Rapport scientifique

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1 Rapport scientifique Résumé L'objectif du projet EROS-3D fut de développer une architecture logicielle capable de manipuler une base de données comprenant un grand nombre de modèles 3D d'œuvres d'art. Plus précisément, nous avons travaillé sur des problématiques de recalage et d intégration (WP1), de visualisation et de modélisation (WP2), et d indexation (WP3) de la base de données. L ensemble de ces axes a pu être abordé selon les prévisions. Le point commun fut la base d objets 3D du C2RMF sur laquelle tous les partenaires ont travaillé. Dans le WP1, le travail a été centré sur le recalage 3D et spécifiquement celui de nuages de points 3D denses et non structurés. Ce choix a permis de poser les bases d une technologie dédiée au traitement des nuages de points denses, étape essentielle dans la numérisation 3D d œuvres d art. Le WP2 a inspiré puis nourri plusieurs thématiques de recherche sur la reconstruction de maillages à partir de nuages de points par des méthodes polyvalentes, la représentation de surfaces, la compression «out-of-core» et la visualisation interactive en temps réel de maillages volumineux, directement utile aux chercheurs du C2RMF grâce à la diffusion d un outil logiciel. Les objectifs du WP3 ont également été pour l'essentiel atteints : un système d indexation et un moteur de recherche adaptés aux spécificités des objets archéologiques et œuvres d'art 3D a été développé. Ce logiciel a également été installé au C2RMF et a permis de tester le programme de recherche muséal mis en place au début du projet, à savoir la sélection d images par typologies d objets relatifs aux figurines gallo-romaines (en particulier les Vénus et les déesses-mères). Ces recherches couvrent un spectre important de la chaîne de traitement de bases de données d objets 3D, et s inscrivent favorablement dans le contexte international avec de nombreuses de publications de haut niveau. Un effort d intégration sur la dernière année a parmi l installation au C2RMF de plusieurs logiciels issus des différents partenaires, qui permet désormais une dissémination aisée pour le C2RMF au travers des différentes manifestations et expositions «grand public» auxquelles il participe régulièrement

2 Abstract The EROS-3D has aimed at developing a software framework for handling a database containing a large number of 3D models representing art pieces. Specifically, the the project advanced the state-of-the-art on the issues of data registration and fusion (WP1), visualisation and modelling (WP2), and indexing and retrieval (WP3) of the 3D models database. All the research axes were tackled as previewed, and the common ground that joined them was the 3D models database of the C2RMF, which all partners have employed in their work. In the WP1, the work was focused on 3D registration, especially that of dense, nonstructured, 3D point clouds. This choice allowed exploiting dense point clouds data, typical of artwork 3D scanning. The WP2 inspired and nourished many research subjects: the reconstruction of meshes from the point clouds, the representation of surfaces, the compression out of core and the interactive real-time visualization of massive meshes, which was very useful to the C2RMF research personnel, thanks to the creation of a software tool. The WP3 has also globally reached its goals: an indexing system and a search engine adapted to the specificities of the archaeological objects and 3D artworks has been developed. This software has also been deployed to the C2RMF and has allowed testing the museological classification problems defined at the beginning of the project, which concerned the typology of gallo-roman figurines (especially the ones representing Venus or mother goddesses). Those researches have covered the processing chain of 3D objects databases, and they have produced many high-quality publications, thus marking their presence in the international context. An integration enterprise in the last year of the project has allowed the deployment to the C2RMF of several software tools, contributed from different partners. This will greatly assist the C2RMF on the diffusion acts on which it often participates, and that includes exhibitions for large audiences

