AB - GROUPOÏDES ET GROUPES

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1 AB - GROUPOÏDES ET GROUPES Généralités Définitions On appelle groupoïde (G, ) un ensemble G muni d une loi de composition interne. Le groupoïde sera dit associatif, si la loi est associative, et commutatif si la loi est commutative. Elément neutre Définitions On appelle élément neutre à droite (resp. à gauche), un élément e de G vérifiant pour tout x de G x e = x (resp. e x = x). On appelle élément neutre un élément qui est à la fois neutre à droite et à gauche. Propriétés des éléments neutres N1 Si dans un groupoïde il existe un neutre à droite et un neutre à gauche, ils sont égaux. N2 Dans un groupoïde, il existe au plus un élément neutre. N3 Si la loi est commutative, il existe au plus un élément neutre. N1 Si e est neutre à droite et f neutre à gauche, on a à la fois f e = f et f e = e. Les propriétés N2 et N3 s en déduisent immédiatement. Remarque : on peut avoir dans un groupoïde plusieurs éléments neutres à droite distincts. Il résulte de N1 qu il n y a pas alors de neutre à gauche. Par exemple si l on définit dans un ensemble G la loi par x y = x tout élément de G est neutre à droite.

2 AB 2 Elément symétrique Définitions Dans un groupoïde (G, ) muni d un élément neutre à droite (resp. à gauche) e, on appelle élément symétrique à droite (resp. à gauche) de x un élément y vérifiant x y = e (resp. y x = e). Dans un groupoïde (G, ) muni d un élément neutre e, on appelle élément symétrique de x un élément y à la fois symétrique de x à gauche et à droite. Propriétés des symétriques S1 Soit un groupoïde associatif (G, ) possédant un élément neutre e. Si un élément x possède un symétrique à gauche et un symétrique à droite, ils sont égaux. S2 Dans un groupoïde associatif possédant un élément neutre, un élément x possède au plus un symétrique. S3 Si la loi est commutative, tout symétrique à gauche ou à droite de x est un élément symétrique de x. S4 Soit un groupoïde associatif (G, ). Si y est un élément symétrique à droite de x pour le neutre à droite e, et z un élément symétrique à droite de t pour le même neutre à droite e, alors x y est un symétrique à droite de x t pour e. (Même chose à gauche). S5 Dans un groupoïde fini associatif et possédant un neutre e, tout symétrique à droite ou à gauche de x est un élément symétrique de x. Il est donc unique. S1 Si l on a on peut écrire Les propriétés S2 et S3 sont évidentes. S4 On a x y = z x = e, y = e y = (z x) y = z (x y) = z e = z. (x t) (z y) = x (t (z y)) = x ((t z) y) = x (e y) = x y = e. S5 Soit x possédant y comme symétrique à droite. A partir de x 1 = x, on définit une suite de G par la relation x n = x x n 1.

3 AB 3 Une conséquence de S4 (par récurrence) est que x n possède y n comme symétrique à droite. Comme G est fini, il existe au moins deux termes de cette suite qui sont égaux. Donc, il existe des entiers p et q tels que x p = x q+p = x q x p. Alors Donc e = x p y p = x q (x p y p ) = x q e = x q. x q = x q 1 x = x x q 1 = e, Il en résulte que x q 1 est le symétrique de x. Alors d après S1 x q 1 = y. Remarque : on peut trouver un groupoïde associatif possédant un élément neutre, et tel qu un de ses éléments x possède deux symétriques à droite. D après ce qui précède G est infini, l élément x ne peut posséder de symétrique à gauche et la loi n est pas commutatif. Exemple Soit E = {a,b,c} un ensemble à trois éléments. Notons F l ensemble {(a,b),(a,c)}. Pour n 2, soit E n le sous-ensemble de E n formé des n uplets (x 1,...,x n ) tels que, pour tout i compris entre 1 et n 1, le couple (x i,x i+1 ) n appartienne pas à F. On note aussi E 0 = {( )} et E 1 = {(a),(b),(c)} et l on pose G = n 0E n. L ensemble G est l ensemble de mots formés à partir des lettres a, b et c dans lesquels on ne trouve jamais ab et ac. On définit dans cet ensemble, une loi de composition interne, notée de la manière suivante : soit x = (x 1,...,x p ) et y = (y 1,...,y q ). On pose (x 1,...,x p s,y s+1,...,y q ) si (x p,y 1 ),...,(x p s+1,y s ) sont dans F et (x p s,y s+1 ) n y est pas (x x y = 1,...,x p q ) si (x p,y 1 ),...,(x p q+1,y q ) sont dans F et p > q (y p,...,y q ) si (x p,y 1 ),...,(x 1,y p ) sont dans F et p < q ( ) si (x p,y 1 ),...,(x 1,y p ) sont dans F et p = q Enfin, pour tout x de G, on pose x ( ) = ( ) x = x. Le mot x y est donc la concaténation de x et de y dans laquelle on supprime tous les doublets ab et ac. Il résulte de cette définition que la loi est associative admet pour neutre ( ), et que Donc (a) possède deux symétriques à droite. (a) (b) = (a) (c) = ( ).

4 AB 4 Elément absorbant Définitions On appelle élément absorbant à droite (resp. à gauche), un élément a de G vérifiant pour tout x de G x a = a (resp. a x = a). On appelle élément absorbant un élément qui est à la fois absorbant à droite et à gauche. Propriétés des éléments absorbants A1 Si dans un groupoïde il existe un absorbant à droite et un absorbant à gauche, ils sont égaux. A2 Dans un groupoïde, il existe au plus un élément absorbant. A3 Si la loi est commutative, il existe au plus un élément absorbant. A4 Un élément absorbant possède un symétrique si et seulement si G est un singleton A1 Si a est absorbant à droite et b à gauche, on a à la fois b a = a et b a = b. Les propriétés A2 et A3 s en déduisent immédiatement. A4 Soit a absorbant, e l élément neutre et x le symétrique de a. On a a = a x = e. Alors si y est un élément de G, y = y e = y a = a, et donc G = {a}. Trois manières de définir un groupe Proposition { Soit (G, ) un groupoïde associatif. Les propriétés suivantes sont équivalentes : U1 il existe un élément neutre e 1) V 1 tout élément de G possède un symétrique { U2 il existe un élément neutre à droite e 2) V 2 tout élément de G possède un symétrique à droite { U3 quel que soit x et y dans G, il existe z tel que x z = y 3) V 3 quel que soit x et y dans G, il existe t tel que t x = y. On dit dans ce cas que le groupoïde (G, ) est un groupe.

5 AB 5 Remarque : dans 2) on peut remplacer à droite par à gauche. Il suffit en fait d avoir les propriétés d un seul côté pour les avoir des deux côtés. La proposition est évidente si G ne contient qu un seul élément x car dans ce cas la loi est définie par x x = x, et toutes les propriétés sont vraies. On suppose désormais que G contient au moins deux éléments. 2) 1) Soit x dans G, y un symétrique à droite de x et z un symétrique à droite de y. Alors, d après S4, y z est symétrique à droite de y x, donc e est symétrique à droite de y x, ce qui implique Alors Donc e est neutre à gauche. Et on a aussi Donc tout élément admet un symétrique. 1) 3) y x = e. e x = (x y) x = x (y x) = x e. x y = y x = e. Soit x et y dans G, et u le symétrique de x. Si l on pose z = u y, on a De même, en posant obtient-on 3) 2) x z = x (u y) = (x u) y = e y = y. t = y u, t x = y. Soit x dans G. Soit u un autre élément de G. D après V3, il existe i dans G tel que i u = u et d après U3 il existe j dans G tel que x j = x. Puis, successivement en utilisant U3 ou V3, il existe k, l, m, n dans G tels que k j = i l x = k i m = j u n = m.

