4. Principe de la modélisation des séries temporelles

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1 4. Principe de la modélisaion des séries emporelles Nous raierons ici, à ire d exemple, la modélisaion des liens enre la polluion amosphérique e les indicaeurs de sané. Mais les méhodes indiquées, comme il a éé di plus hau, s appliquen ou auan à d aures problémaiques Problémaique de la modélisaion Les indicaeurs saniaires son généralemen caracérisés par un faible nombre d événemens journaliers, des variaions emporelles à long erme (endance), à moyen e cour ermes (variaions saisonnières, hebdomadaires, ) (figure 47), par une auocorrélaion des compes journaliers e une surdispersion. L auocorrélaion signifie qu il exise des liaisons emporelles (ie. des covariaions) dans la série de compes journaliers (un brui blanc, a conrario, comme on l a vu, es un exemple de phénomène non auocorrélé). L auocorrélaion, pour un décalage donné enre deux élémens de la série, es mesurée par le coefficien d auocorrélaion ou par le coefficien d auocorrélaion parielle (c.f e ). Ce dernier, rappelons le, mesure la liaison enre deux valeurs de la série, comme le premier, mais en éliminan l effe des liaisons exisan au sein des valeurs correspondan aux emps inermédiaires. Figure 47. Exemple d'une série emporelle saniaire Moralié oale à Srasbourg, Nombre de décès journalier /01/ /01/ /01/ /01/1996 Dae Le corrélogramme pariel représene le coefficien d auocorrélaion parielle en foncion du décalage (figure 48) (voir aussi, plus hau, ). L auocorrélaion es repérable grâce aux pics du corrélogramme pariel, c es-à-dire les valeurs du coefficien significaivemen différenes de 0 (i.e. valeurs en dehors de l inervalle plus ou moins deux écar-ypes) (figure 48). La surdispersion exise quand la variance des données es supérieure à la variance héorique, laquelle es égale à l espérance si la variable compe journalier sui une loi de Poisson. Ces deux dernières caracérisiques (auocorrélaion e surdispersion) son liées direcemen à des faceurs exernes (mééorologie, épidémies de grippe, pollens, par exemple) e à des variaions saisonnières indirecemen représenaives de variables non mesurées. 78

2 Figure 48. Corrélogramme pariel Moralié à Srasbourg, : auocorrélaion parielle Parial ACF Lag Les indicaeurs de polluion son égalemen soumis à des variaions à cour, moyen e long ermes, dues esseniellemen aux émissions e à des faceurs mééorologiques. Par ailleurs, la empéraure, l humidié relaive, les épidémies de grippe ou les pollens inerviennen comme faceurs de confusion : leurs variaions emporelles, saisonnières e à cour erme elles aussi, son liées à la fois à celles des polluans e à celles des données saniaires [1,38-40]. L éude de la relaion enre les indicaeurs saniaires e les indicaeurs de polluion doi donc enir compe : 1 ) de la endance e des variaions saisonnières des différenes variables, 2 ) de ces faceurs de confusion, 3 ) de l auocorrélaion des indicaeurs saniaires e environnemenaux, 4 ) de la surdispersion de la variable expliquée Les différens ypes de modélisaion Nous verrons en déail la modélisaion (GAM) plus loin. Voyons, ici, de façon générale, commen se présene la modélisaion d une série emporelle. Résumons ce que nous avons vu plus hau ( 3.1.). Nous disposons d une série emporelle y, de 1 à n. Cee série emporelle es une réalisaion d un processus aléaoire emporel (suie de variables aléaoires indicées par le emps) Y. Modéliser signifie : 1) Donner une loi de probabilié à Y (parie saisique du modèle) ; 2) Expliquer l espérance de Y à l aide d aures variables (parie mahémaique du modèle). Modèles ARIMA Les modèles courans Rappelons que les modèles ARMA son applicables à des séries saionnaires ( , ). Si le processus n es pas saionnaire (i.e. possède une endance), il es possible de réécrire l expression du modèle ARMA mais en l appliquan à une différence à l ordre 1, ou à un ordre plus élevé. 79

