z et argpzq arg z ` 2kπ Propriétés Pour tout nombre complexe z non nul, z est un nombre réel si et seulement si argpzq kπ, k P Z ; z est un nombre imaginaire pur si et seulement si argpzq π 2 ` kπ, k P Z. TS Math J.L. Poncin Lycée Bellepierre

11 II. COURS CHAPITRE 10. COMPLÉMENTS SUR LES COMPLEXES 10.2.c Produit, puissance et quotient Propriétés Pour tous nombres complexes z et z 1, z ˆ z 1 z ˆ z 1 et argpz ˆ z 1 q argpzq ` argpz 1 q z n z n et argpz n q n ˆ argpzq ˇ z z z ˇˇˇ et arg argpzq argpz 1 q z 1 z 1 z 1 Démonstration de la première égalité Pour deux complexes z et z 1, appelons respectivement θ et θ 1 les arguments de z et z 1, et ainsi : z z pcos θ ` i sin θqq et z 1 z 1 pcos θ 1 ` i sin θ 1 q Calculons z ˆ z 1 : z ˆ z 1 z pcos θ ` i sin θq ˆ z 1 pcos θ 1 ` i sin θ 1 q z ˆ z 1 ˆ pcos θ cos θ 1 sin θ sin θ 1 q ` ipsin θ cos θ 1 ` cos θ sin θ 1 q z z 1 ` cospθ ` θ 1 q ` i sinpθ ` θ 1 q On a donc : z ˆ z 1 z ˆ z 1 et argpz ˆ z 1 q θ ` θ 1 argpzq ` argpz 1 q 10.2.d Conséquence géométrique Le plan est rapporté à un repère orthonormé po ; u, vq. Pour des points A, B, C, D, d affixes respectifs a, b, c, d, dans on a : ÝÑ AB ; ÝÝÑ CD arg ˆd c b a 10.3 Forme exponentielle d un nombre complexe Posons fpθq cos θ ` i sin θ et calculons fpθqq ˆ fpθ 1 q : fpθqq ˆ fpθ 1 q pcos θ ` i sin θq ˆ pcos θ 1 ` i sin θ 1 q or nous avons démontré dans le paragraphe 10.2.c que : pcos θ ` i sin θq ˆ pcos θ 1 ` i sin θ 1 q cospθ ` θ 1 q ` i sinpθ ` θ 1 q Donc : fpθqq ˆ fpθ 1 q fpθ ` θ 1 q On obtient donc une propriété analogue à celle de la fonction exponentielle. C est cela qui a donné aux mathématiciens comme Euler en 1748 l idée de définir : e iθ cos θ `i sin θ et puisque la forme trigonométrique d un complexe z s écrit z pcos θ ` i sin θq, on a ainsi : z z e iθ. On donne donc les définitions ci-dessous. Définition Pour nombre réel θ : e iθ cos θ ` i sin θ Définition Pour nombre complexe z, d argument θ, une notation exponentielle de z est l écriture z z e iθ TS Math J.L. Poncin Lycée Bellepierre

12 II. COURS CHAPITRE 10. COMPLÉMENTS SUR LES COMPLEXES Propriétés Pour tous réels θ et θ 1 et tout entier naturel n, e iθ 1 et argpe iθ q θ ` 2kπ e iθ ˆ e iθ1 e ipθ`θ1 q pe iθ q n e inθ (formule de Moivre) 1 e iθ e iθ e iθ eiθ e iθ1 e ipθ θ1 q e iθ e iθ1 ðñ θ θ 1 ` 2kπ TS Math J.L. Poncin Lycée Bellepierre

TS Applications géométriques des nombres complexes Cours

TS Applications géométriques des nombres complexes Cours TS Applications géométriques des nombres complexes Cours I. Forme trigonométrique d un nombre complexe non nul (O ; u ; v ) est un repère orthonormal direct du plan complexe 1. Module et argument d un

Plus en détail

Chapitre 7. Les nombres complexes. Objectifs du chapitre : item références auto évaluation. forme algébrique d un nombre complexe

Chapitre 7. Les nombres complexes. Objectifs du chapitre : item références auto évaluation. forme algébrique d un nombre complexe Chapitre 7 Les nombres complexes Objectifs du chapitre : item références auto évaluation forme algébrique d un nombre complexe résolution d équation du second degré dans C forme exponentielle d un nombre

Plus en détail

Module et Argument d un nombre complexe

Module et Argument d un nombre complexe I Module et Argument d un nombre complexe Tout point M du plan peut être repéré par un couple de coordonnées polaires (r, θ) (r > 0, θ réel) M r est la distance OM ; θ est une mesure de l angle ( u, OM).

Plus en détail

Nombres complexes - Équations et forme trigonométrique

Nombres complexes - Équations et forme trigonométrique Lycée Paul Doumer 0-04 TS Cours Nombres complexes - Équations et forme trigonométrique Contents Équation du second degré. Racines carrées..................................... Équation du second degré à

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. Ph DEPRESLE. 11 janvier Les nombres complexes-forme algébrique d un nombre complexe 2

NOMBRES COMPLEXES. Ph DEPRESLE. 11 janvier Les nombres complexes-forme algébrique d un nombre complexe 2 NOMBRES COMPLEXES Ph DEPRESLE janvier 06 Table des matières Les nombres complexes-forme algébrique d un nombre complexe Opérations dans l ensemble C. Addition dans C...........................................

