1 Probabilités-Rappel

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1 Chapitre Probabilités sur un ensemble fini - Probabilités conditionnelles 1 Probabilités-Rappel On lance un dé non truqué à six faces numérotées de 1 à 6 et on note le nombre figurant sur la face supérieure du dé. Lancer ce dé et noter le nombre inscrit sur la face supérieure du dé est une expérience dont on ne peut prévoir le résultat. On parle d expérience aléatoire. Les différentes issues de l expérience aléatoire s appellent des événements élémentaires. L ensemble des événements élémentaires est appelé univers. On le note Ω. Dans le cas du dé, on a : Ω = {1;2;3;;5;6} où on note 1 l événement "On a obtenu la face numérotée 1". On a card Ω= 6; ce qui signifie que le nombre d éléments de Ω est 6. Loi de probabilité sur un ensemble fini On note Ω = {e 1,e 2,,e n } l ensemble des événements élémentaires d une expérience aléatoire. Définir une loi de probabilité sur Ω, c est associer à chaque événement e i un nombre p i (appelé probabilité de e i ) positif ou nul de telle façon que : n 1. p i = p 1 + +p n = 1 i=1 2. La probabilité d un événement, notée P(), est la somme des probabilités p i des événements élémentaires qui constituent. Exemple : est "le chiffre obtenu est pair". On a : ={2;;6} et P()= P(2)+P()+P(6)= 3 (si le dé est parfait). 6 Remarque : Modéliser une expérience aléatoire, c est associer à cette expérience une loi de probabilité sur l ensemble Ω des résultats possibles. Choisir un modèle dépend des conditions de l expérience. Cas particulier essentiel : l équiprobabilité Il se peut que les conditions de l expérience conduise à choisir un modèle où les événements élémentaires ont tous la même probabilité. Il s agit d un modèle dit " d équiprobabilité". Si card Ω = n, alors p 1 = p 2 = = p n = 1 n. P()= card() card(ω) = nombre de cas favorables nombre de cas possibles 2 Union - Intersection - Complémentaire Ω Expérience aléatoire : On choisit une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. On considère les événements et suivants : : "La carte est un valet, une dame, ou un roi" : "La carte est un pique". On a alors : Ω est l ensemble des cartes du jeu de 32 cartes. est l ensemble des cartes qui sont un pique ou une figure. est formé des trois cartes : Le valet de pique, la dame de pique et le roi de pique. page 1 page 1 page 1

2 Propriétés : Soit et deux événements de Ω. 1. La probabilité de l événement certain est 1 : P(Ω)=1. 2. La probabilité de l événement impossible est 0 : P( )=0. 3. Si alors P() P().. P( )=P() + P() - P( ). 5. Si et sont incompatibles (c est à dire = ) alors P( )=P() + P(). 6. P(Ā)=1-P() ( Ā désigne l événement contraire de.) 3 Variable aléatoire Exemple : On tire au hasard une carte d un jeu de 32 cartes. Si on tire une carte rouge, on perd 1 euro. Si on tire une carte de pique, on gagne 2 euros. Si on tire une figure (Roi,Dame ou Valet) de trèfle, on gagne 5 euros. Si on tire une autre carte, on ne gagne rien mais on ne perd rien. On note X la variable aléatoire correspondant au "gain" d une partie. Xprend les valeurs suivantes : -1, 0, 2, 5. Définir la loi de probabilités de la variable aléatoire X c est déterminer les probabilités des événements "X = 1", "X = 0", "X = 2", "X = 5". Les résultats se présentent en tableau de la sorte : X = x i P(X = x i ) Espérance de la variable aléatoire L espérance aléatoire d une variable aléatoire X se note E(X) et se calcule ainsi : E(X) = n x i p i où p i = P(X = x i ). Dans l exemple : E(X) = = Variance et écart-type de la variable aléatoire La variance d une variable aléatoire X se note V(X) et se calcule ainsi : i=1 V(X) = n (x i E(X)) 2 p i = n x 2 i p i E(x) 2 où p i = P(X = x i ). i=1 L écart-type se note σ et on a : i=1 σ = V(X). ( Dans l exemple : V(X) = 1 15 ) 2 16 ( ) 2 5 ( ) 2 8 ( ) 2 3 3,61; et σ(x) 1,90. Exercice : On tire au hasard une carte d un jeu de 32 cartes. On définit la variable aléatoire X du gain algébrique : On gagne euros si la carte est un as, 2 euros si c est une figure et on perd 1 euro pour toutes les autres cartes. Donner la loi de probabilité de X et calculer l espérance E(X) puis l écart-type σ(x). page 2 page 2 page 2

