Probabilités élémentaires

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Probabilités élémentaires"

Transcription

1 1. Exemple... p2 4. Lois de probabilité... p7 2. Vocabulaire... p4 5. Variables aléatoires... p8 3. Espaces probabilisés fiis... p4 Copyright meilleuremaths.com. Tous droits réservés

2 1. Exemple Probabilités élémetaires O cosidère l'expériece aléatoire cosistat à lacer deux pièces de moaie bie équilibrées Simulatio O cosidère l'évéemet «Obteir 2 fois pile» que l'o ote 2P. La simulatio utilisat le tableau opeoffice de dix séries de lacers de deux pièces a permis d'obteir, pour différetes valeurs de, les fréqueces de 2P suivates : Simulatio : A P, o associe 1 et à F, o associe 0. E A 1 : =Alea.etre.bores(0;1) E B 1 : =Alea.etre.bores(0;1) E C 1 : =A 1 *B 1 Pour 2P, o obtiet 1 et pour PF ou 2F, o obtiet 0. E E 1 : =Somme(C 1 ;C ) E E 2 =E 1 / O obtiet la fréquece e épreuves. O choisit Ω={2P;2F;PF} comme esemble des résultats possibles ou esemble des issues ou uivers. État doés les résultats des simulatios, o peut proposer comme loi de probabilité sur Ω: 1.2. E recherchat ue situatio d'équiprobabilité La loi de probabilité est dite équirépartie lorsqu elle associe la même probabilité à chaque issue. O choisit comme uivers : Ω'={(P;P);(P;F);(F;P);(F;F)} Pour cela, il suffit de différecier les 2 pièces. Copyright meilleuremaths.com. Tous droits réservés Page 2

3 O peut représeter l'uivers e utilisat u arbre Des autres évéemets Soit D l'évéemet : «Obteir u double» (obteir 2 fois pile ou 2 fois face) Soit E l'évéemet : «Obteir au mois ue fois pile» Calculer les probabilités des évéemets : D ; E ; D E et D E P (D)=P (P ; P)+P (F ; F )= = 1 2 P(D E)= P (P ; P) = 1 4 P(D E)= P (P ; P)+P ( F ; F )+P ( P ; F )+ P( F ; P)= Utilisatio d'ue variable aléatoire Pour ue mise de1, u joueur est ivité à lacer 2 pièces de moaie. Il gage 1 pour chaque pile obteu et perd 1 s'il 'obtiet aucu pile. O désige par X la variable aléatoire associat à chaque lacer le gai algébrique du joueur. a) Détermier la loi de probabilité de X. b) Combie le joueur peut-il espérer gager par partie? Copyright meilleuremaths.com. Tous droits réservés Page 3

4 a) Pour (P;P) : 2-1=1 Pour (P;F) : 1-1=0 Pour (F;P) : 1-1=0 Pour (F;F) : -1-1=-2 b) E ( X )= = 0,25 Le joueur effectuat «u grad ombre de parties»peut espérer «gager» e moyee : -0,25, c'est à dire perdre 0,25 par partie) 2. Vocabulaire Ω={ω 1 ; ω 2 ; ;ω } esemble fii est l'uivers. ω 1 ; ω 2 ; ;ω sot les évetualités (ou les issues). Les parties de Ω (c'est à dire les élémets de p(ω)) sot les évéemets. {ω i } est u évéemet élémetaire que l'o cofod souvet avec l'évetualité ω i. est l'évéemet impossible. Ω est l'évéemet certai. Si A est ue partie o vide de Ω alors A est ue réuio d'évéemets élémetaires. Si A et B sot deux parties de Ω alors A B est l'évéemet A ou B et A B est l'évéemet A et B. Si A est ue partie de Ω et A so complémetaire das Ω alors A est l'évéemet cotraire de A. Rappel : Si A est le complémetaire de A das Ω alors A est l'uique partie de Ω vérifiat : { A A=Ω A A= Si A et B sot deux parties de Ω telles que A B= alors o dit que les évéemets A et B sot icompatibles. 3. Espaces probabilisés fiis 3.1. Défiitio Ω est u esemble fii. P est ue applicatio qui a toute partie de Ω associe u ombre réel compris etre 0 et 1. O dit que P est ue probabilité sur Ω si et seulemet si P(Ω)=1 et pour tous évéemets A et B icompatibles (A B= ) o ait P(A B)=P(A) +P(B). Copyright meilleuremaths.com. Tous droits réservés Page 4

5 3.2. Propriétés a) Ω =Ω et Ω = P(Ω)=P(Ω )=P(Ω)+P( ) Doc : P( )=0 b) A et B sot deux évéemets et A B (c'est à dire tous les élémets de A appartieet à B). O pose A 1 = A B A 1 est l'esemble des élémets de B 'apparteat pas à A. Doc, B=A ( A B)=A A 1 O a A A 1 =A ( A B)= Doc, P(B)=P(A A 1 )=P(A)+P(A 1 ) Or, P(A 1 ) 1 (la probabilité d'u évéemet est u ombre compris etre 0 et 1). Doc, P(B) P(A) Si A B alors P(A) P(B) O dit que P est ue foctio croissate. c) Pour tout évéemet A, o a : A A =Ω et A A = P(Ω)=P(A A )=1=P(A)+P( A ) Doc, P( A )=1-P(A) Ou P(A)=1-P( A ) Copyright meilleuremaths.com. Tous droits réservés Page 5

6 d) Gééralisatio est u etier aturel supérieur ou égal à 2. Probabilités élémetaires Si A 1 ; A 2 ; A 3 ;...A sot évéemets icompatibles 2 à 2 (c'est à dire pour tous etiers aturels disticts i et j compris etre 1 et A i A j = ) alors P ( Ai )= P (A i ) e) Probabilité d'ue réuio de 2 évéemets A et B sot deux évéemets. O veut détermier la probabilité de A B. O e suppose pas que A B= I=A B est l'esemble des élémets commus à A et B. I 1 =A B est l'esemble des élémets de A 'apparteat pas à B. I 2 = A B est l'esemble des élémets de B 'apparteat pas à A. A B=(A B) (A B ) ( A B) A B=I I 1 I 2 Les évéemets I ; I 1 et I 2 sot icompatibles deux à deux, doc : P(A B)=P(I)+P(I 1 )+P(I 2 ) Or, A=(A B) (A B ) Les deux évéemets (A B) et (A B ) sot icompatibles. O obtiet : P(A)=P(A B)+P(A B ) Soit : P(A B )=P(A)-P(A B) Copyright meilleuremaths.com. Tous droits réservés Page 6