Plus en détail

Nombres complexes et application à la géométrie

Nombres complexes et application à la géométrie Nombres complexes et application à la géométrie I) Représentation graphique d un nombre complexe Le plan est muni d un repère orthonormé (O,u,v). 1) Affixe d un point a) Définition Si M est le point de

Plus en détail

Nombres Complexes Exercice 1. [5 pts] Équations

Nombres Complexes Exercice 1. [5 pts] Équations Nombres Complexes Exercice 1. [5 pts] Équations On se propose d étudier les solutions de l équation (E) z + 1 = 0 1. Vérifier que pour tout nombre complexe z, on a : z + 1 = (z + 1)(z z + 1). En déduire

Plus en détail

Terminale S - Nombres Complexes

Terminale S - Nombres Complexes Exercice - 1 Terminale S - Nombres Complexes Ecrire le nombre complexe z = 1 + i 3 sous sa forme exponentielle En déduire la forme algébrique de z 5 Exercice - 2 2iπ On pose ω = e 5 1 Calculer ω 5 et prouver

Plus en détail

Cours de terminale S Les nombres complexes

Cours de terminale S Les nombres complexes Cours de terminale S Les nombres complexes V. B. et S. B. Lycée des EK 20 décembre 2014 Définition Vocabulaire Conséquences Définition Il existe un ensemble, noté C, d éléments appelés nombres complexes,

Plus en détail

LES NOMBRES COMPLEXES

LES NOMBRES COMPLEXES LES NMBRES CMPLEXES Table des matières Écriture algébrique d un nombre complee Définitions Propriétés 3 Somme, produit et inverse 4 Équation dans C Représentation géométrique d un nombre complee 4 Définitions

Plus en détail

Nombres complexes. Les Nombres Complexes

Nombres complexes. Les Nombres Complexes Introduction : Historique : Les Nombres Complexes Au début du XVI ème siècle, le mathématicien Scipione dal Ferro, propose une formule donnant une solution de l'équation du 3 ème degré : A la fin du XVI

Plus en détail

Les nombres complexes

Les nombres complexes Les nombres complexes 8 novembre 009 Table des matières Définitions Forme algébrique Représentation graphique Opérations sur les nombres complexes Addition et multiplication Inverse d un nombre complexe

Plus en détail

CH 1 Géométrie : Complexes 4 ème Sciences Septembre 2009

CH 1 Géométrie : Complexes 4 ème Sciences Septembre 2009 CH 1 Géométrie : Complexes 4 ème Sciences Septembre 009 A. LAATAOUI I. INTRODUCTION ET DEFINITION Tous les nombres positifs ont une racine carrée, par exemple, 9 a pour racine 3 et 3 et a pour racine et

Plus en détail

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Nombres complexes

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Nombres complexes BTS Mécanique et Automatismes Industriels, Année scolaire 006 007 Table des matières. Les différentes écritures. - Forme algébrique d un nombre complexe. - Représentation géométrique d un nombre complexe.3

Plus en détail

Bac Mathématiques. Série S Nombres complexes UNIQUEMENT LE COURS POUR AVOIR 20/20. alainpiller. fr

Bac Mathématiques. Série S Nombres complexes UNIQUEMENT LE COURS POUR AVOIR 20/20. alainpiller. fr Bac Mathématiques Série S - 017 Nombres complexes UNIQUEMENT LE COURS POUR AVOIR 0/0 alainpiller fr SAVOIR I A Définition de l ensemble des nombres complexes : L ensemble des nombres complexes est un

Plus en détail

CHAPITRE 4 : Les nombres complexes

CHAPITRE 4 : Les nombres complexes CHAPITRE 4 : Les nombres complexes 1 Définition... 1.1 Théorème... 1. Définitions... 1.3 Théorème... Nombre complexe conjugué... 3.1 Définition... 3. Théorème 1... 3.3 Théorème... 3.4 Théorème 3... 5 3

Plus en détail

Chapitre 9 Les nombres complexes

Chapitre 9 Les nombres complexes Chapitre 9 Les nombres complexes Vocabulaire-représentation Définition des nombres complexes Définition Nombres complexes, partie réelle, partie imaginaire) On introduit i, un nombre qui vérifie i = On

Plus en détail

( ) = 1, Im( z 1 ) = 2. ( ) = 0, Im( z 2 ) = 1. ( ) = 7, Im( z 3 ) = 0. = 1+ 2i. Re z 1 = i. Re z 2 z 3. z 1. = 7. Re z 3

( ) = 1, Im( z 1 ) = 2. ( ) = 0, Im( z 2 ) = 1. ( ) = 7, Im( z 3 ) = 0. = 1+ 2i. Re z 1 = i. Re z 2 z 3. z 1. = 7. Re z 3 I Forme algébrique d un nombre complexe 1 Il existe un ensemble noté et appelé ensemble des nombres complexes qui vérifie les propriétés suivantes : " ; L'ensemble est muni d'une addition et d'une multiplication

Plus en détail

Module et Argument d un nombre complexe

Module et Argument d un nombre complexe Module et Argument d un nombre complexe Introduction : Les nombres complexes forment une extension de l'ensemble des nombres réels. Ils permettent notamment de définir des solutions à toutes les équations

