Premi` ere m ethode Seconde m ethode

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1 3 PROBABILITÉS Exercice 3 O cherche à évaluer le ombre N de lios d Asie, espèce e voie de disparitio, ecore e vie das la forêt de Gir Pour cela, o capture d abord, e ue seule fois, m lios (avec m N que l o tatoue avat de les relâcher das la ature, et o admet que pedat toute la durée de l étude il y a i décès i aissace, puis o utilise l ue des deux méthodes suivates Première méthode O capture successivemet, au hasard (doc avec équiprobabilité et avec remise e liberté après l observatio du sujet, lios Soit Y le ombre de lios tatoués parmi eux Détermier la loi de Y E déduire que m Y est u estimateur sas biais et coverget de N Pourquoi e peut-o pas predre m comme estimateur de N? Y m( + 3 O pose B = Y + Calculer l espérace de B et motrer que B est u estimateur asymptotiquemet sas biais de N Secode méthode O se doe N O capture égalemet, u par u, des lios de Gir au hasard et avec remise e liberté après l observatio du sujet O ote X, la variable aléatoire égale au ombre de lios qu il a été juste écessaire de capturer pour e obteir tatoués O pose D = X, et pour tout i de [[, ]], D i = X i X i O admet que les D i sot des variables idépedates deux-à-deux

2 86 ESCP-Europe - Oral 4 a Pour tout i de [[, ]], que représete cocrètemet D i? b Détermier, pour tout i de [[, ]], la loi de D i, so espérace et sa variace E déduire l espérace et la variace de X c O pose A = m X Motrer que A est u estimateur sas biais et coverget de N et détermier so risque quadratique 5 a Pour assez grad, par quelle loi peut-o approcher la loi de la variable aléatoire X = X? b O a tatoué m = lios, puis capturé 45 lios, pour obteir = 5 lios marqués O ote σ l écart-type de A 5 O a pu prouver que σ Détermier e foctio de σ, u itervalle de cofiace pour N au seuil de cofiace, 9 (o rappelle que Φ(, Solutio : La probabilité de succès à chaque capture vaut N m, doc Y B(, m N Comme E ( Y = : Y m N m est u estimateur sas biais de N De plus : V ( Y = m (m V (Y = (m N m ( N m = ( N m mn L iégalité de Bieaymé-Tchebicheff permet d affirmer que cet estimateur est coverget Comme P (Y =, m Y aurait ue probabilité o ulle de e pas être défii : aussi e peut-o pas le choisir comme estimateur 3 Par le théorème de trasfert : E(B = ( m( + ( mn k ( k + k m k k= N = ( + ( m mn k ( m k k + k= N = N ( + ( mn k+ ( m k k + k= N = N + ( + ( mn k ( m + k, k N k= soit, e utilisat la formule du biôme : E(B = N ( ( m N + N Aisi B est u estimateur asymptotiquemet sas biais de N

3 Probabilités 87 4 a Pour tout i [[, ]], D i représete le ombre de lios supplémetaires, à partir du (i ème lio tatoué obteu, qu il faut capturer pour obteir u ième lio tatoué (qui a pu être déjà recapturé, ous sommes doc das le schéma géométrique b Aisi D i (Ω = N et D i suit la loi géométrique de paramètre m N Aisi : E(D i = N m et V (D i = Or X = D i Doc, par idépedace : E(X = N m et V (X = N(N m m N(N m N(N m c O a E(A = N et V (A = Aisi A est u estimateur sas biais de N, coverget et de risque quadratique égal à V (A 5 a E utilisat le théorème de la limite cetrée : X (N/m = mx N N (, N(N m N(N m m Aisi, pour assez grad, o peut approcher la loi de X par la loi ormale N ( N N(N m, m m b Ici = 5, m =, X = 45 O pose σ = σ(a O cosidère que : A N N (, σ E utilisat cette approximatio, pour tout t > : P ( A N t = Φ(t Φ( t = Φ(t σ Doc : P ( A N t 9 Φ(t 95 t 64 σ Comme σ, (A tσ N A + tσ (A t N A + t Si l o pred I = [A 64, A + 64], alors : P (N I = P ( A N 64 9 σ Comme A 5 = 8, il viet I = [636, 964] Exercice 3 Ue ure cotiet iitialemet boules umérotées depuis jusqu à, avec O vide l ure e extrayat toutes les boules ue à ue, au hasard et sas remise Pour i compris etre et, o ote X i la variable aléatoire qui vaut si la boule obteue au ième tirage porte le uméro i et das le cas cotraire Quelle est la loi de X i? m

4 88 ESCP-Europe - Oral E déduire l espérace du ombre de fois où il y a cocidece etre le rag du tirage et le uméro de la boule obteue, lorsque l o vide l ure 3 Pour k compris etre et, o dit que le résultat du kème tirage est u record si la boule obteue à ce tirage porte u uméro strictemet supérieur à tous les uméros obteus jusqu alors (par covetio, le résultat du premier tirage sera toujours cosidéré comme u record a Combie existe-t-il de faços de vider l ure et pour lesquelles il y a qu u seul record? Pour lesquelles il y a records? b Motrer que pour p et q etiers aturels, o a la relatio suivate : ( p ( p + ( p + q ( p + q = ( p p p p + (où m est le ombre de parties à m élémets d u esemble à élémets 4 Soit k fixé etre et et j fixé etre k et Combie existe-t-il de faços de vider l ure, pour lesquelles la kème boule obteue porte le uméro j et le kème tirage costitue u record? 5 Combie existe-t-il de faços de vider l ure pour lesquelles le kème tirage est u record? E déduire la probabilité que le kème tirage soit u record Pouvait-o avoir ce résultat directemet? 6 Pour k compris etre et, soit Y k la variable aléatoire qui pred la valeur si le résultat du kème tirage est u record et sio Détermier la loi de Y k Soit R le ombre aléatoire de records obteus lorsque l o vide l ure Détermier l espérace de R Solutio : Parmi tous les! tirages possibles, il suffit de compter ceux pour lesquels o a obteu i au ième tirage : il y e a (! Doc, X i suit la loi de Beroulli de paramètre / O a : N = X i ( ombre de coïcideces Par liéarité de l espérace, o a : E(N = = 3 a Le premier tirage état cosidéré comme u record, s il y a eu qu u seul record, c est que la boule uméro est sortie au premier tirage Esuite, peu importe ce qui se passe Il y a doc (! faços de vider l ure pour lesquelles il y a qu u record S il y eu records, cela sigifie qu à chaque tirage, o a obteu u uméro supérieur à celui obteu au tirage précédet ; la seule possibilité est d avoir tiré les boules par ordre croissat, doc u seul tirage coviet

5 Probabilités 89 b La formule demadée : ( p ( p + ( p + q ( p + q = p p p p + s obtiet, par exemple, par récurrece e utilisat la formule de Pascal 4 Si le kème tirage est u record avec le uméro j sorti, cela sigifie qu au cours des (k tirages précédets, o a obteu que des uméros iférieurs ou égaux à j si j < k, c est impossible ; ( j si j k il y a faços de choisir les boules sorties lors des (k k premiers tirages (elles doivet avoir toutes u uméro compris etre et j, (k! faços de les ordoer, puis ue faço de placer la boule j e place k, et la fi est ue permutatio quelcoque des boules restates Fialemet, il y a : ( j (k! ( k! k faços coveables de vider l ure (o pourrait simplifier, mais ce est pas itéressat pour la questio suivate 5 Par la questio précédete, le ombre de faços d avoir u record au kème tirage est égal à : ( j ( ( k!(k! = ( k!(k! k k j=k et la probabilité demadée est doc : ( ( k!(k!! k = k O peut retrouver ce résultat directemet avec le raisoemet suivat : dire que le kème tirage est u record, c est dire que le plus grad des k premiers résultats est le derier, c est doc dire qu e ordoat k ombres deux à deux disticts le plus grad est le derier La probabilité est doc de k 6 La variable aléatoire Y k suit la loi de Beroulli de paramètre k La variable aléatoire R est égale à Y k et E(R = E(Y k = k k= Exercice 33 O cosidère la foctio g défiie sur R par g(x = π(e x + e x Motrer que g est ue foctio desité de probabilité k= k=

