Types abstraits algébriques

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1 Types abstraits algébriques On spécifie le type abstrait tabnat (tableau de naturels indexé par des naturels) de la manière suivante : sortes: nat, tabnat opérations: entrer : nat, nat, tabnat -> tabnat valeur : nat, tabnat -> nat vide : -> tabnat axiomes: valeur(j,entrer(v,i,t)) == V si I = J, valeur(j,t) sinon 1. Simplifiez (évaluez) les expressions suivantes : valeur(3, entrer(999, 3, vide())) valeur(2, entrer(999, 7, entrer(777, 2, vide()))) valeur(2, entrer(888, 2, entrer(999, 7, entrer(777, 2, vide())))) 2. On désire ajouter une opération remplir qui fait apparaître une même valeur dans tout le tableau p.ex. valeur(12, remplir(666, vide())) doit donner 666 valeur(12, remplir(666, entrer(999, 12,vide()))) doit donner 666 Donnez un axiome général qui décrive cette opération 3. On ajoute une opération échange qui a pour effet d échanger les valeurs des éléments se trouvant à deux positions différentes du tableau p.ex. valeur(1, echanger(1,2, entrer(10101, 2, entrer(78787,1,vide())))) doit donner valeur(1, echanger(3,2, entrer(10101, 2, entrer(78787,1,entrer(3, 90909,vide()))))) doit donner Complétez l axiome ci-desous pour qu il décrive bien l opération d échange valeur(i, echanger(k, L, T)) == si I = K si I = L sinon page 1/8

2 Implémentation Vous êtes chargé de l organisation d une grande course à la voile et plus particulièrement de la gestion des équipages des différents bateaux. Vous disposez déjà d une classe Personne définie comme suit : class Personne { String nom, prenom, adresse; Vous devez réaliser une classe Bateau dont chaque objet représente un bateau avec son nom, son skipper et les membres de l équipage. Vous avez déjà décidé que l interface de la classe Bateua sera composée des méthodes suivantes : class Bateau { void defnom(string unnom); // définit le nom du bateau void defskipper(personne p); // définit le skipper du bateau void ajoutermembreequipage(personne p); // ajoute une personne à l équipage void remplacermembreequipage(personne ancien, Personne nouveau); // remplace void retirermembreequipage(personne p); // retire boolean estmembre(string n, String p) // retourne vrai s il y a un membre de // l équipage qui a pour nom n et pour prénom p, retourne faux sinon 1. Pour chaque méthode énoncez en français une pré et une post condition qui définisse le sens de l opération. 2. Parmi les structures de données classiques (listes, piles, ensembles, fonctions, tableaux, etc.) laquelle choisiriez-vous pour représenter les membres de l équipage d un bateau? Argumentez votre réponse. 3. Vous décidez d utiliser la structure ci-dessous pour représenter un bateau : class Bateau { String nom; Personne skipper; Vector equipage; méthodes Ecrivez en Java ou en pseudo-code les algorithmes nécessaires à l implémentation des méthodes de la classe Bateau (y compris la vérification des pré-conditions) NOTE: une description partielle de la classe Vector est fournie en annexe; Types numériques de base 1. Lorsqu on effectue des calculs sur des valeurs numériques de type flottant (p.ex. des double page 2/8

