CCP PSI Math (t) = t sin(t) 0 sur R + cos(t) t t > 0; 0 1 Z +1. t 2 dt converge. Z. 1 cos(t) t 2 e xt 1 cos(t) t 2 e xt

Transcription

1 CCP PSI Mah 9. Eude de la foncion '... Pour > on a cos() e > donc cos(). d es C sur R e d () = sin(). d es donc croissane sur R on a donc pour : d() d() = Soi cos(). On divise par > 8 > ; cos() Remarque : c es un majoran mais pas le sup :.. Pour > on a bien cos() es de classe C sur R e En pariculier () = sin() sur R es posiive sur R donc es croissane sur R e comme () =, : Ce qui donne cos(). soi en divisan par > : 8 > ; cos(). Remarque :ici / es la limie en donc es le sup :! cos() es coninue posiive sur R Sur ]; ] On a une foncion majorée par d après la quesion précédene. Or. Sur [; [, on a cos() avec d qui converge. cos() dconverge cos() d converge. d converge. Donc cos() dconverge On a même prouvé que! cos() es inégrable sur R ce qui servira dans la suie. Si,! cos() e es coninue posiive sur R e cos() e cos(). Par majoraion '() eise sur R E on a même prouvé l inégrabilié pour ou de! 3.. On a : '( ) '( ) = cos() e cos() (e e ) d Si, la foncion cos() (e e ) es posiive sur R e les bornes son dans le bons sens. On a donc ) '( ) '( ). ' es décroissane minorée par ; elle adme donc une limie nie en :

2 3.. D après I.. on a comme e d converge : Par encadremen, on a : 8 > ; '() lim '() =! e d = 4.. Il s agi d uiliser le héorème de coninuié des inégrales à paramères. 8 ;! 8 > ;! cos() e es coninue inégrable sur R ( quesion I.) cos() e es coninue sur R On a dominaion sur [; [ : 8 ; 8 > ; inégrable sur R ( quesion I.) Ainsi, ' es coninue sur R cos() e 4.. Il s agi d uiliser le héorème de dérivaion des inégrales à paramères : 8 > ;! cos() e es de classe C sur R de dérivée! cos() cos(). Le majoran es indépendan de e es 8 ;! cos() e es coninue inégrable sur R e! cos() e es coninue sur R. On domine sur ou segmen [a; b] R en uilisan I..: 8 [a; b]; 8 > ; cos() e e a. Le majoran es indépendan de e es inégrable sur R (car a > ). La majoraion prouve l inégrabilé de! cos() e e la dominaion de la dérivée sur ou segmen. ' es ainsi de classe C sur R e e 8 > ; ' () = cos() e d 4.3. D après I.. on a Par encadremen, on en dédui que 8 > ; ' () lim! ' () = e d = 4.4. Il s agi à nouveau d uiliser le héorème de dérivaion des inégrales à paramères à ' : 8 > ;! cos() e es de classe C sur R de dérivée! ( cos())e 8 > ;! cos() e es coninue inégrable sur R ( I.4.) e! ( cos())e es coninue sur R. On domine sur ou segmen [a; b] R : 8 [a; b]; 8 > ; ( cos())e e a. Le majoran es indépendan de e es inégrable sur R (car a > ). La majoraion prouve ll inégrabilé de! ( ' es ainsi de classe C sur R e 8 > ; ' () = Remarque :on peu aussi appliquer le héorème C à ' cos())e e la dominaion de la dérivée sur ou segmen. ( cos())e d

