Limites de Fonction. 1 Limites d une fonction et asymptotes 1.1 Limite en l infini. 1.2 Limite en un réel a Asymptotes...

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1 Lycée Pul Doumer TS Cours Limites de Fonction Contents Limites d une fonction et symptotes. Limite en l infini Limite en un réel symptotes Théorèmes générux sur les ites 5 2. Limites des fonctions usuelles Théorèmes générux sur les ites Théorèmes de comprison 6 Limites d une fonction et symptotes. Limite en l infini Définition n considère une fonction f définie sur un intervlle de l forme ]; + [. f (x) = L si tout intervlle ouvert contennt L contient toutes les vleurs de f (x) dès que x est suffismment grnd. f (x) = + si tout intervlle ]; + [ contient toutes les vleurs de f (x) dès que x est suffismment grnd. f (x) = si tout intervlle ] ; B[ contient toutes les vleurs de f (x) dès que x est suffismment grnd. Remrque : Ces définitions sont nlogues à celles données pour les ites de suites numériques, dès que x est suffismment grnd vennt remplcer à prtir d un certin rng.

2 Remrque : f (x) = L f (x) = + f (x) = dès que x est suffisment grnd L dès que x est ssez grnd dès que x est suffisment grnd Remrque : n peut énoncer des définitions similires pour les ites en : dès que x est suffismment grnd est lors remplcé pr dès que x est négtif et suffismment grnd en vleur bsolue..2 Limite en un réel Définition : Limite infinie en un réel Soit f une fonction définie sur [ r; [ ou sur ]; + r], vec r un réel positif non nul. f (x) = + si tout intervlle ]; + [ contient toutes les vleurs de f (x) dès que x est suffismment proche de. f (x) = si tout intervlle ] ; B[ contient toutes les vleurs de f (x) dès que x est suffismment proche de. r + r Définition : Limite infinie en un réel, à droite n dit que f dmet pour ite + en à droite lorsque tout intervlle ]; + [ contient toutes les vleurs de f (x) dès que x est suffismment proche de, x restnt strictement supérieur à. n note lors : f (x) = + x> 2

3 Remrque : n définit de fçon nlogue l ite en à guche que l on note : f (x) Remrque : f (x) = + x> f (x) = + x< x< + r r f (x) = x> f (x) = x< r + r Remrque : n peut ussi définir l notion de l imite finie en un réel. C est le cs d une fonction continue u point d bscisse. Pr exemple : x =, x 2 = 4 et x x 2 x x =. 3

4 .3 symptotes Définition : symptote verticle Soit f définie sur [ r; [ ou sur ]; + r], vec r un réel positif non nul. L droite d éqution x = est une symptote verticle à l courbe représenttive de f si f (x) = + ou f (x) =. x = Exemple : L courbe représenttive de l fonction f(x) = d éqution x = 0 cr x 0 x x>0 = + et x 0 x =. x<0 x dmet une symptote verticle Définition : symptote horizontle Soit f définie sur [α; + [. L droite d éqution y = L est une symptote horizontle à l courbe représenttive de f si f (x) = L. y = L Définition : symptote oblique L droite d éqution y = x + b est une symptote à l courbe représenttive de f si (f(x) (x + b)) = 0 Exemple : 4

5 n ] considère [ l fonction f définie sur 2 ; + pr f(x) = 2x 3 + 2x r, (f(x) (2x 3)) = 2x = 0 insi l droite : y = 2x 3 est une symptote oblique à l courbe représenttive de f u voisinnge de +. y = 2x 3 2 Théorèmes générux sur les ites 2. Limites des fonctions usuelles Propriété : k x x2 = + x2 = + Si n est pir x xn = + xn = + Plus générlement : x x3 = x3 = + Si n est impir x xn = xn = + n étnt un entier nturel non nul. x x = 0 x 0 x = x<0 x = 0 x 0 x = + x>0 k = k x k = k, k étnt un réel. x = Théorèmes générux sur les ites L et L sont des réels et le réel peut être remplcé pr +. 5

6 Théorème : Limite d une somme Si u(x) = L L L + + et v(x) = L + + lors u(x) + v(x) = L + L + + FI Théorème : Limite d un produit Si u(x) = L L 0 0 et v(x) = L lors u(x) v(x) = L L (règle du signe ou d un produit) (règle du signe ou d un produit) FI Théorème : Limite d un quotient Si u(x) = L L L 0 ou 0 et v(x) = L 0 lors u(x) v(x) = + ou L L 0 L 0 (régle du signe ou d un quotient) 0 en grdnt un signe consnt (régle du signe ou d un quotient) 0 FI + ou + ou FI Remrque : n rédige le clcul de l ite d une fonction exctement comme celle d une suite. 3 Théorèmes de comprison Ces théorèmes sont énoncés vec les ites qund x tend vers +, on pourrit églement les énoncer : qund x tend vers (on remplcer [α; + [ pr ] ; β]) ; qund x tend vers un réel (on remplcer [α; + [ pr [ r; [ ou ]; + r], r étnt un réel positif non nul). 6

7 Théorème Si pour tout réel x pprtennt à un intervlle [α; + [, f et g sont définies et si f(x) g(x) x [α; + [ f(x) = + C g lors : g(x) = + Théorème Si pour tout réel x pprtennt à un intervlle [α; + [, f et g sont définies et si f(x) g(x) x [α; + [ C g lors : g(x) = f(x) = Théorème d encdrement Si pour tout réel x pprtennt à un intervlle [α; + [, f, g et h sont définies et si f(x) g(x) h(x) x [α; + [ C h lors : f(x) = h(x) = L g(x) = L L C g 7