MECANIQUE DES FLUIDES

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1 MECANIQUE DES FLUIDES II Saïd KOUTANI Mécanique des Fluides Saïd KOUTANI Page

2 TABLE DES MATIERES Chapitre : STATIQUE DES FLUIDES I- Notion de contrainte II- Equation générale de la statique des fluides III-Hydrostatique IV- Tension superficielle et phénomène de capillarité Chapitre : CINEMATIQUE DES FLUIDES I- Cinématique de Lagrange et cinématique d Euler II- Equation de continuité III- Description analytique d un écoulement. Tenseur de déformation. Chapitre : DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS I- Bilan de quantité de mouvement II- Equation de Bernoulli III- Théorème de l énergie cinétique IV- Théorème des quantités de mouvement Chapitre 4 : APPLICATION DES THEOREMES DE LA DYNAMIQUE I- Théorème de Bernoulli ) Formule de Torricelli ) Tube de Venturi ) Tube de Pitot II- Théorème des quantités de mouvement ) Réaction d un jet ) Impact d un jet Chapitre 5 : ECOULEMENT DES FLUIDES VISQUEUX I- Approche expérimentale II- Forces de viscosité dans les fluides Newtoniens III- Ecoulement laminaire et écoulement turbulent : Nombre de Reynolds IV- Solutions de l équation de Navier Stokes Chapitre 6 : SIMILITUDE ET ANALYSE DIMENSIONNELLE I- Problèmes de similitude II Analyse dimensionnelle ) Théorème de Vaschy-Buckingham ) Exemple d application Chapitre 7 CHARGE ET PERTE DE CHARGE I- Charge en un point Mécanique des Fluides Saïd KOUTANI Page

3 II- Charge totale moyenne dans une section droite d une conduite III- Perte de charge d un tronçon de conduite de section uniforme IV- Calcul des pertes de charge dans les conduites circulaire ) Analyse dimensionnelle ) Expérience de Nikuradse ) Diagramme de Colebrook-Moody V- Perte de charge dans les singularités VI- Pertes de charge d un circuit Chapitre 8 : TURBOMACHINES I- Généralités II- Introduction à la théorie des turbomachines III- Similitude des turbomachines IV- Turbines hydrauliques V- Les pompes Mécanique des Fluides Saïd KOUTANI Page

4 ECOULEMENT DES FLUIDES VISQUEUX I- APPROCHE EXPERIMENTALE Nous avons vu que pour un fluide immobile, les forces intérieures sont les forces de pression et que celle-ci sont normales aux surfaces sur lesquelles elles s exercent. Pour un fluide en mouvement d autres forces apparaissent : les forces de viscosité. ) Expérience de Couette On considère un fluide remplissant l espace délimité par les surfaces solides de deux cylindres de même axe. Fluide ω On met le cylindre extérieur en rotation avec une vitesse angulaire constante. Le cylindre intérieur, initialement fixe se met à tourner dans le même sens. Le fluide doit être le siège de forces tangentielles qui sont responsables de ce phénomène. Ce sont des forces de frottement internes au sein du fluide : forces de viscosité. ) Viscosité dynamique : On considère deux points M et M appartenant à deux couches fluides différentes. M M M à l instant t M à l instant t+ dt Mécanique des Fluides Saïd KOUTANI Page 4

5 Les couches fluides se déplacent avec des vitesses différentes: le vecteur qui joint M et M dépend du temps. Pour les faibles déplacements MM, les forces de viscosité sont proportionnelles à la différence de vitesses entre les couches fluides. La viscosité dynamique µ est la grandeur de proportionnalité. [ µ ] ML T dans le S.I l unité est le Poiseuille et dans le système C.G.S. l unité est le Poise µ dépend de la température T. µ(t) croit avec T pour l air, tandis qu elle décroît pour l eau. Pour les deux fluides la viscosité ne dépend pratiquement pas de la pression. Les huiles ont une viscosité 00 fois supérieure à celle de l eau ( 0.00 Pa.s à 0 C). II FORCES DE VISCOSITE DANS LES FLUIDES NEWTONIENS ) Tenseur des contraintes de viscosité Pour un domaine D pris à l intérieur de la masse fluide, les contraintes qu il subit dépendent de l orientation de l élément de surface considéré. En rapportant l espace à un système d axes trirectangulaire, on le tenseur de contrainte par la matrice * [ τ ] ij τ τ τ τ τ τ τ τ τ où τ ij est la contrainte exercée selon la direction x i sur une surface de normale parallèle à x j. Sur une surface ds centrée autour d un point M, de normale n, la contrainte visqueuse est 0 τ ij 0 Exemple : ( ) [ τ ] τ ij n. est la contrainte sur un élément de surface perpendiculaire à x La contrainte totale est composée de la contrainte visqueuse et de la contrainte statique( pn ) [ τ ij ] n ( n ) T pn + τ avec τ τ n'est pas à ) Fluides Newtoniens Mécanique des Fluides Saïd KOUTANI Page 5