3 Introduction Le projet EROS-3D a porté sur l'exploitation de la base de données du C2RMF qui comprend un grand nombre de modèles 3D d'œuvres d'art. Trois parties ont structuré ce projet : WP1 Interface capteurs, fusion de données et recalage : recalage et fusion multimodale (haute résolution, multi spectral, 2D/3D), traitement des données résultantes (structuration et simplification) ; WP2 Modèles géométriques, compression et visualisation : reconstruction 3D/couleurs des surfaces, visualisation progressive des géométries et des couleurs, compression et rendu photo réaliste ; WP3 Représentation, indexation et recherche d information : représentation et indexation des données, outils de recherche et de navigation dans la base des données, recherche interactive et classification d'objets. Nous reprenons à la suite les enjeux, méthodes, résultats et bilans pour chaque WP. WP1 Interface capteurs, fusion de données et recalage Sur le WP1, la contribution principale (apportée par le LIRMM) concerne l étude d une technologie pour le traitement de nuages de points 3D denses et non structurés dans le but de la reconstruction 3D. Nous avons travaillé sur des données brutes issues de campagne de numérisation réalisées soit par le C2RMF soit par le LIRMM. La technologie repose sur le développement d un pipeline de traitement des données comprenant les fonctions suivantes : structuration des nuages (graphe de voisinage), extraction et calcul de caractéristiques géométriques (estimation de la normale, cône de normales, courbure, etc.), segmentation 3D, recalage 3D global ou local. L enjeu de cette recherche est de proposer aux utilisateurs de la numérisation 3D des outils permettant le traitement direct des données issues des capteurs 3D (stéréovision, images de profondeur). Les travaux réalisés sur ce sujet sont relativement importants. On trouvera des éléments de réponse dans [1, 2, 3, 4] pour ce qui concerne l approche basée nuages de points, dans [5, 6, 7] pour la segmentation basée graphe, dans [8, 9] pour les approches de recalage global basées région. Un état de l art très détaillé relatif aux différents modules réalisés dans le cadre du projet est proposé dans la thèse de Carla Aguiar [TH_LIRMM09]. Nos principales contributions concernent l approche de segmentation basée graphe pour les nuages de points 3D ou encore l algorithme de recalage global basé régions. Méthodologie Sur le plan méthodologique, l approche adoptée pour résoudre le problème du recalage (global ou local) repose sur une réduction et une structuration des données 3D. Pour cela, un nouvel algorithme de segmentation hiérarchique (data-driven segmentation) dédié au traitement de nuages de points 3D a été développé au LIRM. L idée qui a conduit notre démarche était de chercher une technique de segmentation robuste à certaines caractéristiques (taille, bruit de mesure, incomplétude) des nuages de points à traiter, d une part, de dégager des descripteurs robustes utilisables pour les phases de recalage, d autre part. Concernant ce dernier point, nous avons choisi de travailler sur un descripteur de niveau intermédiaire caractérisant les régions issues de la segmentation. Les régions sont décrites à l aide d une fonction de densité de probabilité qui caractérise la distribution de l attribut choisi sur la région. Cette approche «région» permet de résoudre les problèmes liés à la variation de l échantillonnage spatial et aussi au bruit de mesure (modèle non paramétrique). Le modèle de région a été ensuite utilisé pour le développement d un algorithme de recalage 3D global dans la phase d appariement le descripteur de région. Par ailleurs, nous avons aussi développé une approche de recalage local utilisant les informations de contour extraites à partir des régions

4 Résultats Evaluation des différentes techniques de ICP : Une évaluation de différentes techniques basées sur l approche ICP et appliquées à des données réelles non structurées a été réalisée : ICP Zhang, ICP distance mixte, ICP couleur. Deux variantes de l algorithme ICP utilisant en particulier l information de couleur ont été proposées afin de réduire de façon significative la quantité des données manipulées durant la phase d appariement. Par ailleurs, toujours en exploitant l information de couleur, une solution pour résoudre le problème d initialisation automatique du recalage a été proposée. Ces résultats ont été publiés dans [CICL_LIRMM06a, CICL_LIRMM06b, CNCL_LIRMM06]. Méthodes de segmentation : Les résultats obtenus concernant la méthode de segmentation développée au LIRMM ont été publiés dans [CICL_LIRMM07a, CICL_LIRMM07b, CICL_LIRMM09, TH_LIRMM09]. En collaboration avec ETIS, une comparaison de deux algorithmes de segmentation (watershed segmentation/etis, MST segmentation/lirmm) a été réalisée. Recalage global moule/statuette (avec C2RMF) : En collaboration avec le C2RMF, nous avons travaillé à l utilisation des techniques de recalage global afin d identifier dans la base de données EROS des couples potentiels moule/statuette. Un exemple portant sur un couple de figures en terre cuite a été retenu. Le problème est très difficile dans la mesure où l on ne dispose pas de solutions initiales et que les données sont souvent partielles. Des premiers résultats de recalage 3D utilisant les algorithmes développés au LIRMM sont illustrés sur la figure jointe. L approche reste manuelle car l obtention des régions nécessite d adapter les paramètres de l algorithme de segmentation aux données. Ici le moule et la statuette ne possèdent pas la même résolution spatiale, par ailleurs le recouvrement des régions est partiel. Développement de la plate-forme : Une plate-forme dédiée au traitement des nuages de points a été développée au LIRMM. Celle-ci comporte : Des outils de conversion pour le traitement des nombreux format de données (STL, WRML, PLY, OFF, ASCII, etc.) - 4 -