3 Le modèle ARMA s écri : Avec ε es un brui blanc N(0,σ 2 ). Le modèle ARIMA s écrira : Y + ϕ 1 Y ϕ p Y -p = ε + θ 1 ε θ q ε -q d Y + ϕ 1 d Y ϕ p d Y -p = ε + θ 1 ε θ q ε -q d Y représene la différence de Y à l ordre d. Modèles linéaire e addiif généralisés Le GLM s écri : Y ~ L exp e = g(µ ) µ [ ] = E Y = p j= 1 β x j j Le GAM s écri : Y ~ L exp = e = g(µ p α + j=1 f j ) µ ( x ) j [ ] = E Y Pour ces deux modèles, respecivemen, les variables x j e les foncions f j (x j ) peuven prendre différenes formes. Pour modéliser la endance, on se servira d un erme du ype «a. b» pour le GLM (a e b son des scalaires), loess (, largeur.fenêre) pour le GAM. Les foncions splines son uilisables dans les deux cas (paramériques pour le GLM, (paramériques e/ou non paramériques pour le GAM). Pour la saisonnalié, dans le cas du GLM, des ermes rigonomériques comme sin(ω+ϕ) ou cos (ω+ϕ) pourron rendre service. Il es possible d en faire figurer plusieurs. Pour le GAM, les foncions loess e splines de la endance s adapen aux variaions saisonnières aussi. Pour les variables explicaives (les faceurs), dans le cas du GLM, on peu uiliser des ransformaions diverses de la variables (linéaire, foncion logarihme, quadraique, racine carrée, ec.) ; le GAM perme d inroduire les variables avec des foncions de lissage (splines, loess) Jusificaion du choix du ype de modélisaion Le choix de l un ou l aure des modèles, repose sur la naure des données don on dispose e sur ce que l on veu faire. Si les données se réduisen à la série à éudier, on aura endance à uiliser les modèles ARIMA. Si on dispose de données relaives à des variables explicaives, on se servira des modèles GLM ou GAM. Le choix enre ces deux derniers dépend de la nécessié éprouvée (ou non) d un lissage de ceraines séries. On peu mere à conribuion les deux ypes de modèles, ARMA e explicaif. Ainsi, si l on applique un modèle GLM ou GAM e qu il persise une auocorrélaion dans les résidus, il peu êre uile d inroduire un erme auorégressif, donc de ype AR. 80

4 4.3. La démarche Cions rapidemen les grandes éapes car ceci sera vu en déail plus loin. La démarche adopée acuellemen, sachan qu on dispose de variables explicaives es la suivane : Analyse descripive de la série Modélisaion de la endance, des variaions saisonnières (saison, mois, jour) Modélisaion des aures faceurs (dans le cadre de la polluion amosphérique) Recherche d une relaion paramérique enre le polluan e l indicaeur de sané ou exploraion des effes reardés Analyse de sensibilié Prise en compe de l auocorrélaion résiduelle Noons que la représenaion graphique de la série emporelle e son observaion es une éape imporane du processus de l analyse. Elle devrai précéder ou calcul car elle perme de visualiser le «comporemen» de la série e, par là, d oriener la démarche exploraoire Qualiés e défaus des différens modèles GLM : rigidié des foncions mais l appor des splines pénalisés perme de réduire foremen ce problème. Il exise plusieurs algorihmes de résoluion robuses e mahémaiquemen bien définis. GAM : problèmes d esimaion liés à la concurvié (lissage non paramérique voir 5.3.3) e recours au lissage paramérique ; sous-esimaion de la variance des paramères, en voie d êre résolue. ARIMA : le versan explicaif n es pas ou peu exploré en épidémiologie. Les modèles ARIMAX (X pour les variables explicaives) son uilisés depuis longemps mais dans d aures domaines Approche bayésienne Ici encore, nous ne ferons que frôler le suje. Nous verrons les grands principes de l approche bayésienne. Elle fai l obje d une liéraure abondane mais on peu conseiller, deux-rois exes sur le principe [41-45] Principes généraux de l approche bayésienne En saisique fréquenise, on esime des paramères sur la populaion à parir des données irées des échanillons analysés. Paran des fameuses formules de Bayes, il es possible de monrer qu on peu associer à l informaion irée de l échanillon, une informaion provenan d une aure source (liéraure, avis d expers, expérience anérieure, ec.) pour inférer l esimaion sur la populaion. Cee informaion addiionnelle (valeur d un paramère, variance, ec.) es appelée informaion a priori. L esimaion finale des paramères e de leur disribuion s appelle informaion a poseriori (figure 49). 81