7 De même, B=(A B) ( A B) D'où, P(B)=P(A B)+P( A B) Soit : P( A B)=P(B)-P(A B) Coséquece : P(A B)=P(A B)+P(A)-P(A B)+P(B)-P(A B) Coclusio : P(A B)=P(A)+P(B)-P(A B) 4. Lois de probabilité 4.1. Cas gééral Ω={ω 1 ; ω 2 ; ;ω } P est ue probabilité sur Ω. O ote Π 1 =P({ω 1 })=P(ω 1 ) ; Π 2 =P({ω 2 })=P(ω 2 ) ; ; Π =P({ω })=P(ω ). Pour tout etier aturel i compris etre 1 et, o a 1 Π i Ω= { ωi } Pour tous etiers aturels disticts i et j compris etre 1 et., o a ω i ω j doc {ω i } {ω j }=. P (Ω)= P( i =1 Doc : Π i =1 Coséquece : {ωi })= 1 P ({ω i })= Π i =1 Si o coaît les Π i o est capable de calculer la probabilité de tout évéemet. La doée des Π i est la loi de probabilité, o doe gééralemet la loi de probabilité sous forme de tableau. Rappel : Si o détermie les Π i après expérimetatio ou simulatio, alors si p est la probabilité d'u évéemet et f la fréquece de réalisatio de cet évéemet lorsqu'o répète l'expériece fois, la distace f p reste, das au mois 95% des cas, iférieur à 1. Copyright meilleuremaths.com. Tous droits réservés Page 7

8 4.2. Probabilité uiforme ou loi équirépartie O dit que la loi est équirépartie lorsque tous les évéemets élémetaires ot la même probabilité doc : Π 1 = Π 2 = =Π Or, Π i =1= Π 1 Doc, pour tout etier aturel compris etre 1 et : P (ω i )= 1 = 1 card Ω A est ue partie de Ω. Si A= alors P(A)=0 Si A={ω 2 ;ω 3 ;ω 6 } alors P(A)=Π 2 +Π 3 +Π 6 = = 3 Or, 3=card A Doc, P ( A)= card A card Ω Coséquece : Si la loi est équirépartie alors résoudre u problème de probabilité reviet à résoudre u problème de déombremet. 5. Variables aléatoires 5.1. Exemple O cosidère l'expériece aléatoire cosistat à lacer trois pièces de moaie bie équilibrées. Il y a 8 issues à cette expériece. Ω={PPP;PPF;PFP;FPP;PFF;FPF;FFP;FFF} O suppose que la loi est équirépartie (c'est à dire la probabilité de chaque issue est 1 8 ). Pour ue mise de 1, u joueur est ivité à lacer 3 pièces de moaie, il gage 2 pour chaque pile obteu et perd u euro pour chaque face. O ote X la variable aléatoire égale au gai algébrique du joueur. Copyright meilleuremaths.com. Tous droits réservés Page 8

9 5.2. Défiitio Soit Ω u uivers fii mui d'ue probabilité. O omme variable aléatoire réelle toute applicatio de Ω das R. Notatio : Ω={ω 1 ; ω 2 ; ;ω } X (ω i )=x k O classe les x k das l'ordre croissat : x 1 < x 2 < < x k < <x p (attetio x 1 'est pas écessairemet l'image de ω 1 par X) x={x 1 ; x 2 ; ;x p } est l'uivers image. (X={x k })={ω j,x(ω j )=x k } (X={x k }) est u évéemet. Si x x alors (X=x)= X ( PPP)=3 2 1=5 X ( PPF)= =2 X ( PFP)= =2 X ( FPP)= =2 X ( PFF)= = 1 X ( FPF)= = 1 X ( FFP)= = 1 X ( FFF)= = 4 x={-4;-1;2;5} (X=-1)={PFF;FPF;FFP} (X=0)= 5.3. Loi de probabilité Soit l'uivers Ω mui de la probabilité P et X ue variable aléatoire réelle sur Ω. O omme loi de probabilité de X, l'applicatio ϕ de R das [0;1] défiie par ϕ(x)=p ( X =x). Copyright meilleuremaths.com. Tous droits réservés Page 9

10 Si x {x 1 ; x 2 ; ;x p } alors φ( x)=0 Pour x {x 1 ; x 2 ; ;x p }, o dispose les résultats sous forme de tableau. P ( X = 4)= 1 8 P ( X = 1)= 3 8 P ( X =2)= 3 8 P ( X =5)= Notatio x R (X x)={ω j,x(ω j ) x} (X x) est u évéemet. Si x<x 1 alors (X x)= Si x p x alors (X x)=ω (X 6)= (X 3 )=(X=-4) (X=-1)={FFF;PFF;FPF;FFP} (X 6)=Ω 5.5. Espérace mathématique Soit X ue variable aléatoire réelle défiie sur u uivers fii Ω mui de la probabilité P et preat les valeurs x 1 ; x 2 ; x p O omme espérace mathématique de X le réel oté E(X) défii par : E ( X )= x 1 P ( X =x 1 )+x 2 P ( X = x 2 )+ +P ( X =x p ) E ( X )= = 4 8 =0,5 Copyright meilleuremaths.com. Tous droits réservés Page 10

11 5.6. Variace O omme variace de X le réel oté Var(X) défii par : Var( X )=(x 1 E ( X )) 2 P ( X = x 1 )+(x 2 E ( X )) 2 P ( X =x 2 )+ +(x p E ( X )) 2 P ( X =x p ) Var ( X )= x 2 1 P ( X =x 1 )+x 2 2 P ( X = x 2 )+ +x 2 p P ( X =x p ) (E ( X )) 2 Var ( X )=( 4 0,5) ( 1 0,5) (2 0,5) (5 0,5)2 1 8 Var ( X )=6,75= 27 4 O peut vérifier : ( 4) ( 1) ,52 =6,75= Ecart-type O omme écart-type d'ue variable aléatoire réelle X le réel oté σ(x) défii par : σ( X )= Var ( X ) σ( X )= 27 4 = ,6 Copyright meilleuremaths.com. Tous droits réservés Page 11

Éléments de probabilité.

Éléments de probabilité. Élémets de probabilité.. Gééralités Les probabilités s'occupet de phéomèes aléatoires, c'est à dire qui sot liés au hasard. Défiitio : O appelle expériece aléatoire, ue expériece dot les résultats, o tous

Plus en détail

PROBABILITÉS. Définition : Une variable aléatoire X est une fonction définie sur un univers Ω et à valeur dans!.