6 9 ESCP-Europe - Oral Das la suite, o ote X ue variable aléatoire défiie sur u espace probabilisé (Ω, A, P admettat g pour desité (o dit que X suit la loi d Euler Détermier la foctio de répartitio F X de X 3 Motrer que X admet des momets de tous ordres et calculer so espérace 4 O pose Y = e X a Motrer que Y est ue variable aléatoire à desité et détermier ue desité de Y b La variable aléatoire Y admet-elle ue espérace? 5 O cosidère ue suite de variables aléatoires (Y N défiies sur le même espace probabilisé (Ω, A, P, idépedates et suivat toutes la même loi que Y Pour N, o pose M = sup(y, Y,, Y a Détermier la foctio de répartitio de M b Pour, o pose Z = M Motrer que la suite (Z N coverge e loi vers ue variable aléatoire dot o doera la loi Solutio : La foctio g est cotiue sur R et positive De plus, e abrégeat : e x ] + g(xdx = [ π e x + dx = π Arc ta(e x = π (π = g est bie ue desité de probabilité De la même faço, pour tout réel t : [ t F X (t = π Arc ta(e ] x = π Arc ta(et 3 a Soit, et h : x x g(x La foctio h est cotiue sur R au voisiage de +, h (x π x e x = o(/x, au voisiage de, h (x π x e x = o(/x (o aurait pu ivoquer la parité de la foctio g Aisi la covergece (absolue de l itégrale sur R de h est acquise et X admet des momets de tous ordres b La foctio h est impaire d itégrale sur R covergete, doc E(X = 4 a O a Y (Ω = ], + [ et pour y >, (Y y = (e X y = (X l y A, doc Y est ue variable aléatoire et :

7 Probabilités 9 Pour y >, P (Y y = P (X l(y = π Arc ta(y Aisi : { si y < F Y (y = Arc ta(y si y π F Y est de classe C par morceaux, doc Y est ue variable aléatoire à desité et ue desité f Y de Y s obtiet par exemple par dérivatio sur R et e faisat u choix arbitraire e {: si y < f Y (y = π + y si y b Il est clair que Y admet pas d espérace, puisque yf Y (y C y au voisiage de + et doc déjà l itégrale yf Y (y dy diverge 5 a O a : [M x] = [Y i x], ce qui motre que M est ue variable aléatoire, clairemet à valeurs das R + De plus, pour x, par idépedace des (Y i, o a : P (M x = ( P (Y i x = π Arc ta(x { ( si x < Doc : F M (x = π Arc ta(x si x b O a Z (Ω = ], + [ et pour x > : P (Z x = P (M x = ( π Arc ta( x = ( π ( π Arc ta( x car pour t >, o a Arc ta t + Arc ta t = π Doc : P (Z x = ( π Arc ta( x = exp( l( π Arc ta( x Or : l( π Arc ta( x ( π Arc ta( x x ( π Doc x >, lim P (Z x = e x π et comme Z est à valeurs das R +, ceci prouve que Z ted e loi vers la loi expoetielle de paramètre π Exercice 34 Ue ure cotiet boules umérotées de à et k boules bleues o umérotées Les boules sot tirées avec remise jusqu à ce qu ue boule bleue soit tirée Au cours de ces tirages, o défiit le ombre R de répétitios de la maière suivate : au début, R = Esuite, o ajoute à R dès que l o obtiet ue boule umérotée qui avait été déjà tirée précédemmet

8 9 ESCP-Europe - Oral Détermier les probabilités des évéemets suivats : A = la première boule tirée est la boule uméro A = la première boule tirée est ue boule portat u uméro strictemet supérieur à A 3 = la première boule tirée est ue boule bleue O ote A l évéemet la boule uméro est jamais tirée lors du jeu E utilisat la formule des probabilités totales avec les évéemets précédets, motrer que P (A = k + k 3 O ote X le ombre de fois où l o a tiré la boule au cours du jeu E utilisat u raisoemet aalogue à celui de la questio précédete, motrer que E(X = k 4 O défiit la variable aléatoire Y par : { Si X, alors Y = X Si X =, alors Y = (Y est doc le ombre de répétitios de la boule umérotée Motrer que E(Y = m (m P (X = m puis que E(Y = k(k + Soit r u etier aturel O recherche la valeur miimale de k (e foctio de et r de maière à ce que le ombre moye t de répétitios soit iférieur ou égal à r 5 Motrer que t = E(Y 6 E déduire que la valeur miimale recherchée est k = r + 4 Solutio : O a clairemet : P (A = + k et P (A = + k La probabilité que le jeu s arrête dès la première étape vaut P (A 3 = + k k Les évéemets A, A, A 3 formet ue partitio de l esemble Ω De plus, les évéemets A et A sot icompatibles Si la première boule tirée est ue boule bleue, le jeu s arrête et A 3 A Les tirages état idépedats, P A (A = P (A Aisi, d après la formule des probabilités totales : P (A = 3 P (A i P Ai (A = P (A + P (A P A (A + P (A 3 = + k P (A + k + k

9 Probabilités 93 Soit : + k + k + P (A = k + k, d où P (A = k k + 3 O utilise la décompositio selo les évéemets A, A, A 3 Aisi : E(X = E(X A P (A + E(X A P (A + E(X A 3 P (A 3 = (E[X] + P (A + E(X P (A +, soit : E(X = E(X k + k E(X, d où : E(X( + = k + k et E(X = k 4 D après la défiitio, Y = max{, X } Aisi : E(Y = kp (Y = k = kp (Y = k = kp (X = k + k= k= = (m P (X = m, soit : m= E(Y = (m P (X = m = E(X P (X = m = E(X P (A m= = k k k + = k(k + k= m= 5 Pour i [[, ]], e otat Y i le ombre de répétitios de la boule umérotée i, o a clairemet, par symétrie, E(Y i = E(Y Aisi : t = E ( Y i = E(Y i = E(Y 6 Fialemet, t r E(Y r k(k + r rk +rk Soit, comme k est etier, k > r + 4 Exercice 35 Soit (Ω, A, P u espace probabilisé Soiet θ > et X, X,, X variables aléatoires idépedates de même loi uiforme sur [, θ] Motrer que l X admet ue espérace et calculer so espérace m des Pour tout N, o pose Y = ( X X a Motrer que la suite (l Y N coverge e probabilité vers m b E déduire que (Y N coverge e probabilité vers e m 3 Soit M = max i X i Calculer, pour tout x R, P (M x 4 E déduire que (M N coverge e probabilité vers ue variable aléatoire costate C que l o détermiera e foctio de θ

