(1) Valeurs propres réelles et distinctes négatives : noeud

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1 MODÉLISATION ET SIMULATION TP 6 : DESSIN QUALITATIF DES PORTRAITS DE PHASE (III/IV). Récapitulatif des différents cas () Valeurs propres réelles et distinctes négatives : noeud stable λ = 3, λ 2 =

2 MODÉLISATION ET SIMULATIONTP 6 : DESSIN QUALITATIF DES PORTRAITS DE PHASE (III/IV)2 (2) Valeurs propres réelles et distinctes positives : noeud instable λ =, λ 2 =

3 MODÉLISATION ET SIMULATIONTP 6 : DESSIN QUALITATIF DES PORTRAITS DE PHASE (III/IV)3 (3) Valeurs propres réelles et distinctes positive et négative : selle λ =, λ 2 =

4 MODÉLISATION ET SIMULATIONTP 6 : DESSIN QUALITATIF DES PORTRAITS DE PHASE (III/IV)4 (4) Une valeur propre nulle et une réelle négative : système non-simple stable λ =0, λ 2 =

5 MODÉLISATION ET SIMULATIONTP 6 : DESSIN QUALITATIF DES PORTRAITS DE PHASE (III/IV)5 (5) Une valeur propre nulle et une réelle positive : système non-simple instable λ =0, λ 2 =

6 MODÉLISATION ET SIMULATIONTP 6 : DESSIN QUALITATIF DES PORTRAITS DE PHASE (III/IV)6 (6) Valeurs propres réelles et non-distinctes avec matrice A diagonalisable : noeud singulier λ =, λ 2 =

7 MODÉLISATION ET SIMULATIONTP 6 : DESSIN QUALITATIF DES PORTRAITS DE PHASE (III/IV)7 (7) Valeurs propres réelles et non-distinctes avec matrice A non diagonalisable (un seul vecteur propre et une valeur propre négative) : noeud dégénéré stable v 2

8 MODÉLISATION ET SIMULATIONTP 6 : DESSIN QUALITATIF DES PORTRAITS DE PHASE (III/IV)8 (8) Valeurs propres réelles et non-distinctes avec matrice A non diagonalisable (un seul vecteur propre et une valeur propre positive) : noeud dégénéré instable λ =, λ 2 =

9 MODÉLISATION ET SIMULATIONTP 6 : DESSIN QUALITATIF DES PORTRAITS DE PHASE (III/IV)9 (9) Valeurs propres complexes conjuguées avec partie réelle nulle : centre λ =5.55e i, λ 2 =5.55e i

10 MODÉLISATION ET SIMULATIONTP 6 : DESSIN QUALITATIF DES PORTRAITS DE PHASE (III/IV) 0 (0) Valeurs propres complexes conjuguées avec partie réelle négative : foyer stable

11 MODÉLISATION ET SIMULATIONTP 6 : DESSIN QUALITATIF DES PORTRAITS DE PHASE (III/IV) () Valeurs propres complexes conjuguées avec partie réelle positive : foyer instable λ =2+2i, λ 2 =2 2i

12 MODÉLISATION ET SIMULATIONTP 6 : DESSIN QUALITATIF DES PORTRAITS DE PHASE (III/IV) 2 2. Règles heuristiques pour dessiner un portrait de phases qualitatif () Calculer les valeurs propres. En déduire le type de système et la nature de l équilibre. (2) Calculer, s il y a lieu, les vecteurs propres, et en déduire les droites invariantes. (3) Calculer les isoclines et associer les signes des dérivées aux portions du plan délimitées par ces isoclines. (4) Dessiner les vecteurs vitesse pour certains points bien choisis. (5) Tracer des trajectoires qualitativement : (a) Par chaque point passe une et une seule trajectoire. Aucun croisement n est donc possible. (b) Utiliser les signes associées aux portions du plan par les isoclines. (c) Utiliser les vecteurs propres pour déterminer la direction asymptotique de la trajectoire.

13 MODÉLISATION ET SIMULATIONTP 6 : DESSIN QUALITATIF DES PORTRAITS DE PHASE (III/IV) 3 3. Les isoclines Les isoclines sont les courbes sur lesquelles une des deux dérivées est nulle, ç.-à-d. les courbes ẋ = 0 ẋ 2 = 0 Dans notre cas, les isoclines seront des droites. Les vecteurs vitesse sur les isoclines sont horizontaux ou verticaux, ce qui donne une information non-négligeable sur les trajectoires. Les isoclines divisent le plan en 4 régions (quand les isoclines sont des droites), selon les signes respectifs de ẋ et de ẋ 2. Ces signes nous donnent une certaine information sur la direction des vecteurs vitesse aux différents points d une région. Exemple : voir exercice 4.