Plus en détail

Math module 3 NOMBRES COMPLEXES SERIES DE FOURIER TRANSFORMATIONS DE FOURIER. D. Poquillon, C. Mijoule et P. Floquet

Math module 3 NOMBRES COMPLEXES SERIES DE FOURIER TRANSFORMATIONS DE FOURIER. D. Poquillon, C. Mijoule et P. Floquet Math module 3 NOMBRES COMPLEXES SERIES DE FOURIER TRANSFORMATIONS DE FOURIER D Poquillon, C Mijoule et P Floquet SEPTEMBRE 005 Cours semaine 1 :Introduction, définitions, résolution d équations 1-1 Introduction

Plus en détail

( ) ( ) Terminale S Chapitre 10 «Nombres complexes 2 ème partie» Page 1 sur 9. I) Forme exponentielle. 1) Argument du produit

( ) ( ) Terminale S Chapitre 10 «Nombres complexes 2 ème partie» Page 1 sur 9. I) Forme exponentielle. 1) Argument du produit Terminale S Chapitre 0 «Nombres complexes ème partie» Page sur 9 I) Forme exponentielle ) Argument du produit Propriété : Soient deux nombres complexes et d'arguments respectifs θ et θ. A B A B Alors un

Plus en détail

Ecritures des nombres complexes

Ecritures des nombres complexes Ecritures des nombres complexes I. Rappel sur les nombres complexes Le nombre i est un nombre dont le carré vaut 1. Donc : i² = 1 De plus, son opposé i a aussi pour carré 1. ( i)² = i² = 1 Les deux racines

Plus en détail

Nombres complexes - Partie 2

Nombres complexes - Partie 2 Chapitre F Nombres complexes - Partie 2 Contenus Capacités attendues Commentaires Forme trigonométrique : module et argument, interprétation géométrique dans un repère orthonormé direct ; notation exponentielle.

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES (Partie 3)

NOMBRES COMPLEXES (Partie 3) NOMBRES COMPLEXES (Partie 3) 1 Dans tout le chapitre, on munit le plan d'un repère orthonormé direct ( O; u! ; v! ). I. Forme exponentielle d un nombre complexe 1) Définition Posons f (θ) = cosθ + isinθ.

Plus en détail

Chapitre 1 Les nombres complexes

Chapitre 1 Les nombres complexes Chapitre 1 Les nombres complexes A) Définition et propriétés de base (rappels) 1) Définition a) On appelle C l'ensemble des nombres complexes. Un nombre complexe s'écrit z a bi, où a et b sont des réels

Plus en détail

I- FORME EXPONENTIELLE D UN NOMBRE COMPLEXE

I- FORME EXPONENTIELLE D UN NOMBRE COMPLEXE I- FORME EXPONENTIELLE D UN NOMBRE COMPLEXE Définition 1 : soit θ un nombre réel. On pose : cossin Théorème 1 (admis) : soit et deux nombres réels. Alors : Définition : soit r un nombre réel strictement

Plus en détail

Nombres complexes. Emmanuel Vieillard-Baron 5 avril Nombres complexes

Nombres complexes. Emmanuel Vieillard-Baron 5 avril Nombres complexes Nombres complexes Emmanuel Vieillard-Baron 5 avril 2005 Programme officiel 1- Nombres complexes L objectif est de consolider et d approfondir les notions sur les nombres complexes déjà abordées en classe

Plus en détail

Géométrie. δmaths BAC MATHS. M. Ezeddine ABDA DeltaMaths

Géométrie. δmaths BAC MATHS. M. Ezeddine ABDA DeltaMaths Géométrie BAC MATHS δmaths M. Ezeddine ABDA DeltaMaths Nombres complexes * +. Si, alors il existe un unique couple tel que. est la forme algébrique du nombre complexe. : la partie réelle de. : la partie

Plus en détail

Nombres complexes. Deux nombres complexes sont égaux si, et seulement si, ils ont même partie réelle et même partie imaginaire :

Nombres complexes. Deux nombres complexes sont égaux si, et seulement si, ils ont même partie réelle et même partie imaginaire : Nombres complexes 1 Ensemble des nombres complexes 1.1 Forme algébrique d un nombre complexe Théorème Admis 1. Il existe un ensemble, noté C, d éléments appelés nombres complexes, tel que : C contient

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. 2 + q 2

NOMBRES COMPLEXES. 2 + q 2 NMBRES CMPLEXES I - Représentation géométrique f(x) = x 3 Pour tout réel k, il existe un unique nombre réel dont le cube est k. Ce nombre est appelé racine cubique de k. Il est noté 3 k ou aussi k 3. k

Plus en détail

Nombres complexes. I. Conventions

Nombres complexes. I. Conventions Nombres complexes I. Conventions On admet qu il existe un ensemble, noté que : d éléments appelés nombres complexes tel contient Les opérations dans prolongent celles dans avec des propriétés analogues

Plus en détail

TS - Maths - Révisions Nombres complexes

TS - Maths - Révisions Nombres complexes TS - Maths - Révisions Nombres complexes Exercice 1 LIBAN 01 On considère la suite de nombres complexes z n définie par z 0 = i et pour tout entier naturel n : z n+1 = 1 + iz n. Les parties A et B peuvent