3 Probabilités conditionnelles Exemple : Dans un groupe de 100 personnes, 0% des garçons et 15% des filles mesurent plus de 1,80 m. De plus, 60% des élèves sont des filles. Sachant qu un élève choisi au hasard mesure plus de 1,80 m, quelle est la probabilité que ce soit une fille? Solution : On convient de noter : pour "l élève est un garçon"; pour "l élève est une fille"; pour "l élève a une taille qui dépasse 1,80 m"; pour "l élève a une taille inférieure ou égale à 1,80 m". On peut organiser les données sous forme de tableau à double entrée. otal otal Pour remplir les marges du tableau, on utilise l information : "60% des élèves sont des filles". Sur 100 personnes du groupe, cela donne 60 filles et donc 0 garçons. Pour remplir la case du tableau corespondant à "garçon de plus de 1,80 m ", on utilise l information : "0% des garçons mesurent plus de 1,80 m". Sur 0 garçons, cela donne 0 0/100 ce qui fait 16 garçons de plus de 1,80 m et donc 2 garçons de taille inférieure à 1,80 m. De même, on utilise "15% de filles mesurent plus de 1, 80 m; ce qui donne 60 15/100 donc 9 filles mesurent plus de 1,80 m et 51 filles ont une taille inférieure ou égale à 1,80 m. On peut maintenant répondre à la question : Pour cela on note P () la probabilité de sachant. On a : P () = Ne pas confondre : P( ) et P (). En effet P( ) = et P () = On peut représenter la situation sous la forme d un arbre de la façon suivante : On écrit le long des "branches" de l arbre les probabilités. En particulier sur la branche allant de à, on note la probabilité conditionnelle P (). Et sur la branche allant de à, on note la probabilité conditionnelle P () qui est le complément à 1 de la précédente. De même sur les "branches" partant de. On peut aussi fabriquer un deuxième arbre en le commençant par et comme ci- dessous : Compléter ce deuxième arbre avec les probabilités qui conviennent sur les différentes "branches". page 3 page 3 page 3

4 Il y a un lien entre P( ) et P (). Cherchons ce lien. Raisonnons dans le cas d équiprobabilité : card( ) ///////////// otal card() otal card() card(ω) On a : P( )= card( ) card(ω) on peut déduire que : P( ) P() = card( ) card() et P() = card() card(ω) ; d où = P (). D où : Définition et étant deux événements quelconques de Ω avec P() 0, P () est la probabilité de l événement sachant que est réalisé et : P () = P( ). P() Remarque : On a donc : P( ) = P () P(), mais aussi P( ) = P () P(). Conséquence sur un arbre : P() P (C) P (D) C D P (C) P() = P( C) P (D) P() = P( D) P() P (E) E P (E) P() = P( E) P () P () P() = P( ) En suivant la première branche de l arbre et en multipliant les deux probabilités, on obtient : P (C) P() c est à dire P( C). Cette propriété se généralise même si l arbre a plusieurs niveaux de branches. Par exemple : d D P( D) = a b d a b c C Un exemple simple : Une boîte contient 5 boules : 2 blanches et 3 noires. On extrait au hasard deux boules successivement sans remise. On peut faire un arbre pour représenter la situation. On note "" : "On a extrait une boule blanche." On note "N" : "On a extrait une boule noire." On note E l événement : "Les deux boules extraites sont blanches" On note l événement : "Les deux boules extraites sont noires" On note l événement : "Les deux boules extraites sont de couleurs différentes" page page page

