0.1. SPLINES CUBIQUES 1. Figure 1 Interpolation linéaire par morceaux

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1 .. SPLINES CUBIQUES f(x ) f(x 4) f(x ) f(x ) f(x ) x x x x x 4. Splines cubiques Figure Interpolation linéaire par morceaux Dans bon nombre d applications, il est impératif d obtenir des courbes très régulières passant par un grand nombre de points. C est le cas en conception assistée par ordinateur (CAO), où l on cherche à représenter des objets aux formes lisses. Nous avons déjà constaté que l utilisation de polynômes de degré élevé est délicate et mène parfois à des oscillations de grande amplitude. Les polynômes de degré élevé sont alors peu adéquats. On peut mesurer la régularité d une fonction par le biais de ses dérivées. En effet, plus une fonction est différentiable, plus la courbe qui lui est associée est lisse et plus la fonction est régulière. Le problème, lorsque l on utilise des polynômes de faible degré, provient du fait qu il faut en utiliser plusieurs pour relier tous les points. C est le cas de l interpolation linéaire par morceaux, illustrée à la figure, qui consiste à relier chaque paire de points par un segment de droite. On utilise aussi l appellation splines linéaires. On imagine assez mal comment une telle courbe pourrait permettre de faire la conception d une carrosserie de voiture ou d une aile d avion. Il faut donc être plus prudent à la jonction des différents segments de courbe. La spline linéaire est continue mais n est pas dérivable et nous allons maintenant montrer que l on peut faire beaucoup mieux. Les splines cubiques représentent un compromis très intéressant entre la régularité de la courbe obtenue et le degré des polynômes utilisés. Nous étudierons dans un premier temps les courbes de la forme y = f(x) et par la suite nous verrons comment aborder les courbes paramétrées... Courbes de la forme y = f(x) On considère donc, ici encore, (n + ) points d interpolation (x i, f(x i )), i =,,,, n par lesquels on souhaite faire passer une courbe autant de fois diffé-

2 f(x ) p (x) p (x) p (x) f(x ) f(x 4 ) p (x) f(x ) f(x ) x x x x x 4 Figure Splines cubiques : n polynômes de degré rentiable que possible. Dans chaque intervalle [x i, x i+ ] (de longueur h i = x i+ x i ), nous allons utiliser un polynôme de degré de la forme : p i (x) = f i + f i(x x i ) + f i! (x x i) + f i! (x x i) pour i =,,,, n () et relier ces différents polynômes de façon à ce que la courbe résultante soit deux fois différentiable. La situation est décrite à la figure pour n = 4. C est l interpolation par splines cubiques. On remarque que chacun de ces polynômes se présente commme un développement de Taylor autour du point x i. Ce n est nullement obligatoire mais cette forme permet d interpréter plus facilement les coefficients à déterminer f i, f i, f i et f i qui sont alors respectivement les valeurs de la spline et de ses trois premières dérivées en x i. On constate en effet facilement que p i (x i ) = f i, p i (x i) = f i p i (x i) = f i et enfin p i (x i) = f i. Puisque l on a (n + ) points d interpolation, il y a n intervalles [x i, x i+ ] qui résultent en 4n coefficients inconnus (f i, f i, f i et f i pour i =,,,, n ). Ces 4n coefficients doivent être déterminés le plus efficacement possible pour que la méthode reste attrayante. Comme nous allons le constater, une résolution astucieuse conduit à un système linéaire tridiagonal de dimension (n + ) qui pourra être résolu par l algorithme décrit à la section??. Nous allons en effet exprimer toutes ces inconnues en fonction des dérivées secondes f i aux noeuds. On complète donc notre ensemble d inconnues en introduisant la dérivée seconde f n au noeud x n de sorte que nous aurons un grand total de 4n + inconnues que nous réduirons en un système de dimension n +. Voyons combien de conditions ou d équations nous pouvons imposer à ces 4n + coefficients. Ces équations proviennent des conditions de régularité que l on souhaite imposer à la courbe résultante. On définit tout d abord que f n est tout simplement la dérivée seconde de la