6 On rappelle que le vecteur déformation (voir cinématique) est donné par D SijdM Le frottement des couches fluides les unes par rapport aux autres conduit à une déformation du milieu fluide. La déformation, déterminée par le taux de déformation S ij, résulte des contraintes de viscosité. Par définition, un fluide en écoulement est dit newtonien si les causes (contraintes) sont proportionnelles aux effets (déformation) τ µ S ij Il faut noter que les fluides ne sont pas tous Newtoniens, seul ce cas particulier sera étudié. ij III - Equations locales de la dynamique des fluides incompressibles Force de surface : T Force de volume : f On écrit l équation locale du principe fondamental de la dynamique Soit pour un domaine D d ρv ρ f + T dt ou encore d ρv dτ ρ f dτ p n d S d S dt. + τ. D D s S d dt équation qui s écrit selon e (par exemple) d dt ρv dτ ρ fdτ pdτ + τ ds, D D D S p ρ u dτ ρ f dτ x d ρ + D D D S On transforme la dernière intégrale en une intégrale de volume par conséquent S (,, ) (,, ) τ ds τ ds τ τ τ n n n ds τ n ds τ dτ j j S S Mécanique des Fluides Saïd KOUTANI Page 6

7 dρu dt dρu dt dpu dt P ρ f + τ x P ρf + τ x p ρf + τ x Qu est ce que τ j? C est τ τ τ + +. Il en est de même pour les autres divergences. x x x Rappelons que τ µ S pour un fluide Newtonien. Faisons la somme ij i j τ x τ x τ x Pour les autres on obtient : µ u u + x x x µ u u + x x x µ u u + x x x τ j µ u + V x j j j µ u u x + x τ j µ u + V x τ j µ u + V x µ u u x + x x µ u + u x x x Pour un fluide incompressible : V 0, donc les équations dynamiques locales s écrivent dρu p ρ f + µ u dt x dρu p ρ f + µ u dt x dρu p ρ f + µ u dt x Ce sont les équations de Navier-Stockes, qui sont évidemment les projections de l équation vectorielle Mécanique des Fluides Saïd KOUTANI Page 7

8 Sachant que ( ) ( ) d ρ ρ µ dt V f p V +. V V Λ ΛV Λ ΛV, si f dérive d un potentiel : f U, l équation devient Dans le champ de pesanteur U d dt ρv U + p Λ Λ V ( ρ ) gx, par conséquent Développons dv dt d dt ρv ( ρ gx + p) Λ Λ V., et faisons apparaître le vecteur tourbillon ω V, on obtient µ où ν est la viscosité cinématique. ρ Remarques importantes V V p + ω V gx ν ω t + + ρ, µ - En prenant ν 0, on retrouve l équation des fluides parfaits. ρ - Si ω V 0 (Ecoulement irrotationnel), ceci n implique pas que le fluide est parfait. Seule la résultante des contraintes visqueuses sur un élément de volume est nulle. En fait, le travail produit par les forces de viscosité se traduit par une dissipation d énergie mécanique sous forme de chaleur, ne doit pas être nul si le mouvement est irrotationnel. - En général, on ne sait pas intégrer les équations de Navier-Stokes; la prise en compte des conditions aux limites est un problème très complexe. Seuls des cas simples, correspondant à quelques applications, en particulier les écoulements laminaires sont traitables analytiquement. IV- ECOULEMENT PERMANENT DE FLUIDE INCOMPRESSIBLE On s intéressera particulièrement aux fluides en écoulement dans le champ de pesanteur. Ecoulement permanent : 0. L équation vectorielle de Navier-Stokes devient t Mécanique des Fluides Saïd KOUTANI Page 8

