2 Mouvement rectiligne uniforme

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1 2_et_3-cinematique.nb 22 2 Mouvement rectiligne uniforme 2. Définition ü Grandeur contante, grandeur uniforme Une grandeur f et qualifiée de contante lorque, conidérée comme fonction du temp, elle ne varie pa, c'et-à-dire f HtL = cont f Ë HtL = 0 Un grandeur f et appelée uniforme lorque, conidérée comme fonction de a poition dan l'epace, elle et partout la même. f Hx, y, L = cont Par exemple, dan une pièce, la température peut être - contante mai non uniforme : il fait plu chaud prè de la porte que de la fenêtre mai le température ont le même le matin et le oir; - uniforme mai non contante : dan la pièce, le température ont partout le même mai il fait plu froid le matin que le oir. ü Mouvement uniforme Un mouvement et appelé uniforme lorque la vitee et la même en chaque point de a trajectoire. Il 'enuit que la vitee et contante. En d'autre terme, un mouvement et uniforme lorque l'accélération et nulle. v HtL = cont = v a HtL = 0 ü Mouvement rectiligne Un mouvement et appelé rectiligne lorque tou le point de la trajectoire ont itué ur une même droite. Un mouvement peut être rectliligne mai non uniforme. Par exemple, dan le vide, la chute d'un corp lâché avec une vitee initiale nulle et un mouvement rectiligne uniformément accéléré. 2.2 Première approche intuitive r t = v On en tire la règle uivante r = v t où v et contante pour de intervalle de temp égaux, le déplacement ont égaux Hvoir fig.l

2 2_et_3-cinematique.nb 23 r r r r Conéquence La trajectoire et une droite, c'et-à-dire le mouvement et rectiligne. 2 Le temp gradue uniformément la trajectoire (voir fig. ci-deou) Equation paramétrique de la droite (complément mathématique) ü Equation cartéienne de la droite en dimenion 2 Deux point AHx, y L, BHx 2, y 2 L étant donné, on cherche à quelle condition le point PHx, yl appartient à la droite AB. P A B le point P appartient à la droite AB le vecteur AP et AB ont colinéaire le déterminant de vecteur J AP, AB det J x x x 2 x y y y 2 y N = 0 Hx x L Hy 2 y L Hy y L Hx 2 x L = 0 N et nul En cinématique, on utilie l'équation cartéienne pour décrire la trajectoire d'un mobile en mouvement rectiligne (pa néceairement uniforme). Repréentation graphique avec Mathematica (exemple) Si la droite n'et pa verticale, il et poible d'ioler y et de deiner la fonction affine correpondante.

3 2_et_3-cinematique.nb 24 5 x 4 y + 3 = 0 y = 5 x PlotA 5 x + 3, 8x, 4, 4<, ApectRatio Automatic, AxeLabel 8"x", "y"<e; 4 y x -2-4 ü Equation paramétrique de la droite en dimenion 2 Nou répondon à la même quetion que ci-deu en utiliant un autre critère le point P appartient à la droite AB le vecteur AP et AB ont colinéaire le vecteur AP et un multiple du vecteur AB AP = k AB où k et un nombre réel appelé paramètre J x x y y N = k J x 2 x y 2 y N 9 x = x + k Hx 2 x L y = y + k Hy 2 y L Repréentation graphique avec Mathematica (exemple) Un point d'attache de la droite 5 x - 4 y + 3 = 0 et AH-3; -3L, un vecteur directeur et d Ø = i j 4 y. Le point PHx; ylappartient à la droite i et eulement k 5 { i AP = k d J x + 3 y + 3 N = k J4 5 N 9 x = 4 k 3 y = 5 k 3

4 2_et_3-cinematique.nb 25 k 3, 5 k 3<, 8k,, 2<, ApectRatio Automatic, AxeLabel 8"x", "y"<d; y x ü Equation paramétrique de la droite en dimenion 3 Deux point AHx, y, L, BHx 2, y 2, 2 L étant donné, on cherche à quelle condition le point PHx, y, L appartient à la droite AB. le point P appartient à la droite AB le vecteur AP et AB ont colinéaire le vecteur AP et un multiple du vecteur AB AP = k AB où k et un nombre réel appelé paramètre i x x y x 2 x j y y = k i y j y 2 y k { k 2 { 9 x = x + k Hx 2 x L y = y + k Hy 2 y L = + k H 2 L A chaque valeur de k correpond un point de la droite 0 # AHx, y, L # BHx 2, y 2, 2 L k # PHx, y, L Nou avon aini gradué la droite AB au moyen du repère affine JA, AB N