6 AB 6 On a alors i = k j = (l x) j = l (x j) = l x = k et j = i m = i (u n) = (i u) n = u n = m, d où i j = k j = i et i j = i m = j. Donc, pour tout x de G, on a x i = x ce qui montre que i est élément neutre à droite. Alors, d après U3, il existe y tel que x y = i et tout élément x possède un symétrique à droite. Groupe inclus dans un groupoïde Définition Soit (E, ) un groupoïde. Nous noterons N l ensemble des éléments de E vérifiant la relation x x = x. Cet ensemble contient en particulier les éléments neutre et absorbant s ils existent. Remarquons qu un groupe ne peut contenir un élément absorbant que s il est un singleton. C est une conséquence de A4. Proposition 1 L ensemble N est l ensemble des éléments de E qui sont élément neutre d au moins un groupe inclus dans E. Si G est un groupe inclus dans E, son élément neutre n vérifie n n = n, et appartient donc à N. Inversement si n appartient à N, alors {n} est un groupe inclus dans E. Définition Deux groupes G et H inclus dans E sont dits équivalents s ils ont le même élément neutre. On notera cette relation G H.

7 AB 7 Proposition 2 La relation ainsi définie dans l ensemble des groupes inclus dans E est une relation d équivalence. Evident. Définition Deux classes d équivalences seront dites disjointes, si deux quelconques des représentants de ces classes sont disjoints. Un groupoïde sera dit à classes disjointes (CD), si deux classes distinctes sont disjointes. Un groupoïde E sera dit à classes totales (CT), si tout élément de E appartient à au moins un groupe inclus dans E. Exemples 1) Un groupe est évidemment un groupoïde CD et CT. 2) Soit (K,+, ) un corps. Alors (K, ) est un groupoïde CD et CT. En effet, les solutions de l équation x x = x sont 0 et 1. Donc N = {0,1}. Un groupe contenant {0} est réduit à {0}. Les autres groupes ne peuvent contenir {0}. Donc K est CD. Par ailleurs K \ {0} et {0} sont des sous-groupes de (K, ) et (K \ {0}) {0} = K, donc K est CT. Proposition 3 L ensemble des classes d équivalences pour la relation est isomorphe à N. En particulier E contient un groupe si et seulement si N n est pas vide. Soit Φ l application qui à un groupe inclus dans E associe son élément neutre. La relation d équivalence est alors définie par (G H) (Φ(G) = Φ(H)) et l application qui à une classe associe le neutre commun est une application injective de l ensemble des classes d équivalence dans N. Par ailleurs tout groupe est équivalent au singleton formé par son

8 AB 8 élément neutre qui est un élément de N, donc l application est surjective. Théorème 1 Un groupoïde dont la loi est associative est à classes disjointes. Soit G 1 et G 2 deux groupes inclus dans E de neutres respectifs e 1 et e 2. Soit x dans leur intersection. Désignons par x 1 (resp. x 2 ) le symétrique de x dans G 1 (resp. G 2 ). On a donc De même e 1 = x 1 x = x 1 (x e 2) = (x 1 x) e 2 = e 1 e 2. e 2 = x x 2 = (e 1 x) x 2 = e 1 (x x 2) = e 1 e 2. On a donc l égalité des éléments neutres. Donc deux groupes dont l intersection est non vide sont dans la même classe. Le groupoïde est donc CD. Proposition 4 Deux groupes G 1 et G 2 inclus dans un même groupoïde E dont l intersection G 1 G 2 a un cardinal fini non nul sont équivalents. L intersection G 1 G 2 est stable pour le loi. Soit x dans G 1 G 2. L application f x de G 1 dans lui-même qui à y associe x y est injective, puisque G 1 est un groupe. Sa restriction à G 1 G 2 est donc injective. Mais f x (G 1 G 2 ) est inclus dans G 1 G 2. Comme cet ensemble est fini, on a donc et il existe y dans G 1 G 2 tel que f x (G 1 G 2 ) = G 1 G 2, x y = f x (y) = x. Mais comme x et y sont dans G 1 et G 2, cela implique que y = e 1 = e 2. Corollaire Un groupoïde fini est à classes disjointes. Théorème 2 Soit F(A,E) l ensemble des applications d un ensemble A non vide dans un groupoïde (A, ). C est lui-même un groupoïde pour la loi induite par. Alors Le groupoïde F(A, E) contient un groupe si et seulement si E contient un groupe. Les ensembles F G = {f F(A,E) ( x A)(f(x) G(x)} où G est une application de A dans l ensemble des groupes inclus dans E, sont alors des groupes inclus dans F(A,E), et tout groupe inclus dans F(A,E) est un sous-groupe d un groupe F G. Le groupoïde F(A,E) est CD si et seulement si G est CD. Le groupoïde F(A,E) est CT si et seulement si G est CT.

9 AB 9 Si E contient un groupe, l ensemble F G est non vide et c est un groupe. En effet si f 1 et f 2 sont dans F G, alors, pour tout x de A, les éléments f 1 (x) et f 2 (x) sont dans le groupe G(x), donc f 1 (x) + f 2 (x) appartient à G(x). D autre part, si f (x) est le symétrique de f(x) dans G(x), l application f est le symétrique de f dans F(A,E). Réciproquement, pour tout x fixé dans A, l application de F(A,E) dans E qui à f associe f(x) est un morphisme de groupes. L image d un groupe H de F(A,E) est donc un groupe G(x) de E, et H est inclus dans {f F(A,E) ( x A)(f(x) G(x)}. Ceci montre le premier point du théorème. Supposons que E soit CD. Soit F 1 et F 2 deux groupes de F(A,E) de neutres respectifs e 1 et e 2. Soit G i (x) = {g(x) g F i }. Pour tout x de A, cet ensemble est un groupe de neutre e i (x). Si F 1 F 2 n est pas vide, soit f dans cette intersection. Alors f(x) appartient à G 1 (x) G 2 (x) qui n est donc pas vide. Mais comme E est CD cela implique l égalité e 1 (x) = e 2 (x) et donc l égalité des neutres e 1 et e 2. Le groupe F(A,E) est bien CD. Réciproquement, si F(A,E) est CD, soit G 1 et G 2 deux groupes de E de neutres respectifs e 1 et e 2. Soit t dans G 1 G 2. La fonction constante égale à t appartient alors à l intersection des deux groupes de F(A,E) suivants {f ( x A)(f(x) G 1 )} et {f ( x A)(f(x) G 2 )}. Ces deux groupes ont donc le même neutre. Or le premier a pour neutre la fonction constante égale à e 1 et le second la fonction constante égale à e 2. On en déduit l égalité de e 1 et de e 2. Dons E est CD. Supposons que E soit CT. Soit f dans F(A,E). Pour tout x de A, il existe un groupe G(x) de E contenant f(x). Alors f appartient au groupe Donc F(A,E) est CT. {g ( x A)(g(x) G(x))}. Réciproquement, si F(A, E) est CT, soit t dans E. L application constante égale à t appartient à un groupe F de F(A,E). Alors t appartient au groupe {g(x) g F }. Donc E est CT. Corollaire Il existe des groupoïdes CD ni finis, ni associatifs.