5 Figure 49. Principe de l'inférence bayésienne Hypohèses a priori sur les paramères Lois de probabilié a priori Modèle (auorégressif) Données Informaions issues des données Disribuion a poseriori des paramères La vraisemblance es calculée comme d habiude à parir de la densié de probabilié. Il fau alors choisir une loi a priori sur les paramères. Le choix de ces lois ne se fai pas au hasard mais sur la base d une simplificaion de la vraisemblance (42). On les appelle des lois conjuguées de la loi de probabilié des observaions. Il es possible (d usage ), de plus, de choisir des lois dies peu informaives (à variance élevée) pour ne pas donner forcémen rop d imporance aux a priori qu on a sur la valeur des paramères. En effe, l avis d exper peu êre inexisan ou peu fiable, l expérience peu manquer, ec. Mais ou n es pas aussi simple! Le plus souven, les lois a priori sur les paramères ne son pas conjuguées (pour des raisons diverses, don le souci d adéquaion à la réalié : en effe, il n es pas oujours perinen de choisir une loi qui nous facilie les calculs au dérimen de la vraisemblance du modèle (43) ). On remarque alors vie que, dans ce cas, les calculs liés à l esimaion de la vraisemblance (44) deviennen rès compliqués (les inégrales inervenan dans les formules son difficiles à résoudre par le calcul formel) e on a recours à des algorihmes de calcul issus des méhodes de Mone Carlo par chaînes de Markov (MCMC), els l algorihme de Meropolis-Hasings e l échanillonneur de Gibbs [44,46]. Depuis peu (milieu des années 90) ces calculs bénéficien de la puissance de nos ordinaeurs acuels Applicaion aux éudes de séries emporelles e exemples Les modèles AR, MA e AR(I)MA, par exemple, on éé analysés avec cee approche. Ainsi pour un modèle AR, par exemple [45], si les observaions son noées y, alors la variable Y es définie condiionnellemen à y -1, y -2,, y -p de la façon suivane (auorégression) : Y p ~ N µ ρ i= 1 2 ( y µ ) σ i i, Ici, les lois a priori son choisies, normale pour µ, inverse gamma pour σ 2, normale pour les paramères auorégressifs ρ i. Lorsque les données conredisen les hypohèses a priori, le modèle bayésien peu s adaper en enan compe de celles-là plus que de celles-ci. Il en es de même lorsque les données monren un changemen relaif aux hypohèses a priori. En cas de modificaion de la variance au cours du développemen de la série emporelle, les modèles bayésiens s adapen plus souplemen que 42 C es un peu ce qu on fai aussi dans le cas du choix des foncions de lien dans les modèles linéaires généralisés. 43 Vraisemblance, au sens de conformié à la réalié. 44 Vraisemblance, au sens saisique 82

6 cerains modèles fréquenises els les modèles ARCH qui, comme nous l avons vu, permeen de enir compe de cee variaion mais ou en fixan celle-ci srucurellemen ( ). Il exise un exemple d analyse de séries emporelles basées sur des données uilisées par les couriers en assurance don le aux de chômage [43]. Les aueurs uilisen un modèle permean la variaion de niveau de base ainsi que l augmenaion de la variance des erreurs : y = µ + x y es la variable expliquée (nombre de cas incidens), µ es la composane niveau de base, x es la composane auorégressive. Un ensemble de paramères perme de faire varier les deux composanes : µ = µ -1 + δ * β δ es une indicarice, elle prend les valeurs 0 ou 1 avec une probabilié de ype loi de Bernouilli B(ε 1 ), β mesure l imporance de la variaion du niveau si elle a lieu. p = φ jx j j= 1 x + e Les φ j son les paramèes auorégressifs, e es l erreur e sui une loi normale N(0, σ 2 ). Enfin : σ peu êre consan ou êre modifié ; le choix se fai sur la base d une loi de Bernouilli. Ainsi σ = σ -1 ou σ = (βυ) * σ -1 (βυ) mesure l imporance de la variaion de la variance. À présen, l approche bayésienne aribue à chacun des paramères une loi de disribuion a priori. Puis on calcule la disribuion de chacun des paramères condiionnellemen aux observaions e aux aures paramères. Ces disribuions permeen de générer des échanillons à parir des disribuions a poseriori. Enfin, à parir de ce ensemble de disribuions a poseriori, on calcule les valeurs prédies de la variable représenan les observaions. L adéquaion du modèle e le choix du meilleur modèle son esés grâce à un crière d Akaike (AIC) ou un Bayesian Informaion crierion (BIC) modifiés. Le choix du modèle le meilleur éan fai, les aueurs peuven considérer l écar enre les données observées e les données prédies (avec l inervalle de prédicion a poseriori) pour voir si ceraines variaions du niveau ou de la variance observées son accidenelles ou dues simplemen au hasard (45). 45 Ce qui es accidenel n es pas dû forcémen au hasard, c es ce qui es inaendu, imprévu e indépendan de la voloné humaine. 83

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