9 V + + p ω V gx ν ω ρ Projetons cette équation sur la trajectoire s Entre deux points d une ligne de courant, on a On retrouve p p : pression statique p : pression motrice. V V ρ + ρ gx + p µ ω trajectoire s V V + gx + p gx p t + + ρ ρ ρ ρ. ρ V est la pression dynamique. La pression totale est la somme de la pression motrice et la pression dynamique. p t est la pression totale perdue par viscosité (frottement). Remarque : On constate que la formule de Bernoulli n est pas vérifiée pour les fluides visqueux. L énergie mécanique ne se conserve pas; une partie se transforme irréversiblement en chaleur par frottement. V-ECOULEMENT LAMINAIRE ET ECOULEMENT TURBULENT ) Transports diffusif et convectif des quantités de mouvement Les particules d un fluide en écoulement transportent la quantité de mouvement. On distingue deux mécanismes de transport : la convection et la diffusion. a) La convection La convection est simple à comprendre par l exemple suivant. Soit un écoulement parallèle avec un vecteur vitesse constant. Mécanique des Fluides Saïd KOUTANI Page 9

10 S Chaque élément de fluide transporte sa propre quantité de mouvement. Ce type de transport est dit convectif. Le débit de quantité de mouvement par unité de surface et par unité de temps est ρv. b) La diffusion Considérons l exemple suivant : Fluide entre deux plaques parallèles l une mobile et l autre fixe. x L Plaque mobile Plaque immobile x T u 0 0 x 0 u µ µ x En supposant que la vitesse varie linéairement avec x, Cette contrainte est c) Nombre de Reynolds T V µ L Dans un écoulement quelconque, les deux mécanismes sont présents. Pour comparer leurs importances relatives, on définit le nombre de Reynolds Re Dé bit diffusif de quantité de mouvement R V VL e Dé bit convectif de quantité de mouvement ρ µ V / L ν L est une longueur caractéristique de l écoulement. Pour une conduite cylindrique, L sera le diamètre. ) Ecoulement Laminaire et écoulement turbulent Mécanique des Fluides Saïd KOUTANI Page 0

11 On dit qu un écoulement est laminaire lorsque les lignes de courant ne se mélangent pas au cours du mouvement. Ce type d écoulement devient instable à partir d une certaine valeur du nombre de Reynold. Remarquons que ce nombre dépend de la vitesse du fluide et de sa viscosité. Pour les grandes valeurs de Re, les trajectoires des particules s enchevêtrent et il devient compliqué de décrire leurs mouvements particuliers; ce type d écoulement est dit turbulent. Il faut noter que pour une conduite cylindrique la valeur critique de Re, pour laquelle il y a transition laminaire-turbulent, est de l ordre de 000. VI- SOLUTIONS DE L EQUATION DE NAVIER-STOKES - Ecoulements de Poiseuille Ce sont des écoulements laminaires de fluide incompressible entre deux plans parallèles fixes ou dans une conduite cylindrique de section circulaire. a) Ecoulement dans un tube cylindrique On considère un écoulement de Poiseuille dans un tube cylindrique de rayon R, induit par une différence de pressions p p p. x DR V max x x r x p p L x Le vecteur vitesse est donc tel que u u 0 et u u ( x, x ) Par conséquent, les équations de Navier-Stokes s écrivent simplement x x [ p ρgx ] [ p ρgx ] [ p + ρ gx ] + µ u 0 x Mécanique des Fluides Saïd KOUTANI Page

12 Les deux premières équations montrent que la pression motrice ne dépend pas de x est constante sur la section verticale du tube. On a donc ( ) p' p' x En coordonnées cylindriques, la troisième équation devient et x ; elle p' x d µ r dr r du dr Le premier membre ne dépend que de x et le second ne dépend que de r; les deux membres doivent être égaux à une constante α. d dr r du r dr α µ équation, qui a pour solution u αr r 4 + β ln µ + δ. Pour empêcher cette solution de diverger en déterminée à partir de u ( R). On trouve 0 r 0, β 0. La troisième constante est α u R r 4 µ ( ). où encore u max u r R Cette équation donne la distribution des vitesses à l intérieur de la conduite : Paraboloïde des vitesses. Quant aux pressions, on a ' ' ' p p p L α d où α ' ' p p L. La vitesse maximale est donc donnée par V max max R u p ' p ' 4µ ( ). Mécanique des Fluides Saïd KOUTANI Page