Plus en détail

Fiche d exercices 8 : Nombres complexes

Fiche d exercices 8 : Nombres complexes Fiche d exercices 8 : Nombres complexes Ecriture algébrique Exercice 1 1. Donner l écriture algébrique des nombres complexes ci-dessous : i a. z = 1+ 1 + i 1 b. z = c. z3 = i 1 i + i. On considère les

Plus en détail

Dans l ensemble du chapitre, on considère le plan muni d un repère orthonormal. est un nombre «complexe» (au sens de «composé» défini avec

Dans l ensemble du chapitre, on considère le plan muni d un repère orthonormal. est un nombre «complexe» (au sens de «composé» défini avec 1/Les Nombres Complexes Chapitre 4 Les Nombres Complexes. I. Définitions Objectif : On veut «construire» un ensemble de nombres contenant l ensemble des nombres réels, muni de deux opérations qui généralisent

Plus en détail

Kooli Mohamed Hechmi

Kooli Mohamed Hechmi Equations à coefficients complexes 4 eme Sc Expérimentales Dans tous les exercices le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormé direct,,. Exercice 1 Résoudre dans l ensemble C des nombres complexes

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE

NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE CHAPITRE 2 NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE 1 Rappels de trigonométrie tanα sinα π 2 M(α) π α cosα 0 3π 2 Figure 2.1 Sinus, cosinus, tangente Définition 2.1 La tangente d un nombre réel x, notée tan

Plus en détail

Nombres et plan complexes Les exercices fondamentaux à connaître

Nombres et plan complexes Les exercices fondamentaux à connaître Nombres et plan complexes Les exercices fondamentaux à connaître Y. Morel Version en ligne et interactive : http://xymaths.free.fr/lycee/ts/exercices-corriges-complexes.php Table des matières 1 Formes

Plus en détail

Les nombres complexes

Les nombres complexes Exercices 9 novembre 014 Les nombres complexes Aspect géométrique Exercice 1 1) D est le point de coordonnées ( 3; 3). Quel est son affixe? ) On donne les points A, B, C d affixes respectives : z A = 3+i,

Plus en détail

I. Nombres complexes. 1 Corps C des nombres complexes

I. Nombres complexes. 1 Corps C des nombres complexes 1 Corps C des nombres complexes Théorème 1. Il existe un ensemble C des nombres complexes qui possède les propriétés suivantes : C contient R. C est muni d une addition et d une multiplication qui suivent

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. I Introduction 1 I.1 Le nombre i... 1 I.2 L ensemble des nombres complexes... 1

NOMBRES COMPLEXES. I Introduction 1 I.1 Le nombre i... 1 I.2 L ensemble des nombres complexes... 1 re STI Ch03 : Nombres complexes 006/007 NOMBRES COMPLEXES Table des matières I Introduction I. Le nombre i............................................ I. L ensemble des nombres complexes...............................

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. avec une calculatrice TI on écrit par exemple 5^(1/3) et on obtient environ 1,71. On a donc 3 5 1,71

NOMBRES COMPLEXES. avec une calculatrice TI on écrit par exemple 5^(1/3) et on obtient environ 1,71. On a donc 3 5 1,71 NMBRES CMPLEXES I - Représentation géométrique Rappel Pour tout réel k, il existe un unique nombre réel dont le cube est k. Ce nombre est appelé racine cubique de k. Il est noté 3 k ou aussi k n a par

Plus en détail

Nombres complexes. s'écrit alors i

Nombres complexes. s'écrit alors i Nombres complexes préambule : En 1545, dans son ouvrage Artis magnae sive regulis algebraicus, le mathématicien italien Cardan veut résoudre l'équation : x(10 x) 40. Il est confronté à une opération impossible

Plus en détail

Cours Chapitre 1 : Nombres complexes

Cours Chapitre 1 : Nombres complexes Mr Arfaoui.O Tél : 563334 4 éme année sc & tech Cours Chapitre : Nombres complexes Forme cartésienne (algébrique) : Définition : La forme algébrique d un nombre complexe zεc est : z = a + ib avec a et

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. Jean Chanzy. Université de Paris-Sud. u 3 + v 3 = q. = q = p3 27. u 3 + v 3 u 3 v p3. q v 3 = q p3.

NOMBRES COMPLEXES. Jean Chanzy. Université de Paris-Sud. u 3 + v 3 = q. = q = p3 27. u 3 + v 3 u 3 v p3. q v 3 = q p3. NMBRES CMPLEXES Jean Chanz Université de Paris-Sud Nécessité d introduire l ensemble C : Considérons l équation 3 5 4 = 0. Elle a pour solution évidente = 4. Le trinôme 3 5 4 se factorise en ( 4)( + b

Plus en détail

Les nombres complexes

Les nombres complexes Lycée Paul Doumer 2013-2014 TS1 Cours Les nombres complexes Contents 1 Introduction - Une extension des ensembles de nombres 2 2 Forme algébrique d un nombre complexe 3 2.1 Définitions et vocabulaire..............................