3 ou float en C et Java) la précision n est pas absolue. Expliquez pourquoi. 2. Si l on calcule les sommes s1 = 1 + 1/2 + 1/ /n et s2 = 1/n + + 1/3 + 1/2 + 1 à l aide d un programme (C, Java, etc.), on obtient en général deux résultats différents. Laquelle des deux sommes est-elle la plus proche du résultat théorique? Justifiez votre réponse. Arbres multidimensionnels On a un ensemble de données formé de triplets (x, y, z), p.ex. des objets d une classe définie comme class Point3D {int x, y, z;. On décide de placer ces données dans un arbre 3-d. 1. Montrez comment l arbre 3-d se construit dans le cas où les données sont : (6,6,6), (3,8,12), (9,7,4), (2,12,15), (5,200,10), (1000,8,-5) et qu on les insère dans cet ordre dans l arbre. 2. Quel est l arbre binaire (standard) obtenu avec ces données si l on prend comme clé la composante y de chaque triplet. 3. Décrivez l algorithme à utiliser pour trouver tous les triplets qui ont une valeur donnée pour x (p.ex. x = 5) dans le cas où l on a utilisé un arbre 3-d dans le cas où l on a utilisé un arbree binaire standard construit sur la clé y. Que pouvez-vous en conclure quand aux mérites relatifs des deux structures de données? Annexe : description partielle de la classe Vector Un Vector est un tableau dynamique dont la taille varie en fonction des insertions ou retraits d éléments. Un même objet peut apparaître plusieurs fois dans le même Vector, à deux indices différents. On peut mettre des objets de n importe quelle classe dans un Vector. public class java.util.vector extends java.lang.object { // Constructeurs public Vector(); // crée un nouveau vecteur vide // Méthodes public final void addelement(object obj); // ajoute un élément à la fin du vecteur public final boolean contains(object elem); // vrai si l objet appartient au vecteur public final Object elementat(int index); // retourne l élément à l indice spécifié public final Object firstelement(); // retourne le 1er élément public final int indexof(object elem); // indice de la première occurence de l objet // dans le vecteur, -1 si l objet n appartient pas au vecteur page 3/8

4 public final void insertelementat(object obj, int index); // insère l objet à l indice spécifié public final boolean isempty(); // vrai si le vecteur est vide public final Object lastelement(); // dernier élément public final void removeallelements(); // retire tous les éléments public final boolean removeelement(object obj); // retire la première occurence de // obj du vecteur public final void removeelementat(int index); // retire l élément à l indice spécifié public final void setelementat(object obj, int index); // met obj dans le vecteur // à l indice spécifié public final int size(); // nombre d éléments du vecteur Types de base Dans de nombreux langages informatiques, tels C, C++, Java, ou SQL, les types numériques de base sont représentés par un nombre fixe de bits, p.ex. 16 bits pour les short ou 32 bits pour les int. Question 1 Citez les principaux avantages et inconvénients de cette représentation Question 2 Quel peut être l impact de cette représentation fixe au niveau de la conception des applications? Question 3 Les nombres flottants de taille fixe représentent des nombres réels avec une précision limitée, ce qui conduit à des imprécisions dans les calculs. Supposons que dans un logiciel commercial on traite des sommes d argent (francs et centimes). Comment s assurer que 4,30 Fr. + 2,30 Fr + 2,30 Fr. + 0,10 Fr donne bien 9,00 Fr. en pas 8, Fr.? Types abstraits algébriques Soit la spécification Arbre-Ternaire défini comme suit : spécification Arbre-Ternaire sortes: nat, arbre3, bool operations: // construire un arbre vide. * : -> arbre3 // construire un arbre en donnant la valeur de sa racine et // ses trois sous-arbres. cons : nat, arbre3, arbre3, arbre3 -> arbre3 // pour construire l arbre // 23 // / \ // / \ // // on fera donc: // page 4/8

5 // cons(23(cons(12,*,*,*), cons(5,*,*,*), cons(899,*,*,*)) // sélectionner les différents sous-arbres d un arbre. s1 : arbre3 -> arbre3 s2 : arbre3 -> arbre3 s3 : arbre3 -> arbre3 // sélectionner la racine d un arbre racine : arbre3 -> nat equations: racine(cons(n, A1, A2, A3)) == N s1(cons(n, A1, A2, A3)) == A1 s2(cons(n, A1, A2, A3)) == A2 s3(cons(n, A1, A2, A3)) == A3 Question 1 A l aide des équations ci-dessus simplifiez au maximum les expressions suivantes: a) racine(cons(345,*,cons(12,*,*,*),*)) b) racine(s2(cons(345,*,cons(12,*,*,*),*))) c) racine(s3(cons(345,*,cons(12,*,*,*),*))) Question 2 On veut définir une nouvelle opération rotation : arbre3 -> arbre3 dont l effet est de remplacer le premier sous-arbre par le second, le second par le troisième et le troisième par le premier et de laisser la racine inchangée. Si l arbre est vide la rotation donne un arbre vide. Complétez les équations ci-dessous pour qu elles décrivent l effet de l opération rotation. a) s1(rotation(a)) == s2(...) b) s2(rotation(a)) ==... c) s3(rotation(a)) ==... d)... == racine(a) e) rotation(*) ==... Question 3 On ajoute encore une opération taille : arbre3 -> arbre3 qui produit un arbre binaire en remplaçant le sous-arbre du milieu par l abre vide. Donnez trois équations qui décrivent cette opération. Interface et implémentation des types Une file d attente est décrite par la spécification suivante : specification FA page 5/8