13 Calculons maintenant le débit volumique. Par définition q VndS v c est-à-dire q v R 4 πd πru dr L p 8µ 0 ' ( p ' ). C est la loi de Poiseuille. On appelle vitesse débitante la vitesse moyenne, donnée par V q v V d max S. b) Ecoulement entre deux plans parallèles On considère un écoulement laminaire permanent entre deux plans parallèles et fixe. x d V (, u, ) 0 0 x L On a ( ) u 0, u 0 et u u x. Les équations de Navier-Stokes donnent d dx d dx d dx du p + ρ gx µ u µ dx ( ) ( p ρgx ) + 0 ( p ρgx ) + 0 Ces équations montrent que la pression motrice ne dépend que de x, elle est donc hydrostatique dans des plans verticaux. Le second membre s écrit nécessairement Mécanique des Fluides Saïd KOUTANI Page

14 Avec les conditions aux limites : u ' ' du p p µ α, avec α. dx L d 0 pour x ±, la première équation donne u αd x 4 8, µ d ce qui permet de déterminer le débit q v u dx dx αd l µ Où l est la largeur des plaques parallèles. On peut montrer facilement que V d V m ax Il est important de noter que ces résultats ne sont valables que lorsque le nombre de Reynolds reste petit, c est-à-dire tant que l écoulement est laminaire. R e V d d ν ) Graissage hydrodynamique Lorsque deux solides en contact sont en mouvement l un par rapport à l autre, il est quasiment impossible de trouver des cas où le mouvement s effectue sans frottement. Ceci est dû à l inévitable rugosité des surfaces, plus ou moins importante selon les méthodes d élaboration des matériaux, et de leurs traitements et polissage. On a donc recours au graissage qui consiste à séparer les surfaces solides en mouvement par une couche de fluide visqueux. Le choix du fluide dépend, entre autres, de sa viscosité. Lorsque la couche d huile est assez épaisse (quelques dizaines de microns), la rugosité des solides n intervient plus. Dans ce cas, le graissage est dit hydrodynamique : seules les propriétés physiques du liquide restent à améliorer pour un fonctionnement optimal. 4 Une huile de graissage à une viscosité cinématique de l ordre de. 0 m s ( 00 centistokes) Pour une épaisseur de l ordre de 0 microns et une vitesse de l ordre de ms, On a. R e 0. On constate donc que le nombre de Reynolds est extrêmement faible; par conséquent; l écoulement reste laminaire, et la solution des équations de Navier-Stokes est facile à établir. VI- REMARQUE SUR LE THEOREME DE QUANTITE DE MOUVEMENT Mécanique des Fluides Saïd KOUTANI Page 4

15 Nous avons établi le théorème de quantité de mouvement pour les fluides parfaits ρ ( V Vn) ds S Forces exercé essur le domaine de surface S. En fait ce théorème est valable aussi pour les fluides visqueux, à condition de prendre les forces de viscosité en compte V Vn ds fd TdS ρ ( ) ρ τ + S D S La contrainte T représente les forces de pression statique et les forces de viscosité. Mécanique des Fluides Saïd KOUTANI Page 5

16 SIMILITUDE ET ANALYSE DIMENSIONNELLE I- PROBLEMES DE SIMILITUDE A priori toute installation hydraulique peut être étudiée théoriquement avant sa réalisation technique. Les paramètres caractéristiques peuvent en principe être déterminés à partir des équations de la dynamique, l équation d état du fluide et les conditions aux limites appropriées (limites temporelles et limites géométriques). Or la complexité des équations et des conditions aux limites, et souvent leur multiplicité, rend cette tâche impossible. On réalise alors des maquettes et on fait des essais. La technique des maquettes est très employée pour les turbomachines, dans les constructions hydrauliques et surtout en aérodynamique. Cependant, la maquette n est pas une simple réduction géométrique du prototype. Il faut trouver des facteurs d échelle entre les divers grandeurs physiques (débit, pression...) pour passer de la maquette au prototype et inversement. Pour cela il faut respecter des règles bien déterminées; ce sont les conditions de similitude. Nous allons chercher ces conditions pour quelques cas particuliers. De façon générale, si deux écoulements (maquette et prototype) sont similaires ils doivent être décrits par la même équation. Il faut transformer l équation de Navier-Stokes en introduisant des variables réduites sans dimension. ) Ecoulement à surface libre non horizontale Dans ce cas, une surface isobare ne correspond pas à x cte. a) Variables réduites - Longueur caractéristique L c : le diamètre d une conduite par exemple. Les variables géométriques sont dimension sont ~ x x ~ x x x~ x L L L c c c -Vitesse caractéristique V c : la vitesse débitante par exemple. La vitesse réduite en un point ou ensemble de points a pour composantes On détermine la variable temps réduite par et la pression réduite par ~ u u ~ u u u~ u V V V c c c ~ t V t c L L t c c V c Mécanique des Fluides Saïd KOUTANI Page 6