10 94 ESCP-Europe - Oral 5 a Doer, pour tout réel x, la ature de la série N P (M x b Motrer que pour tout ω Ω, la suite (M (ω N coverge c Soit ε > Motrer que P ( lim + M θ ε = Solutio : La variable aléatoire X admet pour desité θ [,θ] De plus, pour a >, a l x dx coverge Aisi, d après le théorème de trasfert : m = E(X = θ l x θ dx = [ ] θ x l x x = l θ θ a D après la loi faible des grads ombres, la suite de variables aléatoires ( l Y i coverge e probabilité vers m Soit : ε >, lim P ( l Y m ε = + b Soiet ε, η > Notos ε = mi{l( + εe m, l( εe m } D après la questio précédete, il existe N tel que pour tout, P ( l Y m ε η Par suite : P ( Y e m ε = P ( l( εe m l(y m l( + εe m P ( l Y m ε η Soit, P ( Y e m ε η Aisi, la suite (Y coverge e probabilité vers e m 3 D après la défiitio de M, la positivité et l idépedace des (X i, Si x, P (M x = Si x θ, P (M x = Si x [, θ], P (M x = P ( i [, ]], X i x = ( x P (X i x = = ( x θ dx θ 4 Soit C la variable aléatoire défiie par P (C = θ = Soit ε > O a : P ( M C ε = P ( M θ ε = P (θ M ε = P (M θ ε Aisi, la suite (M coverge e probabilité vers la variable aléatoire costate égale à θ

11 Probabilités 95 5 a D après la questio 3, la série de terme gééral P (M x coverge si et seulemet si x θ b La suite (M (ω état croissate et majorée par θ, elle coverge c E utilisat la questio précédete : P ( lim M θ ε = P ( N, M θ ε = P ( {M θ ε} N P (M k θ ε, pour tout etier aturel k Or, d après les questios précédetes, lim k P (M k θ ε =, soit : Exercice 36 P ( lim M θ ε = Soiet X,, X, des variables aléatoires, défiies sur le même espace probabilisé, idépedates qui suivet toutes la loi de Poisso de paramètre Pour tout N, o ote S = X + + X Soit M u ombre réel tel que M > Doer la loi de S, so espérace et sa variace Justifier la covergece e loi de la suite ( S N vers ue variable aléatoire N dot o précisera la loi a Pour tout N et tout k [[, ], motrer que : k ( i ( exp k i= b O ote β la partie etière de M Motrer qu il existe N tel que : = β + Das toute la suite o se place das le cas où 3 Soit la variable aléatoire Y = h ( S, où la foctio réelle h est défiie par : { h(x = x si x [ M, ] sio a Motrer que : ( E(Y = e + β! ( β! b Puis que : E(Y e +! E(Y + e +! e β

12 96 ESCP-Europe - Oral 4 E étudiat la série de terme gééral u = l(a + l(a, motrer la covergece de la suite de terme gééral a = e +! K > vers ue limite 5 E admettat que E(Y coverge vers E(h(N quad ted vers +, motrer que : E déduire que :! Solutio : e M K M e + K e M π π π + e S suit la loi de Poisso de paramètre, d espérace et de variace D après le théorème cetral limite, la suite ( S coverge e loi vers N qui suit la loi ormale cetrée réduite a D après l iégalité de covexité x e x, o a : (tout est positif : k ( i k e i = exp ( k i ( k(k + ( = exp exp k i= i= i= b Comme β M, pour avoir β + il suffit que M Cette iéquatio du secod degré e possède u coefficiet domiat positif doc elle est vraie au voisiage de + O peut aussi dire que β = M M = o( ( ( 3 a Par théorème de trasfert, sous réserve de covergece de la série, o a : E(Y = + k= h ( k e k k!, or h ( { k k = sio si k [ M, ] Et : k [ M, ] k [ M, ] k [ β, ] Doc la série coverge (il y a qu u ombre fii de termes o uls et, comme [ β, ] N (d après la coditio, o a : E(Y = k e k ( = e k+ k= β k! k= β k! ( = e + β! ( β! k (k! b La première iégalité est évidete d après l égalité ci-dessus Pour la secode o utilise a avec k = β :

13 Probabilités 97 D où : k ( k!! + = k β ( β! i= +! ( i ( exp k exp ( β 4 Le calcul doe : u = ( ++ ( l(+ (+ l((+! (+ l l(! u = ( ++ ( l(+ l(+ + ( l = + ( l + = ( + ( o( 3 = + o( ( Aisi, par la règle de Riema u coverge ; la suite l(a coverge doc par télescopage ; aisi (a a ue limite K strictemet positive (c est ue expoetielle 5 O passe à la limite quad ted vers l ifii das l ecadremet 3 b e utilisat : lim + β = M, d après M < β M Doc lim + e β = e M lim E(Y = E(h(N (admis et par le théorème de trasfert : + E(h(N = x h(x e dx = π M x x e dx = M e π π e M K M e + K e M π π L ecadremet obteu est valable pour tout M > E faisat tedre M vers + o a K = π, d où l équivalece d après le résultat de la questio 4 Exercice 37 Soit a et c deux paramètres réels avec c > Pour etier supérieur ou égal à, soit x,, x des réels fixés o tous uls O cosidère variables aléatoires Y,, Y mutuellemet idépedates telles que pour tout i [[, ]], Y i suit ue loi ormale avec E(Y i = ax i et V (Y i = c Pour tout i [[, ]], o ote y i ue réalisatio de Y i et f Yi la desité cotiue sur R de Y i Soit F la foctio défiie sur R R +, à valeurs réelles, telle que : F (a, c = l ( f Yi (y i

14 98 ESCP-Europe - Oral Motrer que F est de classe C sur R R + Motrer que F admet sur R R + u uique poit critique (â, ĉ que l o détermiera 3 a Motrer que pour tout a R, o a : (y i ax i (y i âx i b E déduire que pour tout (a, c R R +, o a : F (a, c F (â, ĉ Coclure 4 O pose : s = x i, A = x s i Y i et C = (Y i A x i a Que représetet â et ĉ pour A et C? b Calculer E(A et V (A c O admet que la défiitio et les propriétés de la covariace de deux variables aléatoires discrètes s appliquet aux variables aléatoires à desité Motrer que pour tout i [, ]], o a : Cov(Y i, A = x i s c E remarquat que pour tout i [[, ]], la variable aléatoire (Y i A x i est cetrée, calculer E(C Solutio : O a : f Yi (y i = exp ( πc c (y i ax i, doc F (a, c = l(πc c (y i ax i Les foctios polyomiales sot de classe C sur R et les foctios c /c et c l c sot de classe C sur R +, doc F est de classe C sur R R + F a (a, c = c x i y i a c s et F c (a, c = c + c L uique poit critique (â, ĉ est doé par : â = (y i âx i (y i ax i s x i y i et ĉ = 3 a (y i ax i (y i âx i = a x i y i + a s + â x i y i â s doc (y i ax i (y i âx i = s (a â, car s > Bila : pour tout a R, (y i ax i (y i âx i

15 Probabilités 99 b Compte teu de l expressio de ĉ, o a : F (â, ĉ = ( + l(πĉ La questio a permet d écrire : F (a, c F (â, ĉ = ( +l (ĉc c i ax i (y ( +l ĉ (ĉc c (car u > = l u u Bila : (a, c R R +, F (a, c F (â, ĉ Le couple (â, ĉ est le poit de R R + e lequel F admet u maximum global 4 a Les réels â et ĉ sot les réalisatios des variables aléatoires A et C respectivemet b E(A = s x i (ax i = s a = a s Par idépedace des Y i, o a : V (A = s c i [[, ]], x i c = c s Cov(Y i, A = Cov ( Y i, s x i Y i = Cov(Y i, x i Y i = x i c s s D autre part, E(C = E ( (Y i A x i = V (Y i A x i Or : V (Y i A x i = V (Y i + x i V (A x i Cov(Y i, A = c + x i c s Par suite : Exercice 38 = c x i c s E(C = ( x c i c = s c x i c s Soit ε, ε,, ε, ue suite de variables de Beroulli idépedates telles que : pour tout N, P (ε = + = P (ε = = / Calculer l espérace E ( (ε + ε + + ε e foctio de Soit a ], [ fixé a Motrer l iégalité P ( ε + ε + + ε a a b Motrer que ( l { l a} P ( ε + ε + + ε a = l= où { l a} = si l satisfait l a et sio

