Exercices de mathématiques

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1 Exo7 Exercices de mathématiques Année 03 Exercice.. Décomposer en éléments simples sur R.. Décomposer en éléments simples sur R. 3. Décomposer en éléments simples sur R. 4. Décomposer en éléments simples sur R. 5. Décomposer en éléments simples sur R Décomposer en éléments simples sur R. 7. Décomposer ( ) 4 en éléments simples sur R. 8. Décomposer ( ) 3 (+) en éléments simples sur R. 9. Décomposer 7 +3 ( ++) 3 en éléments simples sur R. 0. Décomposer (3 i) 5+3i en éléments simples sur C. +i+. Décomposer +i en éléments simples sur C. +i. Décomposer en éléments simples sur C. (+i) 3. Décomposer Décomposer 4 + en éléments simples sur R et sur C. en éléments simples sur R et sur C. 5. Décomposer en éléments simples sur R et sur C. 6. Décomposer en éléments simples sur R et sur C. 7. Décomposer en éléments simples sur R et sur C. 8. Décomposer 3 4 ( ++) en éléments simples sur R et sur C. 9. Décomposer ( +)( +4) 0. Décomposer 3 ( +)( +4) Correction. en éléments simples sur R et sur C. en éléments simples sur R et sur C = = = ( ) = = / + + /.

2 = / + + 3/ ( ) 4 = ( ) ( ) ( ) ( ) 3 (+) = + 3/4 ( ) 3 + 3/ ( ) + 37/6 /8 (+) 5/ ( ++) 3 = ( ++) 3 7+ ( ++) (3 i) 5+3i 0. = +i +i+ i + 3i +i. +i. +i = i i. (+i) = +i = / i (+i). 4 i + i + + / + = + 4 i + i.. 4 i i+ 4 i + i = /4 + + /4 + = 4 i + i+ 4 i + 4 i + i = ( )/ (+ )/4 + = + + i i i+ + i 4 + i = + 3/4 + / = + 3/4 + / i i = / 6 + / = / + /6 + 3 j a posé de façon standard j = + 3 i. +j ( ++) = ( ++) j ( j) + 4 i + + i+ + i+ + i+ 4 i + i+ i i +i. 3 j +j, où on ++ = 3 j + 3 ( j ) i j i j a posé de façon standard j = + 3 i. 9. ( +)( +4) = = /6 i + /6 +i /6 i /6 +i ( +)( +4) = 4/ /3 +4 = 3 i i + 3 i +i + 7 i i + 7 i +i., où on Exercice. Décomposition en éléments simples Φ = x4 + x 3 + 3x 6x + x 3 x. Indications. Attention il y a une partie entière, la fraction s écrit Φ = x + + 4x 6x + x 3 x. i+

3 Correction. Commencer ien sûr par la division suivant les puissances décroissantes (la faire faire par les étudiants) : Φ = x + + Φ avec Φ = 4x 6x+. x 3 x Puis factoriser le dénominateur et faire donner le type de décomposition de Φ : Φ = A x + B x + C x. () Expliquer qu on otient alors A en multipliant les deux memres de (??) par x et en passant à la limite quand x tend vers 0 (A = ). On otient de même C par multiplication par x et calcul de la limite quand x tend vers (C = ). Enfin on trouve B en identifiant pour une valeur particulière non encore utilisée, par exemple x =, ou mieux en multipliant les deux memres de (??) par x et en passant à la limite pour x (B = 4). Faire remarquer que pour un cas aussi simple, les calculs peuvent se faire de tête en écrivant simplement les coefficients A, B, C au fur et à mesure qu on les otient. x 4 + x 3 + 3x 6x + x 3 x = x + x + 4 x x. Exercice 3. Décomposition en éléments simples Φ = x5 8x 3 + 8x 4x + x 3 (x ). Indications 3. Il y a une partie entière qui vaut. Correction 3. La division suivant les puissances décroissantes donne : Φ = + Φ avec Φ = 4x4 0x 3 + 8x 4x + x 3 (x ) = A x 3 + B x + C x + D (x ) + E x. Faire remarquer que la méthode de l exercice précédent permettrait d otenir facilement A et D par multiplication par x 3 et par (x ), mais qu il resterait encore 3 coefficients à déterminer. Il y a ici une méthode plus efficace : effectuer la division suivant les puissances croissantes, à l ordre 3 (qui est l exposant du facteur x) du numérateur 4x + 8x 0x 3 + 4x 4 par (x ), ou plutôt par x + x : 4x+8x 0x 3 +4x 4 = ( x+x ) ( x+3x )+( x 3 +x 4 ). () En divisant les deux memres de (??) par x 3 (x ), on otient A, B et C d un seul coup : Φ = x 3 x + 3 x + x (x ). Le calcul de D et E est alors immédiat par décomposition de x : méthode (x ) de l exercice précédent, ou division suivant les puissances décroissantes de 3