17 p ρv ~ c p. Les opérateurs sans dimension s écrivent d dt V d c ~ ~ L dt ~ et. L L c c c A partir de ces variables et opérateurs l équation de Navier-Stokes dv ρ p ( ρ gx ) + µ V dt devient ~ dv dt ~ ~ ~ + V ~ ~ ~ p ( x ~ ) Fr Re avec Vc Fr et Re L g c ρlcv µ c Fr est appelé nombre de Froude, et l on reconnaît le nombre de Reynolds Re. Pour que deux écoulements relatifs respectivement à la maquette et au prototype soient semblables, il faut qu ils soient décrits par la même équation dynamique ci-dessus. Les variables réduites étant sans dimension, il suffit d avoir l égalité des nombres de Reynolds et l égalité des nombres de Froude entre la maquette et le prototype Re ( maquette) Re( prototype) Fr( maquette) Fr( prototype) et. Remarque On constate que les conditions de similitude de Froude et de Reynolds ne peuvent être réalisées à la fois, sauf si les dimensions géométriques de la maquette sont celles du prototype. En conséquence, la notion de maquette disparaît. Toutefois, lorsque Re est très grand, il suffit de respecter la condition de Froude. ) Ecoulement en charge On appelle écoulement en charge les écoulements dont les conditions aux limites font intervenir des frontières géométriques, des vitesses et des pressions avec des isobares horizontales. Dans ce cas, p' p + ρgx cte x cte. Nous avons donc à regrouper la pression statique et l effet de la pesanteur en une seule variable sans dimension Mécanique des Fluides Saïd KOUTANI Page 7

18 p' ρ V ~ p ', Ce qui conduit à la forme suivante de l équation de Navier-Stokes ~ dv ~ ~' ~ ~ p V dt ~ +. Re La condition de similitude pour un écoulement en charge c est la similitude de Reynolds. Cependant, il faut noter que lorsque Re est supérieur à une valeur critique, la condition de similitude de Reynolds n est plus nécessaire. c II- ANALYSE DIMENSIONNELLE Tout problème relatif à un phénomène physique est décrit par une équation du type ( ) f X, X, X,..., X n 0, où les X i sont les variables physiques du problème. En mécanique des fluides le nombre n est souvent très important, et il est pratiquement difficile de déterminer la fonction f. L analyse dimensionnelle est un moyen puissant pour approcher cette fonction. L équation ci-dessus est dite homogène, si quelque soit le système d unité elle garde la même forme et les mêmes valeurs pour les coefficients. Par exemple, l équation qui donne la distance parcourue par un corps dans le champ de pesanteur ) Matrice dimensionnelle d gt 0 Soit X i les n variables intervenant dans un problème physique donné. Tout produit de ces variables est de la forme α α α α n Π X X X... X n où les exposants α i sont des constantes. Les X i ne sont pas des grandeurs fondamentales. En dynamique, les grandeurs fondamentales sont G L G M G T La masse n intervient pas lorsque le problème est cinématique. Chaque X i doit s écrire X G G... G i β β β r r où r est le nombre de variables fondamentales. On construit un tableau de r lignes et n colonnes Mécanique des Fluides Saïd KOUTANI Page 8