16 ESCP-Europe - Oral c Motrer que lim + l= ( l { l a} = 3 Soit N ue variable aléatoire suivat la loi de Poisso, de paramètre θ >, idépedate de la suite (ε Calculer, e foctio de θ, l espérace : ( ( N+ E ε Solutio : O a E(ε k = et V (ε k = D après l hypothèse d idépedace : = V (ε + + ε = V (ε + + V (ε = et, puisque les variables aléatoires sot cetrées : E ( (ε + + ε = V (ε + + ε = a D après l iégalité de Bieaymé-Tchebychev : P ( ε + + ε a V (ε + + ε a = a b Si parmi les variables aléatoires ε,, ε il y e a exactemet l qui valet (les autres ( valat, alors o a : ε + +ε = l ( l = l Comme il y a l faços de choisir les places des et que les évéemets du type {ε = ±,, ε = ±} sot tous de probabilité /, o e déduit que : P (ε + + ε = l = ( l Par suite : P ( ε + + ε a = P (ε + + ε = l { l a} l= = ( l { l a} l= c D après la questio précédete, quad ted vers l ifii, la limite de cette expressio vaut 3 Suivat les valeurs de N, ous avos e vertu de l idépedace de N et de la suite (ε, la décompositio : E ( ( N+ ε = E ( ( k+ {N=k} ε = E (( k+ ε P (N = k = k= Par ailleurs, comme E (( k E (( N+ = = = ε = k = k= = V (ϵ = k, o obtiet : ε = ( + θ! e θ = θ + =

17 Probabilités Exercice 39 Soit u etier aturel Soit (Ω, A, P u espace probabilisé Soiet X et Y deux variables aléatoires réelles défiies sur (Ω, A, P telles que X(Ω = [[, + ]] et Y (Ω = [[, + ]] Pour tout (i, j [, + ]], o pose a i,j = P ((X = j (Y = i et b i,j = P (X=j (Y = i Das cette première partie, o suppose qu il existe u réel λ tel que : ( ( (i, j [, + ]], a i,j = λ i j a Calculer la valeur de λ b Détermier les lois margiales de X et de Y c Motrer que les variables X et Y sot idépedates d Soit Z = X Recoaître das la loi de Z ue loi usuelle E déduire l espérace et la variace de X O ote B M + (R la matrice dot le coefficiet de la ième lige et jème coloe est b i,j a Calculer la dimesio de l image et celle du oyau de B b Calculer B p, pour tout etier p N c Détermier l esemble des valeurs propres de B La matrice B est-elle diagoalisable? 3 O suppose à préset que : { (i, j [, + ]], a i,j = α si i + j = sio a Détermier α b Détermier les lois margiales de X et de Y Les variables X et Y sot-elles idépedates? c O ote B M + (R la matrice dot le coefficiet de la ième lige et jème coloe est b i,j Écrire B das le cas particulier = 4 Solutio : a Pour que les (a i,j défiisset ue loi cojoite, il faut que pour tout (i, j [[, + ]], a i,j et = + + a i,j = λ + ( + ( i j E utilisat la formule λ = ( p p= j= j= =, o trouve : = λ Aisi,

18 ESCP-Europe - Oral b O a X(Ω = [[, + ]] et pour tout j [[, + ]], P (X = j = + ( + ( ( a i,j = λ j i = j Par symétrie, Y suit la même loi (X et Y suivet la loi B(, / c Pour tout (i, j [[, + ]] ( : ( P (X = jp (Y = i = j i = P (X = j Y = i Les variables X et Y sot doc idépedates d O l a dit : Z B(, / O e déduit : E(X = E(Z + = E(Z + = + et V (X = V (Z + = V (Z = 4 a Comme X et Y sot idépedates, pour tout (i, j [[, + ]], ( b i,j = P (X=j (Y = i = P (Y = i = i O e déduit l écriture de la matrice B O remarque e particulier que toutes les coloes de B sot idetiques Par suite, Im(B est de dimesio Par le théorème du rag, Ker(B est de dimesio b O pose B = [c i,j ] Pour tout (i, j [[, + ]], o a : c i,j = + + ( ( ( b i,k b k,j = i k = i = b i,j k= k= D où : B = B Par suite, pour tout p N, B p = B c La questio précédete motre que P (X = X X est u polyôme aulateur de B Les seules valeurs propres possibles pour B sot doc et Comme E = Ker(B est de dimesio >, est bie valeur propre de B O remarque d autre part que comme B = B, o a BX = X, où X est le vecteur correspodat à la première coloe de B Aisi, est égalemet valeur propre de B et E = Ker(B I + est de dimesio au mois égale à Il s esuit que dim(e +dim(e +, doc dim(e +dim(e = + Aisi, la matrice B est diagoalisable O peut aussi dire que B e vaut i i I, doc représete u projecteur o trivial 3 a Pour tout (i, j [[, + ]], o doit avoir a i,j et = + + j= a i,j = Nα, où N désige le ombre de couples (i, j [[, + ]] tel que i + j = Facilemet N =, doc α = b j [[, + ]], P (X = j = + a i,j Si j [[, ], o a doc P (X = j = a +3 j,j + a + j,j = α + α = D autre part, P (X = = P (X = + =

19 Probabilités 3 O remarque que P (X = P (Y = = alors que P (X = Y = = 4 Aisi, X et Y e sot pas idépedates / / c La matrice B s écrit : B = / / / / Exercice 3 Pour tout etier aturel, o défiit l esemble D des desités de probabilité f : R R + ulles sur R et telles que x f(xdx coverge O ote alors m (f la valeur de cette itégrale O ote efi : D = + D k k= Soit u etier aturel Détermier tous les couples de réels positifs (α, β tels que : f et f D = αf + βf D a Soit f D Motrer que pour tout etier k tel que k, o a : f D k et < m k (f + m (f { π b Soit la foctio c : x R x si x > + Motrer que si x c D \ D Das toute la suite, o ote T : D D, l applicatio défiie pour tout f D par T (f(x = x m (f f 3 O ote f E,λ la desité de probabilité d ue loi expoetielle de paramètre λ >, ulle sur R et cotiue sur R + Motrer que f E,λ D et calculer T (f E,λ 4 Soit α et β deux réels positifs tels que α + β = et f, g D Exprimer T (αf + βg e foctio de T (f et de T (g Soit f D O défiit pour tout etier : f + = T (f 5 Das le cas gééral, exprimer f e foctio de f et m (f puis calculer et recoaître f lorsque f est la foctio f E,λ 6 Soit X et Y deux variables aléatoires cotiues de desités respectives f D pour X et T (f pour Y O ote F et G leurs foctios de répartitio respectives

20 4 ESCP-Europe - Oral Comparer F et G Das quelle portio du pla est situé l esemble des poits {(F (t, G(t, t R}? Solutio : Comme α et β, la seule coditio à réaliser est αf +βf = Les couples solutios sot : (α, α, α [, ] et (D, +, est pas u espace vectoriel sur R a Soit f D Comme pour x, o a k = x k f(x x f(x, l existece du momet d ordre etraîe celle du momet d ordre k O a lequel f > et < f(xdx =, doc il existe u itervalle o vide [a, b] R + sur b x k f(xdx x k f(x dx a + f(xdx + f(xdx + x k f(x dx, doc m k > Efi : x k f(xdx x f(xdx Doc < m k + m b La foctio c : x π x + R + (x est cotiue et positive et : E revache x c(x c D, mais c / D c(xdx = π (+ π x dx x + = [ Arc ta x ] + = π et l itégrale xc(x dx diverge, doc 3 O a f D = m > : T (f est bie défii et o vérifie aisémet que T (f appartiet bie à D Or f E,λ : x λe λx R+ est cotiue et positive sur R + Soit k N, x k f E,λ (x = o ( x au voisiage de +, d où l existece de m Doc f E,λ D et comme m = λ : T (f E,λ = λ xe λx R+ 4 Soit α et β tels que α + β = et f, g D O a : T (αf + βg = αm (f αm (f + βm (g T (f + 5 O a : f = x m (f f Soit, o suppose que f = βm (g αm (f + βm (g T (g x m (f f ; alors