5 2_et_3-cinematique.nb 26 où A déigne l'origine (en A, k = 0), AB repréente le vecteur unitaire de la graduation en k (en B, k = ), et la graduation et uniforme (voir fig.) k=4 k=3 k=2 k=0 A k= B Pour déigner la poition d'un point P ur la droite, il uffit de donner la valeur de k correpondante. Repréentation graphique avec Mathematica (exemple) ixy i j y = j k{ k 3 k 5 k k + 4 y { 3 k 5, k + 3, 2 k + 4<, 8k, 0, 5<, ViewPoint 83,, <, AxeLabel 8"x", "y", ""<, ApectRatio AutomaticD; x -0 4 y ü Converion de la forme paramétrique à la forme cartéienne, exemple en dimenion 2 Conidéron la droite du plan donnée par le ytème paramétrique 9 x = k y = 8 3 k Pour paer à la forme cartéienne, l'idée et d'éliminer le paramètre k. Pour ce faire, on tire k d'une équation pui on remplace k dan l'autre 9 k = x 3 5 y = 8 3 x 3 5 Cette dernière équation et l'équation cartéienne cherchée

6 2_et_3-cinematique.nb 27 3 x 9 + y 8 = x y 40 = 0 3 x + 5 y 49 = 0 Au lieu de faire le calcul à la main, on peut utilier Mathematica (conulte l'aide) : == k, y == 8 3 k<, kd 3 x == 49 5 y ü Converion de la forme paramétrique à la forme cartéienne, exemple en dimenion 3 Conidéron la droite dan l'epace donnée par le ytème paramétrique x = 3 t 9 y = t = 7 4 t Contrairement au ytème paramétrique, le ytème cartéien ne contient pa de paramètre. Pour obtenir la forme cartéienne, l'idée et d'éliminer le paramètre t. Pour ce faire, on tire t d'une équation pui on remplace t dan le deux autre t = x+ 3 9 y = x+ 3 = 7 4 x+ 3 Le deux dernière équation forment le ytème cartéien cherché 9 2 x y 3 = 0 4 x = x y 9 = 0 4 x = x + 3 y = 0 4 x = 0 On remarquera qu'une droite dan l'epace et donnée, non par une équation cartéienne, mai par un ytème de deux équation cartéienne. La règle et la uivante: Dan un ytème, lorqu' on élimine un paramètre, le nombre d' équation diminue de Interprétation géométrique : chaque équation cartéienne repréente un plan dan l'epace; et c'et l'interection de deux plan qui définit la doite. Au lieu de faire le calcul à la main, on peut utilier Mathematica. == 3 t, y == t, == 7 4 t<, td 2 x == 3 y && 2 y == 3 Le réultat peut 'écrire de pluieur manière différente. Pour obtenir le même réultat que Mathematica, il uffit de tirer t de la dernière équation et de remplacer t dan le deux première. 2.4 Horaire (approche analytique) ü Détermination d'une primitive par calcul intégral (complément mathématique) Lorqu'on dérive une fonction polynomiale de degré n, a dérivée et de degré Hn - L. Par exemple, la dérivée d'un polynôme de degré 3 donne un polynôme de degré 2

7 2_et_3-cinematique.nb 28 f HtL = 5 t 3 3 t t 2 f Ë HtL = 5 t 2 6 t + 8 Réciproquement, cherchon une fonction fhtl dont la dérivée et donnée, par exemple f Ë HtL = 2 t 2 8 t + 2 Comme la dérivée et un polynôme de degré 2, la fonction cherchée fhtl era un polynôme de degré 3. On peut poer f HtL = f 3 t 3 + f 2 t 2 + f t + f 0 où le coefficient f 3, f 2, f, f 0 ont inconnu. Calculon la dérivée de fhtl f Ë HtL = 3 f 3 t f 2 t + f Comparon le coefficient avec la donnée On en tire la répone 3 f 3 = 2, 2 f 2 = 8, f = 2 f HtL = 2 3 t3 4 t t + f 0 où f 0 et une contante quelconque. Etant donné que fonction f. fh0l = f 0, la contante f 0 et appelée valeur initiale de la On peut généralier i f Ë HtL et un polynôme de degré n alor f HtL et un polynôme de degré Hn + L dan lequel apparaît la valeur initiale f 0 ü Mouvement rectiligne uniforme Horaire avec r H0L Par définition, dan un mouvement rectiligne uniforme, le vecteur vitee et contant v HtL = i j k v x v y v y = v où v x, v y, v ont de contante réelle { Puique le compoante de v Ø = r Øè HtL ont de polynôme de degré 0, le compoante de r Ø HtL eront de polynôme de degré en t r HtL = i r x t + r 0 x y r j y t + r 0 y kr t + r 0 { En comparant le coefficient, on obtient r Ë HtL = i j k r x r y r y = i j { k v x v y v y { r HtL = i v x t + r 0 x y v j y t + r 0 y kv t + r 0 { = v t + r 0 où le vecteur r 0 = i j k r 0 x r 0 y r 0 y, dénommé "poition initiale", indique la poition du mobile à l'intant t=0. {