19 β β... β n β β... β n β r β r β r.. β r n dont les composantes constituent la matrice dimensionnelle ) Théorème de Vaschy-Buckingham [ ij ] D β. a- Toute équation physique homogène, f ( X X X n ) peut être réduite à une relation ϕ ( Π Π Π ) formés à partir des variables X i. 0 0,,..,, entre les n grandeurs X i,,,..., r entre les m produits sans dimension Π i b- Le nombre m de produits est m n-r, où r est le rang de la matrice dimensionnelle. Ce théorème nous apprend qu il suffit de m variables pour représenter le phénomène physique et non pas n. 4) Exemple d application On considère une sphère de diamètre D se déplaçant à la vitesse V dans un fluide de viscosité µ et de masse volumique ρ. La traînée (effort longitudinal) F t dépend de ces quatre grandeurs, on a donc ( ) f F, t V, D, ρ, µ 0. Le nombre de variables est 5. Construisons la matrice dimensionnelle D Le nombre de produits doit être et ils ont la forme suivante Π Π F V D α α α α α 4 5 F V D ρ µ ρ µ α α α α α 4 5 ou encore Π Π L M T L M T α + α + α α 4 α 5 α + α 4 + α 5 α α α 5 α + α + α α 4 α 5 α + α 4 + α 5 α α α 5 Mécanique des Fluides Saïd KOUTANI Page 9

20 Ces produits étant sans dimension, nous avons les équations à résoudre pour chaque produit α + α + α α α α + α + α α α α 5 0 Pour un problème dynamique, Il est commode de faire la permutation suivante pour pour Π Π Par conséquent, les autres exposants sont D où l expression des produits α α α α α α et α α α α α α Π ρ V D µ DV Π F F t t. On constate que Π Π VD Re et ν Π C t expressions qui font apparaître le nombre de Reynolds et C t appelé coefficient de traînée. Le théorème de Vaschy-Buckingham implique ϕ ( Π, Π ) Φ( ) φ ( Re) 0 ou Re,C t 0 C t Ce résultat montre que le coefficient de traînée ne dépend que du nombre de Reynolds. D autres exemples seront traités dans les chapitres suivants et en travaux dirigés. Il faut toutefois souligner l importance pratique relative du théorème de Vaschy-Buckingham; il ne donne de renseignements ni sur la forme des lois ni sur les ordres de grandeurs. III- SIMILITUDE DES TURBOMACHINES La notion de similitude des turbomachines est d une importance capitale, surtout lorsqu il s agit de l utilisation d une machine dans des conditions différentes. Le fonctionnement d une turbomachine est défini par D : diamètre de la roue N : fréquence de rotation de la roue Mécanique des Fluides Saïd KOUTANI Page 0

21 q v : débit volumétrique ρ : masse volumique du fluide ν : viscosité cinématique du fluide. La puissance échangée, le couple et le rendement sont fonction de ces 5 variables (,, v, ρ, ν ) (,, v, ρ, ν ) (,,,, ) P f D N q C f D N q η f D N q ρ ν Le théorème de Vaschy-Buckingham montre qu il existe, pour chaque équation ci-dessus, une fonction ϕ i, telle que ( Π Π Π ),,. ϕ i i i i 0 Il suffit simplement de trouver des variables sans dimension. Pour la puissance (coefficient de puissance) Pour le couple Et pour le rendement P ρn D C ρn D qv ϕ ND 5 qv ϕ ND 5 qv η ϕ ND v ND, ν ND,, ν ND,. ν P C ρn D ρn D η Pour l énergie E échangée entre le fluide et la roue, le même raisonnement conduit à l expression E N D ϕ qv ND ND, ν q v ND Mécanique des Fluides Saïd KOUTANI Page

22 où E est appelé coefficient manométrique, N D E gh. N D N D Les coefficients qui apparaissent dans ces expressions sont appelés coefficients de Rateau. Ils doivent être les mêmes pour des machines en fonctionnements semblables. On peut classer les machines, en particulier les pompes, par un autre coefficient; la vitesse spécifique : N s Nq ( gh) / v / 4 Mécanique des Fluides Saïd KOUTANI Page

23 CHARGE ET PERTE DE CHARGE I- CHARGE EN UN POINT Rappelons que l équation de Bernoulli n est valable que pour un fluide parfait et pour un écoulement permanent et incompressible de fluide permanent cette équation doit être remplacée par p V V + gx + p gx + + ρ ρ ρ ρ équation établie entre deux points d une ligne de courant. La perte de pression totale représente une perte d énergie mécanique qui se transforme irréversiblement en chaleur. Divisons cette équation par ρg On appelle perte de charge du fluide le rapport p V p V pt + x + x ρg g ρg + +. g ρg p t h t pt ρ g Remarquons que c est une longueur. Elle peut être mesurée par des hauteurs de fluide. La charge en un point est p V ht + x + ρg g Le schéma suivant montre l effet des frottements sur la pression. Dans un écoulement, la perte de charge tend à augmenter et la pression à diminuer lorsqu on s éloigne d un générateur de pression. Mécanique des Fluides Saïd KOUTANI Page