Plus en détail

Université de Tours Année Licence L1 de Mathématiques, Informatique et Sciences de la Matière - S1 CHAPITRE 2

Université de Tours Année Licence L1 de Mathématiques, Informatique et Sciences de la Matière - S1 CHAPITRE 2 Université de Tours Année 2015-2016 Licence L1 de Mathématiques, Informatique et Sciences de la Matière - S1 CHAPITRE 2 NOMBRES COMPLEXES ET ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES (12 h) 1 Nombres complexes 1.1 Introduction

Plus en détail

Chapitre 2 : LES NOMBRES COMPLEXES : FORME ALGEBRIQUE

Chapitre 2 : LES NOMBRES COMPLEXES : FORME ALGEBRIQUE SOMMAIRE 1.ACTIVITES... 2 ACTIVITE 1... 2 ACTIVITE 2... 2 2. NOTION DE NOMBRE COMPLEXE... 3 DEFINITIONS ET PROPRIETES.... 3 3. INTERPRETATION GEOMETRIQUE.... 4 4. AFFIXE D UN VECTEUR, D UN BARYCENTRE...

Plus en détail

Les nombres complexes

Les nombres complexes DERNIÈRE IMPRESSION LE 17 février 016 à 15:35 Les nombres complexes Table des matières 1 Introduction 1.1 Un problème historique......................... 1. Création d un nouvel ensemble.....................

Plus en détail

Fiche n o 1. Nombres complexes. Exercice 2. Mettre sous forme algébrique, puis trigonométrique le nombre complexe Z = Calculer Z 3.

Fiche n o 1. Nombres complexes. Exercice 2. Mettre sous forme algébrique, puis trigonométrique le nombre complexe Z = Calculer Z 3. BCPST. Année 00-0 Lycée Pierre de Fermat Toulouse Fiche n o Nombres complexes Exercice. On considère les nombres complexes a = + i et b = 3 i. a Déterminer la forme trigonométrique de a, b, et de ab. b

Plus en détail

Nombres complexes. I.2 Représentation géométrique des nombres complexes

Nombres complexes. I.2 Représentation géométrique des nombres complexes MTA - ch3 Page 1/11 Nombres complexes I L'ensemble C des nombres complexes I.1 Écriture des nombres complexes Il existe un ensemble noté C de nombres dits complexes vériant : R C C contient le nombre i

Plus en détail

TRANSFORMATIONS ET NOMBRES COMPLEXES

TRANSFORMATIONS ET NOMBRES COMPLEXES TRANSFORATIONS ET NOBRES COPLEXES Table des matières Applications géométriques des nombres complexes. Arguments d un nombre complexe........................................... Ensemble de points du plan.

Plus en détail

Chapitre 4 Les nombres complexes : 1ère Partie

Chapitre 4 Les nombres complexes : 1ère Partie Chapitre 4 Les nombres complexes : 1ère Partie A) Définition et propriétés de base 1) Historique Les nombre complexes ont été inventés au départ en 1545 par le mathématicien italien Jérôme Cardan (Girolamo

Plus en détail

Nombres complexes, cours, Terminale S

Nombres complexes, cours, Terminale S Nombres complexes, cours, Terminale S F.Gaudon 18 décembre 2013 Table des matières 1 Notion de nombre complexe 2 2 Opérations sur les nombres complexes 3 3 Représentation géométrique des nombres complexes

Plus en détail

Nombres complexes. Trigonométrie. Lycée Jean Perrin Classe de TSI 1 Exercices série 1

Nombres complexes. Trigonométrie. Lycée Jean Perrin Classe de TSI 1 Exercices série 1 Lycée Jean Perrin Classe de TSI 1 Exercices série 1 Nombres complexes I Trigonométrie Exercice 1. 1. Déterminer les valeurs exactes de cos π, sin π et tan π (on pourra utiliser les 12 12 12 valeurs connues

Plus en détail

Sujets de bac : Complexes

Sujets de bac : Complexes Sujets de bac : Complexes Sujet n 1 : extrait d Asie juin 2002 1) Dans le plan complexe ; ;, on considère quatre points,, et d affixes respectives 3 ; 4 ; 2 3 et 1. Placer les points,, et dans un plan.

Plus en détail

Cours de Terminale S /Nombres complexes. E. Dostal

Cours de Terminale S /Nombres complexes. E. Dostal Cours de Terminale S /Nombres complexes E. Dostal aout 01 Table des matières 8 Nombres complexes 8.1 Introduction............................................ 8. Le plan complexe.........................................

Plus en détail

Nombres complexes. Chapitre 1

Nombres complexes. Chapitre 1 Chapitre 1 Nombres complexes Les nombres complexes sont apparus en Italie au XVI e siècle. Niccolo Tartaglia le premier résout des équations du troisième degré. Il révèle sa formule à Jérôme Cardan qui

Plus en détail

() Compléments de géométrie 1 / 33

() Compléments de géométrie 1 / 33 Compléments de géométrie () Compléments de géométrie 1 / 33 1 Compléments de géométrie dans le plan complexe 2 Calcul barycentrique 3 Transformations du plan complexe () Compléments de géométrie 2 / 33

Plus en détail

Les nombres complexes

Les nombres complexes Les nombres complexes Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 015/016 Table des matières 1 Généralités 1.1 Définitions................................................. 1. Règles de calcul dans C.........................................