14 MODÉLISATION ET SIMULATIONTP 6 : DESSIN QUALITATIF DES PORTRAITS DE PHASE (III/IV) 4 Soit le système 4. Exercice : dessin qualitatif A = 2 2 Calculer les valeurs propres et en déduire le type du système Calculer les isoclines et dessiner des vecteurs vitesse sur ces isoclines Associer les signes des portions du plan délimitées par les isoclines. Tracer des trajectoires qualitativement

15 MODÉLISATION ET SIMULATIONTP 6 : DESSIN QUALITATIF DES PORTRAITS DE PHASE (III/IV) 5 Soit le système 5. Exercice : dessin qualitatif A = 2 2 Calculer les valeurs propres et en déduire le type du système λ 2 4λ + 3 = 0 λ,2 = 4 ± 4 2 = {, 3} Les deux valeurs sont réelles, distinctes et positives, nous avons donc un noeud instable.

16 MODÉLISATION ET SIMULATIONTP 6 : DESSIN QUALITATIF DES PORTRAITS DE PHASE (III/IV) 6 Calculer les vecteurs propres et en déduire les droites invariantes : (A λ I)v = 0 x = 0 y 0 x = k y k = v = (A λ 2 I)v 2 = 0 x = 0 y 0 x = k y k = v 2 = Les droites invariantes ont donc pour équations x 2 = x et x 2 = x.

17 MODÉLISATION ET SIMULATIONTP 6 : DESSIN QUALITATIF DES PORTRAITS DE PHASE (III/IV) 7 Calculer les isoclines : 2x + x 2 = 0 x 2 = 2x x + 2x 2 = 0 x 2 = x /2 Tracer des trajectoires qualitativement Solution : + dx /dt=0 ++ dx /dt= dx /dt=0 2 dx /dt=0

18 MODÉLISATION ET SIMULATIONTP 6 : DESSIN QUALITATIF DES PORTRAITS DE PHASE (III/IV) 8 Soit le système 6. Exercice 2 : dessin qualitatif A = Calculer les valeurs propres et en déduire le type du système Calculer les isoclines et dessiner des vecteurs vitesse sur ces isoclines Associer les signes des portions du plan délimitées par les isoclines. Tracer des trajectoires qualitativement

19 MODÉLISATION ET SIMULATIONTP 6 : DESSIN QUALITATIF DES PORTRAITS DE PHASE (III/IV) 9 Soit le système 7. Exercice 2 : dessin qualitatif A = Calculer les valeurs propres et en déduire le type du système λ 2 + 2λ + 2 = 0 λ,2 = 2 ± 4 2 = ± i Nous avons deux complexes conjugués avec partie réelle négative, l origine est donc un foyer stable. (Dans ce cas, les droites invariantes n existent pas.) Calculer les isoclines et dessiner des vecteurs vitesse sur ces isoclines : x x 2 = 0 x 2 = x x x 2 = 0 x 2 = x Associer les signes des portions du plan délimitées par les isoclines. Tracer des trajectoires qualitativement

20 MODÉLISATION ET SIMULATIONTP 6 : DESSIN QUALITATIF DES PORTRAITS DE PHASE (III/IV) 20 Solution : dx /dt=0 dx 2 /dt= dx 2 /dt= dx /dt=0

21 MODÉLISATION ET SIMULATIONTP 6 : DESSIN QUALITATIF DES PORTRAITS DE PHASE (III/IV) 2 Soit le système 8. Exercice 3 : dessin qualitatif A = Calculer les valeurs propres et en déduire le type du système Calculer les isoclines et dessiner des vecteurs vitesse sur ces isoclines Associer les signes des portions du plan délimitées par les isoclines. Tracer des trajectoires qualitativement

22 MODÉLISATION ET SIMULATIONTP 6 : DESSIN QUALITATIF DES PORTRAITS DE PHASE (III/IV) 22 Soit le système 9. Exercice 3 : dessin qualitatif A = Calculer les valeurs propres et en déduire le type du système λ 2 + 4λ + 4 = 0 λ,2 = 4 2 = 2 Calculer les vecteurs propres et en déduire les droites invariantes : (A λ I)v = x = y 0 x = k 0 y k = v = 0

23 MODÉLISATION ET SIMULATIONTP 6 : DESSIN QUALITATIF DES PORTRAITS DE PHASE (III/IV) 23 L unique vecteur propre est [0, ]. La droite invariante est donc l axe x 2. Nous avons deux valeurs propres réelles confondues négatives et un seul vecteur popre, l origine est donc un noeud dégénéré stable. Calculer les isoclines : 2x = 0 x = 0 4x 2x 2 = 0 x 2 = 2x Tracer des trajectoires qualitativement

24 MODÉLISATION ET SIMULATIONTP 6 : DESSIN QUALITATIF DES PORTRAITS DE PHASE (III/IV) 24 Solution : dx 2 /dt=0 + dx /dt= dx /dt=0 + 2