10 AB 10 Soit E un groupoïde fini non réduit à un élément dont la loi n est pas associative, et A un ensemble infini. Le groupoïde F(A, E) n est pas fini, sa loi n est pas associative, et pourtant il est CD puisque E est CD. Théorème 3 Il existe des groupoïdes à classes non disjointes. Soit (G, ) un groupe de neutre e. Soir E 1 un sous-groupe de G distinct de G et de {e}. Soit A une partie non vide de E 1 stable par et ne contenant pas e. Enfin, soit a dans G \ E 1. On définit une application f de E 1 dans G par { x si x A f(x) = a x si x E 1 \ A et l on pose f(e 1 ) = E 2. La restriction de f à A est injective, ainsi que celle à E 1 \ A. Si d autre part on avait a x = y avec x dans E 1 et y dans E 1 \ A, on aurait, en notant x le symétrique de x a = y x et a serait dans E 1 ce qui est faux. Par suite f est injective et f(e 1 \ A) E 1 est vide. Alors E 1 E 2 = A. Remarquons que si x et y sont dans A, alors x y est dans A et que f(f 1 (x) f 1 ](y)) = x y. On définit une loi dans E 1 E 2 de la manière suivante x y si x E 1 et y E 1 x y = f(f 1 (x) f 1 (y)) si x E 2 et y E 2 0 sinon. Les lois et coïncident sur E 1, donc (E 1, ) est un groupe. L application f est alors un isomorphisme de (E 1, ) sur (E 2, ) et donc (E 2, ) est un groupe. Le neutre de E 1 est e, celui de E 2 est a = f(e). Enfin E 1 E 2 n est pas vide. On peut prendre par exemple (G, ) = (R, ) E 1 = (R +, ) A = ]0, 1[ et a = 1.

11 AB 11 Groupoïdes associatifs On suppose maintenant le groupoïde (E, ) associatif. Il est donc CD. Théorème 4 Soit (E, ) un groupoïde associatif. Pour tout élément n de N, il existe un groupe maximal unique E(n) de neutre n inclus dans E. Si un tel groupe existe, il contient nécessairement tous les groupes de neutre n donc leur réunion, et les produits finis des éléments de ces groupes. Donc, soit G (n) l ensemble des groupes de E de neutre n, et soit U(n) la réunion des éléments de G (n). Soit E(n) l ensemble des produits finis d éléments de U(n). C est un ensemble stable par et qui contient n. Soit x = x i x n un élément de E(n), ou x i appartient à un groupe E i de G (n). Soit x i le symétrique de x i dans E i. Alors x = x n x 1 est un élément de E(n), et l on a x x = x x = n. Donc E(n) est un groupe. C est le plus grand possible. Corollaire 1. Si n et m sont deux éléments distincts de N, les groupes E(n) et E(m) sont disjoints. 2. Un groupoïde associatif (E, ) est CT si et seulement si l ensemble {E(n) n N } est une partition de E. 1) résulte du fait que E est CD. 2) Les éléments de {E(n) n N } sont deux à deux disjoints et non vides. Si E est CT, tout élément x de E appartient à un groupe G. Si n est le neutre de G, alors x appartient à E(n), et {E(n) n N } est une partition. Réciproquement, si {E(n) n N } est une partition, tout élément x de E appartient à un groupe E(n), donc E est CT. Théorème 5 alors Si e est un élément neutre à gauche ou à droite d un groupoïde associatif (E, ), E(e) = {x ( y E)(x y = y x = e}.

12 AB 12 Tout groupe de neutre e est inclus dans l ensemble S = {x ( y E)(x y = y x = e}. Il reste à voir que S est un groupe de neutre e. Si x et z sont dans S, il existe y et t dans E tels que Alors, on a et de même Donc S est stable par. Si x est dans S, il existe y tel que x y = y x = z t = t z = e. (x z) (t y) = x (z t) y = x e y = x y = e, (t y) (x z) = t (y x) z = t e z = t z = e. x y = y x = e. Donc y est aussi dans S et x admet un symétrique à gauche et à droite. Il résulte de la définition 2 des groupes que S est un groupe de neutre e. Donc on a bien S = E(e). Théorème 6 Pour tout n de N, l ensemble E n = {x x n = n x = x} est le plus grand sous-ensemble de E stable par et de neutre n. Il contient donc E(n). De plus, pour tout m de N E n, l ensemble E(m) E n est stable par et contient E n (m). Enfin E n (n) = E(n). Toute partie de E stable par et de neutre n est incluse dans E n. Par ailleurs, si x et y sont dans E n, on a (x y) n = x (y n) = x y et n (x y) = (n x) y = x y. Donc x y est dans E n qui est donc stable par. L élément neutre est évidemment n. Si m appartient à N E n, les ensembles E(m) et E n sont stables par donc leur intersection également. L ensemble E n (m) est un groupe de neutre m. Il est donc inclus dans E(m), et comme il est formé d éléments de E n, il est inclus dans E(m) E n.

13 AB 13 Enfin, puisque E(n) est le plus grand groupe de neutre n, il contient E n (n). Mais, comme il est contenu dans E n, il est contenu aussi dans E n (n), d où l égalité. Proposition 5 (E, ), on a Si a est un élément absorbant à droite ou à gauche d un groupoïde associatif E(a) = E a = {a}. Pour tout élément x, on a Le seul élément tel que est donc a. Il en résulte que et cet ensemble est un groupe, donc x a = a ou a x = a. x a = a x = x E a = {a} E(a) = {a}. Définition Soit (E, ) un groupoïde associatif de neutre e, dont la loi est associative. On note E(e) = E. Pour tout a de E, on désigne par h a l application de E dans E qui à x associe a x a, où a est le symétrique de a. On note H l ensemble de ces applications lorsque a décrit E. Propriétés 1. L application h a est un automorphisme de E et h a (N ) = N. 2. L application H qui à a associe h a est un morphisme de E sur H qui vérifie 3. L ensemble (H, ) est un groupe. 4. Pour tout n de N, on a H(a b) = H(a) H(b). h a (E(n)) = E(h a (n)). 5. Si G est un groupe, h a (G) est un groupe et h a un isomorphisme de G sur h a (G).

14 AB 14 1) et 2) On écrit h a (x y) = a x y a = (a x a ) (a y a ) = h a (x) h a (y). Donc h a est un morphisme. En particulier, si n est dans N, en appliquant ce qui précède à x = y = n, on trouve h a (n) = h a (n n) = h a (n) h a (n), ce qui prouve que h a (n) est dans N. On a d autre part H(a) H(b) = h a h b (x) = h a (b x b ) = a (b x b ) a = (a b) x(a b) = h a b (x) = H(a b). Donc H est un morphisme de E sur H. Comme On a et il en résulte que h e (x) = x. h e = Id E, h a h a = h a h a = Id E. Donc h a est une bijection et h 1 a = h a. Alors, comme h a (N ) et h a (N ) sont inclus dans N, on en déduit que h a (N ) = N. 3) L ensemble H est l image du groupe E par H. C est donc un groupe. 4) et 5) L ensemble h a (G) est l image du groupe G par le morphisme h a. C est donc un groupe. Comme h a est injective, c est un isomorphisme de G sur h a (G). Pour tout n de N et pour tout a de E, l ensemble h a (E(n)) est un groupe de neutre h a (n) qui est inclus dans E(h a (n)). On aura donc aussi h a (E(h a (n))) E(h a(h a (n))) = E(n), d où E(h a (n)) h a (E(n)), et comme on a l inclusion inverse, il y a égalité.