8 2_et_3-cinematique.nb 29 Horaire avec r Ht 0 L Si, au lieu de connaître la poition à l'intant 0, on connaît la poition à un intant t 0 quelconque, on peut écrire l'horaire ou une forme plu générale. Parton de l'idée que, pendant la durée Dt = t - t 0, le déplacement Dr = r HtL - r Ht 0 L et égal à v Dt Finalement, r = v t r HtL r Ht 0 L = v Ht t 0 L r HtL = v Ht t 0 L + r Ht 0 L ü Interection de deux droite donnée ou forme paramétrique, exemple en dimenion 2 Conidéron deux mobile en mouvement rectiligne uniforme dan un plan dont on donne le deux horaire (x et y en mètre, t en econde) 9 x HtL = t y HtL = 8 3 t et 9 x 2 HtL = 7 2 t y 2 HtL = + 4 t t=4 t= 2 5 t=3 t= 0 t=2 t=0 5 t= t= t=0 t= t=3 20 t= t=4-5 t= 2 Méthode graphique Il faut bien ditinguer deux type de quetion: * Le deux mobile e rencontrent-il? Si oui, à quelle heure et à quel endroit? * Le deux trajectoire e coupent-elle? Si oui, à quel endroit? En effet, pour qu'il e rencontrent, il ne uffit pa qu'il paent au même endroit. Encore faut-il qu'il y oient en même temp! En obervant la figure et avant tout calcul, on contatera que le trajectoire e coupent mai que le deux mobile ne e rencontrent pa.

9 2_et_3-cinematique.nb 30 Calcul à la main Pour répondre à toute le quetion concernant la rencontre de deux mobile ou l'interection de leur trajectoire, on peut procéder comme uit : nommon t = heure du paage du premier au point d'interectionhx, yl; t 2 = heure du paage du deuxième au point d'interectionhx, yl pui réolvon le ytème de quatre équation à quatre inconnue: 9 x = t y = 8 3 t x = 7 2 t 2 y = + 4 t 2 Eliminon temporairement x et y et calculon le heure de paage au point d'interection: t = 7 2 t t = + 4 t 2 Dan le but d'éliminer t 2, multiplion la première équation par 2 pui additionnon le deux équation: t = 4 4 t t 8 3 t = + 4 t = 5 t = 2 7 Pour calculer t 2, on ubtitue t = ÅÅÅÅ 7 dan l'équation 8-3 t = + 4 t = + 4 t 2 4 t 2 = 46 7 t 2 = 23 4 Pour calculer le coordonnée du point d'interection Hx, yl, on ubtitue t = ÅÅÅÅ dan l'horaire du premier mobile x = = 26 7, y = = 53 7 Concluion: * le deux trajectoire e coupent au point Hx, yl = H ÅÅÅÅÅ 26 7, 53 ÅÅÅÅÅ 7 L; * au point d'interection, le premier mobile pae à l'intant 23 7 et le deuxième à l'intant 4 ; comme il n'y paent pa en même temp, il ne e rencontrent pa. Calcul avec Mathematica Pour répondre à toute le quetion concernant la rencontre de deux mobile ou l'interection de leur trajectoire, on peut procéder comme uit : nommon t = heure du paage du premier au point d'interection Hx, yl; t2 = heure du paage du deuxième au point d'interection Hx, yl pui réolvon le ytème de quatre équation à quatre inconnue: == t fl y == 8 3 t fl x == 7 2 t2 fl y == + 4 t2, 8x, y, t, t2<d x 26 7 && y 53 7 && t 7 && t Concluion: * le deux trajectoire e coupent au point Hx, yl = H ÅÅÅÅÅ 26 7, 53 ÅÅÅÅÅ 7 L; * au point d'interection, le premier mobile pae à l'intant 23 7 et le deuxième à l'intant 4 ; comme il n'y paent pa en même temp, il ne e rencontrent pa. Remarque Dan le ca où le deux mobile e rencontrent, notre modèle uppoe que le deux mobile e rencontrent an interférer, c'et-à-dire an exercer d'influence l'un ur l'autre. Il ne 'agit pa ici d'un problème de colliion (choc élatique ou inélatique) car le deux mobile pouruivent leur coure an changer de vitee. 7