21 Probabilités 5 m (f = xf (xdx = f + = xm (f m + (f x m (f f = Pour la loi expoetielle de paramètre λ : m (f = x + m (f f (xdx = m + (f m (f x λe λx dx = λ x+ m + (f f et : u e u du =! λ et f (x = x! λe λx [,+ [ (x, qui est ue desité de la loi γ(λ, + 6 Soit f D, x x F (x = R +(x f(tdt et T (f D, G(x = t R+ (x m (f f(tdt Si x m (f, o a :F (x G(x = m Si x m (f >, o a : F (x G(x = ( = x + x x f(tdt ( m [m m t f(tdt car t x m t m m f(tdt D où F G x tf(tdt] O a aisi : t R, G(t F (t : la courbe est située das le triagle de sommets O, A, B, avec A : (, et B : (, Exercice 3 Ue greouille se déplace par bods mutuellemet idépedats de logueur fixe e restat das u pla mui d u repère orthoormé (O, i, j O ote (X, Y ses coordoées après bods et D = X + Y sa distace à l origie Au départ de l histoire elle est e O, doc : X = Y = Das cette questio uiquemet, la greouille reste sur la droite (O, i (doc, Y = Elle fait des bods x i = X i X i, (i successifs vers la droite (ie tels que x i = avec la probabilité costate p [, ] ou das l autre ses (ie x i = avec la probabilité q = p a Calculer la probabilité qu elle soit reveue à so poit de départ après bods b Détermier la loi de la variable aléatoire D c Détermier deux réels a et b tels que z i = ax i + b suive ue loi de Beroulli pour tout i O ote Z = z i Exprimer X à l aide de Z puis calculer les momets d ordre et des variables aléatoires Z et X

22 6 ESCP-Europe - Oral La greouille s ehardit : elle effectue des bods das ue directio quelcoque O ote θ l agle que fait le ème saut avec l axe (O i O suppose que pour tout, θ suit la uiforme sur [, π] a Exprimer X et Y e foctio des θ i, i et calculer leurs momets d ordre et { E(X Y cos(θ = E(X Y si(θ = b Motrer que : E(Y cos (θ si(θ = E(X cos(θ si (θ = c E déduire Cov(X, Y et Cov(X, Y Les variables X et Y sotelles idépedates? Solutio : a [X = ] sigifie qu il y a eu sauts à droite et à gauche Doc par applicatio du schéma biomial : ( P (X = = p q =!!! p q b O a X (Ω [, ]], et [X = k] est réalisé si et seulemet si le ombre de sauts à droite (sd est égal au ombre de sauts à gauche (sg +k, et comme sg + sd = o e déduit : sg = k Ces quatités doivet { être des etiers d où : ( P (X = k = +k et sd = + k p +k q k si k et de même parité sio Par coséquet D (Ω [[, ] { et ( : p q si pair P (D = = P (X = = si impair Pour < k : P (D = k = P (X = k + P (X = k, soit par symétrie des coefficiets biomiaux : { ( (p +k P (D = k = +k q k + p k q +k si k et de même parité sio c ax i + b pred les valeurs b a et b + a, o peut doc predre a = b = et z i = ax i + b suit alors la loi de Beroulli de paramètre p O a X = x i = (z i = Z avec Z B(, p Aisi : E(X = E(Z = p ; V (X = 4V (Z = 4pq a O a X = cos(θ i et Y = si(θ i Par le théorème de trasfert :

23 Probabilités 7 E(cos(θ i = De même : π V (cos(θ i = E(cos (θ i = π cos(θdθ = et de même E(si(θ i = D où : N, E(X = E(Y = π π cos (θdθ = 4π π (+cos(θ dθ = ; d où, par idépedace V (X = De la même faço V (Y = b Les variables aléatoires X Y et X Y sot des foctios des θ i pour i [[, ]], doc sot idépedates de θ Aisi : { E(X Y cos(θ = E(X Y E(cos(θ = E(X Y si(θ = O a : E(cos (θ si(θ = π π cos θ si θ dθ = [ cos 6π 3 θ ] π =, et de la même faço : E(cos(θ si (θ = Doc ecore par idépedace : E(Y cos (θ si(θ = et E(X cos(θ si (θ = c O a : Cov(X, Y = Cov(cos(θ i, si(θ j = Cov(cos(θ i, si(θ i i,j π Or Cov(cos θ i, si θ i = E(cos θ i si θ i = π cos θ si θ dθ = et doc Cov(X, Y = O a : E(XY = E ( (X + cos(θ (Y + si(θ O développe, o utilise la liéarité de l espérace, l idépedace de θ avec X et Y, et les résultats précédets Il reste : E(XY = E(X Y + = E(X Y + + E(cos (θ si (θ +, et e sommat : 8 E(XY ( = + 4 ( = 8 8 Cov(X, Y = E(XY E(XE(Y = 8 Si les variables X et Y étaiet idépedates il e serait de même de X et de Y, or celles-ci sot corrélées, doc X et Y e sot pas idépedates Exercice 3 Soit X ue variable aléatoire preat u ombre fii de valeurs x, x,, x avec les probabilités respectives p, p,, p O défiit la foctio φ X sur R par : t R, φ X (t = t l(e(etx

24 8 ESCP-Europe - Oral où E désige l opérateur espérace Motrer que φ X est aisi bie défiie sur R et prologeable par cotiuité e, e posat φ X ( = E(X O ote ecore φ X la foctio aisi prologée Démotrer que φ X est dérivable e et calculer φ X ( à l aide de la variace de X 3 a Motrer que pour tout u, o a : e u + u + u b Motrer que si X e pred que des valeurs égatives ou ulles, o a : t, φ X (t E(X + t E(X 4 a Pour tout i [[, ]], o ote f i la foctio t e tx i Motrer que la famille (f,, f est libre b E déduire que deux variables discrètes fiies X et Y ot la même loi si et seulemet si les foctios φ X et φ Y sot égales 5 Motrer que si X et Y sot des variables discrètes fiies idépedates, alors φ X+Y = φ X + φ Y 6 Motrer que φ X est impaire si et seulemet si X est ue variable symétrique, c est-à-dire telle que X et X ot la même loi Solutio : e tx e pred que des valeurs strictemet positives (e ombre fii doc so espérace existe et est strictemet positive, ce qui prouve que φ X est bie défiie sur R O a E(e tx = e tx i p i Or : e tx i = + tx i + o(t, doc Aisi : E(e tx = e tx i p i = p i + tx i p i + o(t = + tx i p i + o(t et φ X (t (t φ X (t = t l( + tx i p i + o(t (t t x i p i = E(X O poursuit les développemets asymptotiques : E(e tx = e tx i p i = + tx i p i + t x i p i + o(t = + E(Xt + E(X t + o(t tx i p i