15 AB 15 Théorème 7 Soit (E, ) un groupoïde associatif de neutre e. Soit G un groupe inclus dans E de neutre n, et a dans E. Ou bien a et n commutent et alors G et h a (G) ont le même neutre, ou bien a et n ne commutent pas et alors G et h a (G) sont disjoints. L égalité équivaut à n a = a n h a (n) = n. Donc a et n commutent si et seulement si G et h a (G) on le même neutre. Si a et n ne commutent pas, les groupes G et h a (G) n ont pas le même neutre, il en résulte, puisque E est CD, que G et h a (G) sont disjoints. Remarque : si la loi est commutative, l application h a est l application identique. Théorème 8 Soit (E, ) un groupoïde associatif et commutatif de neutre e. Si F 1 et F 2 sont deux groupes de neutres respectifs n 1 et n 2, l ensemble F 1 F 2 formé des éléments de la forme x y lorsque x décrit F 1 et y décrit F 2 est un groupe de neutre n 1 n 2. Les groupes F 1 et F 1 F 2 sont équivalents si et seulement si n 2 appartient à E n1. Soit x 1 et x 2 dans F 1, y 1 et y 2 dans F 2. Les éléments x 1 x 2 et y 1 y 2 sont dans F 1 et F 2 respectivement. Mais, en raison de la commutativité et de l associativité, on a ce qui montre la stabilité. (x 1 y 1 ) (x 2 y 2 ) = (x 1 x 2 ) (y 1 y 2 ) On vérifie facilement que n 1 n 2 est le neutre de F 1 F 2. Enfin le symétrique de x y sera x y. Les groupes F 2 et F 1 F 2 sont équivalents si et seulement si n 2 = n 1 n 2 c est-à-dire si et seulement si n 2 est inclus dans E n1. Remarques 1) On a l inclusion de E(n 1 ) E(n 2 ) dans E(n 1 n 2 ). 2) L ensemble N est stable par.

16 AB 16 Corollaire L ensemble G des groupes inclus dans un groupoïde associatif et commutatif (E, ) est muni canoniquement d une loi de composition interne associative et commutative, notée encore telle que, pour tout groupe F, on ait F F = F. Si e est un neutre pour E, le groupe {e} est un neutre pour l ensemble G. La stabilité résulte du théorème 9. Les autres propriétés résultent directement de celles de E. Proposition 6 Soit (E, ) un groupoïde associatif de neutre e. On suppose qu il existe a distinct de e tel que E \{a} et {a} soient des groupes. Alors a est l élément absorbant de E et e est le neutre de E \{a}. Comme e appartient à E \{a}, c est le neutre de ce groupe. Soit x dans E \{a}. Il possède un symétrique x dans E \{a}. Si x a est distinct de a il appartient à E \{a}. alors le produit x (x a) est dans E \{a}. Mais x (x a) = (x x) a = e a = a, d où une contradiction. Donc On montre de même que Enfin, comme {a} est un groupe On a donc bien montré que a est absorbant. x a = a. a x = a. a a = a. Proposition 7 Soit (E, ) un groupoïde d élément absorbant a, tel que E \{a} soit un groupe. Alors, le neutre de E \ {a} est celui de E et la loi est associative. Si x est dans E \{a} et si e est le neutre de E \{a}, alors x e = e x = x. D autre part, comme a est absorbant Il en résulte que e est le neutre de E. a e = e a = a.

17 AB 17 Si l on prend trois éléments dans E, ou bien ils sont dans E \{a} qui est un groupe, et l associativité a lieu, ou bien l un d entre eux vaut a, et comme a est absorbant, le produit des éléments vaudra a quelle que soit la manière de l effectuer. La loi est donc associative dans E. Proposition 8 Soit (E, ) un groupoïde associatif et commutatif. L ensemble E = P(E) \ { } est muni canoniquement d une loi interne commutative et associative encore notée en posant, si X et Y sont dans E, X Y = {x y x X,y Y }. Si a est l élément absorbant de E, le singleton {a} est l élément absorbant de E. Si e est l élément neutre de E, le singleton {e} est l élément neutre de E. Inversement si U est le neutre de E, alors c est un singleton {e} et e est le neutre de E. Démontrons simplement le dernier point, les autres étant évidents. On a pour tout x de E, {x} U = {x}. Donc, si u appartient à U, on a pour tout x de E, x u = x ce qui montre que u est élément neutre de E. Comme l élément neutre est unique, il en résulte bien que U est un singleton. Applications simplifiables Définition Soit D un ensemble non vide, et (E, ) un groupoïde associatif. Une application f de D D dans E est dite simplifiable si, quels que soient x, y, z dans D, on a f(x,y) f(y,z) = f(x,z).

18 AB 18 Propriétés des applications simplifiables SI1 Quel que soit x dans D l élément f(x,x) appartient à N. SI2 Quels que soient x et y dans D f(x,y) f(y,x) = f(x,x). SI3 S il existe un couple (x,y) d éléments de D tel que f(x,y) soit absorbant, alors f est constante. SI4 Si la loi est commutative, l application x f(x, x) est constante. 1) et 2) découlent immédiatement de la définition. 3) Si f(x,y) est absorbant, on a, quels que soient u et v dans D f(u,v) = f(u,x) f(x,y) f(y,v) = f(x,y). 4) Si la loi est commutative, quels que soient x et y dans D f(x,x) = f(x,y) f(y,x) = f(y,x) f(x,y) = f(y,y). Proposition 9 Soit f une application simplifiable de A dans (E, ). Si l application x f(x,x) est constante, il existe n dans N, et une application g de D dans E(n), tels que, quels que soient x et y dans D f(x,y) = g(x) g(y), où g(y) est le symétrique de g(y) dans le groupe (E(n), ). Réciproquement toute application définie ainsi convient. Posons n = f(x,x). C est un élément de N, et l on a, quel que soit y dans D f(x,y) n = n f(x,y) = f(x,y) et f(y,x) n = n f(y,x) = f(y,x), ce qui montre que f(x,y) et f(y,x) appartiennent à E n. On a aussi n = f(x,y) f(y,x) et n = f(y,x) f(x,y), ce qui montre que f(x,y) et f(y,x) appartiennent à E n (n) = E(n) et sont symétriques l un de l autre dans ce groupe. Soit alors e dans D, et posons, pour tout x de D g(x) = f(x,e), on a alors f(x,y) = f(x,e) f(e,y) = f(x,e) f(y,e) = g(x) g(y).