PROBABILITÉS. Définition : Une variable aléatoire X est une fonction définie sur un univers Ω et à valeur dans!. PROBABILITÉS E 654, Blaise Pascal (63 ; 66) etretiet avec Pierre de Fermat (60 ; 665) des correspodaces sur le thème des jeux de hasard et d'espérace de gai qui les mèet à exposer ue théorie ouvelle :

Plus en détail

Chapitre 9 La loi binomiale

Chapitre 9 La loi binomiale A) Variables aléatoires 1) Défiitio Chapitre 9 La loi biomiale O appelle variable aléatoire X ue foctio qui associe à tout résultat (évéemet élémetaire) u ombre réel. Pour ue même expériece aléatoire,

Plus en détail

Calcul des probabilités 2 (M-2.1)

Calcul des probabilités 2 (M-2.1) Calcul des probabilités (M-.) I. Probabilités sur u esemble fii. Défiitios Défiitio Ue expériece aléatoire est ue expériece dot il est impossible de prévoir l issue (mais o coaît toutes les issues possibles)

Plus en détail

Loi binomiale. Loi de Bernoulli

Loi binomiale. Loi de Bernoulli Loi biomiale Loi de Beroulli O s itéresse ici à la réalisatio ou o d u évéemet. Autremet dit, o étudie les expérieces aléatoires qui ot que deux issues possibles : Obteir Pile ou Face Doer aissace à u

Plus en détail

CH V : Variables aléatoires - généralités

CH V : Variables aléatoires - généralités CH V : Variables aléatoires - gééralités I. Notio de variable aléatoire réelle Soit (Ω, A ) u espace probabilisable. O dit que X est ue variable aléatoire réelle défiie sur (Ω, A ) si : (i) X est ue applicatio

Plus en détail

X 1 = { X si X est impair 0 sinon

X 1 = { X si X est impair 0 sinon Corrigé ECRICOME 998 par Pierre Veuillez Das tout le problème, X désige ue variable aléatoire défiie sur u espace probabilisé (Ω, A, P et à valeurs das N et E(X l espérace de X si elle eiste. O ote A l

Plus en détail

Opérations sur les variables aléatoires Lois limites

Opérations sur les variables aléatoires Lois limites Opératios sur les variables aléatoires Lois limites A. Idépedace de deux variables aléatoires. Exemple 1. Pour améliorer le stockage d u produit u supermarché fait ue étude sur la vete de packs de 6 bouteilles

Plus en détail

Éléments de probabilités

Éléments de probabilités Chapitre 1 Élémets de probabilités 1.1 Notio d expériece aléatoire Défiitio 1 Ue expériece, dot o coait les issues possibles, est appelé expériece aléatoire s il est impossible de savoir à l avace quelle

Plus en détail

Terminale S. Lycée Desfontaines Melle Chapitre 11 Probabilité Conditionnement et indépendance

Terminale S. Lycée Desfontaines Melle Chapitre 11 Probabilité Conditionnement et indépendance Termiale S. Lycée Desfotaies Melle Chapitre 11 Probabilité Coditioemet et idépedace I. Probabilité coditioelle 1- Exemple Das u lycée coteat N élèves, 4% des élèves sot des filles, % des garços. Parmi

Plus en détail

Variables aléatoires finies Présentation

Variables aléatoires finies Présentation Variables aléatoires fiies Présetatio. Défiitio élémetaire (tombola).... Le prix de vete d'u billet de la tombola... 3 3. Espérace mathématique d ue variable aléatoire fiie... 4 4. Variace et écart type

Plus en détail

Chapitre 6 Théorèmes de convergence

Chapitre 6 Théorèmes de convergence Chapitre 6 Théorèmes de covergece 1. La covergece e loi O a déjà recotré ue covergece e loi lors de l approximatio d ue loi biomiale par ue loi de Poisso. Ce problème se place das u cadre plus gééral où

Plus en détail

Lois normales. Intervalle de fluctuation. Estimation.

Lois normales. Intervalle de fluctuation. Estimation. Lois ormales. Itervalle de fluctuatio. Estimatio.. Loi ormale cetrée réduite... p. Théorème de Moivre-Laplace... p 3. Loi ormale (µ ; σ²)... p3 Copyright meilleuremaths.com. Tous droits réserwidevec{}vés

Plus en détail

donc sont-ils colinéaires : ne sont pas colinéaires donc les points A, B et C ne sont pas alignés.

donc sont-ils colinéaires : ne sont pas colinéaires donc les points A, B et C ne sont pas alignés. 1 Exercice 1 ( poits) L espace est mui d u repère orthoormal (O ; i, j, k ). Les poits A, B et C ot pour coordoées respectives A (1 ; ; ), B ( ; 6 ; 5), C( ; ; 3). 1 a) Démotrer que les poits A, B et C

Plus en détail

Autour de la loi de Poisson

Autour de la loi de Poisson Agrégatio Itere de Mathématiques Thierry Champio séace du 25 ovembre 2016 Autour de la loi de Poisso Notatios - Itroductio Das tout ce problème, (Ω, T, P) est u espace probabilisé. Toutes les variables

Plus en détail

Introduction aux tests statistiques

Introduction aux tests statistiques Itroductio aux tests statistiques Philippe Boeau 27 septembre 2006 Chapitre 1 Élémets de probabilités Exercice 1 O ote E l esemble des etiers aturels iférieurs ou égaux à 12 et A (respectivemet B et C)

Plus en détail

- Représenter un schéma de Bernoulli par un arbre pondéré. - Reconnaître des situations relevant de la loi binomiale

- Représenter un schéma de Bernoulli par un arbre pondéré. - Reconnaître des situations relevant de la loi binomiale www.mathselige.com STI2D - P2 - LOI IOMIALE COURS (/5) Le travail sur les séries statistiques et les probabilités meé e classe de secode se poursuit avec la mise e place de ouveaux outils. Les scieces

Plus en détail

SUITES NUMERIQUES. q n. pour q. n + Une suite numérique est une fonction associant à tout nombre entier naturel n, un nombre réel u(n) : u :

SUITES NUMERIQUES. q n. pour q. n + Une suite numérique est une fonction associant à tout nombre entier naturel n, un nombre réel u(n) : u : SUITES NUMERIQUES Coteus : Capacités attedues : Commetaires : Suites Limite d ue suite défiie par so terme gééral Notatio lim u Suites géométriques : - somme de termes cosécutifs d ue suite géométrique

Plus en détail

I- Rappel I-1. Types de tirages : Soit un ensemble fini E contenant n éléments. On considère l'épreuve suivante : " tirer p éléments de E ".