10 2_et_3-cinematique.nb 3 Exercice du 2 ü Exercice 2- On donne le point du plan A H; 3L, B H5; 2L a) Ecrive l'équation cartéienne de la droite AB. b) Ecrive un ytème d'équation paramétrique de la droite AB. c) Ecrive un autre ytème d'équation paramétrique de la même droite AB. d) Ecrive un ytème d'équation paramétrique de la droite AB tel que en A le paramètre vaut 7 et en B le paramètre vaut 2. ü Exercice 2-2 On donne le point de l'epace A H; 3; 2L, B H5; 2; L a) Ecrive un ytème d'équation paramétrique de la droite AB. b) Ecrive un ytème d'équation paramétrique de la droite AB tel que en A le paramètre vaut 5 et en B le paramètre vaut 2. ü Exercice 2-3 De la droite d'équation 3 x + 2 y - 5 = 0, on cherche deux repréentation paramétrique telle que 9 x = 2 k y =? x 2 =? 9 y 2 = t Compléte le ytème d'équation paramétrique. ü Exercice 2-4 On donne le équation paramétrique de deux droite 9 x = k y = 4 5 k 9 x 2 = t y 2 = t a) Repréente graphiquement la ituation. b) Détermine le équation cartéienne de deux trajectoire. c) Détermine le valeur de paramètre au point d'interection. ü Exercice 2-5 On donne le horaire de deux mobile (t en econde; x et y en mètre): 9 x = t y = 5 t 9 x 2 = t y 2 = 6 4 t a) Repréente graphiquement la ituation. b) Calcule la vitee linéaire de chaque mobile. c) Détermine par calcul i le deux mobile e rencontrent.

11 2_et_3-cinematique.nb 32 ü Exercice 2-6 (facultatif) Un mobile dont la vitee et contante pae au point H00 m; -20 ml à l'intant 0 et au point H40 m; 60 ml à l'intant 20. Quel et on horaire? ü Exercice 2-7 Deux mobile ont animé de mouvement rectiligne uniforme. Le premier pae au point H6 m; -2 ml à la vitee H-2 ÅÅÅÅÅ m ; 2 ÅÅÅÅÅ m L. Au même intant, le deuxième pae au point H0 m; 0 ml. Quel doit être l'horaire du deuxième pour rencontrer le premier 4 plu tard? ü Exercice 2-8 D'un premier mobile, on donne l'horaire 9 x = t y = + 2 t D'un deuxième mobile, on ait que on mouvement et rectiligne uniforme et on connaît l'équation de a trajectoire aini que a poition à l'intant 0 3 x y 2 = 0 J 0 2 N Détermine l'horaire du deuxième afin qu'il rencontre le premier. ü Exercice 2-9 On donne le horaire de deux mobile 9 x = t y = 5 t = 2 t 9 x 2 = t y 2 = 6 4 t 2 = 5 Calcule la vitee linéaire de chaque mobile. Le trajectoire e coupent-elle? Le deux mobile e rencontrent-il? ü Exercice 2-0 On donne le horaire de deux mobile 9 x = t y = 5 t = t 6 9 x 2 = + 2 t y 2 = 2 4 t 2 = 2 t Le trajectoire e coupent-elle? Le deux mobile e rencontrent-il? ü Exercice 2- On donne le horaire de deux mobile