3 .. SPLINES CUBIQUES spline en x n. On a ainsi une première équation : f n = p n (x n ) = f n + f n (x n x n ) = f n + f n h n qui peut aussi s écrire : n = f n f n () h n f À sa première extrémité, le polynôme p i(x) passe (x i, f(x i )), c est-à-dire : p i (x i ) = f i = f(x i ) pour i =,,,, n ce qui nous donne n équations ; De même, on obtient n nouvelles équations en regardant à la deuxième extrémité de chaque sous-intervalle. Pour i =,,,, n : p i (x i+ ) = f(x i+ ) = f i + f i(x i+ x i ) + f i! (x i+ x i ) + f i! (x i+ x i ) = f(x i ) + f ih i + f i! h i + f i! h i On peut ainsi isoler f i pour obtenir : f i = f(x i+) f(x i ) f i h i! h i f i! h i = f[x i, x i+ ] f i! h i f i! h i () On impose maintenant la continuité des dérivées secondes aux (n ) noeuds intérieurs x i+, i =,,, n, c est-à-dire n nouvelles équations : ou encore : et en isolant f i, on trouve : p i+(x i+ ) = p i (x i+ ) f i+ = f i + f i (x i+ x i ) = f i + f i h i f i = f i+ f i (4) h i Cette relation n est a priori vraie que pour i =,, n. En vertu de l équation, elle est également vraie pour i = n de sorte que l on peut remplacer dans l équation qui devient : f i = f[x i, x i+ ] f i ( f! h i i+ f i! ) h i et par la suite : f i = f[x i, x i+ ] h if i h if i+ (5)

4 4 Il ne reste plus qu à imposer la continuité de la dérivée première aux mêmes (n ) points intérieurs ((n ) nouvelles équations) : ou encore : h i+f i+ p i+(x i+ ) = p i(x i+ ) f i+ = f i + f i h i + f i On peut ensuite utiliser les expressions 4 et 5 pour tout exprimer en fonction des inconnues f i. On a alors : f[x i+, x i+ ] h i+f i+ ( i+ f +f i i+ h i + f i qui devient, en regroupant les termes : h i = f[x i, x i+ ] h if i h if h i f i + (h i + h i+ )f i+ + h i+ f i+ = (f[x i+, x i+ ] f[x i, x i+ ]) Une dernière simplification est possible si l on divise chaque terme de cette dernière équation par : ce qui donne : h i + h i+ = x i+ x i + x i+ x i+ = x i+ x i ) h i h i (h i + h i+ ) f i + f i+ h i+ + (h i + h i+ ) f i+ = f[x i, x i+, x i+ ] pour i =,,,, n () On remarque que le terme de droite fait intervenir les deuxièmes différences divisées que nous avons définies à la section??. Dans le cas où les abscisses sont équidistantes, c est-à-dire h i = h quel que soit i, la matrice du système linéaire se trouve simplifiée de beaucoup : f i + f i+ + f i+ = f[x i, x i+, x i+ ] pour i =,,,, n En effet, on obtient alors une matrice tridiagonale dont la diagonale principale ne contient que des, tandis que les deux autres diagonales sont constituées de coefficients valant. Cette matrice ne dépend donc pas de la valeur de h, qui n affecte que le terme de droite Nous avons donc imposé un total de 4n contraintes à nos 4n+ inconnues de départ. Nous avons également exprimé toutes les inconnues du système en fonction des dérivées secondes f i de la spline et de fait il ne reste que n + inconnues pour les n équations du système. On doit donc ajouter, de façon plus ou moins arbitraire, deux équations supplémentaires pour compléter le système et avoir autant d équations que d inconnues. Nous présentons maintenant quelques possibilités dont le choix précis dépend du problème et de la connaissance que l on a de ce qui se passe aux extrémités de la courbe. (7)

5 .. SPLINES CUBIQUES 5 La manière la plus simple de compléter le système d équations consiste à imposer les valeurs des dérivées secondes aux deux extrémités soit p (x ) = a et p n (x n) = b : f = a et f n = b (8) Cela supppose bien entendu que l on connaît les valeurs a et b de la dérivée seconde aux extrémités de la courbe. Si a = b =, on qualifie de spline naturelle la courbe qui en résulte. Ces deux équations s ajoutent aisément au système. Un autre choix possible consiste à imposer que : { f = f ou encore f f = f n = f n ou encore f n f n = (9) ce qui revient à imposer une courbure constante dans le premier et dans le dernier intervalle. Ces contraintes s ajoutent aussi aux équations et complètent ainsi le système de (n + ) équations en (n + ) inconnues. On peut aussi imposer les dérivées premières p (x ) = a et p n (x n) = b aux deux extrémités (en supposant toujours que nous les connaissions). En x, on utilise directement la relation 5 : qui devient : f = f[x, x ] h f h f f + f = h (f[x, x ] a) = a En x n cependant, on ne peut utiliser directement la relation 5 puisqu elle n est définie que pour i allant de à n. Cependant, de la définition de p n (x) : p n (x n) = f n + f n h n + f ce qui fait qu en développant f n trouve : et f n n h n à l aide des formules 5 et, on p n (x n ) = f[x n, x n ] + h n (f n + f n) () Imposer b = p n (x n) revient alors à : f n + f n = h n (b f[x n, x n ]) et on doit donc ajouter au système les équations : f + f = h (f[x, x ] a) f n + f n = h n (b f[x n, x n ]) ()

