Modèle classique Extensions Modèle multi-branches. Théorie de la ruine. Esterina Masiello (ISFA)

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1 Esterina Masiello Institut de Science Financière et d Assurances Université Lyon 1 Premières Journées Actuarielles de Strasbourg 6-7 octobre 2010

2 En résumé... Modèle classique de la théorie de la ruine Quelques possibles extensions du modèle classique Théorie du risque en multivarié

3 Qu est-ce que c est que la théorie de la ruine? La théorie de la ruine (également appelée théorie du risque) concerne : l évaluation de probabilités de réalisations d événements défavorables pour une compagnie d assurance; différents problèmes d optimisation: allocation de réserve stratégie de versement de dividendes ou d imposition (au sens de la fiscalité) investissement dans des actifs risqués programme de réassurance...

4 Comment décrire les richesses de la compagnie? LEVEL at time t = initial reserves + accumulated premiums accumulated claims INFLOW=premiums deterministic steady can be forecasted OUTFLOW=claims stochastic, i. e. of random nature subject to fluctuations cannot be forecasted

5 Modèle classique de la théorie du risque u 0 c > 0 N(t) R t = u + ct X i t 0 i=1 montant initial des réserves de l assureur taux instantané de prime X i montant du i-ème sinistre (v.a. i.i.d. de f.d.r. F ) N(t) processus de Poisson homogène (λ)

6 Probabilité de ruine Probabilité de ruine en temps infini: ( ) ψ(u) = P inf R t < 0 R 0 = u t 0

7 Probabilité de ruine (ctd.) Probabilité de ruine en temps fini: ( ) ψ(u, T ) = P inf R t < 0 R 0 = u 0 t T

8 Mesures de risque a) l instant de ruine T u = inf{t > 0, u + X t < 0}, avec X t = ct S t, b) la sévérité de la ruine u + X Tu, ou le couple (T u, u + X Tu ), c) le temps passé en-dessous de zéro entre la première ruine et le rétablissement T u T u, où T u = inf{t > T u, u + X t = 0}, d) la sévérité de la ruine maximale (inf t>0 u + X t )

9 Mesures de risque a) l instant de ruine T u = inf{t > 0, u + X t < 0},avec X t = ct S t, b) la sévérité de la ruine u + X Tu, ou le couple (T u, u + X Tu ), c) le temps passé en-dessous de zéro entre la première ruine et le rétablissement T u T u, où T u = inf{t > T u, u + X t = 0}, d) la sévérité de la ruine maximale (inf t>0 u + X t ),

10 Mesures de risque a) l instant de ruine T u = inf{t > 0, u + X t < 0}, avec X t = ct S t, b) la sévérité de la ruine u + X Tu, ou le couple (T u, u + X Tu ), c) le temps passé en-dessous de zéro entre la première ruine et le rétablissement T u T u, où T u = inf{t > T u, u + X t = 0}, d) la sévérité de la ruine maximale (inf t>0 u + X t ),

11 Mesures de risque a) l instant de ruine T u = inf{t > 0, u + X t < 0}, avec X t = ct S t, b) la sévérité de la ruine u + X Tu, ou le couple (T u, u + X Tu ), c) le temps passé en-dessous de zéro entre la première ruine et le rétablissement T u T u, où T u = inf{t > T u, u + X t = 0}, d) la sévérité de la ruine maximale (inf t>0 u + X t ),

12 Mesures de risque a) l instant de ruine T u = inf{t > 0, u + X t < 0}, avec X t = ct S t, b) la sévérité de la ruine u + X Tu, ou le couple (T u, u + X Tu ), c) le temps passé en-dessous de zéro entre la première ruine et le rétablissement T u T u, où T u = inf{t > T u, u + X t = 0}, d) la sévérité de la ruine maximale (inf t>0 u + X t ),

13 Mesures de risque (ctd.) e) la sévérité agrégée de la ruine jusqu au rétablissement J(u) = T u T u u + X t dt f) le temps total passé en-dessous de zéro τ(u) = {u+xt<0}dt