I- Rappel I-1. Types de tirages : Soit un ensemble fini E contenant n éléments. On considère l'épreuve suivante :  tirer p éléments de E . Cours de termiales Probabilités sur u esemble fii Mr ABIDI F I- Rappel I- Types de tirages : Soit u esemble fii E coteat élémets O cosidère l'épreuve suivate : " tirer p élémets de E " Type de tirages

Plus en détail

Probabilités, MATH 424 Feuille de travaux dirigés 2. Solutions.

Probabilités, MATH 424 Feuille de travaux dirigés 2. Solutions. Probabilités, MATH 44 Feuille de travaux dirigés. Solutios. 1 Exercices Exercice 1. O jette trois dés o pipés. 1. Calculer la probabilité d obteir au mois u 1.. Que vaut la probabilité d obteir au mois

Plus en détail

Exercices d oraux de la banque CCP Corrigés BANQUE PROBABILITÉS

Exercices d oraux de la banque CCP Corrigés BANQUE PROBABILITÉS Exercices d oraux de la baque CCP 204-20 - Corrigés BANQUE PROBABILITÉS EXERCICE 96 (a La variable aléatoire X est régie par ue loi biomiale E effet, expérieces idetiques et idépedates (car les tirages

Plus en détail

CONVERGENCE ET APPROXIMATION

CONVERGENCE ET APPROXIMATION 11-2- 2010 J.F.C. Cov. p. 1 CONVERGENCE ET APPROXIMATION I CONVERGENCE EN PROBABILITÉ 1. Défiitio 2. Ue coditio suffisate de covergece e probabilité 3. La loi faible des grads ombres 4. Ue coséquece de

Plus en détail

Correction du devoir Surveillé 6 : Probabilités

Correction du devoir Surveillé 6 : Probabilités S www.wicky-math.fr.f DS - Probabilités Correctio du devoir Surveillé : Probabilités Exercice. ROC Démotrer le théorème suivat : ( poits) Théorème : La probabilité de la réuio de deux évéemetsaetb est

Plus en détail

Corrigé du DS n 1. Exercice 1 (6 points)

Corrigé du DS n 1. Exercice 1 (6 points) Exercice 1 (6 poits) Corrigé du DS 1 Das cet exercice, les probabilités demadées serot doées sous forme décimale, évetuellemet arrodies à 10 - près. Lors d ue equête réalisée par l ifirmière auprès d élèves

Plus en détail

Plan du cours. Rappels de probabilité. Axiomes des probabilités. Définition de la probabilité

Plan du cours. Rappels de probabilité. Axiomes des probabilités. Définition de la probabilité Pla du cours Rappels de probabilité Défiitios Axiomes Variable aléatoire Foctio de répartitio Momets R. Flamary, R. Herault, A. Rakotomamojy 9 octobre 4 Exemples de lois Loi uiforme Loi ormale Loi uiforme

Plus en détail

Convergences et approximations

Convergences et approximations Covergeces et approximatios Probabilités : Chapitre 5 Das tout ce chapitre, les démostratios serot faites das le cas des variables discrètes et des variables à desité. I Iégalité de Bieaymé-Tchebychev

Plus en détail

i. En déduire une mesure de l angle ( BD, PΩ ).

i. En déduire une mesure de l angle ( BD, PΩ ). Polyésie septembre EXERCICE Pour chacue des propositios suivates, idiquer si elle est vraie ou fausse et doer ue démostratio de la répose choisie Ue répose o démotrée e rapporte aucu poit O cosidère la

Plus en détail

TS Devoir Commun de Mathématiques N 3 Lundi17/11/2014

TS Devoir Commun de Mathématiques N 3 Lundi17/11/2014 TS Devoir Commu de Mathématiques N Ludi7//04 La présetatio, la rédactio et la rigueur des résultats etrerot pour ue part sigificative das l évaluatio de la copie Le sujet est composé de 4 eercices idépedats

Plus en détail

Annexe : Leçon 10 - Échantillonnage

Annexe : Leçon 10 - Échantillonnage Aexe : Leço 10 - Échatilloage Clémet BOULONNE pour la sessio 01 I Niveau, prérequis, référeces Niveau BTS Prérequis Probabilités, lois discrètes et cotiues Référeces [1,,, 4, 5] II Coteu de la leço 1 Approximatio

Plus en détail

Exercices sur le chapitre «Variables aléatoires»

Exercices sur le chapitre «Variables aléatoires» Araud de Sait Julie - MPSI Lycée La Merci 2015-2016 1 Pour démarrer Exercices sur le chapitre «Variables aléatoires» Exercice 1 (Recostitutio de paires) O fixe deux etiers aturels 1 r. U placard cotiet

Plus en détail

x + (2 α) y = 0 3 L donc P

x + (2 α) y = 0 3 L donc P 1 Corrigé ESC 009 par Pierre Veuillez Exercice 1 O cosidère les matrices A, B, D, P, E de M (R) suivates : ( ) 5 1 4 ( ) A B 3 3 1 3 0 7 D P 3 3 ( ) { x (1 α) x y 0 1) a: (A αi) 0 y x + ( α) y 0 ( 1 )

Plus en détail

Dénombrement et probabilités ( révisions de 6 ème) Combien de nombres à 5 chiffres peut-on écrire à l aide des trois chiffres 1,2,3?

Dénombrement et probabilités ( révisions de 6 ème) Combien de nombres à 5 chiffres peut-on écrire à l aide des trois chiffres 1,2,3? I. Déombremet :. Exemles : Exemle : Déombremet et robabilités ( révisios de 6 ème) ombie de ombres à 5 chiffres eut-o écrire à l aide des trois chiffres,,? Ecrire u ombre à 5 chiffres à l aide des trois

Plus en détail

Université Pierre et Marie Curie Mathématiques L2 UE 2M231 Probabilités-Statistiques Année Examen du 13 mai 2015

Université Pierre et Marie Curie Mathématiques L2 UE 2M231 Probabilités-Statistiques Année Examen du 13 mai 2015 Uiversité Pierre et Marie Curie Mathématiques L2 UE 2M231 Probabilités-Statistiques Aée 2014-15 Exame du 13 mai 2015 Le sujet comporte 2 pages. L épreuve dure 2 heures. Les documets, calculatrices et téléphoes

Plus en détail

9 0 6 Variables aléatoires discrètes

9 0 6 Variables aléatoires discrètes BCPST2 9 5 0 6 Variables aléatoires discrètes Exercice 1: Loi de Poisso 1 ) Soit X ue variable aléatoire discrète. O ote XΩ) = {x ; N}. O pose, pour tout de N : p = PX = x ) et s = p k. O découpe l'itervalle