25 Probabilités 9 et avec l( + u = u u + o(u, il viet : φ X (t = t l( + E(Xt + E(X t + o(t = E(X + E(X E(X t + o(t Aisi φ X est dérivable e, avec φ X ( = V (X 3 a la foctio u e u u u est de classe C sur R et f (u = e u u, f (u = e u Avec f ( =, o e déduit que f est positive sur R et comme f( =, f est bie égative sur R b O peut doc écrire das ce cas : E(e tx = e tx i p i ( + t x i + t x i p i = + te(x + t E(X et doc : φ X (t t l( + te(x + t E(X E(X + t E(X Car o sait que l( + u u 4 a L applicatio f f est u edomorphisme de l espace des foctios de classe C sur R et l applicatio t e tx i est propre pour la valeur propre x i, d où la liberté demadée b Si X et Y ot même loi, il est clair que φ X = φ Y Réciproquemet supposos que X et Y soiet discrètes fiies telles que φ X = φ Y Quitte à ajouter des valeurs prises avec ue probabilité ulle, o peut supposer que X(Ω = Y (Ω = {x,, x } et o pose p i = P (X = x i, q i = P (Y = x i O a alors t, e tx i p i = e tx i q i, résultat bie etedu valable pour t = La liberté précédete doe i, p i = q i : X et Y ot même loi 5 Si X et Y sot idépedates, il e est de même de e tx et e ty et : E(e t(x+y = E(e tx e ty = E(e tx E(e ty D où, par passage au logarithme : φ X+Y = φ X + φ Y 6 φ X impaire φ X (t = φ X ( t, or le retour à la relatio de défiitio doe : φ X ( t = φ X (t Doc φ X impaire φ X = φ X X et X ot même loi (résultat 4 b Exercice 33 O ote V P (λ, θ la loi de Pareto de paramètres λ >, θ > et, c est-àdire la loi de desité f défiie par : f(x = λ θ ( θx λ+ si x > θ, et f(x = sio

26 ESCP-Europe - Oral U phéomèe écoomique suit ue loi V P (λ, θ, θ état cou et λ u paramètre que l o veut estimer O dispose pour cela d u échatillo (X,, X de variables aléatoires idépedates suivat cette loi O pose T = l ( X i et λ = θ T Soit X ue variable aléatoire suivat la loi V P (λ, θ et Y = l ( X θ a Détermier la foctio de répartitio F X de X b Détermier, lorsqu elles existet, l espérace et la variace de X c Motrer que Y suit ue loi Γ dot o précisera les paramètres Quelle est la loi de T? E doer ue desité 3 Calculer l espérace et la variace de λ 4 Déduire de λ u estimateur λ sas biais de λ L estimateur λ est-il coverget? ( λ λ 5 O admet que la suite de variables aléatoires Z = λ coverge e loi vers la loi ormale cetrée réduite N (,, et o rappelle que la foctio de répartitio Φ de la loi ormale cetrée réduite vérifie Φ(, 96,975 E utilisat la loi N (, comme approximatio de la loi de Z, doer, e foctio de (supposé assez grad et de la valeur observée λ de λ, u itervalle de cofiace à 95% de λ Solutio : a Pour x θ, F X (x = et pour x > θ, F X (x = ( θ x λ b La variable aléatoire X admet ue espérace si et seulemet si λ > et das ce cas : E(X = λ λθ De même, la variable aléatoire X admet ue variace si et seulemet si λ > et alors : V (X = λθ (λ (λ c La variable aléatoire Y pred ses valeurs das R + et : x >, F Y (x = P (X θe x = F X (θe x = e λx Doc Y suit la loi expoetielle de paramètre λ, c est-à-dire la loi Γ de paramètres λ et

27 Probabilités La variable aléatoire T est la somme de variables aléatoires idépedates de même loi Γ( λ,, doc T suit la loi Γ( λ, Ue desité f T de T est doée par : t, f T (x =, t >, f T (x = e λx x λ (! 3 O a λ =, doc sous réserve d existece : T E( λ = x f T (x dx = λ e λx x λ (! O recoaît l itégrale d ue desité d ue variable suivat la loi Γ( λ,, ce qui prouve que l espérace existe et vaut : E( λ = λ E procédat de la même faço o motre que λ admet u momet d ordre valat λ ( (, doc ue variace valat : V ( λ = λ ( ( 4 λ = λ vérifie E( λ = λ et V ( λ = λ Cette variace est de limite ulle lorsque ted vers l ifii, doc λ est u estimateur sas biais et coverget de λ 5 E approchat la loi de Z par la loi ormale cetrée réduite, o obtiet : ( λ λ P (, 96, 96 =, 95 λ C est-à-dire : P ( λ λ λ =, 95 +, 96, 96 O obtiet doc comme itervalle de cofiace pour λ, au iveau de cofiace, 95 : [ ] λ, λ +, 96, 96 Exercice 34 Soit α et λ deux réels strictemet positifs et f la foctio défiie sur R par { f(x = λαx α e λxα si x > sio Motrer que f est ue foctio de desité O ote X ue variable aléatoire admettat f pour desité O dit alors que X suit la loi W (α, λ Calculer la foctio de répartitio F de X, aisi que la foctio r défiie sur R + par r(x = f(x F (x dx

28 ESCP-Europe - Oral 3 Das cette questio, o suppose que α > et que X suit la loi W (α, λ a Motrer que la foctio r est strictemet croissate sur R + et vérifie r( = b Motrer que la variable aléatoire Y = r(x suit la loi W (α, λ avec α + α = Exprimer λ e foctio de λ, α 4 Réciproquemet, o suppose que la foctio r vérifie les deux propriétés : la foctio est cotiue, strictemet croissate sur R + et vérifie r( =, la variable aléatoire Y = r(x suit la loi W (α, λ, avec α > Motrer que X suit la loi W (α, λ, le lie etre (α, λ et (α, λ état doé das la questio précédete Solutio : La foctio f est cotiue sur R + et sur R Elle est positive sur R et f(tdt = Pour x, o a F (x = et pour x >, F (x = x Et doc, pour x > : r(x = λαt α e λxα dt = [ e λxα ] = λαt α e λxα dt = [ e λxα ] x = e λxα f(x F (x = λαxα 3 a O suppose que α >, ce qui fait que la foctio f est cotiue sur R Par la questio précédete, r(x = λαx α est strictemet positive sur R +, vérifie r( = et r (x = λα(α x α > sur R + b Posos Y = r(x La foctio de répartitio G de Y est ulle sur R et pour x > : G(x = P (Y x = P (r(x x = P (X r (x = F (r (x puisque la foctio r est bijective strictemet croissate sur R + O motre aisémet que r (x = ( x /(α Aisi : λα { si x G(x = exp ( λ( x α/(α α/(α sio (λα O a doc α = α α et λ = λ O vérifie que l o a bie : (λα α α + α = 4 Notos R : x R (x = r(x Aisi : x r(tdt Cette foctio est de classe C sur R + et

29 Probabilités 3 r(x = F (x F (x = R (x = dx d (l( F (x et R(x = l( F (x+k La coditio iitiale doe K = et : F (x = e R(x Par stricte croissace de r, pour x > : et doc : ( e λ x α = P (r(x x = P (X r (x F (x = P (X x = e λ (r(x α E utilisat les relatios ( et (, il viet : ( R(x = λ (r(x α = λ (R (x α, soit R (xr(x /α = ( /α λ E itégrat, il viet, comme R( = : R /α = x λ α /α Comme α + α =, cela est équivalet à : R /α (x = α(λ x et /α R(x = (αλ /α α xα O termie e utilisat la relatio ( : F (x = e R(x = exp(λx α Exercice 35 Soit (A ue suite d évéemets d u espace probabilisé (Ω, A, P O ote p = P (A O ote B l évéemet ( A k k O rappelle que cet évéemet est e fait : B = {ω Ω ω appartiet à ue ifiité des A } O suppose que la série k P (A k coverge Motrer que P (B = O suppose que les évéemets (A sot idépedats et que la série P (A est divergete a Motrer que l évéemet B est égal à l évéemet cotraire de l évéemet M b Exprimer P ( m A k e foctio des pk k= c Motrer que la série k d E déduire que P (B = ( l( p k est divergete k A k, où M désige