4 x par x : x = (x ). x 5 8x 3 + 8x 4x + x 3 (x ) = + x 3 x + 3 x (x ) + x. Remarque : cette méthode est efficace pour un exposant assez grand (en gros P (x) à partir de 3). Elle peut être utilisée pour une fraction du type (x a) n Q(x), mais il faut commencer par le changement de variale u = x a avant de faire la division, puis ien entendu revenir ensuite à la variale x. Exercice 4 (Ensi PC 999). Décomposer en éléments simples sur R puis sur C : ( ++)( 3 ). Correction 4. ( + + )( 3 ) = / ( + ) + 3/4 + + / + /3 j + /3 j = / ( + ) + 3/4 + + / Exercice 5. Décomposer en éléments simples dans C() les fractions rationnelles suivantes ) ) + ( )( )( 3) 3) ( ) 4) + ( ) (+) 5) ( ) 3 (+) 3 6) 6 ( 3 ) 7/ 6 + 8) ) ( +) 3 ( ) 0) ) 7 + ( ++) 3 ) + ( ) 4 ( ) 3) (+) 7 7. Correction 5.. Soit = +3+5 ( )( ). et ne sont pas racines du polynôme et donc, F est ien sous forme irréductile. La partie entière de F étant clairement, F s écrit sous la forme : + a +, où a et sont deux réels. a = lim x (x )F (x) = +3+5 = 9 et = lim x (x )F (x) = = 5. Donc,

5 . Soit + F s écrit sous la forme : ( )( )( 3). La décomposition en éléments simples de a + + c 3, où a, et c sont trois réels. + a = lim x (x )F (x) = ( )( 3) =, puis = lim x (x )F (x) = 4+ ( )( 3) = 5 et 9+ c = lim x 3 (x 3)F (x) = (3 )(3 ) = 5. Donc, 3. Soit ( ) a + + c ( ), avec a = lim x 0 xf (x) = et c = lim x (x ) F (x) =. Enfin, x = fournit + 4 = 4 et donc =. Pour trouver, on peut aussi écrire (le meilleur) 0 = lim x + xf (x) = a + et donc que = a =. On peut encore écrire (le moins on ici) ( ) ( ) = ( ) ( ) Donc, = + ( ) =. Autre démarche. + ( ). ( ) = ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = + ( ). 4. Soit + ( ) (+). Puisque F est paire, la décomposition en éléments simples de F est de la forme : a + ( ) a ( + ).