24 II- CHARGE TOTALE MOYENNE DANS UNE SECTION DROITE D UNE CONDUITE La perte de charge résulte de la viscosité du fluide et des frottements avec les parois solides. Dans une conduite réelle la vitesse, de même que la pression, ne sont jamais uniforme dans une section droite. Mais si la vitesse reste parallèle à une direction fixe, tout en variant en module, la pression sera hydrostatique (p cte). La pression totale varie d un point à l autre de la section et la charge totale aussi. On définit alors la charge totale moyenne dans la section par h tm h VndS t sec tion VndS sec tion t sec tion h VndS q v h h h tm tm tm sec tion p + x VndS ρg + VndS sec tion p' + ρg gsv D sec tion V ds p' α VD + avec α ρg g sec tion V g VndS VndS sec tion sec tion V V D ds S α est le coefficient d énergie cinétique. Il vaut si la vitesse est uniforme et pour une répartition parabolique. III- PERTE DE CHARGE D UN TRONCON DE CONDUITE DE SECTION UNIFORME Pour une conduite de section uniforme, la répartition des vitesses est la même quelque soit la section, α est donc constant le long de la conduite. Dans ce cas, la perte de charge est p ht ht ht + x ρg h t p' p' ρg p x ρg + Elle peut être mesurée par la différence de niveau entre deux colonnes piézométriques, en hauteur de fluide. Mécanique des Fluides Saïd KOUTANI Page 4

25 h t L Souvent on rapporte cette perte de charge à l unité de longueur de la conduite; c est la perte de charge linéaire qui ne dépend que de la géométrie et la rugosité d une part et du débit et de la nature du fluide d autre part. h tl ht ht L IV- CALCUL DES PERTES DE CHARGE DANS LES CONDUITES CIRCULAIRES a) Analyse dimensionnelle Pour calculer la perte de charge dans une conduite, il suffit donc de calculer la perte de pression motrice. Pour une conduite cylindrique, elle doit dépendre de D : diamètre de la conduite L : longueur de la conduite V D : vitesse débitante ( ρ, ν ) : (nature du fluide) et de la rugosité caractérisée par r h : hauteur moyenne des aspérités r d : Distance moyenne des aspérités. On a donc ( ) p' p' f V, D, L, ρ, ν, r, r D h d L expérience montre que la fonction f est proportionnelle à L que l on peut normer à D, et l on obtient. D Φ V D r r L p D,, ρ, ν, h, d, ' 0. Faisons un peu d analyse dimensionnelle. L équation ci-dessus s écrit ( ) Φ Π, Π,... Π m 0 Le problème étant dynamique, le théorème de Vaschy-Buckingham implique que m 7 4, et Mécanique des Fluides Saïd KOUTANI Page 5

26 Π V D ρ ν r r α i i D α i α i α i 4 α i α i h 5 d 6 α i 7 D L p '. Il suffit de calculer ces exposants. Sachant que Π i est sans dimension, en l écrivant sous forme de produit de puissance des grandeurs fondamentales, on obtient α + α α + α + α + α + α 0 α i i i i4 i5 i6 i7 + α 0 i i7 α α α 0 i i4 i7 Faisons α et α α α 0, le premier produit s écrit i4 i5 i6 i7 Π ν. V D D En permutant et 0 pour les exposants, on obtient. et Π Π Π rh D rd D D p' L ρv 4 D En conséquence, l équation recherchée peut s écrire p' VD ρ L D f rh rd Re,,, d D c est-à-dire h t L VD λ D g où le coefficient κ rh rd f Re,, est le coefficient de perte de charge. Pour une conduite D D donnée, il ne dépend que du nombre de Reynolds. Pour caractériser la perte de charge, il suffit de déterminer ce coefficient pour différents régimes. b) Expérience de Nikuradse Dans cette expérience, Nikuradse étudie la variation du coefficient de perte de charge en fonction du nombre de Reynolds et de la rugosité des conduites qu il a faite varier artificiellement en collant sur les parois des grains de sable de taille variable. La dimension des grains, donc des aspérités, est caractérisée par un seul paramètre k. Le résultat est représenté sur la figure suivante. Mécanique des Fluides Saïd KOUTANI Page 6