Plus en détail

Les nombres complexes : forme algébrique

Les nombres complexes : forme algébrique Isabelle orel-ts-cours complexes forme algébrique Les nombres complexes : forme algébrique Introduction. Le problème L histoire des nombres complexes commence en pleine Renaissance italienne avec les algébristes

Plus en détail

Epreuve commune maths terminales S 8 décembre 2015

Epreuve commune maths terminales S 8 décembre 2015 Exercice 1 6 points ) On considère la fonction f définie et dérivable sur l ensemble R des nombres réels par fx) = x+1+ x e x On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé O; i ; ) j 1 Soit

Plus en détail

Série Maths. Nombres complexes. . Exercice n 1 : On considère l'équation : 2 Z² - 4 i Z 3- i 3 = 0

Série Maths. Nombres complexes. . Exercice n 1 : On considère l'équation : 2 Z² - 4 i Z 3- i 3 = 0 . Exercice n 1 : On considère l'équation : Z² - 4 i Z 3- i 3 = 0 1- Montrer que cette équation possède deux solutions complexes distinctes Z 1 et Z. - On désigne par M 1 et M les points du plan complexes

Plus en détail

Chapitre 10 Nombres complexes NOMBRES COMPLEXES. et Im(z) =

Chapitre 10 Nombres complexes NOMBRES COMPLEXES. et Im(z) = Chapitre 0 Nombres complexes NOMBRES COMPLEXES I- - Forme algébrique d un nombre complexe Définition : On note C l ensemble des nombres de la forme z = x + iy, où x et y sont deux nombres réels et ii un

Plus en détail

Chap. 5 : Ensemble C 1. L ensemble C. Pour généraliser la notion de racine d une équation on introduit l ensemble C := {a + i.

Chap. 5 : Ensemble C 1. L ensemble C. Pour généraliser la notion de racine d une équation on introduit l ensemble C := {a + i. Chap 5 : Ensemble C 1 Arthur LANNUZEL le 1 Octobre 005 L ensemble C 1 Définition de C 11 Rappels Pour généraliser la notion de racine d une équation on introduit l ensemble C := {a + ib, a, b R} où i =

Plus en détail

1 Forme cartésienne, forme polaire

1 Forme cartésienne, forme polaire AMU 015-016 Licence MI 1ère année-s1 GÉOMÉTRIE ET ARITHMÉTIQUE Planche : Nombres complexes 1 Forme cartésienne, forme polaire EXERCICE 1 ( 3+6i Mettre sous la forme a+ib (a,b R) les nombres : 3 4i, 1+i

Plus en détail

TERMINALE S Les nombres complexes [forme algébrique]

TERMINALE S Les nombres complexes [forme algébrique] Définitions et propriétés. Il existe un ensemble de nombres, noté C, qui contient tous les nombres réels et qui de plus : -contient un nombre noté i, un symbole tel que i 2 = -1. -tous les nombres de C

Plus en détail

Chapitre 7 : Nombre complexes

Chapitre 7 : Nombre complexes Chapitre 7 : Nombre complexes Cours 1 Définitions. Forme algébrique. Définition 1 Les nombres complexes sont des nombres de la formea+bi, où a et b sont des nombres réels quelconques et i est un nouveau

Plus en détail

4 Racines n-ièmes d un nombre complexe Racines n-ièmes de l unité Racines n-ièmes d un nombre complexe quelconque...

4 Racines n-ièmes d un nombre complexe Racines n-ièmes de l unité Racines n-ièmes d un nombre complexe quelconque... Le corps C des nombres complexes Table des matières 1 Définitions algébrique et géométrique de C 1 1.1 Définition de C............................................. 1 1. Structure algébrique de C.......................................

Plus en détail

Fiche BAC 09 Terminale S Nombres complexes (2ème partie) Exercice 1 ( Ex n 2 Antilles-Guyane juin 2000 adapté) Commun à tous les candidats

Fiche BAC 09 Terminale S Nombres complexes (2ème partie) Exercice 1 ( Ex n 2 Antilles-Guyane juin 2000 adapté) Commun à tous les candidats Fiche BAC 09 Terminale S Nombres complexes (ème partie) Exercice 1 ( Ex n Antilles-Guyane juin 000 adapté) Commun à tous les candidats 1 ) Pour tout nombre complexe z, on pose P (z)=z 3 3 z +3 z+7. a)

Plus en détail

II ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ À COEFFICIENTS RÉELS

II ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ À COEFFICIENTS RÉELS Terminale S (3-4) I GÉNÉRALITÉS I. Présentation des nombres complexes Définition - Théorème : (admis) Il existe un ensemble noté C, contenant R, vérifiant les conditions suivantes : C est muni d une addition

Plus en détail

Terminale STI-GE

Terminale STI-GE Le programme : Les premiers éléments de l'étude des nombres complexes ont été mis en place en première. L'objectif est de compléter cet acquis pour fournir des outils utilisés en algèbre, en trigonométrie

Plus en détail

Ch 4. Complexes. D où l idée d introduire de nouveaux nombres dont le carré serait négatif, pour traiter le cas < 0.