6 = lim x (x ) F (x) = puis, x = 0 fournit a + = et donc a = 0. ( ( ) + ( + ) ). 5. Soit ( ) 3 (+) 3. Puisque F est paire, la décomposition en éléments simples de F est de la forme : a + ( ) + c ( ) 3 a + + c = lim x (x ) 3 F (x) = 64 puis, ( + ) c ( + ) 3. F 64 ( ( ) 3 ( + ) 3 ) = 64 ( + )3 + ( ) 3 64( ) 3 ( + ) 3 = ( ) 3 ( + ) 3 = ( ) 3 ( + ) 3 = 3 6 ( ) ( + ) Puis, = lim x (x ) (F (x) 64 ( ) = 3 (x ) 3 (x+) Enfin, x = 0 fournit 64 = a et a = Donc, = (+) = ( 3 6 ( ) + 8 ( ) ( + ) 8 ( + ) 3 ). 6. Soit 6 ( 3 ). On a déjà ( 3 ) = ( ) ( j) ( j ). Puisque F est réelle, la décomposition en éléments simples de F s écrit + a + ( ) + c j + d ( j) + c j + d ( j ). = lim z (z ) F (z) = 9 et d = lim z j (z j) F (z) = = Puis, j ( 3j) = j 9 j 6 (j ) (j j ) = j (j ) 4 = j (j j + ) 6

7 ( ) + j ( j) + j ( j ) = ( ) + (j + j ) (j + j ) + ( j) ( j ) Par suite, = ( ) ( j) ( j ) = ( + + ) + ( ( 3 = ( 3 ) F 9 ( ( ) + j ( j) + j ( j ) ) = 6 ( 3 ) 3 + 3( 3 ) Mais alors, a = lim z (z )(F (z) 9 ( = 4 9. De même, = 36 3( 3 ) 3 3( 3 ) = ( 3 ) = (z ) + j + (z j) j (z j ) ) = c = lim(z j)(f (z) z j 9 ( (z ) + j (z j) + j (z j ) ) = 4 3 Donc, (j )(j j ) = 4j ( 4 + ( ) + 4j j + j ( j) + 4j j + j ( j ) ). Si on veut la décomposition sur R, on peut regrouper les conjugués : + 9 ( 4 + ( ) + 4j ( j ) + 4j( j) + j ( j ) + j( j) + + ( + + ) ) = + 9 ( 4 + ( ) ( + + ) ) = + 9 ( 4 + ( ) ( + + ) ) = + 9 ( 4 + ( ) ( + + ) ) 7

8 7. Soit k=0 λ k ω k, où ω k = e i( π 6 + kπ 6 ). Mais, Donc, λ k = 6ω 5 k = ω k 6ω 6 k = ω k = 6 ( i i + i + i eiπ/6 e iπ/6 e iπ/6 e iπ/6 + eiπ/6 + e iπ/6 + + e 8. Soit e iπ/6 ). iπ/ = ( )( ) = ( ) ( 3 = ( ) ( ( ) + ( )) = ( ) 3 ( + ). La décomposition en éléments simples de F est donc de la forme Puis, a + ( ) + c ( ) 3 + d i + d + i. d = lim z i (z i )F (z) = = + 5i. 08 Ensuite, (i ) + 3 (i ) 3 (i + i ) = (i )( i i ) = 4 + d i + d + i = Mais alors, ( + 5i )( + i ) + ( 5i )( i ) 08 + = = 8

9 a + ( ) + c ( ) 3 = + 3 ( ) 3 ( + ) + 5 7( + ) = 7( + 3) ( + 5)( ) 3 7( ) 3 ( + ) Finalement, = ( + )( ) 7( ) 3 ( + ) = ( ) 3 = ( ) 3 ( + ) = ( ) 3 = 7 ( 6 ( ) + 36 ( ) 3 ). 7 ( 6 ( ) + 36 ( ) 3 ) + 5i ( 08 i + 5i + i ). 9. Soit. Puisque F est réelle et impaire, la décomposition en éléments simples de F est de la ( +) 3 ( ) forme a + a + + i + c ( i) + d ( i) i + c ( + i) + d ( + i) 3. a = lim x (x )F (x) = (+) 3 (+) = 6. Puis, F 6 ( + + ) = 8 ( + ) 3 8( + ) 3 ( ) = ( + ) 3 ( ) Mais alors, = ( )( 4 4 7) 8( + ) 3 ( ) = ( + ) 3 Puis, d = lim(x i) 3 F (x) = lim(x i) 3 (F (x) x i x i 6 ( x + x + )) = i 4 + 4i (i + i) 3 = i ( + ) 3 + i 6 ( i) 3 i 6 ( + i) 3 = ( + ) ( + ) 3 = + 6 8( + 9