5 Bilan Des algorithmes pour la structuration des nuages de points et le calcul de descripteurs bas niveau : graphe de voisinage, descripteurs de normale, de courbure, etc. Des algorithmes pour la segmentation : MST (Prim-Jarnik, Kruskal), N-cut, algorithme du LIRMM Des outils de recalage : recalage global basé régions, recalage fin basé contour, ICP (standard/adaptatif, ICP couleur) Par rapport aux objectifs initiaux du projet, le LIRMM a recentré son travail autour du recalage 3D et spécifiquement du recalage de nuages de points 3D denses et non structurés. Ce choix a permis de poser les bases d une technologie dédiée au traitement des nuages de points denses, constituant important dans la numérisation 3D d œuvres d art. La tâche «fusion multimodale» n a pas été développée comme il était prévu initialement. Ce choix s explique par l absence de jeux de données dans la base EROS permettant de résoudre des problèmes de fusion 2D/3D intéressants. Durant le projet, le LIRMM a bénéficié d un ingénieur d étude sur 2 ans. Le travail réalisé par cette personne a permis de développer la plate-forme logicielle. Cette personne a contribué de façon active à la valorisation des résultats. Sur la dernière année du projet, le LIRMM a apporté un complément financier afin de permettre à la personne engagée de continuer à travailler sur le projet et lui permettre de valoriser son travail en passant une thèse. WP2 Modèles géométriques, compression et visualisation En ce qui concerne Le WP2, la manipulation de très grands volumes de données géométriques se situe au cœur des centres d intérêt scientifiques de l équipe GEOMOD du LIRIS. On y trouve : le développement de méthodes de reconstruction dynamique de surfaces permettant de rajouter du détail ou de simplifier le modèle à la volée ; la conception d un modèle de représentation fréquentielle pour la suppression du bruit de synthèse au niveau de la texture géométrique ; le développement de méthodes de compression de maillages compétitives, adaptées à de gros volumes de données et compatibles avec un rendu interactif temps réel. Le deuxième contributeur important du WP2 est le LE2I qui a travaillé sur la représentation des surfaces. Méthodologie et résultats Afin d'intégrer directement des nuages de points issus de la numérisation d'œuvres d'art dans son modèle hybride, Le LIRIS a développé de nouvelles méthodes de reconstruction de surface permettant de réduire, automatiquement ou interactivement, la redondance des données en entrée et de produire directement un nuage de points ou un maillage simplifié (plutôt que de réaliser une reconstruction coûteuse en pleine résolution suivie d une étape de simplification). Une structure de données permettant d accroître les performances de la méthode et d obtenir un traitement «out-of-core», mais aussi par flot (ou en «streaming») des échantillons de points qui ne tiennent pas en mémoire centrale a été conçue. Ces travaux se sont conclus par 4 publications internationales ([L04], [L08], [L11], [L13]). En complément de la modélisation par surfaces implicites, nous nous sommes également intéressés à la représentation fréquentielles des objets 3D au moyen d harmoniques sphériques. L approche du LIRIS était initialement motivée par la réduction du bruit de synthèse présent dans la texture géométrique. Une méthode directe de calcul des harmoniques sphériques sur les bords des triangles d un maillage a été développée dans le projet. En évitant de transiter par une voxelisation préalable, cette méthode gagne en robustesse et améliore la précision des calculs d harmoniques sphériques. Ces travaux, étendus aux maillages non étoilés et aux nuages de points, ont donné lieu à 5 publications internationales ([L03], [L05], [L07], [L10], [L12]) - 5 -

