Probabilités élémentaires

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1 1. Exemple... p2 4. Lois de probabilité... p7 2. Vocabulaire... p4 5. Variables aléatoires... p8 3. Espaces probabilisés fiis... p4 Copyright meilleuremaths.com. Tous droits réservés

2 1. Exemple Probabilités élémetaires O cosidère l'expériece aléatoire cosistat à lacer deux pièces de moaie bie équilibrées Simulatio O cosidère l'évéemet «Obteir 2 fois pile» que l'o ote 2P. La simulatio utilisat le tableau opeoffice de dix séries de lacers de deux pièces a permis d'obteir, pour différetes valeurs de, les fréqueces de 2P suivates : Simulatio : A P, o associe 1 et à F, o associe 0. E A 1 : =Alea.etre.bores(0;1) E B 1 : =Alea.etre.bores(0;1) E C 1 : =A 1 *B 1 Pour 2P, o obtiet 1 et pour PF ou 2F, o obtiet 0. E E 1 : =Somme(C 1 ;C ) E E 2 =E 1 / O obtiet la fréquece e épreuves. O choisit Ω={2P;2F;PF} comme esemble des résultats possibles ou esemble des issues ou uivers. État doés les résultats des simulatios, o peut proposer comme loi de probabilité sur Ω: 1.2. E recherchat ue situatio d'équiprobabilité La loi de probabilité est dite équirépartie lorsqu elle associe la même probabilité à chaque issue. O choisit comme uivers : Ω'={(P;P);(P;F);(F;P);(F;F)} Pour cela, il suffit de différecier les 2 pièces. Copyright meilleuremaths.com. Tous droits réservés Page 2

3 O peut représeter l'uivers e utilisat u arbre Des autres évéemets Soit D l'évéemet : «Obteir u double» (obteir 2 fois pile ou 2 fois face) Soit E l'évéemet : «Obteir au mois ue fois pile» Calculer les probabilités des évéemets : D ; E ; D E et D E P (D)=P (P ; P)+P (F ; F )= = 1 2 P(D E)= P (P ; P) = 1 4 P(D E)= P (P ; P)+P ( F ; F )+P ( P ; F )+ P( F ; P)= Utilisatio d'ue variable aléatoire Pour ue mise de1, u joueur est ivité à lacer 2 pièces de moaie. Il gage 1 pour chaque pile obteu et perd 1 s'il 'obtiet aucu pile. O désige par X la variable aléatoire associat à chaque lacer le gai algébrique du joueur. a) Détermier la loi de probabilité de X. b) Combie le joueur peut-il espérer gager par partie? Copyright meilleuremaths.com. Tous droits réservés Page 3

4 a) Pour (P;P) : 2-1=1 Pour (P;F) : 1-1=0 Pour (F;P) : 1-1=0 Pour (F;F) : -1-1=-2 b) E ( X )= = 0,25 Le joueur effectuat «u grad ombre de parties»peut espérer «gager» e moyee : -0,25, c'est à dire perdre 0,25 par partie) 2. Vocabulaire Ω={ω 1 ; ω 2 ; ;ω } esemble fii est l'uivers. ω 1 ; ω 2 ; ;ω sot les évetualités (ou les issues). Les parties de Ω (c'est à dire les élémets de p(ω)) sot les évéemets. {ω i } est u évéemet élémetaire que l'o cofod souvet avec l'évetualité ω i. est l'évéemet impossible. Ω est l'évéemet certai. Si A est ue partie o vide de Ω alors A est ue réuio d'évéemets élémetaires. Si A et B sot deux parties de Ω alors A B est l'évéemet A ou B et A B est l'évéemet A et B. Si A est ue partie de Ω et A so complémetaire das Ω alors A est l'évéemet cotraire de A. Rappel : Si A est le complémetaire de A das Ω alors A est l'uique partie de Ω vérifiat : { A A=Ω A A= Si A et B sot deux parties de Ω telles que A B= alors o dit que les évéemets A et B sot icompatibles. 3. Espaces probabilisés fiis 3.1. Défiitio Ω est u esemble fii. P est ue applicatio qui a toute partie de Ω associe u ombre réel compris etre 0 et 1. O dit que P est ue probabilité sur Ω si et seulemet si P(Ω)=1 et pour tous évéemets A et B icompatibles (A B= ) o ait P(A B)=P(A) +P(B). Copyright meilleuremaths.com. Tous droits réservés Page 4