12 2_et_3-cinematique.nb 33 x = t 9 y = 5 t = t 4 9 x 2 = + 2 t y 2 = 2 4 t 2 = 2 t Le trajectoire e coupent-elle? Le deux mobile e rencontrent-il? ü Exercice 2-2 On donne le point uivant A H; ; 0L, B H3; 9; 5L, C H0; 2; 2L Un premier mobile, en mouvement rectiligne uniforme, pae en A à l'intant t = 5 et en B à l'intant t =. Un deuxième mobile, aui en mouvement rectiligne uniforme, pae en C à l'intant t = 3. Détermine le horaire de deux mobile de manière qu'il e rencontrent à l'intant t = 7. ü Exercice 2-3 i 2 y Un mobile animé d'une vitee contante Ø v = 3 pae par le point AH-; -4; 20L à l'intant t = 9. j k-5{ Détermine on horaire par calcul intégral comme dan le 2.4 ü Exercice 2-4 On conidère la droite qui pae par le point A H5; 2; 3L, B H ; 3; 4L a) Détermine un ytème d'équation cartéienne de la droite. Faite le calcul à la main. b) Détermine un autre ytème d'équation cartéienne de la droite. c) Détermine un troiième ytème d'équation cartéienne de la même droite. ü Exercice 2-5 (facultatif) D'un mobile en mouvement rectiligne uniforme dan un plan, on donne l'équation de a trajectoire: 3 x - 2 y + 5 = 0 l'heure de paage au point A(3; 7): t = 8 la norme de a vitee: v = 4 où le coordonnée patiale ont donnée en mètre et le temp et exprimé en econde. Détermine on horaire (ou le horaire poible).

13 2_et_3-cinematique.nb 34 3 Mouvement uniformément accéléré 3. Approche intuitive ü Mouvement uniformément accéléré Un mouvement uniformément accéléré et un mouvement dan lequel l'accélération et contante. a HtL = cont = a ü Exemple en dimenion Conidéron un mouvement rectiligne avec a x = 2 m 2, v x H0L = 5 m, x H0L = 0 m Durant chaque econde, la vitee augmente de 2 ÅÅÅÅÅ m. La vitee évolue comme uit t m v x HtL 7 m 9 m m 3 m... Pour chaque tranche d'une econde, etimon v = vitee moyenne durant la econde conidérée; Dx = déplacement effectué durant la econde. ; 2 ; 3 ; 4 D... 6 m 8 m 0 m 2 m... x 6 m 8 m 0 m 2 m... v En additionnant le déplacement effectué, on peut en déduire la poition du mobile t xhtl 0 m 6 m 24 m 34 m 46 m... Le formule qui décrivent ce mouvement ont v x HtL = t x HtL = t + t 2 En particulier, la vitee et un polynôme de degré et l'horaire un polynôme de degré 2. Nou montreron plu loin que le formule générale ont v x HtL = v x H0L + a x t x HtL = x H0L + v x H0L t + 2 a x t 2

14 2_et_3-cinematique.nb 35 ü Evolution de la vitee du point de vue géométrique v t = a On en tire la règle uivante v = a t où a et contante en de intervalle de temp égaux, le variation de vitee ont égale Hvoir figurel v v H0L v v HL v v H2L v v H3L v H4L La figure précédente et un hodographe. Le poition correpondante ont

15 2_et_3-cinematique.nb 36 v H4L v H3L r H4L v H2L r H3L v HL r H2L r HL v H0L r H0L 3.2 Approche analytique ü Mouvement rectiligne uniformément accéléré Dan le ca particulier où le mouvement et rectiligne (par exemple, une voiture qui freine, un corp en chute libre,...) on peut choiir le repère JO, i, Ø Ø j, Ø kn de telle manière que la trajectoire du mobile coïncide avec l'axe de x. Alor, l'horaire e réduit à une eule compoante calaire On a le relation i r HtL = j k x HtLy 0, v HtL = 0 { i j k v x HtLy 0, a = 0 { i j k a x 0 0 y { è v xhtl = ax x è HtL = v x HtL où nou uppoon que a x et connu tandi que le fonction v x HtL et xhtl ont de fonction cherchée. Puique a x et un polynôme de degré 0, il 'enuit que v x HtL doit être un polynôme de degré et xhtl un polynôme de degré 2. v x HtL = v t + v 0 x HtL = x 2 t 2 + x t + x 0 Pour déterminer le coefficient v, calculon la dérivée de v x HtL et comparon avec a x Ë v x HtL = v = a x v x HtL = a x t + v 0 Pour déterminer le coefficient x 2, x, calculon la dérivée de x(t) et comparon avec v x HtL