Plus en détail

STAGE DE MISE A NIVEAU EN MATHEMATIQUES

STAGE DE MISE A NIVEAU EN MATHEMATIQUES STAGE DE MISE A NIVEAU EN MATHEMATIQUES Les foctios racie carrée, valeur absolue ou partie etière Eercice Détermier la limite de + + quad ted vers Eercice Vérifier que ( 5) = 6 5 A-t-o l'égalité 6 5 =

Plus en détail

x 0 + f ' (x) f (x) ln 3 3 f (x) dx.

x 0 + f ' (x) f (x) ln 3 3 f (x) dx. T S Devoir surveillé 8 Vedredi avril 7 Exercice (5 poits) l (x + ) O cosidère la foctio f défiie sur [, + [ par f (x) = x +. O admet que le tableau de variatios de f est le suivat. O défiit la suite (U

Plus en détail

Résumé 10 : Probabilités I

Résumé 10 : Probabilités I http://mpbertholletwordpresscom Résumé 10 : Probabilités I Ω sera u esemble abstrait, c est-à-dire sas structure particulière P(Ω désige l esemble de tous les sous-esembles de Ω, y compris le sous-esemble

Plus en détail

1 Dénombrement. 1.1 Principe. Définition : 1.2 Combinaisons. Définition :

1 Dénombrement. 1.1 Principe. Définition : 1.2 Combinaisons. Définition : Probabilités : coditioemet et idéedace Termiale S Déombremet. Pricie O raelle que le cardial d u esemble fii E, oté Card(E), rerésete so ombre d élémets. Si E 0,0 alors Card(E). Notre but est de détermier

Plus en détail

Convergence de suites réelles

Convergence de suites réelles DOMAINE : No olympique AUTEUR : Nicolas SÉGARRA NIVEAU : Itermédiaire STAGE : Motpellier 2014 CONTENU : Cours et exercices Covergece de suites réelles I) Rappels et otios de base. Défiitio 1. Ue suite

Plus en détail

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES I

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES I CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L ENSEIGNEMENT Directio des Admissios et cocours ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON CONCOURS

Plus en détail

I] VARIABLE ALEATOIRE DISCRETE (A NOMBRE FINI DE VALEURS) : Une variable aléatoire X est une fonction définie sur Ω à valeurs dans R.

I] VARIABLE ALEATOIRE DISCRETE (A NOMBRE FINI DE VALEURS) : Une variable aléatoire X est une fonction définie sur Ω à valeurs dans R. Chapitre 5 VARIABLES ALEATOIRES LOIS FONDAMENTALES Objectifs : o o o Défiir la otio de variable aléatoire das les différets cas d uivers. Détermier la loi de probabilité d ue variable aléatoire et calculer

Plus en détail

Amérique du Sud EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Les trois parties suivantes sont indépendantes Partie A Partie B Partie C

Amérique du Sud EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Les trois parties suivantes sont indépendantes Partie A Partie B Partie C Amérique du Sud EXERCICE 6 poits Commu à tous les cadidats Ue etreprise est spécialisée das la fabricatio de ballos de football. Cette etreprise propose deux tailles de ballos : ue petite taille, ue taille

Plus en détail

2. Espace de probabilité fini équilibré

2. Espace de probabilité fini équilibré 36 2. Esace de robabilité fii équilibré Esace de robabilités fii équilibré (résumé)...37 Esace de robabilités fii équilibré (défiitio)...38 Le modèle de Maxwell-Boltzma...39 Les ragemets de objets discerables

Plus en détail

Terminale S mai Exercice 2. On considère les complexes z 1 de. = est la droite d équation y = x. Exercice 3. On considère le point A d affixe

Terminale S mai Exercice 2. On considère les complexes z 1 de. = est la droite d équation y = x. Exercice 3. On considère le point A d affixe Termiale S mai 6 Cocours Fesic Calculatrice iterdite ; traiter eercices sur les 6 e h ; répodre par Vrai ou Fau sas justificatio + si boe répose, si mauvaise répose, si pas de répose, bous d poit pour

Plus en détail

1 Présentation du jeu.

1 Présentation du jeu. Présetatio du jeu.. Les règles du jeu. Le touroi est u jeu comportat ue suite de maches (appelées duels ) opposat deux joueurs, jamais plus. Les joueurs vot etrer e jeu successivemet, tat qu aucu d etre

Plus en détail

Dénombrement. Chapitre 1. Objectifs du chapitre. 1.1 Entiers naturels et raisonnement par récurrence

Dénombrement. Chapitre 1. Objectifs du chapitre. 1.1 Entiers naturels et raisonnement par récurrence Chapitre 1 Déombremet Objectifs du chapitre 1. A travers l axiomatisatio de Peao de N, rappeller les pricipes de récurrece forte et faible. 2. Défiir la otio de cardial et les opératios sur les cardiaux.

Plus en détail

CH5 Algèbre : Suites numériques

CH5 Algèbre : Suites numériques ème Scieces CH5 Algèbre : Suites umériques Décembre 9 A LAATAOUI I Présetatio des suites umériques : Défiitio d ue suite : Ue suite (u ) est ue foctio défiie sur l'esemble N qui à tout etier aturel associe

Plus en détail

EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES

EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES 1 Etudier la mootoie des suites a ) 0 défiies par : a) a = b) a = + 1) + ) + ) c) a =! d) a = α + 1) α réel positif) Soit a, la suite de terme gééral a = 3 + 1 3 + Trouver

Plus en détail

est la fréquence empirique des succès lors des 10 premières expériences.

est la fréquence empirique des succès lors des 10 premières expériences. Pierre Veuillez Statistiques iféretielle Sources, et pour e savoir plus : http://www.math-ifo.uiv-paris5.fr/smel 1 Problématique : Exemple ue ure cotiet des boules rouges et blaches dot o e coaît pas la

Plus en détail

( ) ( ) ( ) ( 4) Terminale S Exercices sur le chapitre «Suites numériques» Page 1. deux nombres réels. Initialisation Récupérer la valeur de M

( ) ( ) ( ) ( 4) Terminale S Exercices sur le chapitre «Suites numériques» Page 1. deux nombres réels. Initialisation Récupérer la valeur de M Termiale S Exercices sur le chapitre «Suites umériques» Page Exercice : O cosidère la suite ( p ) défiie sur N par ) O cosidère l algorithme suivat : Variables u etier aturel et deux ombres réels Iitialisatio

Plus en détail

SERIE S EPREUVE DE MATHEMATIQUES. Durée : 4h Coefficient : 7 ou 9

SERIE S EPREUVE DE MATHEMATIQUES. Durée : 4h Coefficient : 7 ou 9 BACCALAUREAT BLANC 2014 LYCEE DES ILES SOUS LE VENT SERIE S EPREUVE DE MATHEMATIQUES Durée : 4h Coefficiet : 7 ou 9 La calculatrice est autorisée, mais est pas échageable de cadidat e cadidat. La qualité