10 Ensuite, c = i +6 8(i+i) = 5 3. Puis, + 6 8( + ) ( ( i) + ( + i) ) = ( + 6) + 5( ) 6( + ) = Enfin, = 7 6(i+i) = 7i 3. Finalement, 7 6( + ). 6 ( + 7i ) + 3 ( i + i ) 5 3 ( ( i) + ( + i) ) i 6 ( ( i) 3 ( + i) 0. Soit = 4 ( ) + ( ) + ( ) = ( )(( ) = ( )( + + )( + ) = ( )( j)( j )( + j)( + j ). Püisque F est réelle, la décomposition en éléments simples de F est de la forme a + + c + d j + d j + e + j + e j. F (x) x a = lim x + x =, puis = lim x + (F (x) x) = lim 5... x + x 5... =. Puis, c = = 3, d = j 6 + 5j 4 4j 3 +3j j+ = 3j +3j 3 = 6 = 3 et e = ( j) 6 + 5j 4 +4j 3 +3j +j+ = 3j +7j+5 = j+. Donc, j 3 j + j + + j + j + j.. Soit 7 + ( ++) 3. La décomposition sur R (hors programme) s otiendrait de la façon suivante 7 + = ( + + )( ) + + = ( + + )[( + + )( ) 4 ] + + = ( + + ) ( ) (4 + )( + + ) + + = ( + + ) [( + + )( 3) ] (4 + )( + + ) + + = + (4 + )( + + ) + (3 + 5)( + + ) + ( 3)( + + ) 3 0

11 Donc, ( + + ) + + ( + + ) 3.. Soit + ( ) 4 ( ). La décomposition de F en éléments simples est de la forme a + + ( ) + 3 ( ) ( ) 4 + c + c ( ) + d + + d ( + ) a = lim x 0 xf (x) = 4. Puis, c = lim x (x ) F (x) = = + ( ) 4 ( + ) = 3 8 ( ) 3 8 (7 ) = 3 8( ) = 3 6 (4 + 7 ). Un calcul conjugué fournit d = 3 6 (4 7 ). On a ensuite Puis, ( 6 ( ) ( + ) ) = ( ). F ( ) = ( + ) 3( )( ) 4 ( ) 4 ( ) Mais alors, = ( ) 4 ( ) = ( ) 4 ( ) c = ( ) 4 ( + ) = 3 6 8(7 ) = 8 ( ), et par un calcul conjugué, d = 8 ( ). Ensuite,

12 Puis, 8 ( ) = F ( ) = ( ) 4 ( ) 4( Ensuite, = ( ) + ( )( 4( ) 4 ( ) = ( ) 4 ( ) = ( ) 4 F ( ) = ( ) 4 4 = ( ) ( ) 4 4( ) 4 = ( ) 4 = ( ) 4 Enfin, 4 = lim x (x ) 4 8x3 488x +446x 36 (x ) 4 =, puis ( ) 4 ( ) 4 = ( ) 4 = ( ) 3 Puis, 3 = lim x (x ) 3 9x 53x+70 (x ) 3 = 8, puis ( ) 3 ( ) 3 = ( ) 3 = ( ) ce qui fournit = 9 et = 9. = ( ) = ( ) ( ) + 8 ( ) 3 + ( ) (4 7 ) + 6 ( + ). 3(4 + 7 ) + 6

13 3. Soit (+) 7 7. ( + ) 7 7 = = 7( = 7( + )( ) = 7( + )( + + ) Si on n a pas deviné que = ( + + ) (par exemple, en repérant que j est racine ou encore en manipulant l identité (a++c) = a + +c +(a+ac+c)), on peut pratiquer comme suit = ( + + ( + ) + 3) = (( + ) + ( + ) + = ( + + ) = ( + + ) La déccomposition en éléments simples de 7F est donc de la forme 7 a c j + a = (0+)(0 +0+) = et = ( )( +) d ( j) + c j + =. Puis, d ( j ). d = Ensuite, j(j + )(j j ) = j( j )j ( j + j ) = j ( 3j) = 3. 3 ( ( j) + ( j ) ) = ( j ) + ( j) 3( + + ) = + 3( + + ). Puis, 7F + 3( + + ) = 3 ( + )( + ) 3( + )( + + ) = ( + )( + + ) Mais alors, = + 3 3( + )( + + ). c = j j + 3 3j(j + )(j j ) = 5 3(j j ) = 3 5i 3 3.