5 3.2. Propriétés a) Ω =Ω et Ω = P(Ω)=P(Ω )=P(Ω)+P( ) Doc : P( )=0 b) A et B sot deux évéemets et A B (c'est à dire tous les élémets de A appartieet à B). O pose A 1 = A B A 1 est l'esemble des élémets de B 'apparteat pas à A. Doc, B=A ( A B)=A A 1 O a A A 1 =A ( A B)= Doc, P(B)=P(A A 1 )=P(A)+P(A 1 ) Or, P(A 1 ) 1 (la probabilité d'u évéemet est u ombre compris etre 0 et 1). Doc, P(B) P(A) Si A B alors P(A) P(B) O dit que P est ue foctio croissate. c) Pour tout évéemet A, o a : A A =Ω et A A = P(Ω)=P(A A )=1=P(A)+P( A ) Doc, P( A )=1-P(A) Ou P(A)=1-P( A ) Copyright meilleuremaths.com. Tous droits réservés Page 5

6 d) Gééralisatio est u etier aturel supérieur ou égal à 2. Probabilités élémetaires Si A 1 ; A 2 ; A 3 ;...A sot évéemets icompatibles 2 à 2 (c'est à dire pour tous etiers aturels disticts i et j compris etre 1 et A i A j = ) alors P ( Ai )= P (A i ) e) Probabilité d'ue réuio de 2 évéemets A et B sot deux évéemets. O veut détermier la probabilité de A B. O e suppose pas que A B= I=A B est l'esemble des élémets commus à A et B. I 1 =A B est l'esemble des élémets de A 'apparteat pas à B. I 2 = A B est l'esemble des élémets de B 'apparteat pas à A. A B=(A B) (A B ) ( A B) A B=I I 1 I 2 Les évéemets I ; I 1 et I 2 sot icompatibles deux à deux, doc : P(A B)=P(I)+P(I 1 )+P(I 2 ) Or, A=(A B) (A B ) Les deux évéemets (A B) et (A B ) sot icompatibles. O obtiet : P(A)=P(A B)+P(A B ) Soit : P(A B )=P(A)-P(A B) Copyright meilleuremaths.com. Tous droits réservés Page 6

7 De même, B=(A B) ( A B) D'où, P(B)=P(A B)+P( A B) Soit : P( A B)=P(B)-P(A B) Coséquece : P(A B)=P(A B)+P(A)-P(A B)+P(B)-P(A B) Coclusio : P(A B)=P(A)+P(B)-P(A B) 4. Lois de probabilité 4.1. Cas gééral Ω={ω 1 ; ω 2 ; ;ω } P est ue probabilité sur Ω. O ote Π 1 =P({ω 1 })=P(ω 1 ) ; Π 2 =P({ω 2 })=P(ω 2 ) ; ; Π =P({ω })=P(ω ). Pour tout etier aturel i compris etre 1 et, o a 1 Π i Ω= { ωi } Pour tous etiers aturels disticts i et j compris etre 1 et., o a ω i ω j doc {ω i } {ω j }=. P (Ω)= P( i =1 Doc : Π i =1 Coséquece : {ωi })= 1 P ({ω i })= Π i =1 Si o coaît les Π i o est capable de calculer la probabilité de tout évéemet. La doée des Π i est la loi de probabilité, o doe gééralemet la loi de probabilité sous forme de tableau. Rappel : Si o détermie les Π i après expérimetatio ou simulatio, alors si p est la probabilité d'u évéemet et f la fréquece de réalisatio de cet évéemet lorsqu'o répète l'expériece fois, la distace f p reste, das au mois 95% des cas, iférieur à 1. Copyright meilleuremaths.com. Tous droits réservés Page 7