16 2_et_3-cinematique.nb 37 x Ë HtL = 2 x 2 t + x = a x t + v 0 82 x 2 = a x et x = v 0 < x HtL = 2 a x t 2 + v 0 t + x 0 Finalement, on obtient (voir Formulaire et table p. 30) x HtL = 2 a x t 2 + v 0 t + x 0 v x HtL = a x t + v 0 a x HtL = a x = cont où v 0 = v x H0L = vitee initiale (vitee à l'intant t = 0) x 0 = xh0l = poition initiale (poition à l'intant t = 0). Si l'intant initial t 0 et quelconque, alor le formule précédante prennent la forme plu générale x HtL = 2 a x Ht t 0 L 2 + v 0 Ht t 0 L + x 0 v x HtL = a x Ht t 0 L + v 0 a x HtL = a x = cont où v 0 = v x Ht 0 L = vitee initiale (vitee à l'intant t 0 ) x 0 = xht 0 L = poition initiale (poition à l'intant t 0 ). ü Mouvement uniformément accéléré en dimenion 3 ix HtLy iv x HtLy r HtL = y HtL j, v HtL = v y HtL j, k HtL{ kv HtL{ a = i j k a x a y a y { On a le relation Ë v x HtL = ax Ë v y HtL = ay Ë v HtL = a x Ë HtL = v x HtL y Ë HtL = v y HtL Ë HtL = v HtL où nou uppoon que a x, a y et a ont connu tandi que le fonction v x HtL, v y HtL, v HtL, xhtl, yhtl, HtL ont cherchée. En répétant troi foi le raionnement fait auparavant pour la dimenion, on obtient v x HtL = a x t + v x H0L x HtL = 2 a x t 2 + v x H0L t + x 0 v y HtL = a y t + v y H0L y HtL = 2 a y t 2 + v y H0L t + y 0 v HtL = a t + v H0L HtL = 2 a t 2 + v H0L t + 0 On peut écrire ce réultat ou une forme vectorielle (voir Formulaire et table) r HtL = 2 a t 2 + v 0 t + r 0 v HtL = a t + v 0 où a = i a x y a j y = iv x H0Ly i x H0Ly cont, v 0 = v y H0L j, r 0 = y H0L j ka { kv H0L{ k H0L{ Si l'intant initial t 0 et quelconque, le formule précédante prennent la forme plu générale r HtL = 2 a Ht t 0 L 2 + v 0 Ht t 0 L + r 0 v HtL = a Ht t 0 L + v 0 où a = cont, v 0 = v Ht 0 L, r 0 = r Ht 0 L

17 2_et_3-cinematique.nb 38 ö La trajectoire d'un tel mouvement et toujour ituée dan un plan car le déplacement Dr ont de combinaion linéaire de deux vecteur (a Ø ö, v 0 ): r = r HtL r H0L = t2 2 a + t v 0 Par uite, il et poible de choiir un repère JO, i, Ø avec deux compoante eulement j Ø, k Ø N tel que =0 et d'écrire l'horaire du mobile dan le plan Oxy r HtL = J x HtL y HtL N = i 2 a x t 2 + v x H0L t + x 0 y j k 2 a y t 2 + v y H0L t + y 0 { v HtL = i k jv x HtLy v y HtL{ = i k ja x t + v x H0Ly a y t + v y H0L{ a = J a x a y N 3.3 Balitique En balitique, on conidère un corp ur lequel 'exerce une et une eule force : la peanteur. On uppoe donc que l'on peut négliger toute le autre force telle que le force de frottement (mouvement dan le vide). Aini, l'accélération à laquelle le corp et oumi et l'accélération gravifique g Ø. De plu, i le dénivellation parcourue ne ont pa trop grande, on peut conidérer que cette accélération et contante. Et i on choiit un repère Oxy avec le plan Oxy horiontal et l'axe O vertical orienté ver le haut, le vecteur accélération prend la forme a = g i 0 y = 0 j k g{ Che nou, g = 9.8 m ÅÅÅÅÅ 2. ü Chute libre (= balitique en dimenion ) On conidère un corp qui * qui tombe verticalement et * qui et oumi à une accélération contante g Ø. Le mouvement et rectiligne dan le ca où le vecteur v Ø 0 et g Ø ont colinéaire, autrement dit lorque la vitee initiale et nulle ou verticale.

18 2_et_3-cinematique.nb 39 v 0 v HtL L'horaire du mobile et alor HtL = 2 g t2 + v 0 t + 0 v HtL = g t + v 0 a HtL = g où v 0 =v H0L = vitee initiale (poitive ver le haut, négative ver le ba); 0 = H0L = poition initiale (altitude à l'intant t = 0). ü Balitique en dimenion 2 ou 3 Intuitivement, a = g ignifie que toute le variation de vitee ont de vecteur verticaux dirigé ver le ba.

