FONCTIONS AFFINES. Un antécédent ne peut avoir qu une image (elle est unique), mais une image peut avoir plusieurs antécédents.

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1 FONCTIONS AFFINES 1. Vocabulaire Soit D une partie de l ensemble des nombres réels R. Une fonction f définie sur D associe à tout nombre réel x de D un unique nombre réel noté f(x). D est appelé ensemble de définition de f. On note : f : D R x f(x) On lit : f est une fonction qui, à tout nombre x D, associe un nombre f(x) R. Exemple1 : f est la fonction qui à tout nombre x non nul associe son inverse. On note : f : R R x f(x) = 1 x L ensemble de définition est ici R c est-à-dire tous les nombres réels sauf 0 car l inverse de 0 n existe pas. Exemple2 : f est la fonction qui à tout nombre x réel associe son double et ajoute 3. On note : x f(x) = 2x + 3 L ensemble de définition est ici R car il est possible de doubler et d ajouter 3 à n importe quel nombre. On appelle le nombre x l antécédent de f(x). On appelle f(x) l image de x. Un antécédent ne peut avoir qu une image (elle est unique), mais une image peut avoir plusieurs antécédents. Exemple : f est la fonction qui à tout nombre x associe son carré. On note : x f(x) = x 2 On peut vérifier que f(2) = f( 2) = 4 YDV Fonctions affines, 2nde 1

2 2. Tableau des valeurs C est un tableau qui donne une liste d antécédents et d images. En général il s agit de valeur ayant de l importance pour étudier la fonction. Exemple : soit On peut calculer x f(x) f( 2) = = 5 f( 1) = Représentation graphique A partir du tableau de valeurs, il est possible de positionner dans un repère orthonormé les points calculés : x sur l abscisse, et f(x) sur l ordonnée. A partir des points, il est ensuite possible de «dessiner» la courbe représentative de la fonction. YDV Fonctions affines, 2nde 2

3 4. Sens de variation Une fonction est strictement croissante sur un intervalle de son domaine de définition si, lorsque x augmente dans cet intervalle, f(x) augmente aussi. On écrit : Pour tous réels a et b de cet intervalle, si a < b alors f(a) < f(b) Inversement, une fonction est strictement décroissante sur un intervalle de son domaine de définition si lorsque x augmente dans cet intervalle, f(x) diminue. On écrit : Pour tous réels a et b de cet intervalle, si a < b alors f(a) > f(b) 5. Cas des fonctions affines 5.1 Vocabulaire Une fonction affine est une fonction de la forme : x f(x) = ax + b Où a et b sont des nombres réels quelconques. Exemple : f(x) = 4x + 0,8 Dans ce cas a = 4 et b = 0,8 a est appelé coefficient directeur, b est appelé ordonnée à l origine : Toutes les fonctions affines passent donc par le point (0 ; b) La représentation graphique d une fonction affine est une droite. Dans le cas particulier où b = 0, on parle plutôt de fonction linéaire. Exemple : x f(x) Le coefficient directeur vaut -2 : la fonction est décroissante : «quand x augmente, y diminue» YDV Fonctions affines, 2nde 3

4 5.2 Accroissement Soit A(x A, y A ) et B(x B, y B ) deux points de la droite d équation y = f(x) = ax + b, avec x A x B. L accroissement f(x B ) f(x A ) est proportionnel à l accroissement x B x A. Ceci peut s écrire f(x B ) f(x A ) = a En effet : f(x B ) f(x A ) = (ax B+b) (ax A +b) = a ( x B x A ) = a Puisque a = f(x B ) f(x A ), si a est positif, le numérateur et le dénominateur sont de mêmes signes. Donc : Ou bien f(x B ) f(x A ) > 0 et x B x A > 0 Ou bien f(x B ) f(x A ) < 0 et x B x A < 0 C est-à-dire : f(x B ) > f(x A ) et x B > x A : fonction croissante Ou f(x B ) < f(x A ) et x B < x A : fonction croissante également si a est négatif, le numérateur et le dénominateur sont de signes opposés. Donc : Ou bien f(x B ) f(x A ) > 0 et x B x A < 0 Ou bien f(x B ) f(x A ) < 0 et x B x A > 0 C est-à-dire : f(x B ) > f(x A ) et x B < x A : fonction décroissante Ou f(x B ) < f(x A ) et x B > x A : fonction décroissante également Le signe de a donne bien le sens de variation de la fonction affine, d où son nom de «coefficient directeur». Exemple : soit x f(x) Choisissons deux point de la droite au hasard : A (-2 ; 5) et B (2 ; -3) Alors f(x B) f(x A ) = y B y A 3 5 = = 8 = 2 2 ( 2) 4 L ordonnée à l origine (b) représente la valeur «y» (ordonnée) de la fonction à l origine, c est-à-dire au point d abscisse 0. En effet, si x = 0 on calcule immédiatement f(x) = ax + b = b Cela signifie que la droite représentée par la fonction f(x) = ax + b passe par le point (0, b). YDV Fonctions affines, 2nde 4

5 5.3 Tableau de variation Une fois le tableau de quelques valeurs complété, et le sens de variation défini, on peut synthétiser l étude dans un tableau de variation, résumant les variations de la fonction et donnant les points (abscisses et ordonnées) remarquables. Les fonctions affines sont définies sur l ensemble R au complet, le tableau parcours donc toutes les abscisses, de - à +. Exemple : soit Le coefficient directeur vaut -2, la fonction est décroissante. L ordonnée à l origine vaut 1, la droite passe par (0 ; 1) x - + f(x) YDV Fonctions affines, 2nde 5

6 5.4 Signe de la fonction Il ne faut pas confondre signe et sens de variation : une fonction peut être décroissante (elle «descend») tout en étant positive, et inversement. Etudier le signe d une fonction revient à chercher pour quelles valeurs de x a-t-on des images positives ou négatives. Dans le cas de la fonction affine, puisqu il s agit d une droite, on cherchera simplement l intersection entre cette droite et l abscisse (axe des «x»). Au-dessus, les valeurs «y» sont positives, en dessous elles sont négatives. On cherche donc à résoudre l équation f(x) = 0 c est-à-dire, pour une fonction affine non constante (a 0), ax + b = 0 x = b a Exemple : Tracé de la fonction y = 2x + 1 Graphiquement, on «voit» que la fonction est négative dès que x est plus grand que 0,5 On vérifie : x = b a = 1 2 = 0,5 Si la fonction est décroissante, elle est négative dès que x > b a Et positive dès que x < b a Si la fonction est croissante, c est l inverse. On peut résumer dans un tableau des signes : x - b a + f(x) Signe de a 0 Signe de a YDV Fonctions affines, 2nde 6

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