Plus en détail

M : Zribi 4 ème Sc Exercices. Série 34

M : Zribi 4 ème Sc Exercices. Série 34 Série ème Sc Exercices Exercice : Ue ure cotiet au départ 0 boules blaches et 0 boules oires idiscerables au toucher. O tire au hasard ue boule de l'ure : - si la boule tirée est blache, o la remet das

Plus en détail

Covariance et ajustement affine par la méthode des moindres carrés

Covariance et ajustement affine par la méthode des moindres carrés Uiversité de Poitiers - 205-206 A. Moreau Algèbre - Géométrie M MEEF Covariace et ajustemet affie par la méthode des moidres carrés Das tout le documet, la lettre désige u etier aturel o ul. Les deux parties

Plus en détail

EXERCICES SIMULATION LOIS DISCRETES

EXERCICES SIMULATION LOIS DISCRETES EXERCICES SIMULATION LOIS DISCRETES EXERCICE 1 : 1) Ecrire u programme qui revoie le lacer d u lacer de dé équilibré 2) Trasformer le programme précédet pour qu il simule ue série de 100 lacers d u dé

Plus en détail

Partie A : z x. z =( z ) = 4 = - 4 donc z est aussi solution de (E) Partie C :

Partie A : z x. z =( z ) = 4 = - 4 donc z est aussi solution de (E) Partie C : Corrigé baccalauréat S Polyésie 200 (raiateabac.blogspot.com) EXERCICE (5 poits) Pré-requis : z a + bi et _ z a bi Partie A : a ) E posat z a + bi et z a + b i o obtiet : z x z (a + bi) ( a + b i) aa bb

Plus en détail

Chapitre 1. Dénombrement

Chapitre 1. Dénombrement Chapitre Déombremet Itroductio Lorsque l o compte les objets d ue collectio, o attribue à la collectio so cardial, c est à dire le ombre d objets qu elle cotiet. Par exemple u Picasso, u Rembrat et u Degas

Plus en détail

Terminales S Devoir maison n 3 -A faire pour le jeudi 6 novembre 2014

Terminales S Devoir maison n 3 -A faire pour le jeudi 6 novembre 2014 Termiales S Devoir maiso -A faire pour le jeudi 6 ovembre 0 eercice : probabilités coditioelles et suite Alice débute au jeu de fléchettes. Elle effectue des lacers successifs d ue fléchette. Lorsqu elle

Plus en détail

est la probabilité cherchée est donc :

est la probabilité cherchée est donc : Lycée Secodaire Ali Zouaoui Probabilités 4 Sc-T Loi iomiale: Ue ure cotiet des boules blaches et des boules oires.la - robabilité de tirer ue boule blache au hasard est égale à ; q Aée Scolaire 007/008

Plus en détail

> 1 ère partie : > 2 ème partie : Suites arithmétiques et géométriques. Probabilités. Séquence 9 MA12. Cned Académie en ligne

> 1 ère partie : > 2 ème partie : Suites arithmétiques et géométriques. Probabilités. Séquence 9 MA12. Cned Académie en ligne > ère partie : Suites arithmétiques et géométriques > ème partie : Probabilités Séquece 9 MA 99 ère partie Chapitre > Suites arithmétiques... 0 A AB Activités, Cours Défiitio, exemples Propriétés Ses de

Plus en détail

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC MATHEMATIQUES. Mardi 3 mai : 14 h - 18 h. Les calculatrices sont interdites

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC MATHEMATIQUES. Mardi 3 mai : 14 h - 18 h. Les calculatrices sont interdites SESSION 216 PCMA2 EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC MATHEMATIQUES Mardi 3 mai : 14 h - 18 h N.B. : le cadidat attachera la plus grade importace à la clarté, à la précisio et à la cocisio de la rédactio.

Plus en détail

Suites de variables aléatoires.

Suites de variables aléatoires. Uiversité Pierre et Marie Curie 200-20 Probabilités et statistiques - LM345 Feuille 8 Suites de variables aléatoires.. Soit Ω, F, P u espace de probabilités. Détermier pour chacue des covergeces suivates

Plus en détail

BACCALAURÉAT BLANC GÉNÉRAL MATHÉMATIQUES SÉRIE S

BACCALAURÉAT BLANC GÉNÉRAL MATHÉMATIQUES SÉRIE S Lycée Fraçais d Agadir Termiales SA SB 216-217 BACCALAURÉAT BLANC GÉNÉRAL MATHÉMATIQUES SÉRIE S DUREE DE L EPREUVE : 4 HEURES Utilisatio de la calculatrice autorisée Ce sujet comporte 7 pages umérotées

Plus en détail

x 0 h a (x) ln (2 a ) h a 2 a Justifier, par le calcul, le signe de h' a (x) pour x appartenant à ] 0 ; + [. b. Rappeler la limite de ln x x

x 0 h a (x) ln (2 a ) h a 2 a Justifier, par le calcul, le signe de h' a (x) pour x appartenant à ] 0 ; + [. b. Rappeler la limite de ln x x EXERCICE (6 poits) Commu à tous les cadidats Soit f la foctio défiie sur l itervalle ] ; + [ par f () = l Pour tout réel a strictemet positif, o défiit sur ] ; + [ la foctio g a par g a () = a O ote C

Plus en détail

IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation M. Ferraris Promotion /05/2015

IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation M. Ferraris Promotion /05/2015 IUT de Sait-Etiee - déartemet Techiques de Commercialisatio M. Ferraris Promotio 2014-2016 28/05/2015 Semestre 2 - MATHEMATIQUES DEVOIR 2 durée : 2 heures coefficiet 2/3 La calculatrice grahique est autorisée.

Plus en détail

PROBABILITÉS : GÉNÉRALITÉS - CONDITIONNEMENT - INDÉPENDANCE

PROBABILITÉS : GÉNÉRALITÉS - CONDITIONNEMENT - INDÉPENDANCE ROBBILITÉS : GÉNÉRLITÉS - CONDITIONNEMENT - INDÉENDNCE. Expériece aléatoire, évéemets, loi de probabilité (Rappels de première et complémets).. Choix d'u modèle Lors de la réalisatio d'ue expériece aléatoire,

Plus en détail

Échantillonnage. I Rappels sur les lois usuelles 2

Échantillonnage. I Rappels sur les lois usuelles 2 BTS DOMOTIQUE Échatilloage 2008-2010 Échatilloage Table des matières I Rappels sur les lois usuelles 2 II Approximatios de la loi biomiale 2 II.1 Approximatio par la loi de poisso................................