30 4 ESCP-Europe - Oral 3 Soit α u réel strictemet positif et (X ue suite de variables aléatoires idépedates telles que pour tout, X suit la loi de Beroulli de paramètre α a Motrer que lim + E(X = b O suppose que < α < Motrer qu avec ue probabilité égale à, l esemble { X = } cotiet ue ifiité d élémets c O suppose que α > Motrer qu avec ue probabilité égale à, l esemble { X = } est fii Solutio : Pour tout etier m, o a : m = k A k = La série P (A est covergete Doc k=m lim A k m + k=m P (A k = Or P (A B = P (A + P (B P (A B P (A + P (B, doe par ue récurrece simple P (A m A m+ A P (A m +P (A m+ + +P (A et par passage à la limite par σ-additivité : P ( k=m A k ce qui motre que P (B = lim m P ( m k=m = k P (A k A k = a Les règles de de Morga doet immédiatemet ( A k : k A k = b Par idépedace des évéemets (A et doc de leurs complémetaires P ( m k= A k = m k= P (A k = m ( p k c Deux cas : si (p e ted pas vers, alors l( p e ted pas vers et la série l( p diverge grossièremet si lim p =, alors, l( p p, et par hypothèse de la questio, + la série p diverge O coclut par le théorème d équivalece des séries à termes positifs ou uls Das les deux cas, la série l( p diverge vers k=

31 Probabilités 5 d Comme l ( m ( p k = m l( p k, par cotiuité de la foctio k= expoetielle, il viet : P ( A k = k Comme la suite ( et doc, P ( k= k A k k lim k= m + k= m ( p k = ( p k = Aisi, k= est décroissate, pour tout m, o a : m = k A k = A k k m A k =, ce qui etraîe que P ( k= k A k = 3 a De maière évidete E(X = P (Z = = α qui ted vers lorsque ted vers + Pour les deux questios suivates, o pose : A = [X = ] Les variables aléatoires (X état idépedates, les évéemets (A le sot aussi b La série P (A diverge Par la questio, P (B =, ce qui sigifie que les évéemets [X = ] sot réalisés ifiimet souvet avec la probabilité c La série P (A coverge Par la questio, P (B =, ce qui sigifie que les évéemets [X = ] sot réalisés ifiimet souvet avec ue probabilité de, ou qu ils e sot réalisés qu u ombre fii de fois avec la probabilité Exercice 36 O cosidère la foctio f défiie sur R par t f(t = exp( t Motrer que f est la desité de probabilité d ue variable aléatoire X dot o détermiera la foctio de répartitio, l espérace et l écart-type Soiet X et X deux variables aléatoires idépedates, de même loi que X Détermier ue desité g de Y = X + X Quelles sot les valeurs de l espérace et de l écart-type de Y? 3 a Doer ue desité de la variable aléatoire X X b O effectue idépedammet l ue de l autre, deux mesures de la masse d u même objet O suppose que l erreur commise à chaque fois suit la loi de X Soit a réel positif Quelle est la probabilité que les deux mesures effectuées e diffèret pas de plus de a?

32 6 ESCP-Europe - Oral c Pour quelles valeurs de a l iégalité de Bieaymé-Chebychev doe-t-elle ue iformatio sur cette probabilité? Solutio : La foctio f est cotiue sur R, positive O a : f(t dt = e t dt =, doc f est ue desité Si F est la foctio de répartitio de X, o a : Si x, F (x = x e t dt = ex Si x, par symétrie, F (x = F ( x = e x La covergece (absolue de l itégrale défiissat l espérace est baale et, par symétrie, l espérace est ulle Efi la variace est égale au momet d ordre et : V (X = t e t dt = t e t dt = Γ(3 = Ue desité g de Y est doée, par covolutio, par : Pour x <, 4g(x = x g(x = D où : g(x = ( xex 4 e t x dt + Tadis que pour x > : 4g(x = D où : g(x = 4 (x + e x 4 e t e x t dt x e x dt + e t x dt + x e x t dt e x + O peut doc écrire : x R, g(x = ( + x e x 4 Par liéarité de l espérace : E(Y = et, par idépedace : V (Y = V (X + V (X = 4 x e x t dt 3 a La variable X a même loi que X, doc, toujours par idépedace, X X a même loi que Y = X + X b Soit X l erreur aléatoire commise lors de la première mesure et X celle commise lors de la secode O cherche la probabilité de l évéemet X X a, c est-à-dire a X X a O peut doc écrire : p = P ( a X X a = a ag(x dx = a (x + e x dx

33 Probabilités 7 Ue itégratio par parties doe la solutio et : p = ( (a + e a c L iégalité de Bieaymé-Chebychev doe ue idicatio dès que la largeur de l itervalle cosidéré est égale au mois à deux fois l écart-type de Y, c est-à-dire pour a Exercice 37 O ote φ la desité cotiue sur R de la loi ormale cetrée réduite et Φ la foctio de répartitio correspodate O dira qu ue variable aléatoire réelle positive X suit la loi LN(µ, θ, µ R, θ R + si sa foctio de répartitio F X est doée par : { ( F X (x = Φ θ ((l x µ si x > si x O suppose que X suit la loi LN(µ, θ, et o pose Y = l X Détermier la foctio de répartitio F Y de Y Soit X et X deux variables aléatoires idépedates, respectivemet de lois LN(µ, θ, LN(µ, θ Détermier la loi du produit X X 3 Soit Z est ue variable aléatoire de loi LN(µ, θ Motrer que pour tout c, α R +, la variable aléatoire cz α est de loi LN(µ, θ, où o précisera les valeurs de µ et θ 4 Soit p ], [ et q = p O défiit X,, X des variables aléatoires idépedates de même loi défiie par : P (X i = e = p, P (X i = = q = p a Quelle est la loi de S = (l X i? b Motrer que lorsque ted vers +, la foctio de répartitio de la variable aléatoire T = e ( p X i coverge e tout poit de R + vers ue limite que l o détermiera Solutio : O a : x R, P (Y x = P (l X x = P (X e x = Φ ( θ (x µ Doc Y suit la loi N (µ, θ Si o pose Y i = l X i, o a X X = e Y +Y Par stabilité et idépedace, Y + Y suit la loi N (µ + µ, θ + θ Par suite X X suit la loi LN(µ + µ, θ + θ

34 8 ESCP-Europe - Oral 3 O a l (cz α = l c + α l Z = l c + αt Soit t R, o a : P (αt + l c t = P ( T α (t l c = Φ T ( α (t l c = Φ ( θ ( α (t l c µ = Φ ( αθ (t l c µα Doc cz α suit la loi LN ( µα + l c, αθ 4 a l X i suit la loi B(p Par suite S suit la loi B(, p b O a : t R +, P (T t = P ( e p ( X i / t = P ( p + S l t = P ( S p l t Or ( S p coverge e loi vers ue variable suivat la loi ormale cetrée pq réduite, doc : lim P (T t = lim P (S p pq Exercice 38 l t = Φ( l t pq pq Das cet exercice, toutes les variables aléatoires sot défiies sur le même espace probabilisé (Ω, A, P Soit X ue variable aléatoire à valeurs das N telle que P (X > pour tout N O appelle taux de pae de X la suite réelle (x N des probabilités coditioelles défiies par : N, x = P (X ( X = a Vérifier que P (Y = = défiit bie ue loi de probabilité ( + sur N (O pourra détermier deux réels a et b tels que, pour tout N, o ait : ( + = a + + b b Détermier le taux de pae de la variable aléatoire Y Das le cas gééral, motrer que : N, P (X = ( x k = ( x ( x ( x k= puis exprimer p = P (X = e foctio des x k 3 Détermier les lois de variables à valeurs das N ayat u taux de pae costat pour >