6 Une autre avenue intéressante est la condition dite «not-a-knot» en anglais. Cela consiste à éliminer, mais de manière virtuelle seulement, les noeuds d interpolation x et x n. Pour ce faire, on impose en ces deux noeuds la continuité de la troisième dérivée soit : p (x ) = p (x ) ainsi que p n (x n ) = p n (x n ) ce qui revient à : et enfin, en utilisant 4 : f = f et f n = f n f f = f f ainsi que f n f n = f h h h n On doit donc ajouter au système les équations : n f n h n h f (h + h )f + h f = h n f n (h n + h n )f n + h n f n = () Au noeud x, les polynômes p (x) et p (x) coïncident ainsi que leurs trois premières dérivées. Puisque ce sont des polynômes de degré, ils sont donc identiques et il n y a en fait qu un seul polynôme de degré dans les deux premiers intervalles. C est pourquoi on dit que le noeud x n est pas vraiment un noeud («not-a-knot» ). Il en est de même pour les polynômes p n (x) et p n (x) adjacents au noeud x n. Une dernière situation intéressante et fréquemment utile concerne la représentation de fonctions périodiques. Dans ce cas, on doit vérifier dès le départ que f(x ) = f(x n ) mais cela ne suffit pas à imposer la périodicité de la spline. On doit aussi imposer la périodicité des dérivées première et deuxième soit f = f n et f = f n. Cette dernière équation est facilement intégrée au système tandis que pour la première, on a en vertu des équations 5 et : f[x, x ] h f h f = f[x n, x n ] + h n (f n + f n) On doit donc imposer les deux conditions suivantes pour avoir la périodicité : f f n = h f + h f + h n f n + h n f n = f[x, x ] f[x n, x n ] Remarque. D autres choix sont possibles. Tout dépend de l information disponible pour un problème donné. On remarque de plus que pour les deux derniers type de conditions aux extrémités, les systèmes linéaires obtenus ne sont plus tridiagonaux. () Remarque.

7 .. SPLINES CUBIQUES 7 Pour effectuer une interpolation à l aide des splines cubiques, il faut en premier lieu calculer les dérivées secondes f i en résolvant le système complété par les conditions aux extrémités 8, 9,, ou encore. Par la suite, on doit déterminer l intervalle dans lequel se situe le point d interpolation x et calculer le polynôme dans cet intervalle en utilisant la formule dans laquelle on remplace : f i = f(x i ) f i = f[x i, x i+ ] h if i h if i+ (4) f i = f i+ f i h i Remarque. Bien que l expression de la spline cubique ne fasse intervenir les troisièmes dérivées, nous n avons à aucun moment imposé la continuité de la dérivée troisième (sauf pour la condition «not-a-knot» ). Par conséquent, la courbe résultante n est que deux fois différentiable. Exemple. Soit les 4 points suivants : (, ), (, 4), (4, 9), (5, ). On trouve toute l information nécessaire au calcul de la spline cubique dans la table suivante. Données pour le calcul de la spline i x i f(x i ) f[x i, x i+ ] f[x i, x i+, x i+ ] h i La première équation (i = ) du système devient : ( ) ( ) ( f + f + f = ) et la deuxième équation (i = ) s écrit : ( ) ( ) ( f + f + f = ) Pour obtenir la spline naturelle (f = f = ), on résout le système : f f f = f

8 8 dont la solution est f =, f = /8, f = /8 et f =. Pour obtenir l équation de la spline dans le premier intervalle, on doit utiliser les relations et 4. On obtient : f = f = f[x, x ] h f h f = ()() ()( /8) = 49 et on a : = f f = h 8 f p (x) = + 49 (x ) + (x ) (x ) 48 Ce polynôme n est défini que dans l intervalle [, ]. On peut par exemple l évaluer en x =,5 pour obtenir, De même, si l on a besoin de la valeur de la spline en x =, qui est situé dans le deuxième intervalle (soit [, 4]), on peut obtenir l équation de la spline dans cet intervalle en posant i = dans l équation. On a alors : f = 4 f = f[x, x ] h f h f = 5 ()( /8) ()( /8) = 8 = f f = h f et on a : p (x) = 4 + (x ) (x ) 8 La valeur de la spline en x = est donc,875. La spline complète est illustrée à la figure. Exemple. Si l on reprend l exemple où la vitesse d un véhicule est mesurée toutes les 5 secondes, on obtient la spline de la figure??. On remarque immédiatement que les fortes oscillations observées à la figure?? avec un polynôme de degré 9 ont maintenant disparu. On peut alors interpoler la valeur de la vitesse du véhicule partout dans l intervalle [, 45] sans risque d obtenir des valeurs aberrantes... Splines paramétrées Les logiciels de conception assistée par ordinateur (CAO) doivent fréquemment relier des points que l utilisateur spécifie à l écran en cliquant à l aide de la souris. La courbe résultante n est pas forcément de la forme y = f(x) en ce sens qu elle peut