6 sortes: element, file, bool operations: vide : -> file // ajoute un élément à l arrière de la file entrer : elem, file -> file // sort l élément se trouvant à l avant de la file sortir : file -> file // sélectionne le premier élément de la file (celui qui // se trouve à l avant) premier : file -> elem // teste si la file est vide est-vide : file -> bool équations: est-vide(vide) == vrai est-vide(entrer(e, F)) == faux premier(entrer(e, F)) == E si est-vide(f) == vrai == premier(f) si est-vide(f) == faux sortir(entrer(e, F)) == vide si est-vide(f) == vrai == entrer(e, sortir(f)))si est-vide(f) == faux Question 1 Spécifiez l interface d une classe File qui implémente la sorte file décrite ci-dessus. Pour chaque méthode donnez ses pré et post conditions (on suppose qu une classe Elem existe, qui implémente la sorte elem). class File File vide() // PRE... Elem premier() // PRE... void entrer(elem e) // PRE... void sortir() // PRE... boolean estvide() // PRE... Rappel: les pré et post conditions doivent se baser sur la spécification algébrique. page 6/8

7 Question 2 A l aide de quel type connu implémenteriez-vous le type File? Question 3 Etant donné le choix que vous avez fait, décrivez les algorithme nécessaires pour implémenter les opérations vide, entrer, sortir, premier et estvide. Vous pouvez décrire vos algorithmes en Java ou en pseudo-code. On désire introduire la notion de priorité, c est-à-dire que lorsqu un élément entre dans la file on le place devant tous les éléments qui ont une priorité inférieure. On supposera pour cela que la classe Elem possède une variable d instance publique priorite qui donne la priorité de tout élément. Question 4 Si vous conservez la même structure qu avant, comment devez-vous adapter les algorithmes de entrer, sortir et premier? Que devient leur complexité? Question 5 Pouvez-vous poposer une structure qui rende les opérations plus efficace? Si oui laquelle? page 7/8

8 1 Parcours de réseau Un réseau hydraulique est composé de stations et de lignes (canalisations) qui vont d une station à une autre station dite adjacente. Pour chaque ligne on a une capacité maximale (nombre de litre/minute). On dispose d une classe Reseau et d une classe Station dont les interfaces sont : class Reseau { /* fournit la capacité de la ligne entre deux stations adjacentes si s1 et s2 ne sont pas adjacentes, la méthode échoue */ int capacite(station s1, Station s2); /* fournit un tableau qui contient toutes les stations adjacentes à s1, c est-à-dire celles pour lesquelles il existe une ligne directe depuis s */ Station [] adjacentes(station s); class Station { public String nom; Question 1 Pour gérer ce réseau on doit développer différentes méthodes de la classe Reseau. Donnez pour chacune d elles un algorithme qui effectue le traitement décrit en commentaire (vous pouvez décrire les algorithmes en Java ou en pseudo-code). /* a. Met dans un tableau les stations adjacentes à s pour lesquelles la ligne a une capacité d au moins 100 [l/min.] */ Station [] adj100(station s); /* b. Retourne dans un tableau toutes les stations que l on peut atteindre directement (adjactentes ou en passante par une station intermédiaire à partir de s */ Station [] adistance2(station s) /* c. Trouve toutes les stations que l on peut atteindre depuis s en passant par au plus 3 stations intermédiaires et en n utilisant que des lignes d une capacité d au moins 100 [l/min] */ Station [] adistance4(station s); /* d. Teste s il existe un moyen de connecter la station s à la station t, retourne true si t est adjacente à s ou s il existe des stations s 1, s 2,, s k telles que s est adjacente à s 1, s 1 est adjacente à s 2, et s k est adjacente à t, retourne false sinon. */ boolean connectables(station s, Station t); page 8/8