Plus en détail

Groupes monogènes, groupes cycliques. Exemples

Groupes monogènes, groupes cycliques. Exemples 2 Groupes moogèes, groupes cycliques. Exemples Les otios de base sur les groupes sot supposées coues. E particulier, les esembles et groupes quotiets sot supposés cous. Pour des rappels, o pourra cosulter

Plus en détail

SUITES et SERIES DE FONCTIONS

SUITES et SERIES DE FONCTIONS UE7 - MA5 : Aalyse SUITES et SERIES DE FONCTIONS I Suites de foctios à valeurs das È ou  Etat doé u esemble E, ue suite de foctios umériques défiies sur E est la doée, pour tout etier, d'ue applicatio

Plus en détail

1 Probabilités-Rappel

1 Probabilités-Rappel Chapitre Probabilités sur un ensemble fini-variable aléatoire 1 Probabilités-Rappel On lance un dé non truqué à six faces numérotées de 1 à 6 et on note le nombre figurant sur la face supérieure du dé.

Plus en détail

Fiche N 8 : Matrices.

Fiche N 8 : Matrices. Lycée Paul Gaugui CPGE-EC1 Aée 014/015 Fiche N 8 : atrices Gééralités sur les matrices atrices : Défiitios O appelle matrice à liges et p coloes tout tableau rectagulaire de ombres réels à liges et p coloes

Plus en détail

MATHEMATIQUES Option scientifique Vendredi 13 mai 2005 de 8h à 12h

MATHEMATIQUES Option scientifique Vendredi 13 mai 2005 de 8h à 12h ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD Cocours d'admissio sur classes préparatoires MATHEMATIQUES Optio scietifique Vedredi 3 mai 5 de 8h à h La présetatio, la lisibilité, l'orthographe, la qualité

Plus en détail

MOYENNES. Moyenne arithmétique simple x de n éléments n

MOYENNES. Moyenne arithmétique simple x de n éléments n MOYENNES. Moyees : premières formules Moyee arithmétique simple de élémets + +... + +,,...,, Moyee arithmétique podérée de élémets,,...,, muis des coefficiets p, p,..., p, p p + p +... + p + p p+ p+...

Plus en détail

Corrigé. Exercice 1 : (5 points)

Corrigé. Exercice 1 : (5 points) Corrigé Exercice : (5 poits) Pour les questios. et. o doera les résultats sous forme de fractios et sous forme décimale par défaut à 0 3 près. U efat joue avec 0 billes, 3 rouges et 7 vertes. Il met 0

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Valeurs absolues. Partie etière. Iégalités Exercices de Jea-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-frace.fr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très

Plus en détail

Ensembles et nombres réels

Ensembles et nombres réels Pierre-Louis CAYREL 008-009 Licece Itroductio aux Mathématiques Géérales Uiversité de Paris 8 Esembles et ombres réels Esembles Exercice O pose A = {(x, y) R ; y > x } et B = {(x, y) R ; y < x } Représeter

Plus en détail

Racines n-ièmes d un nombre complexe. Racines de l unité. Applications.

Racines n-ièmes d un nombre complexe. Racines de l unité. Applications. DOCUMENT 14 Racies -ièmes d u ombre complexe. Racies de l uité. Applicatios. Das u documet précédet, o a itroduit le corps des ombres complexes afi que tout ombre réel ait ue racie carrée. O va voir ici

Plus en détail

EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MATHEMATIQUES 1. Durée : 4 heures. Les calculatrices sont autorisées. * * *

EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MATHEMATIQUES 1. Durée : 4 heures. Les calculatrices sont autorisées. * * * SESSION 006 EPREUVE SPECIIQUE ILIERE MP MATHEMATIQUES Durée : 4 heures Les calculatrices sot autorisées * * * NB : Le cadidat attachera la plus grade importace à la clarté, à la précisio et à la cocisio

Plus en détail

Correction Exercices Chapitre 08 - Couples de variables aléatoires réelles discrètes

Correction Exercices Chapitre 08 - Couples de variables aléatoires réelles discrètes 08. O dispose de boîtes umérotées de à. La boîte k cotiet k boules umérotées de à k. O choisit au hasard ue boîte, puis ue boule das cette boîte. Soit X le uméro de la boîte et Y le uméro de la boule..

Plus en détail

LA LOI DES GRANDS NOMBRES ET LE THÉORÈME DE LA LIMITE CENTRALE

LA LOI DES GRANDS NOMBRES ET LE THÉORÈME DE LA LIMITE CENTRALE LA LOI DES GRANDS NOMBRES ET LE THÉORÈME DE LA LIMITE CENTRALE MATTHIEU KOWALSKI 1. INTRODUCTION La démarche statistique cosiste à observer ue expériece aléatoire das le but de mieux coaître ses caractéristiques.

Plus en détail

Suites arithmétiques et géométriques

Suites arithmétiques et géométriques «I» : Suites arithmétiques 1/ Défiitio Suites arithmétiques et géométriques La suite (u ) est arithmétique de raiso r sigifie que : Pour tout etier aturel : u +1 = u + r Exemple : La suite ( ; 5 ; 8 ;

Plus en détail

Lois normales et autres lois dérivées

Lois normales et autres lois dérivées Lois ormales et autres lois dérivées - Lois ormales a) - Défiitio O dit qu'ue variable aléatoire réelle X suit la loi ormale (ou gaussiee) de paramètres et, otée N ( ; ), si elle admet pour desité la foctio

Plus en détail

P(n) : quelque soit n entier naturel : n 3 = ( n) 2. P(n 0 ) est vraie (initialisation).

P(n) : quelque soit n entier naturel : n 3 = ( n) 2. P(n 0 ) est vraie (initialisation). T ale S Chapitre. Résumé page 3.. Pricipe de récurrece. a. Exemple. 3 + 3 = + 8 = 9 = ( + ) 3 + 3 + 3 3 = + 8 + 7 = 36 = ( + + 3) O voudrait démotrer la propriété géérale : P() : quelque soit etier aturel

Plus en détail

I Exercices I I I-1 3 Coefficients binomiaux et triangle de Pascal... I I I I I I

I Exercices I I I-1 3 Coefficients binomiaux et triangle de Pascal... I I I I I I Chapitre Loi biomiale TABLE DES MATIÈRES page - Chapitre Loi biomiale Table des matières I Exercices I-................................................ I-................................................