19 AB 19 Réciproquement toute application définie ainsi convient, puisqu alors f(x,y) f(y,z) = f(x,e) f(y,e) f(y,e) f(z,e) = f(x,e) f(z,e) = f(x,z). Proposition 10 Soit f une application simplifiable de A dans un corps K. Alors ou bien f est la fonction constante nulle, ou bien il existe une application g de D dans K telle que, quels que soient x et y dans D f(x,y) = g(x)g(y) 1. Si F = K, et est le produit, dans ce cas N = {0,1}. S il existe x et y tels que f(x,y) = 0, alors la fonction f est constante et nulle. Dans le cas contraire, f(x,y) est toujours différent de 0. Alors, quel que soit x dans D, le nombre f(x,x) est dans N, et comme il n est pas nul, on a donc f(x,x) = 1. Alors la fonction x f(x,x) est constante, et l on peut appliquer la proposition précédente. Un contre-exemple Soit D = {x,y} un ensemble à deux éléments, et E un groupoïde associatif. Posons, f(x,x) = X, f(y,y) = Y, f(x,y) = A, f(y,x) = B. La fonction f possède la propriété cherchée, si et seulement si on a les relations (S 1 ) X 2 = X, Y 2 = Y, X A = A = A Y, Y B = B = B X, A B = X, B A = Y. En particulier (S 2 ) A B A = A et B A B = B. Réciproquement, soit A et B deux éléments de E vérifiant les deux relations de S 2. Alors, si l on pose X = A B et Y = B A, on vérifie facilement que X,Y,A,B satisfont les relations de S 1, et la fonction f correspondante répond à la question. S il existait un élément n de E tel que f(x,y) appartienne à E(n) quels que soient x et y, on aurait en particulier f(x,x) et f(y,y) dans E(n), alors et donc f(x,x) = f(y,y) = n, A B = B A. On peut trouver dans M 2 (R) des exemples où AB BA :

20 AB 20 A = [ ] 1 0, B = 0 0 On a bien cependant ABA = A et BAB = B. Exemples de groupoïde [ ] 1 1, X = AB = 1 1 [ ] 1 1, Y = BA = 0 0 [ ] ) Soit R muni de la loi définie par x y = x y. Il existe deux neutres à droite 1 et 1. Pour 1, tout élément x strictement positif à deux symétriques à droite 1/x et 1/x. Les autres éléments n en ont pas. Pour 1 tout élément strictement négatif a deux symétriques à droite 1/x et 1/x. Les autres éléments n en ont pas. On a N = { 1,0,1}, et l on obtient facilement Le groupoïde est donc CT et CD. E(0) = {0}, E(1) = R +, E( 1) = R 2) Considérons les matrices carrées diagonales d ordre 2 [ ] 1 0 I = et K = 0 1 [ ] L ensemble E = {I, I,K, K} est stable pour le produit de matrice. On obtient un groupoïde associatif et commutatif. On a alors N = {I,K}. Les groupes maximaux sont E(I) = {I, I} et E(K) = {K, K}. Le groupoïde est CT et CD. 3) Soit un ensemble E muni d une relation d ordre telle que toute paire {x,y} possède un plus petit majorant.

21 AB 21 On sait d après l étude faite dans la section X, que, si l on note x y le plus petit majorant de {x,y}, on définit une loi de composition interne associative et commutative, vérifiant pour tout x de E Il en résulte que le groupoïde (E, ) est tel que x x = x. N = E. Il est donc CT, et comme la loi est associative il est CD. Cas particuliers Ensemble F des applications de A dans A pour la composition des applications Proposition 11 Un élément n de F est dans N si et seulement si, il existe une partie B non vide de A telle que n(x) = x si x B n(x) B si x A \ B. Alors n(a) = B. Si n est dans N, on a donc Soit n n = n. B = n(a). Donc, pour tout x de A, l élément n(x) est dans B. Par ailleurs, si x est dans B, il existe y dans A tel que x = n(y) et donc n(x) = n(n(y)) = n(y) = x. Réciproquement, si n vérifie les propriétés indiquées, et si x est dans A, alors n(x) est dans B et n(n(x)) = n(x). Donc ce qui prouve que n est dans N. n n = n

22 AB 22 Remarque : lorsque B = A, l application n est Id A. Proposition 12 Soit n dans N. L ensemble F n est l ensemble des applications f de A dans A vérifiant les propriétés suivantes f(n(a)) n(a); pour tout x A \ n(a) f n(x) = f(x). Pour un élément de F(n), on a alors f(a) n(a). Si f est dans F n on a Donc, si x est dans A, on a et f(x) est dans n(a). On en déduit que f n = n f = f. n f(x) = f(x), Par ailleurs, pour tout x de A f(n(a)) f(a) n(a). f(x) = f n(x). Réciproquement, si f vérifie les deux propriétés données, soit x dans A \ n(a), alors n(x) est dans n(a) et donc f(n(x)) = f(x) aussi. Il en résulte que f(x) est dans n(a), ce qui est encore vrai si x est dans n(a). Donc dans tous les cas f(a) est inclus dans A et on en déduit que, pour tout x de A, D autre part, si x est dans n(a), on a et donc n f(x) = f(x). n(x) = x, f n(x) = f(x), égalité qui reste vraie si x est dans A \ n(a). On a donc bien et f est dans F n. f n = n f = f, Proposition 13 Soit n dans N. Le groupe F(n) est l ensemble des éléments f de F tels que (i) la restriction de f à n(a) est une bijection de n(a) sur lui-même; (ii) pour tout x de A \ n(a), on a f n(x) = f(x).

23 AB 23 Soit f est dans F n. S il existe f dans F n vérifiant alors, pour tout x de n(a) on a f f = f f = n f f(x) = f f (x) = x. Comme f(x) et f (x) sont dans n(a), cela signifie que les restrictions de f et f à n(a) sont des applications réciproques l une de l autre, donc que la restriction de f à n(a) est une bijection de n(a) sur lui-même. Donc les éléments de F(n) vérifient les conditions (i) et (ii). Soit G l ensemble des éléments f de F possédant les propriétés (i) et (ii). Comme les éléments de G vérifient les conditions de la proposition précédente, on en déduit que G est inclus dans F n. Montrons que c est un groupe de neutre n. a) Soit f et g dans G. Si x est dans A \ n(a), on a donc g n(x) = g(x), f g n(x) = f g(x). D autre part, la restriction de f g à n(a) est la composée des restrictions de f et g à n(a). C est donc une bijection de n(a) sur lui-même. b) Le neutre est n, puisque G est inclus dans F n qui est le plus grand groupoïde de neutre n. c) Si f est dans G, soit f définie par f (x) = { (f/n(a) ) 1 (x) si x n(a) (f /n(a) ) 1 (n(x)) si x A \ n(a). Si x est dans A \ n(a), on a bien f (x) = f n(x), et f /n(a) est une bijection de n(a) sur lui-même. De plus, si x est dans n(a), et si x est dans A \ n(a), alors f f(x) = f f (x) = x = n(x). f f(x) = f f n(x) = n(x) ce qui prouve que f f (x) = f f n(x) = n(x) f f = f f = n.