Ch 4. Complexes. D où l idée d introduire de nouveaux nombres dont le carré serait négatif, pour traiter le cas < 0. PTSI2 2016/2017 Maths Lycée La Martinière-Monplaisir Lyon Ch 4. Complexes. 1 L ensemble C des nombres complexes 1.a Introduction Pour résoudre une équation de la forme ax 2 + bx + c = 0, avec a, b, c réels

Plus en détail

Nombres complexes, cours, terminale S

Nombres complexes, cours, terminale S Nombres complexes, cours, terminale S 1 Notion de nombre complexe Il existe un ensemble noté C et appelé ensemble des nombres complexes tel que : C contient l'ensemble des...... ; l'addition et la multiplication

Plus en détail

Cours d analyse L1S1P. Analyse L1S1 P

Cours d analyse L1S1P. Analyse L1S1 P Cours d analyse L1S1P 017 Objectifs : 1 Apprendre à calculer avec des formules : domaines de définition, dérivées primitives développements limités Se désinhiber face auxdites formules. À la fin de ce

Plus en détail

Exercices du chapitre 8 avec corrigé succinct

Exercices du chapitre 8 avec corrigé succinct Exercices du chapitre 8 avec corrigé succinct Exercice VIII.1 Ch-Exercice7 Soient les deux lois définies sur R de la manière suivante. Étant donnés deux couples (x, y) et (x, y ) de R, on pose : (x, y)

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. I Introduction 2 I.1 Le nombrei... 2 I.2 L ensemble des nombres complexes... 2

NOMBRES COMPLEXES. I Introduction 2 I.1 Le nombrei... 2 I.2 L ensemble des nombres complexes... 2 T ale STI Nombres complexes 008/009 NOMBRES COMPLEXES Table des matières I Introduction I. Le nombrei.............................................. I. L ensemble des nombres complexes.................................

Plus en détail

Les nombres complexes

Les nombres complexes Chapitre 6 Terminale S Ce que dit le programme : Les nombres complexes CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 1ère partie Forme algébrique, conjugué. Somme, produit, quotient. Équation du second degré

Plus en détail

1.1 Nombres complexes

1.1 Nombres complexes Université de Provence 011 01 Mathématiques Générales I Parcours PEIP Cours : Nombres complexes 1 Définitions 11 Nombres complexes Définition 1 On appelle nombre complexe tout élément z de la forme z a

Plus en détail

TERMINALE S Chapitre 1 : les nombres complexes [forme algébrique]

TERMINALE S Chapitre 1 : les nombres complexes [forme algébrique] SOMMAIRE * 1. NOTION DE NOMBRE COMPLEXE... 2 DEFINITIONS ET PROPRIETES.... 2 * 2. INTERPRETATION GEOMETRIQUE.... 3 * 3. AFFIXE D UN VECTEUR, D UN BARYCENTRE... 3 * 4. NOMBRES COMPLEXES CONJUGUES... 4 *

Plus en détail

Nombres complexes, cours, première STI2D

Nombres complexes, cours, première STI2D Nombres complexes, cours, première STID F.Gaudon 9 juin 015 Table des matières 1 Notion de nombre complexe Opérations sur les nombres complexes 3 3 Représentation géométrique des nombres complexes 3 4

Plus en détail

Exercices supplémentaires : Complexes

Exercices supplémentaires : Complexes Exercices supplémentaires : Complexes Partie A : Calculs et propriétés algébriques Exercice 1 Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants : 1 3 2 5 7 4 1 4 1 2 2 7 5 1 1 1 3 2 1 3 2 8 1

Plus en détail

Chapitre 6 Trigonométrie. Table des matières. Chapitre 6 Trigonométrie TABLE DES MATIÈRES page -1

Chapitre 6 Trigonométrie. Table des matières. Chapitre 6 Trigonométrie TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre Trigonométrie TABLE DES MATÈRES page -1 Chapitre Trigonométrie Table des matières Exercices -1 1................................................ -1................................................

Plus en détail

Durée : 1 heure 30 Épreuves communes ENI GEIPI POLYTECH Série S 11 mai 2016

Durée : 1 heure 30 Épreuves communes ENI GEIPI POLYTECH Série S 11 mai 2016 Durée : 1 heure 30 Épreuves communes ENI GEIPI POLYTECH Série S 11 mai 2016 Nous vous conseillons de répartir équitablement les 3 heures d épreuves entre les sujets de mathématiques et de physique-chimie

Plus en détail

DST n 4 - Corrigé. Centre étranger Juin 2007 (6 point) Le but de l'exercice est de démontrer que l'équation :, admet une unique solution dans

DST n 4 - Corrigé. Centre étranger Juin 2007 (6 point) Le but de l'exercice est de démontrer que l'équation :, admet une unique solution dans DST n 4 - Corrigé Centre étranger Juin 2007 (6 point) Le but de l'exercice est de démontrer que l'équation :, admet une unique solution dans l'ensemble des nombres réels, et de construire une suite qui

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. 1. Calculer le module et l argument des nombres complexes suivants : z 1 = 1 + i, z 2 = 1 i, z 3 = 1 + i 3, z 4 = 1 + i 3 1 i

NOMBRES COMPLEXES. 1. Calculer le module et l argument des nombres complexes suivants : z 1 = 1 + i, z 2 = 1 i, z 3 = 1 + i 3, z 4 = 1 + i 3 1 i NOMBRES COMPLEXES 1 Calculer le module et l argument des nombres complexes suivants : z 1 = 1 + i z = 1 i z = 1 + i z 4 = 1 + i 1 i Calculer les nombres complexes suivants : w 1 = (1 + i) 1 w = ( 1 + i

Plus en détail

Corps des complexes. 1 Calculs dans C Le corps C Module, conjugaison Interprétation géométrique... 2