14 Mesures de risque (ctd.) e) la sévérité agrégée de la ruine jusqu au rétablissement J(u) = T u T u u + X t dt f) le temps total passé en-dessous de zéro τ(u) = {u+xt<0}dt

15 Pour calculer ψ... Pour le calcul de ψ, on dispose de: Solutions exactes (modèle d Erlang,...) Méthodes numeriques (Inversion de la transformée de Laplace, équations différentielles et intégrales,...) Approximations (Modèle de Poisson composé,...) Bornes et inégalités inégalité de Lundberg: ψ(x) e Rx avec R le coefficient d ajustement.

16 Et dans le cas de distributions à queues lourdes... Théorème. Si F s S, alors lim u ψ(u) F s (u) = E(X) ce(t ) E(X) En particulier, lorsque la loi du montant de sinistre individuel est à variation régulière, dans le modèle Poisson-composé, on a ψ(u) λ 1 c λµ α 1 u α+1

17 Compromis pour la calculabilité

18 Quelques extensions du modèle classique Modèle de Sparre-Andersen : N(t) est un processus de renouvellement (temps inter-sinistres i.i.d.) processus ponctuels plus généraux réassurance

19 Quelques extensions du modèle classique (ctd) modélisation de la composante d investissement: inflation investissement sur le marché financiér paiement de taxes politique de versements de dividendes aux actionnaires dépendance

20 Politique de versement de dividendes Soit X(t) = S(t) ct (avec S(t) = N(t) i=1 X i). Le cumul des dividendes versées jusqu au temps t est Soit Z(t) = b u + X(t) + L(t). L t = inf {b u + X(s)} 0 s t

21 Politique de versement de dividendes (ctd.) Alors U b (t) = b Z(t) est le processus donné par la stratégie qui consiste à limiter supérieurement le surplus de la compagnie à la valeur b en versant sous forme de dividendes l excès par rapport à b.

22 Modulation par un processus d environnement Markovien Figure: Exemple d un processus de risque modulé, avec deux états (rouge et bleu) (source: Loisel (2010)).

23 Probabilité de ruine et Solvabilité II Le matelas de sécurité, appelé SCR (Solvency Capital Requirement) devrait en théorie permettre d atteindre un niveau de sécurité correspondant à une probabilité de ruine à horizon d un an inférieure à 0.5%. Dans une démarche (appelée ERM, Enterprise Risk Management) de gestion globale des risques qui pésent sur une entreprise, il est toutefois pertinent de considérer conjointement les réserves propres à chaque branche d activité ou à chaque filiale. Cela conduit à s intéresser à la fois à des probabilités de ruine dans un cadre univarié et multivarié.

24 Et en multivarié... On considère d (d > 1) branches d activité : filiales différentes secteurs d activité différents assurance santé habitation automobile responsabilité civile... activités (différentes ou identiques) dans différents pays ou régions

25 Sources de corrélation entre branches l influence du climat, des marchés financiers, de la répression et de la prévention routière, ou d autres paramètres peuvent avoir un impact sur la fréquence de sinistres. Cela correspond à la modulation du processus d arrivée des sinistres par un processus représentant l état de variables d environnement commun aux branches d activité; un événement unique peut induire des sinistres dans plusieurs branches d activités différentes. Le modèle le plus classique pour prendre en compte cette éventualité est le modèle de chocs communs de Poisson.

26 Un peu de notation Les montants des sinistres {Z k, k 1} forment une suite de vecteurs aleatoires i.i.d. à valeurs dans IR d N t = #{n 1 : T n t} est le nombre de sinistres survenus jusqu au temps t T 0 = 0, T n = W W n où {W k, k 1} est une suite de variables aleatoires i.i.d. {Z k, k 1} est independent de {W k, k 1}

27 Le processus de renouvellement multivarié u est le capital initial N t R t = ub + tp k=1 Z k b : b (0, 1] d et b (1) + + b (d) = 1 ub détermine l allocation de capital aux différentes branches (la branche j dispose du capital initial ub (j) ) p (0, ) d est le taux de prime constant