5 N N On a : P(E) = = 2 20 = P() = = 6 20 = P() = = = = N Un autre exemple : Dans un lycée, 55% des élèves sont des garçons dont 60% sont internes et 0% externes. 5% des élèves du lycée sont des filles dont 30% sont internes et 70% sont externes. 1. aire les deux arbres possibles. 2. On choisit un élève au hasard. a) Compléter les arbres par les probabilités connus. Puis, on complètera les arbres au fur et à mesure des résultats. b) Sachant que l élève choisi au hasard est interne, quelle est la probabilité que ce soit une fille? Solution : On note E :«l élève choisi est externe»; I :«l élève choisi est interne»; :«l élève choisi est un garçon»; :«l élève choisi est une fille»; I I E I E E On va calculer P(I). Pour cela, on utilise l arbre de gauche de la façon suivante : P( I) = P (I) P() =... P( I) = P (I) P() =... } P( I)+P( I) = P(I) =... Le résultat précédent permet alors de compléter partiellement l arbre de droite. La probabilité cherchée peut s écrire P I (). Elle correspond à la deuxième branche du deuxième arbre. On la calcule ainsi : P I ()= P(I ) P(I) = = On peut ainsi compléter une branche du deuxième arbre. Pour cela, on a utilisé une formule nommée «formule des probabilités totales». page 5 page 5 page 5

6 5 ormule des probabilités totales Partition de Ω rois parties,, C de Ω constituent une partition de Ω si on a : =, C =, C = et C = Ω Ω C Exemple de partition : On considère l ensemble Ω des cartes d un jeu de 32 cartes. est l ensemble des cartes de trèfle; l ensemble des cartes de pique; C l ensemble des cartes de couleur rouge Les ensembles, et C constituent une partition de Ω. ormule des probabilités totales Soit,, C une partition de Ω et D un événement de Ω. lors on a : P(D)=P(D ) + P(D ) + P(D C) P(D)=P (D) P() + P (D) P() + P C (D) P(C) D D D Ω Remarque : On peut appliquer cette formule avec une partition de plus de trois parties. D C C Exemple : Un sac contient 10 boules dont 2 blanches, 3 rouges et 5 noires. On procède au tirage, au hasard, successivement et sans remise de deux boules. Calculer la probabilité d obtenir une boule blanche au deuxième tirage. Solution : Notons 2 l événement «on a obtenu une boule blanche au deuxième tirage». Notons 1 l événement «on a obtenu une boule blanche au premier tirage». Notons R 2 l événement «on a obtenu une boule rouge au deuxième tirage». Notons R 1 l événement «on a obtenu une boule rouge au premier tirage». Notons N 2 l événement «on a obtenu une boule noire au deuxième tirage». Notons N 1 l événement «on a obtenu une boule noire au premier tirage». On peut faire un arbre en tenant compte de l ordre des tirages. page 6 page 6 page 6

7 1 N 1 R 1 2 N 2 R 2 2 N 2 R 2 2 N 2 R 2 P( 2 )=P( 2 1 ) + P( 2 N 1 ) + P( 2 N 1 ) P( 2 )= P 1 ( 2 ) P( 1 ) + P N1 ( 2 ) P(N 1 ) + P R1 ( 2 ) P(R 1 ) P( 2 )=.... Remarque : Les deux probabilités P( 2 ) et P 1 ( 2 ) sont différentes. Les deux événements 1 et 2 ne sont pas indépendants. 6 Événements indépendants Définition de l indépendance de deux événements et deux événements de Ω tels que P() 0. P ()=P() si et seulement si et sont indépendants. Remarque : Si P ()=P() alors P ()=P() avec P() 0. En effet : P ()= P( ) = P () P() = P() P() = P( ). P() P() P() Propriété Deux événements et sont indépendants si et seulement si P( )=P() P(). Exercice : On lance un dé parfait à 6 faces numérotées de 1 à 6. On considère les trois événements suivants : «le numéro obtenu est pair» «le numéro obtenu est supérieur strictement à» C «le numéro obtenu est supérieur ou égal à» 1. Calculer P(), P( ) et P( C). 2. Les événements et sont-ils indépendants? 3. Les événements et C sont-ils indépendants? Propriété et deux événements indépendants de Ω. lors les événements Ā et sont indépendants ; les événements Ā et sont indépendants ; Les événements et sont indépendants. Démonstration : page 7 page 7 page 7

8 Solution : 1. P() = 1 2 ; P() = 2 6 = 1 3 ; P(C)= 3 6 = P( )= P({6}) = 1 6. Or P() P( ) = = 1. Donc P( ) = P() P(). 6 et sont indépendants. 3. P( C)= P({,6}) = 2 6 = 1 3. Or P() P( C) = = 1. Donc P( C) P() P(C). et C ne sont pas indépendants. page 8 page 8 page 8

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