Corps des complexes. 1 Calculs dans C Le corps C Module, conjugaison Interprétation géométrique... 2 Maths PCSI Cours Table des matières Corps des complexes 1 Calculs dans C 1.1 Le corps C............................................... 1. Module, conjugaison......................................... 1.3

Plus en détail

et z B alors le vecteur AB a pour affixe le iy B. Alors par définition les coordonnées = x B, z B, z C et z D, z C = z B

et z B alors le vecteur AB a pour affixe le iy B. Alors par définition les coordonnées = x B, z B, z C et z D, z C = z B Chapitre 9 Nombres complexes et géométrie Dans tout ce chapitre on se place dans un repère orthonormal direct du plan complexe O ; i ; j. 1. Affixe d un vecteur Définitions et conséquences Définition :

Plus en détail

Terminale S Bac Blanc Février 2013 Corrigé

Terminale S Bac Blanc Février 2013 Corrigé Terminale S Bac Blanc Février 2013 Corrigé Métropole Juin 2006 (6 points) 1) Soit la fonction définie sur par. On désigne par sa courbe représentative dans un repère orthonormé d unité graphique 2cm. a)

Plus en détail

cosinus - mathématiques. 1 PRÉSENTATION

cosinus - mathématiques. 1 PRÉSENTATION cosinus - mathématiques. 1 PRÉSENTATION cosinus, fonction trigonométrique, complémentaire de la fonction sinus, introduites toutes deux dans la définition de la mesure d un angle en géométrie euclidienne.

Plus en détail

Cours Les angles orientés

Cours Les angles orientés 1 Notion d angle orienté ours Les angles orientés Première S 6 novembre 2007 Le plan est dit orienté lorsque tous les cercles sont orientés dans le sens trigonométrique ( sens inverse des aiguilles d une

Plus en détail

Mise à niveau en mathématiques Licences de mathématiques et d informatique. 25 août 2014

Mise à niveau en mathématiques Licences de mathématiques et d informatique. 25 août 2014 Mise à niveau en mathématiques Licences de mathématiques et d informatique 25 août 2014 1 1 Calculs dans R 1.1 Fractions Eercice 1 Pour a = 4/9 et b = 5/12, calculer a + b, a b, ab et a/b. On donnera le

Plus en détail

Exercice 1 sur 5 points Cet exercice est commun à tous les candidats

Exercice 1 sur 5 points Cet exercice est commun à tous les candidats Eercice sur 5 points Cet eercice est commun à tous les candidats Soit f une fonction définie sur ]0 ; + [. On note C f sa courbe représentative dans un repère orthonormal représentée en annee. - La courbe

Plus en détail

Exercices Trigonométrie

Exercices Trigonométrie I Le cercle trigonométrique Savoir-faire 1 : Associer nombres réels et points du cercle trigonométrique Exercice 1 Tracer le cercle trigonométrique, puis placer les points A, B, C et D, images par enroulement

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE CERGY Année U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques

UNIVERSITÉ DE CERGY Année U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 01-014 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques Chapitre III : Complexes 1 Le Plan complexe 1.1 Introduction Dans tout ce chapitre,

Plus en détail

Nombres complexes Ecriture algébrique d un complexe Exercices corrigés

Nombres complexes Ecriture algébrique d un complexe Exercices corrigés Nombres complexes Ecriture algébrique d un complexe Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : calculs dans l ensemble des nombres complexes (addition, soustraction, multiplication,

Plus en détail

On peut aussi trouver une équation cartésienne de la médiatrice de [AB] en écrivant que M (d) si AM = BM ou bien AM 2 = BM 2

On peut aussi trouver une équation cartésienne de la médiatrice de [AB] en écrivant que M (d) si AM = BM ou bien AM 2 = BM 2 1S Corrigé DS n o 9 Durée :h Exercice 1 ( 5,5 points ) Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points A(3; 1), B(; ) et C( ; 1). 1. Déterminer une équation de la droite (d 1 ), médiatrice de

Plus en détail

Chapitre 8 : Nombres complexes QCM Pour bien commencer (cf. p. 280 du manuel)

Chapitre 8 : Nombres complexes QCM Pour bien commencer (cf. p. 280 du manuel) Chapitre 8 : Nombres complexes QCM Pour bien commencer (cf. p. 80 du manuel) Pour chaque question, il y a une ou plusieurs bonnes réponses. Exercice n 1 La mesure principale de l angle A 1 π. B 1π est

Plus en détail

Exercices : Nombres complexes

Exercices : Nombres complexes Exercices : Nombres complexes Exercice Calculer le module et un argument des nombres complexes suivants: z = i, z = e iθ + e iθ, z = i ( + i) Exercice Soit z le complexe défini par. Mettre z sous forme

Plus en détail

Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2006

Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2006 Baccalauréat S Amérique du Nord mai 006 EXERCICE 3points Commun à tous les candidats Pour chacune des 3 questions, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro

Plus en détail

Module d'un nombre complexe. Nombres complexes. Définition. Forme algébrique :

Module d'un nombre complexe. Nombres complexes. Définition. Forme algébrique : Définition Nombres complexes L'ensemble des nombres complexes noté est l'ensemble des nombres de la forme z = a + biou a et b sont des réels quelconques et i un nouveau nombre tel que i²= -1. Le nombre

Plus en détail