24 AB 24 Donc f a pour symétrique f. L ensemble G est un groupe contenant F(n), c est donc F(n). Proposition 14 Un élément f de F appartient à un groupe inclus dans F si et seulement si la restriction de f à f(a) est une bijection de f(a) sur lui-même. Si f appartient à F(n), la restriction de f à n(a) étant une bijection de n(a) sur lui-même, il en résulte que n(a) est inclus dans f(a). Comme on a aussi l inclusion inverse, on a donc f(a) = n(a), et la restriction de f à f(a) est une bijection de f(a) sur lui-même. Réciproquement, soit f une application qui envoie bijectivement f(a) sur lui-même. Posons B = f(a). Soit x dans A \ B? Alors f(x) est dans B, et il existe un élément y unique de B tel que f(x) = f(y). Posons alors et, si x est dans B, n(x) = y, n(x) = x. On définit ainsi un élément n de N. Si x est dans A \ n(a) = A \ B, on a alors donc f est dans F(n). f n(x) = f(y) = f(x), Proposition 15 Le groupoïde (F, ) est CT si et seulement si card A 2. Le résultat est évident si A est un singleton, car F est aussi un singleton. Si A = {a, b}. L ensemble F contient 4 éléments : l application identique Id qui est l élément neutre, la transposition S qui permute a et b et qui est involutive, et les applications constantes a et b, qui sont des éléments absorbants à gauche. Donc N = {Id,a,b}

25 AB 25 On a Puis F(Id) = {Id,S} et F Id = F. F(a) = F a = {a} et F(b) = F b = {b}. Ce groupoïde est donc CT. Si A contient au moins trois éléments distincts a, b, c, considérons l application f définie par et, pour tout x différent de a et b Alors f(a) = f(b) = a f(x) = b. f(a) = {a,b}, mais la restriction de f à {a,b} n est pas bijective. Donc f n appartient à aucun groupe inclus dans F qui, par suite, n est pas CT. Ensemble des endomorphismes d un espace vectoriel pour la composition des applications Dans tout ce qui suit, on considère un espace vectoriel E sur un corps commutatif K. Le groupoïde considéré sera l ensemble L (E) des endomorphismes de E muni de la composition des applications. Définition On appelle projecteur, un élément p de l ensemble N, c est-à-dire une application linéaire p de E dans E telle que p 2 = p. Nous allons étudier les propriétés des projecteurs. Nous désignerons par I l application identique de E et par 0 l application nulle. Ce sont respectivement l élément neutre et l élément absorbant pour la loi. Ce sont donc deux projecteurs. Proposition 16 Si p est un projecteur, un vecteur x appartient à Imp si et seulement si p(x) = x. Si l on a p(x) = x,

26 AB 26 alors x est dans Im p. Réciproquement, si x est dans Im p, il existe y tel que x = p(y), et donc p(x) = p p(y) = p(y) = x. Proposition 17 projecteur. De plus Un endomorphisme p de E est un projecteur si et seulement si I p est un Kerp = Im(I p) et Im p = Ker(I p). On a (I p) 2 = (I p) (p p 2 ), donc (I p) 2 = (I p) si et seulement si p 2 = p. Dire sur x appartient à Ker(I p) équivaut à dire que (I p)(x) est nul, ou encore que p(x) = x, ce qui, d après la proposition précédente, signifie que x est dans Imp. En remplaçant p par I p, on obtient l autre égalité. Proposition 18 L application Φ qui à un projecteur p associe le couple (Ker p, Im p), est une bijection de l ensemble N des projecteurs, sur l ensemble des couples de sous-espaces supplémentaires de E. Soit x dans E. Alors p(x) est dans Im p et x p(x) dans Im(I p) c est-à-dire dans Ker p. De plus x = p(x) + (x p(x)). Donc E est la somme des sous-espaces Ker p et Im p. Si x appartient à Ker p Im p, on a à la fois p(x) = 0 et p(x) = x,

27 AB 27 donc la somme est directe. Les sous-espaces Kerp et Im p sont supplémentaires. Inversement, soit (F, G) un couple de sous-espaces supplémentaires de E. On définit une application linéaire p en donnant sa valeur sur F et G par { x si x G p(x) = 0 si x F. On a donc p 2 (x) = p(x) pour tout x de F et de G, donc pour tout x de E. Par ailleurs F Ker p et G Imp. Soit maintenant x dans Ker p. Il existe y dans F et z dans G tels que Comme on en déduit que x = y + z. p(x) = p(y) = 0 z = p(z) = 0. Donc x et y sont égaux. Alors les sous-espaces F et Ker p sont égaux. Les sous-espaces Im p et G sont deux supplémentaires de F et l un contient l autre. Ils sont donc égaux. Ceci montre que l application Φ est surjective. Enfin, soit p et q deux projecteurs tels que On a, pour tout x de Ker p = Ker q et, pour tout x de Imp = Im q (Ker p,im p) = (Ker q,im q). p(x) = q(x) = 0, p(x) = q(x) = x. Puisque les sous-espaces sont supplémentaires, cela implique l égalité de p et de q. Proposition 19 Soit f un endomorphisme de E et p un projecteur. Les applications f et p commutent si et seulement si le noyau et l image de p sont stables par f. Supposons que Ker p et Im p sont stables par f. Si x appartient à Ker p, il en est de même de f(x) et donc f p(x) = f(0) = 0 = p(f(x)) = p f(x).

28 AB 28 Si x appartient à Im p, il en est de même de f(x), donc p(f()) = f(x), d où f p(x) = f(x) = p(f(x)) = p f(x), ce qui implique f p = p f. Réciproquement, supposons que f et p commutent. Si x est dans Ker p, on a p(f(x)) = f(p(x)) = f(0) = 0, donc f(x) est dans Kerp. Si x est dans Imp, on a cette fois p(f(x)) = f(p(x)) = f(x) donc f(x) est dans Imp. Proposition 20 Soit p et q deux projecteurs de E. a) p q = 0 si et seulement si Im q est inclus dans Ker p. b) p q = p si et seulement si Ker q est inclus dans Ker p. c) q p = p si et seulement si Im p est inclus dans Im q. a) Si p q est nul, soit x dans Im q. Alors q(x) = x et on a 0 = p q(x) = p(x). Donc x est dans Ker p. Réciproquement, supposons que Im q soit inclus dans Ker p. Si x est dans Ker q. On a Si x est dans Im q, on a donc Il en résulte que p q est nul. p q(x) = p(0) = 0. q(x) = x, 0 = p(q(x)) = p(x).

29 AB 29 b) Si p q et p sont égaux, soit x dans Ker q. On a p(x) = p(q(x)) = p(0) = 0, et donc x est dans Ker p. Réciproquement, supposons que Ker q soit inclus dans Ker p. Si x est dans Ker q, on a p(q(x)) = p(0) = 0 = p(x). Si x est dans Im q, alors q(x) = x, et p(q(x)) = p(x). Il en résulte que p q et p sont égaux. c) Si q p et p sont égaux, soit x dans Im p. On a p(x) = x, donc et donc x est dans Im q. q(x) = q(p(x)) = p(x) = x, Réciproquement, supposons que Im p soit inclus dans Im q. Si x est dans Im p, on a p(x) = x = q(x), et donc q p(x) = q(x) = x = p(x). Si x est dans Ker p q p(x) = q(0) = 0 = p(x). Il en résulte que q p et p sont égaux. Remarque : on peut avoir q p = 0 et p q 0, même si p et q sont de rang 1. Exemple : Soit (u,v,w) trois vecteurs de R 2 deux à deux indépendants. Soit p et q définis par p(u) = u, p(v) = 0 ; q(u) = 0, q(w) = w. On définit ainsi deux projecteurs p et q. Comme Im p = Ker q = Ru

30 AB 30 on a q p = 0. Par contre, comme v et w sont indépendants, Im q et distinct de Ker p, donc p q n est pas nul. Proposition 21 Soit p et q deux projecteurs de E. Les propriétés suivantes sont équivalentes : a) p et q commutent. b) Ker p et Im p sont stables par q. c) Kerp = (Ker p Ker q) (Ker p Imq) et Im p = (Im p Kerq) (Im p Imq). d) E = (Ker p Ker q) (Ker p Im q) (Im p Ker q) (Im p Im q). Remarque : on peut inverser les rôles de p et q dans c). Les propriétés a) et b) sont équivalentes d après la proposition 19. a) c) Soit x dans Ker p. Il existe y dans Ker q et z dans Im q tels que x = y + z. On a donc p(x) = 0 et q(x) = q(z) = z. Alors 0 = q(0) = q(p(x)) = p(q(x)) = p(z) et z est dans Ker p. Il en résulte que y = x z est aussi dans Ker p. On a donc Ker p = (Ker p Kerq) + (Ker p Imq), et la somme est directe. Soit x dans Im p. Il existe y dans Kerq et z dans Imq tels que x = y + z. On a p(x) = x et q(x) = q(z) = z. Alors z = q(x) = q p(x) = p q(x) = p(z). Il en résulte que z est dans Im p ainsi que y = x z. D où Im p = (Im p Ker q) + (Im p Im q),