6 Parallèlement à ces travaux de modélisation, un effort particulier a été porté sur les problématiques liées à la compression et à la visualisation de maillages. Le LIRIS a proposé une méthode de compression de connectivité qui consiste à exploiter un algorithme de reconstruction par convection pour retrouver l essentiel de la topologie d un maillage à partir de sa géométrie (un nuage de point non structuré). Comme nous nous inscrivons dans un contexte de compression sans perte, le résultat de la reconstruction doit être corrigé en guidant l algorithme par l insertion de codes additionnels aux instants où il «se trompe». Cette méthode a été valorisée par 2 publications internationales ([L01], [L06]). Le LIRIS a également travaillé dans le contexte difficile des maillages trop volumineux pour tenir en mémoire centrale. Dans ce cadre particulier, notre objectif était de coupler les avantages de la compression sans perte avec les possibilités de visualisation adaptative et de navigation interactive temps-réel au sein des objets 3D. Or, le prétraitement des maillages à des fins de visualisation implique une réorganisation complète des données qui induit souvent une augmentation significative de la taille des fichiers et entrave ainsi le stockage et la transmission réseau des modèles. La structure de données hiérarchique qui a été développée réduit la taille des objets tout en permettant une navigation interactive. En supplément de cette double capacité, la méthode est «out-of-core» (autorisant le traitement des maillages de plusieurs centaines de millions de triangles) et générique (tout complexe simplicial de dimension n est accepté en entrée, une soupe de polygones comme un maillage volumétrique). Ces travaux ont été publiés dans une revue internationale ([L02]) et ils ont donné lieu au développement d un logiciel de compression et visualisation de maillages triangulaires arbitraires ([L19]). Cet outil, qui peut être utilisé localement sur un PC ordinaire (Linux ou Windows) mais aussi à travers le réseau grâce au développement additionnel d un module client-serveur, installé dans les locaux du C2RMF dans le courant du mois de juin Cette intégration parachève la collaboration entre le LIRIS et le C2RMF en fournissant un outil précieux pour l exploration visuelle des modèles volumineux (actuellement, aucune autre technologie à notre connaissance ne permet de visualiser interactivement des maillages de plusieurs centaines de millions de triangles dans un format comprimé et sans perte d information). Dans le cadre du projet, le LE2I a travaillé sur le modèle IFS généralisé par Eric Tosan sur la base des travaux de Rusinkiewicz [PH91][PH94], Culik [CD93] et Barnsley [BED89], pour proposer successivement les modèles CIFS (Controlled Iterated Function System) et BCIFS (Brep Controlled Iterated Function System). Ces travaux ont montré que les courbes et surfaces à pôles (surfaces de Bézier, surfaces de B-splines, surfaces de NURBS) sont des cas particuliers des BCIFS pour les cas uniformes. Le LE2I a montré que cette généralisation reste valable pour les courbes B-spline non-uniforme, et a également établi que les surfaces de subdivisions peuvent être représentées par les CIFS aussi bien dans le cas régulier que celui des points extraordinaires [DG08]. Ceci nous permet d'avoir un modèle unique pour représenter à la fois les surfaces lisses classiques et les surfaces rugueuses (surfaces fractales). 1. Courbes et surface mixte. Les modèles itératifs sont basés sur la répétition d'une règle de construction qui traduit une propriété d'auto-similarité. Ceci présente l'avantage d'avoir un modèle de description très concis. Mais les objets ainsi modélisés présentent, par définition, le même aspect sur chacune de leurs parties (i.e. même type de rugosité). Par exemple il est impossible de définir une surface lisse sur une partie et rugueuse sur une autre. Nous avons proposé le modèle IFS-mixte qui permet à partir de formes de bases (topologiquement équivalentes, i.e. ensembles de courbes ou ensembles de surfaces,...) de les mélanger pour obtenir un objet résultant, empruntant «la texture géométrique» de l'une ou l'autre forme de bases tout en contrôlant les influences [GTN06] [GN07]