9 .. SPLINES CUBIQUES x Figure Spline passant par 4 points 75 Vitesse (km/h) Temps (s) Figure 4 Spline cubique associée à la vitesse d un véhicule

10 contenir des boucles et prendre des formes tout à fait quelconques. Nous ne pouvons donc pas utiliser directement la méthodologie que nous venons de développer. Comme nous le verrons, il suffit cependant d une très légère modification. On souhaite ainsi, à l aide de quelques points donnés dans un plan ou dans l espace à dimensions, construire des trajectoires complexes permettant de faire la conception d objets de formes très diverses. Pour y arriver, on peut avoir recours aux splines cubiques paramétrées que nous allons maintenant décrire. La paramétrisation d une courbe s obtient par une équation de la forme : γ(t) = (γ (t), γ (t), γ (t)), t [a, b] On décrit la courbe en faisant varier le paramètre t entre a et b. Pour construire une courbe paramétrée passant par les points (x i, xi, xi ) pour i =,,,, n, il faut d abord construire la suite t i des valeurs du paramètre t de telle sorte que : γ(t i ) = (x i, x i, x i ) Le choix le plus simple est bien sûr t i = i, mais il ne tient aucun compte des distances respectives entre les points (x i, xi, xi ). Un choix plus judicieux consiste à prendre t = et : t i = t i + x i x i pour i (5) La distance entre les valeurs du paramètre t est ainsi variable et dépend directement de la distance entre les points d interpolation, ce qui assure un meilleur équilibre de la courbe résultante. Pour obtenir la spline paramétrée passant par n points donnés, il suffit de calculer les splines passant respectivement par les points (t i, x i ), (t i, x i ) et (t i, x i ) (en dimension, on laisse tomber la troisième spline). Il suffit donc de suivre les étapes suivantes : créer le vecteur t contenant les valeurs des t i suivant l équation 5. On notera t max la valeur maximale du vecteur t. Les t i étant croissants, on a t max = t n ; créer un vecteur tt qui varie entre et t max, mais avec une partition beaucoup plus fine que celle de t. En effet, la spline paramétrée sera évaluée entre les points d interpolation et c est ce qui assurera une courbe plus lisse. Typiquement, le vecteur tt variera également entre et t max et contiendra jusqu à fois plus de points que le vecteur t ; calculer les splines différentes passant par les points (t i, x i ), (t i, x i ) et (t i, x i ). On fera en sorte d évaluer ces splines à tous les points du vecteur tt ; tracer la spline paramétrée passant par les points du vecteur tt. Pour illustrer ce processus, considérons (en dimension ) les points (x i, xi ) sui-

11 .. SPLINES CUBIQUES,8 x,,4,,,4,,8,5,5,5,5 4 x Figure 5 Points reliés par des segments de droite vants : Points de la spline x i x i x i x i 4,, 7,5,458,5 +,75,, 7, +, 7,5,75,5 +,458 4, +, 7,,458 et qui sont illustrés à la figure 5. Les points ainsi reliés par des segments de droite, la courbe qui en résulte n est pas très élégante et ne permettrait pas une conception harmonieuse. Le vecteur t résultant de l équation 5 est de longueur 9 et prend les valeurs : t = [,,,,, 4,985, 4,, 5,47, 5,9, 7,47, 9,4] On a alors t max = 9,4. Le vecteur tt est tout simplement une partition de l intervalle [, t max ] par incréments d environ,5. On calcule alors les splines passant par les points (t i, x i ) et (t i, x i ) qui sont illustrées à la figure. On constate donc que chacune de ces splines est de la forme étudiée à la section... Si l on trace, à la figure 7, la spline paramétrée, on constate une courbe très lisse ( fois différentiable).

12 x 4 x t,5, t Figure Splines passant par les points (t i, x i ) et (t i, x i ),8 x,,4,,,,4,,8,5,,5,,5,,5,,5 4, x Figure 7 Spline paramétrée