35 Probabilités 9 4 Soit X ue variable aléatoire à valeurs das N, de taux de pae (x N, et (U k k N ue suite de variables aléatoires idépedates de même loi uiforme sur [, ] Soit Z défiie par : { si k N, U ω Ω, Z(ω = k (ω > x k mi { } k N / U k (ω x k sio Motrer que Z est ue variable aléatoire et détermier sa loi Solutio : a N, p = ( + = + et p k = + k= O a doc bie affaire à ue loi de probabilité sur N p + k= + b Le taux de pae (y est doé par y = et comme pour tout : p ( P (Y = lim k k + ( = lim = p + p + il viet : y = (+ = + O a : = P (X (X = P (X (X + + P (X (X =, ce qui doe : P [(X + (X ] P (X + x = = P (X P (X d où : puis : ( x k = k= P (X P (X = P (X p = P (X P (X + = x ( x k 3 Coditio écessaire : si X est à valeurs das N, de taux de pae (x N costat égal à x, alors p = x = et par la questio précédete, p = x( x doc X G(x Coditio suffisate : Si X G(p, o a p = et P (X =, d où x = puis, pour tout N : P (X = = pq, P (X = + pq k = pq q = q > d où : x = k= P (X = P (X = p k=

36 ESCP-Europe - Oral 4 Soit A = { ω Ω / k N, U k (ω > x k } = + k= ( Uk > x k Par idépedace des U k et x k [, ], o a : P ( (U k > x k = P (U k > x k = ( x k = P (X + k= k= k= + d où P (A =, par limite mootoe, et doc Z est défiie presque partout O a Z(Ω N et, par idépedace des U k de loi uiforme sur [, ] : P (Z = = P (( (U k > x k (U x = P (U x P (U k > x k k= = x ( x k = p k= Coclusio : Z suit la même loi que X Exercice 39 Motrer que pour tout x R +, o a x e x O dispose d ue ure vide au départ Le premier jour, ue persoe met ue boule umérotée das l ure, la tire, ote so uméro et la remet das l ure (! Esuite, à chaque ouvelle jourée, elle ajoute ue boule qui porte le uméro du jour cosidéré, elle tire alors ue boule au hasard, ote le uméro de cette boule et la remet das l ure Le processus se poursuit idéfiimet a Soiet l N et E, E,, E l ue famille de l évéemets idépedats Motrer que l o a l P ( P (E i E i e i l où E est l évéemet cotraire de l évéemet E b O ote A k l évéemet la boule umérotée sort lors du kème tirage Que vaut la probabilité de A k? c Quelle est la probabilité que la boule sorte au mois ue fois à partir du ème tirage, où est u etier positif fixé? d Quelle est la probabilité que la boule umérotée sorte ue ifiité de fois? e Calculer la probabilité que le sorte ue ifiité de fois de suite 3 O suppose cette fois que la persoe remplit l ure de sorte qu il y ait das l ure boules, umérotées de à, le ème jour (elle met doc ue boule umérotée le premier jour, trois boules umérotées, 3, 4 le deuxième k=

37 Probabilités jour, ciq boules le troisième, Comme à la questio précédete, elle tire alors ue boule, ote so uméro et la remet immédiatemet das l ure a Soiet l N et E, E,, E l ue famille de l évéemets Motrer que l o a : P ( E i l P (E i i l b Quelle est la probabilité que le ombre sorte ue ifiité de fois? Solutio : Baal, par iégalité de covexité ou étude de la foctio associée a Comme les évéemets cosidérés sot idépedats, e utilisat la questio, il viet : l P ( l E i = P (E i = l ( P (E i l P (E i e P (Ei = e i l b Il est clair que : P (A k = si k < et P (A k = k si k c Ceci correspod à la probabilité de l évéemet + A k Passos à l évéemet cotraire, o obtiet : P ( A k = lim P ( k l + Or d après la questio a, o a : P ( ( l A k exp P (A k = exp ( k l D où P ( k k= A k = et par suite, P ( + k= k l A k = A k l k= k=sup(, /k l + d L évéemet le sort ue ifiité de fois s écrit au moye de l itersectio décroissate des évéemets précédets C est doc : P ( ( + A k = lim P ( + A k = k= + k= Le sort doc presque sûremet ue ifiité de fois ( + e Ici l évéemet cosidéré correspod à la réuio croissate : A k et o a : P ( ( + k= A k = lim P ( + A k lim P (A = + k= + k=

38 ESCP-Europe - Oral La probabilité que le sorte ue ifiité de fois de suite est doc ulle 3 a La formule de Poicaré P (A B = P (A + P (B P (A B implique P (A B P (A + P (B O obtiet esuite l iégalité souhaitée par récurrece b Das ce cas, o a : P (A k = si k < et P (A k = si k k Avec la majoratio doée e 3 a, o obtiet e passat à la limite : P ( + + A k k, d où : P ( ( + k= A k = k= k= lim P ( + A k + k= lim + + k= k = puisque le reste d ue série covergete ted vers Cette fois la probabilité que le sorte ue ifiité de fois est ulle Exercice 3 Soit (Ω, B, P u espace probabilisé O ote E l esemble des variables aléatoires X à desité défiies sur cet espace, à valeurs das [, ] et cetrées (ie telles que l espérace E(X existe et vaut Soit X E a Motrer que, pour tout λ R, la variable aléatoire e λx admet ue espérace b Motrer que, pour tout a R et tout λ, o a : P (X a e λa E ( e λx c L esemble E est-il u espace vectoriel? Soit λ et soit X E a Pour tout N, motrer que : (!! b E déduire que : ( e λ + e λ e λ c Motrer que, pour tout x [, ], o a : e λx e λ d Déduire des questios précédetes que : E ( e λx e λ et E ( e λx e λ ( e λ + e λ + x ( e λ 3 Motrer que, pour tout a et tout X E, o a : P ( X a e a 4 Soiet X,, X des variables aléatoires idépedates qui appartieet à E Motrer que :

39 Probabilités 3 Solutio : a, N, P ( X i a e a a Soit f ue desité de X ulle e dehors de [, ] Par le théorème de trasfert il suffit que l itégrale e λx f(x dx coverge, ce qui est baalemet le cas car la foctio à itégrer est ulle e dehors de [, ] R b L iégalité est évidete pour λ = car alors e λa E ( e λx = Pour λ >, d après l iégalité de Markov appliquée à la variable positive e λx, o a : P (X a = P ( e λx e λa E(eλX e λa c No : si X suit ue loi uiforme sur [, ], alors X E mais X / E, car cette variable aléatoire pred ses valeurs etre et a Pour, (! = (+(+ ( et les facteurs sot miorés! par, doc (!! et le résultat est baal au rag b O a par simplificatios des sommatios de séries : ( e λ + e λ = + λ + λ = (! =! = e λ c Cette relatio s écrit : e λx x + e λ + x e λ, soit ecore, e posat t = x + [, ] : e λ[t+( t( ] te λ + ( te λ, iégalité qui est vraie d après la covexité de la foctio u e λu sur [, ] [O peut aussi étudier la foctio φ : x e λx ( e λ + e λ x ( e λ e λ associée, dot la dérivée secode est évidemmet strictemet positive sur [, ] Comme φ( = φ( =, il est même pas écessaire d étudier le sige de φ ] d D après b et c, o a : E ( e λx = e λx f(x dx ( e λ + x (eλ e λ f(x dx = e λ + Comme X E o peut remplacer X par X ce qui doe : E ( e λx e λ 3 O peut écrire, pour tout λ : P ( X a = P (X a + P (X a = P (X a + P ( X a e λa E(e λx + e λa E(e λx