8 4.2. Probabilité uiforme ou loi équirépartie O dit que la loi est équirépartie lorsque tous les évéemets élémetaires ot la même probabilité doc : Π 1 = Π 2 = =Π Or, Π i =1= Π 1 Doc, pour tout etier aturel compris etre 1 et : P (ω i )= 1 = 1 card Ω A est ue partie de Ω. Si A= alors P(A)=0 Si A={ω 2 ;ω 3 ;ω 6 } alors P(A)=Π 2 +Π 3 +Π 6 = = 3 Or, 3=card A Doc, P ( A)= card A card Ω Coséquece : Si la loi est équirépartie alors résoudre u problème de probabilité reviet à résoudre u problème de déombremet. 5. Variables aléatoires 5.1. Exemple O cosidère l'expériece aléatoire cosistat à lacer trois pièces de moaie bie équilibrées. Il y a 8 issues à cette expériece. Ω={PPP;PPF;PFP;FPP;PFF;FPF;FFP;FFF} O suppose que la loi est équirépartie (c'est à dire la probabilité de chaque issue est 1 8 ). Pour ue mise de 1, u joueur est ivité à lacer 3 pièces de moaie, il gage 2 pour chaque pile obteu et perd u euro pour chaque face. O ote X la variable aléatoire égale au gai algébrique du joueur. Copyright meilleuremaths.com. Tous droits réservés Page 8

9 5.2. Défiitio Soit Ω u uivers fii mui d'ue probabilité. O omme variable aléatoire réelle toute applicatio de Ω das R. Notatio : Ω={ω 1 ; ω 2 ; ;ω } X (ω i )=x k O classe les x k das l'ordre croissat : x 1 < x 2 < < x k < <x p (attetio x 1 'est pas écessairemet l'image de ω 1 par X) x={x 1 ; x 2 ; ;x p } est l'uivers image. (X={x k })={ω j,x(ω j )=x k } (X={x k }) est u évéemet. Si x x alors (X=x)= X ( PPP)=3 2 1=5 X ( PPF)= =2 X ( PFP)= =2 X ( FPP)= =2 X ( PFF)= = 1 X ( FPF)= = 1 X ( FFP)= = 1 X ( FFF)= = 4 x={-4;-1;2;5} (X=-1)={PFF;FPF;FFP} (X=0)= 5.3. Loi de probabilité Soit l'uivers Ω mui de la probabilité P et X ue variable aléatoire réelle sur Ω. O omme loi de probabilité de X, l'applicatio ϕ de R das [0;1] défiie par ϕ(x)=p ( X =x). Copyright meilleuremaths.com. Tous droits réservés Page 9

10 Si x {x 1 ; x 2 ; ;x p } alors φ( x)=0 Pour x {x 1 ; x 2 ; ;x p }, o dispose les résultats sous forme de tableau. P ( X = 4)= 1 8 P ( X = 1)= 3 8 P ( X =2)= 3 8 P ( X =5)= Notatio x R (X x)={ω j,x(ω j ) x} (X x) est u évéemet. Si x<x 1 alors (X x)= Si x p x alors (X x)=ω (X 6)= (X 3 )=(X=-4) (X=-1)={FFF;PFF;FPF;FFP} (X 6)=Ω 5.5. Espérace mathématique Soit X ue variable aléatoire réelle défiie sur u uivers fii Ω mui de la probabilité P et preat les valeurs x 1 ; x 2 ; x p O omme espérace mathématique de X le réel oté E(X) défii par : E ( X )= x 1 P ( X =x 1 )+x 2 P ( X = x 2 )+ +P ( X =x p ) E ( X )= = 4 8 =0,5 Copyright meilleuremaths.com. Tous droits réservés Page 10

11 5.6. Variace O omme variace de X le réel oté Var(X) défii par : Var( X )=(x 1 E ( X )) 2 P ( X = x 1 )+(x 2 E ( X )) 2 P ( X =x 2 )+ +(x p E ( X )) 2 P ( X =x p ) Var ( X )= x 2 1 P ( X =x 1 )+x 2 2 P ( X = x 2 )+ +x 2 p P ( X =x p ) (E ( X )) 2 Var ( X )=( 4 0,5) ( 1 0,5) (2 0,5) (5 0,5)2 1 8 Var ( X )=6,75= 27 4 O peut vérifier : ( 4) ( 1) ,52 =6,75= Ecart-type O omme écart-type d'ue variable aléatoire réelle X le réel oté σ(x) défii par : σ( X )= Var ( X ) σ( X )= 27 4 = ,6 Copyright meilleuremaths.com. Tous droits réservés Page 11