Plus en détail

Bac Blanc Terminale L - Février 2017 Correction de l Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures)

Bac Blanc Terminale L - Février 2017 Correction de l Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures) Bac Blac Termiale L - Février 2017 Correctio de l Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures) Exercice 1 (5 poits) 1. Depuis le 28 jui 2007, la ville de Bordeaux a été classée au patrimoie modial

Plus en détail

TD1. Dénombrements, opérations sur les ensembles.

TD1. Dénombrements, opérations sur les ensembles. Uiversité Pierre & Marie Curie Licece de Mathématiques L3 UE LM345 Probabilités élémetaires Aée 2014 15 TD1. Déombremets, opératios sur les esembles. 1. Combie de faços y a-t-il de classer 10 persoes à

Plus en détail

IUT HSE Introduction aux probabilités et statistiques Applications Variables aux statistiques aléatoires 4 / 1

IUT HSE Introduction aux probabilités et statistiques Applications Variables aux statistiques aléatoires 4 / 1 IUT HSE Itroductio aux probabilités et statistiques Variables aléatoires Philippe Jamig Istitut Mathématique de Bordeaux PhilippeJamig@gmailcom http://wwwmathu-bordeaux1fr/ pjamig/ X variable aléatoire

Plus en détail

MATHEMATIQUES 2. Fonctions de matrices

MATHEMATIQUES 2. Fonctions de matrices SESSION 2004 EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MTHEMTIQUES 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sot iterdites * * * NB : Le cadidat attachera la plus grade importace à la clarté, à la précisio et à la cocisio

Plus en détail

3.1 Loi de Bernouilli Loi Binomiale Loi géométrique Loi de Pascal (loi négative binomiale)...3

3.1 Loi de Bernouilli Loi Binomiale Loi géométrique Loi de Pascal (loi négative binomiale)...3 3- Lois de distributio discrètes -1 Chapitre 3 : Lois de distributio discrètes 3.1 Loi de Berouilli...1 3. Loi Biomiale...1 3.3 Loi géométrique... 3.4 Loi de Pascal (loi égative biomiale)...3 3.5 Loi hypergéométrique...4

Plus en détail

ESTIMATION Exercices

ESTIMATION Exercices ESTIMATION Exercices EERCICE : Les variables aléatoires cosidérées das cet exercice sot défiies sur u espace probabilisable, AP, Soit a u réel strictemet positif et ue variable aléatoire de loi uiforme

Plus en détail

Estimation paramétrique

Estimation paramétrique Retour au pla du cours Soit Ω, A, P u espace probabilisé et X ue v.a. de Ω, A das E, E. La doée d u modèle statistique c est la doée d ue famille de probabilités sur E, E, {P θ, θ Θ}. Le modèle état doé,

Plus en détail

Chapitre 1. Arithmétique. Partie 5 : PGCD

Chapitre 1. Arithmétique. Partie 5 : PGCD Chapitre 1 Arithmétique Partie 5 : PGCD Propriété/Défiitio : (PGCD) O se doe deux etiers relatifs a et b o uls. L esemble des diviseurs positifs commus à a et b admet u plus grad élémet que l o PGCD a

Plus en détail

Sommaire. Chapitre 1. Notions de base Chapitre 2. Nombres complexes Polynômes... 33

Sommaire. Chapitre 1. Notions de base Chapitre 2. Nombres complexes Polynômes... 33 Sommaire Chapitre. Notios de base.................... 7 A. Démostratio par récurrece..................... 8 B. Esembles............................. 9 C. Applicatios............................ 2 D. Calcul

Plus en détail

PROBABILITÉS. A cette expérience aléatoire, on associe l ensemble des résultats possibles appelé univers. Ses éléments sont appelés éventualités.

PROBABILITÉS. A cette expérience aléatoire, on associe l ensemble des résultats possibles appelé univers. Ses éléments sont appelés éventualités. PROBABILITÉS I. PROBABILITÉS ( RAPPELS) a. Expérieces aléatoires et modèles Le lacer d ue pièce de moaie, le lacer d u dé sot des expérieces aléatoires, car avat de les effectuer, o e peut pas prévoir

Plus en détail

MVA101 - Analyse et calcul matriciel T. Horsin

MVA101 - Analyse et calcul matriciel T. Horsin MVA101 - Aalyse et calcul matriciel 2012 2013 T. Horsi (thierry.horsi@cam.fr) Attetio: Ce documet est ue base de travail qui peut coteir des coquilles. Les zoes e bleus sot, de loi, hors programme, et

Plus en détail

Suites. =3v n pour = 5.

Suites. =3v n pour = 5. Suites 1 Gééralités 11 Défiitio Défiitio : O appelle suite ue foctio sur N ou sur ue partie de N das R Exemples: Les foctios: u : +1 ; v : sot des suites Notatio : Soit u ue suite défiie sur D partie de

Plus en détail

SUITES NUMERIQUES. Archimède a défini dans les années 220 avant J.-C. deux suites permettant d'obtenir de très bonnes valeurs approchées de π.

SUITES NUMERIQUES. Archimède a défini dans les années 220 avant J.-C. deux suites permettant d'obtenir de très bonnes valeurs approchées de π. Quelques repères historiques SUITES NUMERIQUES Archimède a défii das les aées 220 avat J.-C. deux suites permettat d'obteir de très boes valeurs approchées de π. Héro d'alexadrie au premier siècle après

Plus en détail

PROBABILITES. TD n 1. Bg sachant que PA

PROBABILITES. TD n 1. Bg sachant que PA TD 1 1. Quel est l uivers Ω pour l'expériece : o lace 2 fois de suite u dé (o truqué). A quelles parties de Ω correspodet les évéemets suivats : a) A : o obtiet pas d as au cours des 2 lacers ; b) B :

Plus en détail

D- Convergence de variables aléatoires

D- Convergence de variables aléatoires D-1 Notatios O cosidère ( ) N (évetuellemet (Y ) N ) ue suite de variables aléatoires défiies sur l espace probabilisé (Ω, A, ) et X (évetuellemet Y ) ue variable aléatoire défiie sur le même espace. O

Plus en détail

Raisonnements Mathématiques

Raisonnements Mathématiques Chapitre 1 Raisoemets Mathématiques Le mathématicie italie Giuseppe Peao était très soucieux d exposer les mathématiques das u cadre précis et rigoureux. Das so Formulaire mathématique publié e 1895, il

Plus en détail

Suites numériques. I/ Définition, propriétés globales Résumé du cours de MPSI

Suites numériques. I/ Définition, propriétés globales Résumé du cours de MPSI Ξ 2 Suites umériques 2016-2017 Résumé du cours de MPSI I/ Défiitio, propriétés globales 1/ Défiitio Ue suite de complexes u est ue applicatio de N das C Notatios : L'image d'u etier par u se ote u( ou

Plus en détail