19 2_et_3-cinematique.nb 40 v v H0L v HL v v H2L v v H3L v v H4L Le vecteur accélération g Ø et le vecteur vitee initiale v Ø 0 définient un plan vertical. On choiiant d'une manière adéquate le repère Oxy, on peut faire en orte que y = 0. La trajectoire et alor ituée dan le plan vertical Ox. a = g i 0 y iv x H0Ly = 0 j, v 0 = 0 j k g{ kv H0L{ Ecrivon le équation en dimenion 2 et faion apparaître, pour la vitee initiale, l'angle d'élévation a a = g = J 0 g N, v 0 = J v x H0L v H0L N = v co HαL 0 J in HαL N v a v 2 v 0 a α x r HtL = 2 g t 2 + v 0 t + r 0 = i j k = 2 J 0 g N t2 +J v 0 co HαL v 0 in HαL N t +Jx 0 N 0 v 0 co HαL t + x 0 y 2 g t2 + v 0 in HαL t + 0 {

20 2_et_3-cinematique.nb 4 où x 0 = xh0l = abcie initiale et 0 = H0L = cote initiale On peut interpréter le tir balitique comme la compoition de deux mouvement * la compoante horiontale et un mouvement rectiligne uniforme; * la compoante verticale et une chute libre. Le équation de mouvement ont x HtL = v 0 co HαL t + x 0 HtL = 2 g t2 + v 0 in HαL t + 0 v x HtL = v 0 co HαL v HtL = g t + v 0 in HαL ü Portée du tir Référon-nou au graphique précédent. Nou uppoon que le tir et effectué depui l'origine r 0 = J x 0 0 N = J 0 0 N et que le ol et horiontal. Quelle et alor la portée du tir (meurée horiontalement)? Le mobile touche le ol à l'intant t où = 0 HtL = 0 2 g t2 + v 0 in HαL t = 0 t J 2 g t + v 0 in HαL N = 0 Jt = 0 ou t = 2 v 0 in HαL N g La première répone et l'heure du départ, la deuxième l'heure de l'arrivée. La portée du tir et l'abcie à cet intant x J 2 v 0 in HαL N = v g 0 co HαL 2 v 0 in HαL g = v co HαL in HαL g La trigonométrie nou eneigne que (voir Formulaire et table) La portée 'écrit aui 2 co HαL in HαL = in H2 αl x J 2 v 0 in HαL N = v 0 2 in H2 αl g g La portée et maximale lorque in(2 α)=, c'et-à-dire lorque a = 45 = ÅÅÅÅ p 4 rad. La portée maximale et alor égale à v 0 ÅÅÅÅÅ 2 g. 3.4 Vitee moyenne ü En général, il faut ditinguer "vitee moyenne", "moyenne de vitee", "vitee à la mi-temp" Conidéron le mouvement rectiligne uivant (t en econde, x en mètre)

21 2_et_3-cinematique.nb 42 x HtL = t 3 v x HtL = 3 t 2 a x HtL = 6 A m E A m 2 E La vitee moyenne ur l'intervalle de temp [0; 2] et 2D = x H2L x H0L 2 0 = = 4 A m E La moyenne de vitee aux extrémité de l'intervalle de temp [0; 2] vaut v x H0L + v x H2L 2 = = 6 A m E La vitee au milieu de l'intervalle de temp [0; 2] (vitee à la mi-temp) et v x HL = 3 A m E Le troi expreion ont différente. ü Pour le mouvement uniformément accéléré, la vitee moyenne et égale à la vitee à la mi-temp Dan le ca d'un mouvement uniformément accéléré, on a r HtL = 2 a t 2 + v 0 t + r 0 v HtL = a t + v 0 La vitee moyenne ur t, t 2 D et v m = r Ht 2 L r Ht L = I 2 a t v 0 t 2 + r 0M I 2 a t 2 + v 0 t + r 0M = t 2 t t 2 t 2 a Ht 2 2 t 2 L + v 0 H t 2 t L = t 2 t 2 a Ht 2 + t L + v 0 La moyenne de vitee aux extrémité de t, t 2 D et La vitee à la mi-temp et 2 Iv Ht L + v Ht 2 LM = 2 Ia t + v 0 + a t 2 + v 0M = 2 a Ht + t 2 L + v 0 v I t + t 2 M = a I t + t 2 M + v Le troi expreion ont égale. ü Illutration graphique en dimenion x HtL = t 2 v x HtL = 2 t a x HtL = A m E A m 2 E La courbe x(t) et une parabole.