7 2. Étude des propriétés différentielles. Les courbes et surfaces fractales présentent des propriétés atypiques. Elles ont notamment la réputation d'être nulle par différentiable. Effectivement, c'est le cas en général. Mais l'étude différentielles de ces courbes fait apparaître des propriétés intéressantes. Nous avons montré, sous certaines conditions, qu'il existe une dérivée à droite et à gauche en chaque point [BGN07]. Ces dérivées ne sont généralement pas égales et en ce sens la courbe n'est pas différentiable. Pour d'autres cas l'utilisation de la notion de dérivées fractionnaire permet détendre ces notions à une gamme plus importante de courbes [BGN09][BGN08a][BGN08c]. Ces travaux nous ont permis également de calculer la dimension fractale de ces courbes à l'aide de la dérivée fractionnaire. Associée à la notion de BCIFS, cette étude nous permet d'expliciter des conditions de dérivabilité pour les courbes définie par subdivisions [Gen08]. 3. Parallèlement à ces travaux, nous avons mené des travaux plus spécifiques sur les surfaces de subdivision avec comme enjeux principaux: la précision d'approximation et la subdivision adaptative, notamment par l'étude de subdivisions adaptatives et le calcul a priori du nombre de niveaux de subdivisions nécessaires pour obtenir une précision donnée [LN06b] les déformations libres sur surfaces de subdivision, en résolvant le problème de suivi de la contrainte de déformation au cours des subdivisions [LN09], [LN06c] la subdivision inverse, dans laquelle nous déterminons la connectivité à partir d un maillage quelconque pour effectuer une subdivision inverse, afin de l'adapter aux problèmes de multi-résolution et d'étude de la précision des approximations de surfaces par subdivision inverse [LN06c ][NL09]. La visualisation de surfaces de subdivision par un algorithme spécifique de lancer de rayon [FLNL08] a été également étudiée. Bilan Ces travaux ont été très bien publiés par les 2 partenaires impliqués. Ils ont aussi donné lieu au développement d un logiciel de compression et visualisation de maillages triangulaire. Cet outil, qui peut être utilisé localement sur un PC ordinaire (Linux ou Windows) mais aussi à travers le réseau grâce au développement additionnel d un module client-serveur, a été installé dans les locaux du C2RMF dans le courant du mois de juin Cette intégration parachève la collaboration entre le LIRIS et le C2RMF en fournissant un outil précieux pour l exploration visuelle des modèles volumineux (actuellement, aucune autre technologie à notre connaissance ne permet de visualiser interactivement des maillages de plusieurs centaines de millions de triangles dans un format comprimé et sans perte d information). WP3 Représentation, indexation et recherche d information L'indexation et la recherche dans des bases d'objets 3D est un sujet de recherche encore ouvert, bien qu'un certain nombre d'outils aient été développés et présentés dans la - 7 -

8 littérature, dont certains accessibles sur le web (Princeton Search Engine [ETIS-1], projet européen ) [ETIS-2][ETIS-3]. L'outil d'indexation proposé par ETIS comprend classiquement deux phases : 1. une phase d'indexation hors-ligne, au cours de laquelle sont calculés des descripteurs représentant les objets 3D ; la bibliographie est riche de descripteurs (histogramme de cordes, EGI, transformées de Hough3D, etc.), adaptés à des formes simples telles que des pièces manufacturées ou des objets synthétiques ; 2. une phase de recherche en-ligne, au cours de laquelle l'utilisateur, à partir d'exemples et de contre-exemples, construit itérativement une catégorie d'objets ayant un sens pour lui. Les enjeux majeurs pour ETIS étaient les suivants : développement de descripteurs adaptés aux objets archéologiques présents dans la base EROS-3D, de dimensions et de complexité bien plus grandes que des objets manufacturés ou synthétiques ; adaptation au cas des objets 3D des techniques d'apprentissage artificiel développées pour l'indexation de bases d'images ou de vidéos ETIS-4]. Certains objets de la base EROS-3D ne sont pas représentés par des maillages, mais l'on disposait d'images prises par rotation de 10 en 10 de l'objet posé sur une table tournante. Une contribution d'etis a porté, pour ces modèles, sur le détourage automatique du modèle dans les images, réalisé manuellement auparavant, de manière à constituer ensuite un modèle 3D par mise en correspondance des images. Méthodologie 1. Calcul de descripteurs 3D : nous avons implémenté, testé et comparé quelques-uns de descripteurs 3D de la bibliographie : histogrammes des cordes, [ETIS-5] Extended Gaussian Images (EGI) et variantes [ETIS-6], transformées de Hough3D [ETIS-7]. Les descripteurs issus des travaux du partenaire LIRIS (harmoniques sphériques [LIRIS07]) ont également été intégrés aux tests. 2. RETIN-3D : une plateforme adaptée aux objets 3D a été développée pour la recherche et la classification des objets. Cette plateforme permet aussi bien des recherches interactives que des évaluations systématiques en référence à une «vérité terrain» [ETIS-8]. 3. Segmentation en régions surface 3D : les résultats obtenus en 2. ont montré que l'utilisation de descripteurs de forme globaux ne suffisait pas à une classification efficace et pertinente pour des experts (conservateurs, historiens d'art). La segmentation de la surface 3D en régions représentatives et le calcul de descripteurs par régions nous a permis d'effectuer des classifications plus «fines» : séparation sur des détails des objets, ou au contraire intégration dans une même classe d'objets ayant subi diverses dégradations (fragments archéologiques). Nous avons développé un algorithme original de segmentation de surface 3D, à partir des informations de courbures locales [ETIS-9]. 4. Sacs de régions : dans un premier temps, les objets 3D segmentés ont été représentés par des «sacs de régions», c'est-à-dire des ensembles inordonnés de descripteurs de régions. 5. Graphes de régions : dans un second temps, des informations de voisinage entre régions ont été ajoutées. Chaque objet est donc décrit par un graphe de régions (descripteurs de forme par région, et relations de voisinage entre régions). La classification repose sur des algorithmes de mise en correspondance de sous-graphes développés pour la recherche interactive dans des bases d'images