3 X 4.5. On peu calculer cos() ep( )d par double inégraion par parie. Il es plus simple de passer par les complees : On a X e d = e X cos() = Re(e i ) e donc (car 6= ) e donc X En faisan endre X vers on obien comme e i 4.6. En prenan une primiive 8 > ; ' () = ln() e d = cos()e d = Re X(i ) X e (i ) d! e X(i ) = Re i i = e X p de limie nulle (car > ) : cos()e d = 8 > ; ' () = En faisan endre vers, on obien cse = e donc On remarque que ln( ) cse = ln cse 8 > ; ' () = ln lim ' () =! ' n es pas dérivable en (son graphe adme en une demi-angene vericale.) 5.. On a 5.. On cherche la primiive nulle en. ln = ln!!! Une inégraion par paries donne en prenan u() = ln( ) e v() = foncions C sur R : ln( ) d = ln( ) = ln( ) d d = ln( ) ( arcan()) 5.3. en inégran l epression ' = ln() ln( ), il eise une consane elle que : 8 > ; '() = ln() ln( ) arcan() cse = ln arcan() cse Si on fai endre vers on a lim ln = ( d après I.5.) e lim '() = (d après I.3. ) on obien cse = e donc 8 > ; '() = ln arcan() Re i 5.4. Or ' es coninue en, e donc : '() = lim! '() = 3

4 . Eude de l eisence de J m..! (sin())m pour m = lim es coninue sur ]; ] sin() = (sin()) m pour m > lim = Pour m, la foncion adme une limie ne en e es donc inégrable sur [; ]. Une inégraion par paries en posan u =, v = cos() donne sin() d = cos() cos(") cos() " " " d On a cos() cos(), donc lim = e cos(") " cos(). Donc comme " d converge sin() sin() (I.) d adme une limie nie si " end vers e vers. Donc d converge e en opéran les " passages à la limie on obien : cos() J = d = '() = sin() d = 3. La foncion! eik es coninue sur [; [ si k 6= : u() = = e v() = eik ik, son de classe C sur ]; [. donc par inégraion par parie : 8k 6= ; Comme e ik ik avec >, l inégrale jkj droie adme une limie quand!.. e ik d = eik ik e ik ik e ik d converge. De plus ik lim e ik ik d > e ik = ; donc le membre de ik Donc e ik d converge Si k = d diverge. e ik d converge si e seulemen si k 4.. D après la formule d Euler :sin() = ei e i E donc : i sin() m = (ei e i ) m (i) m = (i) m 8 [; [ ; e donc : mx k= m ( e i ) k e i n k = k (i) m sin() m d = (i) m mx k= mx k= m ( ) k I m k () k m ( ) k i(m k) e k 4.. Si m = p, alors pour ou k enier m k es non nul. D après la quesion II.3 oues les inégrales I m k convergen sin m () sin() m sin() m e donc d converge. D après la quesion II. dconverge e donc, d converge. 4

5 4.3. Pour m = p, oues les inégrales I m k convergen sauf si k = p:l epression précédene es donc la somme d une sin() m foncion ayan une limie nie e d une seule n ayan pas de limie nie e donc d diverge. Donc aussi sin ) m d sin() m d converge si e seulemen si m es impair 3. Calcul de J p... La foncion h es coninue sur ] ; ] e h ( ) = h (), donc h es coninue sur le segmen [ ; ] : les inégrales eisen. La foncion h es paire : 8n; b n (h ) = par parié on a pour n N : a n (h ) = On linéarise : cos( ) cos(n) = cos n cos a n (h ) = sin ( n) = n cos cos(n) d n. E donc sin ( n) = ( ) n sin() = n n n 8n N; a n (h ) = ( )n sin() n.. On a déjà vu que h es coninue sur la période [ ; ] donc sur R. De plus h es dérivable sur ] ; ] e la dérivée adme une limie à droie en, donc h es coninue Cpm sur R; sa série de Fourier converge normalemen sur R e sa somme es h e donc (n oubliez pas le a a ) 8 R; h () = sin() X n= n sin() ( ) n cos(n) On prend la valeur en : sin() X n= n sin() ( ) n =.. f éan coninue sur le segmen [ ; ] es bornée sur ce segmen. On pose M = sup (jfj) e [ ;] n Comme lim (n ) j n j M n = on a : (n ) d n = M ln (n ) lim ( n) = n! Remarque: On peu aussi faire le changemen de variable qui sui e appliquer le héorème de convergence dominée à f(sin(u)) u n du.. Le changemen de variable C bijecif sur [ (n ); n] u = n donne (compe-enu de l imparié de f) f(( ) n sin(u)) n = du = ( ) n f(sin(u)) u n u n du 5