31 AB 31 et la somme est directe. c) d) résulte du fait que de plus d) a) E = Ker p Im p. On calcule p q(x) et q p(x) pour x appartenant à chaque terme de la somme directe. Si x est dans Ker p Ker q Si x est dans Ker p Im q De même si x est dans Ker q Im p. Si x est dans Im p Imq On a donc bien p q(x) = q p(x) = 0. 0 = p(x) = p q(x) = q(0) = q p(x). p q(x) = q p(x) = x. p q = q p. Proposition 22 Si p est un projecteur et f un endomorphisme de E, et s il existe λ dans K\{0,1} tel que p f = λf p, alors p f = f p = 0. Si x est dans Ker p, on a p f(x) = λf p(x) = λf(0) = 0. Il en résulte que f(x) est dans Ker p. Si x est dans Im p, on a Il en résulte que p f(x) = λf p(x) = λf(x). f(x) = λ 1 p f(x) est dans Imp. Donc Im p et Ker p sont stables par f et d après la proposition 19, les applications f et p commutent. Alors p f = f p = λf p, et puisque λ est distinct de 1, c est que f p est nul.

32 AB 32 Proposition 23 Si p et q sont deux projecteurs qui commutent, alors p+q p q est un projecteur et Ker(p + q p q) = Ker p Ker q, Im(p + q p q) = (Ker p Im q) (Im p Ker q) (Im p Im q). En développant (p + q p q) 2 et du fait que p 2 = p q 2 = q p q = q p, on obtient (p + q p q) 2 = p + q p q, et donc l endomorphisme r = p + q p q est un projecteur. Si x appartient à Ker p Ker q, on a r(x) = p(x) + q(x) p(q(x)) = 0. Donc x est dans Ker r. Réciproquement, soit x dans Kerr. On a r(x) = p(x) + q(x) p(q(x)) = 0, donc On en déduit p(x) = p(q(x)) q(x). p(x) = p 2 (x) = p(p(q(x)) q(x))) = p 2 q(x) p q(x) = p q(x) p q(x) = 0, ce qui prouve que x appartient à Ker p. Un raisonnement analogue montre qu il est aussi dans Ker q donc dans l intersection Ker p Ker q. On a donc égalité. Si x appartient à Im p Im q, on a et donc Si x appartient à Im p Ker q, on a p(x) = q(x) = x, r(x) = p(x) + q(x) p(q(x)) = x + x x = x. p(x) = x et q(x) = 0, et donc r(x) = p(x) + q(x) p(q(x)) = x = x.

33 AB 33 Si x appartient à Ker p Im q, on a et donc p(x) = 0 et q(x) = x, r(x) = p(x) + q(x) p(q(x)) = 0 + x 0 = x. Il en résulte que que le sous-espace (Ker p Im q) (Im p Ker q) (Im p Imq) est inclus dans Im r. Mais d après la proposition 21, des deux sous-espaces sont des supplémentaires de Ker p Ker q. Ils sont donc égaux. Proposition 24 Soit p et q deux projecteurs. Alors p+q est un projecteur si et seulement si p q et q p sont nuls. On a dans ce cas Im(p + q) = Im p Im q et Ker(p + q) = Ker p Ker q. De plus Imp Im q = {0}. Il résulte de la proposition précédente que si p q = q p = 0 alors p + q = p + q q q est un projecteur et que Ker(p + q) = Ker p Ker q. On a aussi Im(p + q) = (Ker p Im q) (Im p Ker q) (Im p Imq). Mais d après la proposition 20, on a Im q inclus dans Kerp et Im p inclus dans Ker q. On obtient donc Im(p + q) = Im q Im p (Im p Im q). Ceci n est possible que si Im p Im q = {0}, et donc Im(p + q) = Im q Im p. Réciproquement, si p + q est un projecteur, l égalité (p + q) 2 = p + q donne p q = q p,

34 AB 34 ce qui d après la proposition 22 entraîne p q = q p = 0. Remarque : ce résultat se généralise par récurrence pour un nombre fini de projecteurs p 1,...,p n. Si les produits p i p j, pour i distinct de j, sont nuls, la somme p p n est un projecteur dont l image est la somme des Im p i et le noyau l intersection des Ker p i. Proposition 25 Soit p et q deux projecteurs de rang 1 qui commutent. Alors, ou bien ils sont égaux, ou bien p q est nul. D après la proposition 21, et Im p = (Im p Ker q) (Im p Im q), Ker p = (Ker p Kerq) (Ker p Imq). Si Im p Im q n est pas réduit à 0, comme Im p et Im q sont de dimension 1, ils sont égaux. Alors Im p Ker q et Im q Ker p sont réduits à 0. Il en résulte que Ker p = Ker p Ker q ce qui prouve que Ker p est inclus dans Ker q. Comme ces espaces sont supplémentaires du même espace Im p = Imq il sont égaux. Et les projecteurs p et q ont même noyau et même image. On a donc p = q. Si Im p Im q est réduit à 0, on a Im p = Im p Kerq donc Im p est inclus dans Ker q et il en résulte que q p est nul. Proposition 26 Soit p un projecteur de rang n. Il existe n projecteurs p 1,...,p n de rang 1 tels que, p i p j soit nul si i est distinct de j, et p = p p n. Soit (e 1,...,e n ) une base de Im p. Pour tout i, les sous-espaces Ke i et E i = Ke 1... Ke i 1 Ke i+1 Ke n + Ker p sont supplémentaires. Soit p i le projecteur tel que Imp i = Ke i et Ker p i = E i.

35 AB 35 Les projecteurs ainsi construits sont de rang 1. D autre part, si i est différent de j, le sous-espace Im p i est inclus dans Kerp j, donc p j p i est nul. Enfin, si x est dans Ker p il se trouve dans tous les E i. Alors (p p n )(x) = 0. De même, si x est dans Ke i, il se trouve dans E j pour j distinct de i, et donc Par ailleurs d où Il en résulte que p j (x) = 0. p i (x) = x = p(x), (p p n )(x) = p(x). p = p p n. Les relations entre les images et les noyaux de ces projecteurs sont donnés par la remarque de la proposition 24. Proposition 27 Si p et q sont des projecteurs qui commutent, alors p q est un projecteur et Im p q = Im p Im q Ker p q = (Ker p Ker q) (Ker p Im q) (Im p Ker q). Il est clair que si p et q commutent, les opérateurs (p q) 2 et p q sont égaux. Si x est dans Im p Imq, on a donc x est dans Imp q. p(x) = q(x) = p q(x) = x, Réciproquement, si x est dans Im p q x = p(q(x)) = q(p(x)) donc x est dans Imp et Imq, donc dans l intersection. On a donc bien l égalité. Si x appartient à Ker p, le vecteur q p(x) est nul, et x est dan Ker p q. De même si x appartient à Ker q. L espace vectoriel (Ker p Ker q) (Ker p Im q) (Im p Ker q) est donc inclus dans Ker p q. Comme ces deux sous-espaces sont supplémentaires de Imp q, ils sont égaux.