14 Finalement, 7 ( + + 5i 3 3( j) + 3 3( j) 5i 3 3( j ) + 3( j ) ). Exercice 6. Décomposer en éléments simples dans C() les fractions rationnelles suivantes n! ) n ) ( )( n ) 3) ( )( )...( n) 4) 5) 4 cos(a)+ n +. Correction 6.. Soit P = n et P. La partie entière de F est nulle et les pôles de F sont simples (car P = n et P = n n n ont pas de racines communes dans C). De plus, P = n k=0 ( ω k) où ω k = e ikπ/n. Donc, n k=0 où Ainsi, λ k = λ k ω k P (ω k ) = nω n k = ω k nω n k n = n e ikπ/n n e ikπ/n. k=0 = ω k n.. Soit P = ( )( n ) = ( ) n k= ω k où ω k = e ikπ/n. Soit P. La partie entière de F est nulle. D autre part, F admet un pôle doule, à savoir et n pôles simples à savoir les ω k = e ikπ/n, k n. Donc, λ k = (n+)ω n k nωn Il reste à calculer a. a + n ( ) + = = ω k n( ω n k k ) = lim x (x ) F (x) = k= λ k ω k. n(ω k ). Ensuite, n = n. F n( ) = n (n + n ) n( ) ( n = n n 3... (n ) (n ) n( )( n ) Donc, a = lim x (x )(F (x) n(x ) ) = [(n )+(n )+...++] n(+...+) = n n. 4

15 Finalement, n ( n n n( ) + ( ) + n! 3. ( )...( n) = n λ k k= k avec λ k = lim x k (x k)f (x) = Donc, k= n! j k (j k) = n! n! n ( )...( n) = 4. Posons P = 4 cos(a) +. k= ω k ). ω k ω k n. ( ) n k (k )!(n k)! = n( )n k C k ( ) n k ncn k. k 4 cos(a) + = ( e ia )( e ia ) = ( e ia )( e ia )( + e ia )( + e ia ) (= ( cos a + )( + cos a + )). P est à racines simples si et seulement si e ia ±e ia ce qui équivaut à a / π Z. er cas. Si a πz, ( ) = a + ( ) a + + ( + ). = lim x (x ) F (x) = 4 donc a = = 4. puis x = 0 fournit 0 = a + et ( ) = 4 ( + ( ) + + ( + ) ). ème cas. Si a π + πz, ( + ) = a i + = lim x i (x i) F (x) = et donc a = i = i 4. i (i+i) ( i) a + i + = 4 ( + i). puis x = 0 fournit 0 = ia ( + ) = 4 ( i i + ( i) + i + i + ( + i) ). 5

16 3ème cas. Si a / π Z, puisque F est réelle et paire, avec A e ia + A e ia A + e ia A + e ia, A = Donc, e ia (e ia e ia )(e ia + e ia )(e ia + e ia ) = e ia 8i sin a cos ae ia = ieia 4 sin(a). ieia ( 4 sin(a) e ia + ie ia e ia + ieia + e ia + ie ia ). + e ia 5. Le polynôme n + = n k=0 ( ei( π n + kπ n ) ) est à racines simples car n a pas de racine commune avec sa dérivée. En posant ω k = e i( π n + kπ n ), on a où Finalement, λ k = n n + = λ k, ω k nω n k k=0 = ω k nω n k = ω k n. n + = n ω k. n ω k k=0 6