Sujet 001 Épreuve pratique de mathématiques en seconde Fiche élève. Feux rouges

Transcription

1 Sujet 00 Épreuve pratique de mathématiques en seconde Fiche élève Feux rouges Pour aller au lycée à vélo, Nicolas rencontre trois feux bicolores pour cyclistes. On suppose que lorsque Nicolas arrive devant un feu, celui-ci a autant de chance d être rouge que vert. Pour répondre à une question qu il se pose chaque matin, Nicolas a rédigé l algorithme suivant : Initialisation S prend la valeur 0 Traitement Pour i de à 3 R prend au hasard la valeur 0 ou S prend la valeur S+R Fin pour Sortie Afficher S. Programmer cet algorithme à l aide du langage de votre choix. Que représente S? du programme et de son interprétation 2. Faire tourner cet algorithme 30 fois et noter dans un tableau les résultats obtenus. 3. Nicolas annonce que sur 30 trajets, il y a en au moins quatre au cours desquels il rencontre trois feux rouges. (a) Peut-on comparer ce que dit Nicolas avec l expérimentation faite à la question 2.? et une aide éventuelle (b) Quelle est la probabilité que Nicolas rencontre trois feux rouges sur son trajet? La programmation de l algorithme avec le logiciel de votre choix Un tableau réunissant les résultats de 30 essais Le calcul de la probabilité de l événement étudié.

2 Sujet 002 Épreuve pratique de mathématiques en seconde Fiche élève Fille ou garçon? Un couple rêve de fonder une famille de trois enfants. Lors de chaque naissance, on suppose que la probabilité d avoir une fille est égale à 0,5. Ce couple se demande quel est l événement qui a la plus grande probabilité : n avoir aucune fille, en avoir une seule, exactement deux ou bien trois. Pour tenter de répondre à cette question, le couple décide de simuler le problème à l aide d un algorithme.. Ouvrir le programme fille-garçon.alg à l aide du logiciel Algobox. Que fait ce programme? du programme et une aide éventuelle 2. Modifier le programme pour afficher la fréquence des familles n ayant aucune fille, puis la fréquence des familles ayant une fille, Tester le programme plusieurs fois. Que peut-on conjecturer? de la conjecture 4. (a) Quelle est la probabilité que le couple n ait aucune fille parmi leurs trois enfants? (b) Quelle est la probabilité que le couple n ait qu une seule fille parmi leurs trois enfants? Expliquer ce que réalise le programme du fichier fourni Modifier le programme pour lui faire afficher les fréquences demandées Le calcul des probabilités de la question 4.

3 Sujet 003 Épreuve pratique de mathématiques en seconde Fiche élève Faisceau de droites OABC est un rectangle tel que : OA=8 cm et AB=2 cm, M est un point du plan. La droite passant par M et parallèle à (AB) coupe (BC) en D et (OA) en E. La droite passant par M et parallèle à (OA) coupe (OC) en F et (AB) en G.. Construire la figure à l aide d un logiciel de géométrie dynamique. 2. Conjecturer la position des droites (OB), (EG) et (DF). de la figure 3. Quelle est la position du point M pour laquelle les droites (OB), (EG) et (DF) sont parallèles? 4. Démontrer la conjecture faite en 2. lorsque le point M est défini par : 5. Démontrer le résultat conjecturé en 3. OM=2 OA+3OC La figure réalisée à l aide d un logiciel de géométrie dynamique Les démonstrations des deux conjectures.