36 AB 36 Proposition 28 Si p est un projecteur, et f un automorphisme de E, alors q = f p f 1 est un projecteur et Ker q = f(ker p) et Im q = f(im q). Il est immédiat que q 2 et q sont égaux. Soit x dans Ker q. On a f p f 1 (x) = 0 et puisque f est un automorphisme, cela équivaut à p f 1 (x) = 0 ce qui signifie que f 1 (x) appartient à Ker p ou encore que x appartient à f(kerp). Soit x dans Im q. On a f p f 1 (x) = x c est-à-dire p f 1 (x) = f 1 (x). Cela signifie que f 1 (x) est dans Im p, ou encore que x est dans f(im p). Proposition 29 Soit p un projecteur de E. L ensemble L (E) p est constitué des éléments f de L (E) tels que f(im p) Im p et f(ker p) = {0}. Un élément de L (E) p est une application linéaire f telle que f p = p f = f. D après la proposition 19, le sous-espace Im p est stable par f, c est-à-dire f(imp) Im p. D autre part, si x est dans Ker p, f(x) = f p(x) = f(0) = 0. Dons f(ker p) est réduit à {0}. Réciproquement, soit f vérifiant les deux relations f(imp) Im p et f(ker p) = {0}.

37 AB 37 Alors Im p et Ker p sont stables par f, donc f et p commutent. Si x est dans Ker p, alors f(x) est nul et f p(x) = f(0) = 0 = f(x). Si x est dans Im p, le vecteur f(x) s y trouve aussi, donc p f(x) = f(x). Il en résulte que f p = p f = f. Proposition 30 Soit p un projecteur de E. Le groupe maximal L (E)(p) de neutre p est constitué des endomorphismes f tels que f(ker p) = {0}; la restriction de f à Imp est un automorphisme de Im p. D après le théorème 6, le groupe maximal L (E)(p) est inclus dans L (E) p. En particulier f(kerp) = {0}. Soit f un élément de L (E) p tel qu il existe f dans L (E) p vérifiant f f = f f = p. Comme Imp est stable par f et f, on peut considérer leur restriction à Im p comme des endomorphismes f et f de Im p. Comme la restriction de p à Im p est Id Im p, on a donc f f = f f = Id Im p, ce qui montre que f est un automorphisme de Im p. Réciproquement, soit f vérifiant les conditions f(kerp) = {0}; la restriction de f à Im p est un automorphisme de Im p. Soit f la restriction de f à Imf considérée comme automorphisme de Im p. Elle a alors une application réciproque f 1. Ces conditions impliquent que f est dans L (E) p. On définit une application f en posant { f (x) = Si x appartient à Im p, on a 0 si x Ker p f 1 (x) si x Im p. f f (x) = f f 1 (x) = f 1 f(x) = x = p(x).

38 AB 38 Si x appartient à Ker f, on a cette fois, f f (x) = f f(x) = 0 = p(x). Il en résulte que Donc f appartient à L (E)(p). f f = f f = p. Voici une autre caractérisation de L (E)(p). Proposition 31 Soit p un projecteur de E. Le groupe maximal L (E)(p) de neutre p est constitué des endomorphismes f tels que Ker p = Kerf et Im p = Im f. D après la proposition précédente, si f est dans L (E)(p), on a Im p Im f, Kerp Ker f, Ker f Im p = {0}, f(imp) = Im p. Soit f(y) dans Im f. En décomposant y sous la forme a + b, avec a dans Imp et b dans Ker p, on a f(y) = f(a). Mais f(a) est dans Imp puisque a est dans Imp. On en déduit que f(y) est dans Im p. Donc Im f Imp, et puisque l on a l inclusion inverse, il y a égalité. Un élément x de Ker f se décompose sous la forme a + b, avec a dans Im p et b dans Ker p, on a p(x) = p(a) = a et f(x) = 0 = f(a), donc a appartient à Im p Ker f. Il en résulte que a est nul et que x appartient à Ker p. Donc Ker f Kerp, et puisque l on a l inclusion inverse, il y a égalité. Réciproquement, si Ker p = Ker f et Imp = Im f, on a f(kerp) = f(kerf) = {0} et f(imp) = f(imf) Im f = Im p.

39 AB 39 On en déduit aussi que Ker f Im p = Ker p Im p = {0}, ce qui prouve que la restriction de f à Imp est injective. On retrouve les conditions de la proposition précédente. Corollaire Un élément f de L (E) appartient à un groupe inclus dans L (E) si et seulement si Ker f et Im f sont supplémentaires. Il suffit de prendre le projecteur p associé au couple (Ker f,imf). Alors donc f appartient à L (E)(p). Ker p = Ker f et Im p = Imf Proposition 32 Pour un projecteur p de rang 1, l ensemble L (E) p est la droite vectorielle engendrée par p, et L (E)(p) est cette même droite privée de l endomorphisme nul. Soit i une base de Im p, et f dans L (E) p. Comme Imp est stable par f d après la proposition 29, on a f(i) = λi = λp(i). Si x appartient à Ker p, alors f(x) est nul d après la proposition 29, donc Il en résulte que Réciproquement, il est clair que si alors f(x) = 0 = λp(x). f = λp. f = λp, f p = p f = f. L ensemble L (E) p s identifie donc au corps de base, et le plus grand groupe inclus est le corps privé de 0. Corollaire L ensemble L (E) n est pas CT si et seulement si dim E 2. Si la dimension de E vaut 0, l espace vectoriel L (E) est un singleton et le résultat est évident.

40 AB 40 Si la dimension de E vaut 1, L ensemble L (E) s identifie au corps de base, et le plus grand groupe inclus est le corps privé de 0. Si la dimension de E est supérieure ou égale à 2. Il existe des applications linaires telles que Imf soit inclus dans Ker f. Par exemple, soit (e 1,e 2 ) un système libre de E et F un supplémentaire du sous-espace engendré par (e 1,e 2 ). On définit f en posant f(λe 1 ) = λe 2 et, pour tout x de Ke 2 F, Alors f(x) = 0. Im f = Ke 2 Ker f = Ke 2 F. Proposition 33 Si E est de dimension 2, les groupes maximaux de L (E) sont les suivants : L (E)(0) = {0} L (E)(Id E ) = GL(E) L (E)(p) = {λp λ K } si p / {0,Id E }. Proposition 34 Soit {p 1,...,p n } un ensemble de n projecteurs non nuls tels que p i p j soit nul lorsque i est distinct de j. Ils engendrent un sous-espace vectoriel U de dimension n sur K. Si l on pose p = p p n, l ensemble des combinaisons linéaires des p i à coefficients non nuls est le plus grand sous-groupe de L (E)(p) inclus dans l espace U. Soit i dans {1,...,n}. Si l on a on obtient en appliquant p i ce qui donne λ 1 p λ i p i λ n p n = 0, λ 1 p i p λ i p i p i λ n p i p n = 0, λ i p i = 0. On en déduit que λ i est nul. Donc le système (p 1,...,p n ) est libre et engendre un sous-espace de dimension n. Soit G l ensemble des combinaisons linéaires des p i à coefficients non nuls. Si s et t sont dans G, on a s = λ 1 p λ n p n et t = µ 1 p µ n p n,