27 l o g λ différents k laminaire 4 5 turbulent logre hydrauliquement lisse hydrauliquement rugueux Tout d abord, on constate que la notion de rugosité est relative au type d écoulement. De ces résultats expérimentaux, on tire les conclusions suivantes : - Région : Re < 000 ; l écoulement est laminaire. Dans cette région, les données suivent la loi, dite de Hagen-Poiseuille, 64 λ ; Re ce qui correspond à la relation que l on obtiendrait à partir de la résolution de l équation de Navier-Stokes. - Région : Zone de transition laminaire-turbulent mal définie. - Région : Zone turbulente. On obtient la relation de Blasius λ 4 00Re et ceci pour Re < Région 4: Le coefficient de perte de charge dépend de la rugosité et de Re. -Région 5: C est une zone où seule la rugosité intervient. Le coefficient de perte de charge suit la relation de Karman-Brandtl log λ D k +.4 c) Diagramme de Colebrook-Moody La rugosité des conduites industrielles n est pas uniforme, mais si on définit un paramètre de rugosité k appelé rugosité uniforme équivalente, le coefficient de perte de charge suit la loi empirique universelle Mécanique des Fluides Saïd KOUTANI Page 7

28 k.5 log D +. λ.7 Re λ On voit qu il n est pas facile de déterminer λ à partir de cette équation. Il existe des abaques qui donnent directement ce coefficient. V- PERTE DE CHARGE DANS LES SINGULARITES - Elargissement brusque Lorsque le diamètre d une conduite passe brusquement de D à D, ce n est qu à une distance de l ordre de quelques dizaines de D que l écoulement redevient uniforme. S x S Calculons la perte de charge résultant de cette singularité h t h t p' V p V + g g g + ' ρ ρ g p' p' ρg V + V g Le théorème de quantité de mouvement permet d expliciter cette expression. En effet et avec on a ρv ( Vn) ds ρ( V S V S ) n F pnds f dτ. + pesanteur f dτ Udτ ρgx nds, pesanteur [ ] F p + ρgx nds p ' nds. Faisons une projection selon la direction de l écoulement. Mécanique des Fluides Saïd KOUTANI Page 8

29 ' ' ρv S ρv S p S p S d où le résultat ' p ht ρg ( V V ) g que l on peut écrire sous la forme ht I g V où le coefficient de pertes de charge singulière s écrit - Rétrécissement brusque S I S En considérant le phénomène de contraction, le problème peut être traité comme un élargissement entre la section contractée σ et S. σ S On a donc h t ( V V ) V V g g V où V est la vitesse dans la section contractée. Finalement, on obtient avec σ I et C C S ht I g V ( coé fficient de contraction). Valeurs du coefficient de pertes de charge Mécanique des Fluides Saïd KOUTANI Page 9

30 - Orifice rentrant de Borda I -Orifice à bords vifs I 0.5 -Orifice à bords chanfreinés I 0.7 à 0.8 -Orifice à bords arrondis I 0.5 ) Pertes de charge dues à un coude On a encore une relation du type ht I g V le coefficient de pertes de charge singulière dépend du diamètre de la conduite, de sa courbure et du nombre de Reynolds (,, θ,re) I f D rayon decourbure θ 4) Appareils divers D Mécanique des Fluides Saïd KOUTANI Page 0

31 La mesure de pertes de charge d origines multiples est nécessaire. En général, les constructeurs donnent leurs valeurs pour chaque appareil. VI- PERTES DE CHARGE D UN CIRCUIT -Caractéristique Il est toujours important de connaître l évolution de la perte de charge totale en fonction du débit pour une conduite ou un ensemble de conduites dans un circuit hydraulique. On introduit la notion de section efficace S e telle que qv VSe Se g ht par conséquent h t gs e q v. L équation h f ( q ) t est appelée caractéristique. v h t q v ) Conduites en série 4 Pertes de charge du circuit : q v ht ht + ht + ht htn g S S S S e e e en h t qv g S e S e est appelé section équivalente du circuit, qui donc pour un circuit série s écrit S S S S S e e e e en Mécanique des Fluides Saïd KOUTANI Page

32 ) Conduites en parallèles q v La conservation du débit impose la relation qv qv + qv + qv qvn, qui s écrit avec ( ) qv ght Se + Se + Se Sen ght Se, S S + S + S + + S e e e e... en Mécanique des Fluides Saïd KOUTANI Page