28 La probabilité de ruine multivariée selon Cai et Li (2007) Ψ sum (u, T ) = P t [0, T ], d R (j) (t) < 0 j=1 Ψ or (u, T ) = P ( j [1, d], t j [0, T ], R (j) (t j ) < 0) Ψ and (u, T ) = P ( j [1, d], t j [0, T ], R (j) (t j ) < 0) Ψ sim (u, T ) = P ( t [0, T ], j [1, d], R (j) (t) < 0)

29 La probabilité de ruine multivariée selon Hult et Lindskog (2006) La ruine se vérifie si le processus de risque R t frappe un ensemble F β IR d appellé ensemble ruine ψ d,fβ (u) = P (R t F β pour un t 0) En univarié : F = (, 0) En multivarié, diverses possibilités...

30 L ensemble F β Pour β = 0, les transferts de capitaux ne sont pas autorisés et donc Ψ d,f0 = Ψ or Pour β = 1, les transferts sont autorisés sans aucune restriction et Ψ d,f1 = Ψ sum

31 L approche de Hult et Lindskog (2006) Deux hypothèses clé: possibilité de transférer du capital entre branche d activité Z est à variation regulière, i.e. il existe α > 0 et une mesure de probabilité σ sur la sphère unité S d 1 = {x R d : x = 1} telle que P ( Z > zt, Z/ Z S) lim = z α σ(s) t P ( Z > t) z > 0 et ensemble de Borel S S d 1 avec σ( S) = 0. σ est appelée mesure spectrale de Z. La ruine se vérifie lorsque, malgré le transfert de capital, on n arrive pas à résoudre une situation négative dans une ou plusieures branches d activité.

32 Une approximation de la probabilité de ruine multivariée Hult et Lindskog (2006) ont demontré que si Z RV (α, µ) avec α > 1 et si c = E(W )p E(Z) (0, ) d (chaque branche d activité a un chargement de securité positif) et E(W γ ) <, γ > α, alors ψ d,f (u) 0 µ(vc + b F )dv u P ( Z > u) où µ est une mesure sur R d \{0} liée à σ par pour r > 0 et S S d 1. µ(z : z > r, z/ z S) = r α σ(s)

33 Modèle de chocs communs de Poisson Un événement unique peut induire des sinistres dans plusieurs branches d activités différentes (exemple: ouragan). La partie pertes en commun : C 0,t = N 0,t Z 0,k k=1 où Z 0,k = az 0,k = (a (1) Z 0,k,, a (d) Z 0,k ) et a (j) 0. La partie spécifique à une branche d activité : les sinistres arrivent à la branche j aux temps d arrivée d un processus de Poisson (N j,t ) t 0 avec intensité λ j et Z j,k = σ (j) Z, j = 1,..., d.

34 Le processus du montant total des sinistres Le processus du montant total des sinistres est donné par N 0,t N 1,t N t C t = Z 0,k + Z 1,k e Z d,k e d = k=1 k=1 N d,t k=1 k=1 où N t = N 0,t + + N d,t est un processus de Poisson d intensité λ = λ λ d. De plus Z k d = Z0,1 δ 0 (ξ) + Z 1,1 e 1 δ 1 (ξ) + + Z d,1 e d δ d (ξ) où ξ est indépendant de Z 0,1, Z 1,1,, Z d,1 et P (ξ = k) = λ k λ pour k {0,..., d}. Z k

35 La probabilité de ruine Pour le modèle de chocs communs de Poisson, la probabilité de ruine satisfait λ 0 λ ( d α 1 c(α 1) + ψ d,fβ (u) lim u up (Z>u) = 1 λ 0 λ ) ( β(d 1)+1 d ) α 1 dc(α 1)

36 Conclusions mais... La théorie du risque est un domain de recherche important Interaction avec de nombreuses branches des mathématiques Liens vers d autres disciplines (théorie des files d attente, finance,...) complexité de calcul trop peu de formules explicites hypothèses du modèle trop simples.

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