4 Sujet 004 Épreuve pratique de mathématiques en seconde Fiche élève Prendre de la hauteur Deux poteaux verticaux de 3 m et 6 m sont plantés sur un sol horizontal. On tend un câble du sommet de chacun des deux poteaux au pied de l autre. À l intersection des deux câbles, on veut accrocher une lampe. On fait varier la distance d entre les deux poteaux et on s intéresse à la hauteur h du point de fixation de la lampe. A 6 m B h F C 3 m D d. Faire une figure à l aide d un logiciel de géométrie dynamique. Afficher la hauteur h du point de fixation. de la figure et une aide éventuelle 2. Faire varier la distance d et établir une conjecture. de la conjecture 3. Démontrer la conjecture réalisée en 2. On pourra par exemple introduire un repère d origine B. La figure réalisée à l aide d un logiciel de géométrie dynamique La démonstration de la conjecture. D après une épreuve pratique de l académie de Versailles

5 Sujet 005 Épreuve pratique de mathématiques en seconde Fiche élève Détermination d un lieu géométrique On considère un point O du plan et un nombre réel strictement positif R. On note C le cercle de centre O et de rayon R. On considère un point A situé à l intérieur de C. À tout point B appartenant au cercle C, on associe le point I, milieu de la corde d extrémité B passant par A. On souhaite préciser le lieu F du point I lorsque le point B décrit le cercle C.. Effectuer une construction à l aide d un logiciel de géométrie dynamique. de la figure et du lieu F 2. Préciser la position relative des droites (OI) et (AB). 3. Que peut-on en déduire sur le lieu F? 4. Reprendre le problème lorsque le point A n est plus à l intérieur du cercle C. La figure réalisée à l aide d un logiciel de géométrie dynamique et la représentation du lieu F Les justifications des questions 2. et 3. D après une épreuve pratique de l académie de Versailles

6 Sujet 006 Épreuve pratique de mathématiques en seconde Fiche élève Droites perpendiculaires Le plan est rapporté au repère orthonormé (O, i, j). Soit D une droite passant par O de coefficient directeur a non nul. Soit D la droite perpendiculaire à D passant par O. On note a le coefficient directeur de la droite D.. Effectuer la construction de la figure. 2. En faisant varier les valeurs de a, noter dans un tableau les valeurs obtenues pour le coefficient a. Que peut-on conjecturer? de la figure et de la conjecture 3. Démontrer la conjecture précédente. On pourra utiliser les points A et B d abscisse appartenant aux droites D et D. et une aide éventuelle 4. Quelle est la réciproque de la propriété démontrée à la question 3.? 5. Utiliser le logiciel pour voir si cette réciproque semble vraie. La figure réalisée à l aide d un logiciel de géométrie dynamique et la conjecture sur les coefficients a et a La preuve de la question 3. Une conjecture sur la réciproque de la propriété démontrée.

7 Sujet 007 Épreuve pratique de mathématiques en seconde Fiche élève À la recherche d un angle droit On considère un trapèze rectangle PQRS dont les dimensions sont données sur la figure ci-dessous. Le but de l exercice est de trouver les points M du segment [PQ] tels que l angle RMS soit droit. S R 4 cm 3 cm P M Q 8 cm. Effectuer la construction de la figure à l aide d un logiciel de géométrie dynamique. Afficher une mesure de l angle RMS. Combien de points M semblent répondre au problème? de la figure et une aide éventuelle 2. En appelant x la longueur du segment [MP], écrire une condition exprimant que le triangle RMS est rectangle en M. de la relation obtenue 3. Montrer que l équation d inconnue x obtenue peut s écrire : (x 4) 2 4=0. Résoudre cette équation et comparer le résultat avec la conjecture réalisée en. 4. La longueur du segment [QR] est à présent variable. Conjecturer la valeur de cette longueur à partir de laquelle le problème n a plus de solution. Expliquer le phénomène.

8 Sujet 007 Épreuve pratique de mathématiques en seconde Fiche élève La figure réalisée à l aide d un logiciel de géométrie dynamique et la conjecture sur le point M L équation dont la longueur du segment [PM] est solution La résolution de l équation de la question 3. Une interprétation du phénomène observé lorsque la longueur du segment [MP] est variable. D après une épreuve pratique de l académie de Versailles 2/2