22 2_et_3-cinematique.nb 43 P 0.5 M O 0.5 La vitee moyenne ur l'intervalle [0, ] et repréentée par la pente du egment OP. La vitee au milieu de l'intervalle et repréentée par la pente de la tangente à la courbe en M. L'égalité de ce deux pente ignifie que le deux droite correpondante ont parallèle. La moyenne de vitee aux extrémité et repréentée par Hpente de la tangente en OL +Hpente de la tangente en PL 2 Cette grandeur et égale aux deux précédente. Exercice ü Exercice 3- Conidéron l'horaire dont le graphique et HtL = 2 g t2 PlotA 9.8 t 2, 8t, 0, 3<E; a) Ce mouvement et-il rectiligne? Jutifie votre répone.

23 2_et_3-cinematique.nb 44 b) Dite i le grandeur uivante augmentent, diminuent ou ont contante: la vitee linéaire; 2 la compoante verticale de la vitee; 3 la compoante verticale de l'accélération; 4 la ditance à l'origine; 5 la cote du mobile. ü Exercice 3-2 Du haut d'une tour de 30 m, un objet et lancé verticalement ver le haut à une vitee initiale de 3 ÅÅÅÅÅ m. a) Quelle hauteur atteint-il? b) A quelle vitee arrive-t-il au ol? c) Quelle et a vitee moyenne ur le 5 dernier mètre? ü Exercice 3-3 Une voiture roule à une vitee contante. Le conducteur aperçoit un obtacle. Aprè un temp de réaction de, il effectue un freinage dont la décélération et de 5.2 ÅÅÅÅÅ m (ur route èche). 2 a) Quelle et la ditance d'arrêt pour une vitee de 60 ÅÅÅÅÅÅÅ km h? Hditance d' arrêtl = Hditance de réactionl + Hditance de freinagel b) Même quetion pour une vitee de 20 km ÅÅÅÅÅÅÅ h. ü Exercice 3-4 Un objet et lancé horiontalement ur le ol à une vitee de 6 ÅÅÅÅÅ m. Il 'arrête ur une ditance de 5 m ou l'effet de force de frottement. a) Calcule a décélération (uppoée contante). b) Quelle et a vitee à mi-parcour (c'et-à-dire aprè 7.5 m)? c) Où e trouve-t-il lorque a vitee et de 3 ÅÅÅÅÅ m? ü Exercice 3-5 Sur une table dont le plateau horiontal et itué à 75 cm au-deu du ol, un chariot roule en direction du bord pui tombe au ol à une ditance de 50 cm de la table (la ditance et meurée horiontalement ur le ol). a) A quelle vitee le chariot a-t-il quitté la table? b) A quelle vitee atteint-il le ol? c) Sou quel angle atteint-il le ol (angle avec la verticale )? d) Quelle devrait être a vitee initiale pour qu'il tombe à m de la table? ü Exercice 3-6 Deux objet partent en même temp du même endroit. Le premier tombe verticalement en chute libre. Le deuxième et lancé horiontalement avec une vitee initiale u Ø. Compare a) le durée de leur chute; b) le vitee linéaire auxquelle il atteignent le ol.

24 2_et_3-cinematique.nb 45 ü Exercice 3-7 Un projectile et lancé du ol à une vitee de 50 ÅÅÅÅÅ m. La cible et ituée à 240 m plu loin ur le ol horiontal. Sou quel() angle() d'élévation faut-il effectuer le tir? Directive La formule de la portée ne e trouve pa dan le formulaire. Etablir la formule fait partie de l'exercice. Il ne 'agit pa de la tirer du cour, mai de 'exercer à la retrouver. ü Exercice 3-8 a) Reprenon et pouruivon l'exemple du 3.4 x HtL = t 3 url' ; 2 D Quelle et la vitee à mi-parcour? b) Pour un mouvement uniformément accéléré, la vitee à mi-parcour et-elle égale à la vitee à la mi-temp? Indication : i oui, faite une preuve générale; i non, donne un contre-exemple. ü Exercice 3-9 D'un mobile en mouvement rectiligne uniformément accéléré, on donne a x = 0.5 v x H5L = 2 x H5L = 50 Détermine a vitee à l'intant t et on horaire par calcul intégral (voir 3.2).

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