6 On sépare l inégrale en e on pose v = u dans celle de gauche e v = u dans celle de droie : : n = ( ) n = ( ) n f(sin(u)) u n f( sin(v)) v n du ( )n ( dv)! f(sin(u)) u n ( ) n du f(sin(v)) v n dv On en dédui (oujours avec l imparié de f ) que ou encore f(sin(v)) n = ( ) n v n f(sin(v)) du = ( ) n v n n = n vf(sin(v)) (v n ) du.3. On a 8 [; ]; ju n ()j n Comme > on a la convergence simple de X (u n ) sur [; ]..4. On applique le héorème de coninuié d une somme de séries : les foncions u n son oues coninues sur [; ] On a convergence normale sur [; ] ; En e e n = n n =4 car n.. On a donc ju n ()j > jf(sin())j n M n =4 avec M n =4 indépendan de e X M n =4 qui converge par équivalen comme à la quesion précédene..5. Les foncions u n e la somme S son coninues sur [; ] e la série X (u n ) converge normalemen sur le segmen [; ], on peu inégrer ermes à ermes la série.! X n = X n = X u n ()d = n= n= n= n= X u n () d = S() d Sinon dire que ju n ()j d M n =4 = M n =4 qui es le erme général d une série convergene..6. On remarque que nx k = k= nie si n end vers : nx k= k (k ) X n= n = S() d f (sin()) n d = f (sin()) d. E cee epression adme une limie Pour un quelconque on encadre enre n e (n ). C es à dire que l on prend n = E alors, par relaion de Chasles, Xn Quand!, n! e k! n f(sin()) k= d M f(sin()) n Xn d = k= S() d. Par ailleurs, d = M ln n f(sin()) k d n (n ) M ln n! n! On a 6

7 On a donc : f(sin()) lim d =! Ce qui jusi e la convergence de l inégrale e le calcul : f(sin()) d = S() d S() d f(u).7. f es impaire donc f() =. comme on suppose aussi f dérivable en lim = f () e donc en posan u = sin() u on a que f(sin()) f(sin()) es coninue sur ]; ],e adme une limie nie en. d converge. sin() sin()! f(sin()) es coninue sur ]; ] e f(sin()) f(sin()) sin() f(sin()).8. D après les quesions III..6 e III..7. d e.. la relaion de Chasles donne le calcul en uilisan la relaion de III..6: f(sin()) d f(sin()) La foncion! f(sin()) sin() d = = = adme une limie nie en. f(sin()) f(sin()) f(sin()) f(sin()) f(sin()) sin() Donc, après prolongemen, on a bien une foncion coninue sur [; ]. f(sin()) d converge. d convergen, donc aussi. f(sin()) sin() f(sin()) d f(sin()) sin() f(sin()) S() d d sin() S() d d f(sin()) d S() es coninue sur ]; ] e se prolonge par coninuié en avec f () f ()S() = 3.. Pour f :! (qui es bien coninue, impaire sur [ ; ] e dérivable en ) on a (quesion III..) e avec la quesion précédene, c es à dire J 8 ]; ]; S() = sin() sin() d = J = X n= n sin() ( ) n = sin() sin() J = sin() sin() :d = sin() d = 3.. On uilise cee fois f() = 3. (qui es bien coninue, impaire sur [ ; ] e dérivable en ). la quesion III. donne alors : J 3 (sin()) d = X S() = (sin()) n sin() ( ) n = sin () n= (sin()) 3 (sin()) 3 sin() sin 3 ()! sin() (sin()) 3 d = qui se simpli e : J 3 = sin () d = 4 J 3 = =4 7

8 3.3. On uilise plus généralemen f(f) = p. On obien X S() = (sin()) p n sin() ( ) n = sin() p sin()p n= puis avec III. (comme précédemmen, les ermes se simpli en) J p = On es ramené au calcul classique d une inégrale de Wallis : Une inégraion par paries donne : sin() p d ou encore e donc : J p = (p ) J p = cos () sin p () d = (p )(J p J p ) J p = p p J p (p )(p 3) 5:3: (p)(p ) 6:4: J 8p N; J p = (p)! p (p!) 8