DOCUMENT ANNEXE II - RAPPELS DE TRIGONOMÉTRIE. DEPARTEMENT SCIENCES Janvier 2005 A.Biolluz

Transcription

1 DOCUMENT ANNEXE II - RAPPELS DE TRIGONOMÉTRIE DEPARTEMENT SCIENCES Janvier 005 A.Biolluz

2

3 DOCUMENT ANNEXE RAPPELS DE TRIGONOMETRIE I - DÉFINITIONS RELATIVES AU TRIANGLE RECTANGLE - L'hypoténuse est le plus grand côté, opposé (faisant face) à l'angle droit. - L'angle droit est un angle de 90 ou radians (symbole : rad): 3, = rad le nombre irrationnel 3,1416 est noté π par convention. - Les deux angles α et β, autres que l'angle droit, sont aigus et complémentaires, c'est à dire que leur somme est égale à 90 ou radians. α + β = rad ou β = - α - Le sinus d'un angle aigu est égal au quotient : - Le cosinus d'un angle aigu est égal au quotient : côté opposé hypoténuse côté adjacent hypoténuse La tangente d'un angle aigu est égale au quotient : côté opposé côté adjacent QUE PEUT-ON EN DEDUIRE? M Le triangle OMN est rectangle en N : ONM = rad MON = α OMN = β sin(α) = cos(β) = MN OM cos(α) = sin(β) = ON OM 0 N tan(α) = 1 = MN tan() ON tan(α)= sin() cos() = tan 1 = () cos() sin() Si deux angles sont complémentaires : - le sinus de l'un est égal au cosinus de l'autre, - la tangente de l'un est égale à l'inverse de la tangente de l'autre. L'inverse de la tangente se nomme aussi co-tangente. 1

4 II - LE CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon R égal à 1 unité (R = 1m ou R = 1 cm etc.) sinus M' M α 0 N cosinus Si on trace le triangle rectangle OMN dans un tel cercle de centre O et de rayon R = OM et donc d'angle au centre α, on constate que les quotients qui définissent le sinus et le cosinus se simplifient puisque la longueur OM = 1. sin(α) = NM = OM' cos(α) = ON Dans un cercle trigonométrique, le diamètre vertical, orienté vers le haut, est appelé axe des sinus et le diamètre horizontal, orienté vers la droite, axe des cosinus. Le centre O du cercle est l'origine des axes. TABLEAU DE VALEURS POUR LES ANGLES AIGUS On peut mémoriser facilement le tableau des valeurs des lignes trigonométriques pour quelques valeurs d'angle rencontrées fréquemment. α 0 ou 0 rad 30 ou 6 rad 45 ou 4 rad 60 ou 3 rad 90 ou rad sin(α) cos(α)

5 APPLICATION DIRECTE A-1 Sur un cercle de 7,5 cm de rayon, sont reportés des angles de 30, 45 et 60. Vérifier que les mesures de leur sinus et cosinus correspondent aux valeurs données dans le tableau précédent. 3

6 III - CAS DES ANGLES OBTUS ET OUVERTS Les angles obtus sont les angles plus grands que 90 ou radian. Les angles ouverts sont les angles plus grands que 180 ou π radians. Leur sinus et leur cosinus ne peuvent plus se définir dans un triangle rectangle mais à l'aide du cercle trigonométrique et de ses axes auxquels est ajouté un sens positif de rotation (appelé sens de rotation trigonométrique) de la droite vers la gauche. Méthode : En partant de l'axe des cosinus et en tournant dans le sens positif, on trace l'angle au centre obtus ou ouvert : la projection de son extrémité sur chaque axe donne la mesure de son sinus et de son cosinus. QUE PEUT-ON EN DEDUIRE? Dans le cas de ces angles, on observe que les sinus ou cosinus peuvent être négatifs. NOM est un angle obtus tracé dans le cercle trigonométrique. sin(nom ) = Om > 0 cos(nom ) = On < 0 NOM 3 est un angle ouvert. sin(nom 3 ) = Om 3 < 0 cos(nom 3 ) = On 3 < 0 M sinus m + M' M n 3 n 0 N cosinus M 3 m 3 4

7 IV - CAS DES ANGLES NÉGATIFS Si les angles sont tracés en partant de l'axe des cosinus mais en tournant en sens inverse du sens trigonométrique, ils sont considérés comme négatifs. Leur sinus et cosinus sont évalués de façon identique par projection sur les axes correspondants. QUE PEUT-ON EN DEDUIRE? L'angle aigu NOM 1 est négatif. sin (NOM 1 ) = Om 1 < 0 cos (NOM 1 ) = On 1 > 0 sinus + β 0 α n 1 N cosinus m 1 M 1 L'angle négatif aigu NOM 1 = α et l'angle positif ouvert NOM 1 = β ont évidemment même sinus et cosinus. Si α = - 60 et β = 300 : sin(- 60 ) = sin(+300 ) et cos(- 60 ) = cos(+ 300 ) V - LES RELATIONS L'observation du cercle trigonométrique fait apparaître des relations entre les sinus et cosinus des angles si ceux-ci ont des relations particulières entre eux. Soit : NOM = α NOM 1 = - α NOM = α + NOM 3 = α + π 5

8 Les symétries de la figure montrent que : sin(α) = - sin(- α) cos(α) = cos(- α) sin(α + ) = cos(α) cos(α + ) = - sin(α) sin(α + π) = - sin(α) cos(α + π) = - cos(α) sinus + M m M' M n 3 n 0 α n 1 N cosinus m 1 M 3 m 3 M 1 Ces relations, et d'autres encore, ne sont pas à mémoriser en tant que telles mais doivent pouvoir être retrouvées à partir de la mémorisation du cercle trigonométrique, de ses axes et de son sens de parcours positif. APPLICATION DIRECTE A - Retrouver ainsi les relations qui peuvent lier sinus et cosinus des angles α et β si : α + β = π α + β = π En déduire en s'aidant du tableau page que : cos( 5 ) = sin( 5 ) 6 3 SOLUTIONS DES APPLICATIONS DIRECTES 6