9 6. Détourage automatique dans les images : le détourage mis en oeuvre est basé sur l'utilisation de fonctions splines Résultats Les principaux résultats sont fournis par ETIS. A gauche, deux exemples de modèles colorés selon des descripteurs globaux (histogramme des cordes et EGI), et à droite comparaison des histogrammes des cordes calculés pour tous les modèles appartenant à deux catégories différentes. L'interface RETIN-3D Une session de classification interactive de statuettes de type «Vénus» en cours. La statuette exemple est colorée selon les valeurs du descripteur histogramme des cordes. La segmentation de la surface 3D en régions permet d'identifier des détails sur les figurines (par exemple, les têtes des enfants sur la figure à gauche ci-dessous) et d'y associer des - 9 -

10 descripteurs (figure au centre ci-dessous). Le taux de classification des objets est significativement amélioré (graphique de droite). Bilan Les objectifs initiaux du WP3 ont été pour l'essentiel réalisés : un moteur de recherche 3D adapté aux spécificités des objets archéologiques et oeuvres d'art a été réalisé, et ce logiciel est installé dans les locaux du C2RMF. Ce logiciel peut aussi être appliqué à d'autres catégories d'objets 3D présentant des caractéristiques similaires (objets de la vie réelle, numérisés en haute résolution). Une autre perspective est la prise en compte d'autres modalités de représentation des objets (textures, images). Conclusion générale L essentiel des travaux définis dans ce projet a pu être mené à bien. Bénéficiant de plusieurs logiciels installés par les partenaires au sein du C2RMF, la dissémination vers le grand public va pouvoir réellement débuter. En particulier, le C2RMF a maintenant les moyens d intégrer des démonstrateurs interactifs pour la visualisation et l indexation de données 3D dans des expositions à venir comme celle des «vases en voyage». Annexe 1 : bibliographie LIRMM [1] Mark Pauly, Point Primitives for Interactive Modeling and Processing of 3D Geometry, PhD thesis, ETH Zurich, Switzerland, [2] Leif Kobbelt and Mario Botsch. A survey of point-based techniques in computer graphics. Computers and Graphics, 28: , 2004 [3] N. J. Mitra, L. Guibas, J. Giesen, and M. Pauly. Probabilistic fingerprints for shapes. In Symposium on Geometry Processing, pages , [4] D. Aiger, N. J. Mitra, and D. Cohen-Or. 4-points congruent sets for robust surface registration. ACM Transactions on Graphics, 27(3), [5] Charles T. Zahn. Graph-theoretical methods for detecting and describing gestalt clusters. IEEE Transaction on Computers, 20:68 86, [6] Pedro F. Felzenszwalb and Daniel P. Huttenlocher. Efficient graph-based image segmentation. Int. J. Comput. Vision, 59(2): , [7] Narendra Ahuja Varsha Hedau, Himanshu Arora. Matching Images Under Unstable Segmentation. cvpr, 2:394, 2008 [8] N. Gelfand, N. J. Mitra, L. J. Guibas, and H. Pottmann. Robust global registration. In Proc. Symp. Geom. Processing, [9] Qi-Xing Huang, Simon Flöry, Natasha Gelfand, Michael Hofer, and Helmut Pottmann. Reassembling fractured objects by geometric matching. ACM Trans. Graphics, 25(3): ,

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