Dynamique et Vibrations

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Bérengère Bourget
il y a 6 ans
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1 Plan du cours Chapitre 2: PFD pour les systèmes matériels et torseur dynamique Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck Université de Montpellier Cours HLME /13

2 PFD pour les systèmes matériels Rappel du PFD pour un point matériel PFD pour un point matériel Pour tout point matériel M de masse m, dans un repère galiléen R G, la somme des forces appliquées à ce point est égale à m fois l accélération de ce point / repère R G m Γ(M/R G ) = Fext = Résultante des forces appliquées 2/13

3 PFD pour les systèmes matériels Principe Fondamental de la Dynamique Enoncé du Principe Fondamental de la Dynamique Enoncé du Principe Fondamental de la Dynamique : système formé Principe Pour tout système matériel Σ, dans un repère galiléen R G, le torseur des efforts extérieurs est égal au torseur dynamique, T ( Σ ext Σ) = D(Σ/R G ) Commentaire L application du PFD à un système conduit à 6 équations scalaires : 3 pour les résultantes + 3 pour les moments On est amené à définir un nouveau torseur : torseur dynamique 3/13

4 PFD pour les systèmes matériels Principe Fondamental de la Dynamique Enoncé du Principe Fondamental de la Dynamique Enoncé du Principe Fondamental de la Dynamique : système formé Principe Pour tout système matériel Σ, dans un repère galiléen R G, le torseur des efforts extérieurs est égal au torseur dynamique, T ( Σ ext Σ) = D(Σ/R G ) Commentaire Si le système est composé de plusieurs sous systèmes, ce principe s applique à chacun d entre eux. On est amené à définir le torseur des actions mutuelles ou interactions. 4/13

5 PFD pour les systèmes matériels Cas de plusieurs systèmes Enoncé du Principe Fondamental de la Dynamique Enoncé du Principe Fondamental de la Dynamique : système formé Soit donc 2 sous-systèmes Σ 1 et Σ 2 (Σ = Σ 1 Σ 2 ). En appliquant le PFD à Σ 1 puis à Σ 2, et en sommant, T ( Σ ext Σ 1 ) + T (Σ 2 Σ 1 ) = D(Σ 1 /R G ) T ( Σ ext Σ 2 ) + T (Σ 1 Σ 2 ) = D(Σ 2 /R G ) T (Σ 1 Σ 2 ) + T (Σ 2 Σ 1 ) + T ( Σ ext Σ 1 ) + T ( Σ ext Σ 2 ) }{{} T ( Σ ext Σ) = D(Σ 1/R G ) + D(Σ 2 /R G ) }{{} D(Σ/R G ) on obtient la loi des actions mutuelles (ou d action-réaction), T (Σ 1 Σ 2 ) = T (Σ 2 Σ 1 ) 5/13

6 Les limites du PFD PFD pour les systèmes matériels Enoncé du Principe Fondamental de la Dynamique Enoncé du Principe Fondamental de la Dynamique : système formé Le PFD est inadapté si les vitesses sont proches de celle de la lumière (c = km/s) Mécanique relativiste. les particules dont de très faible taille ( 10 nm) Mécanique quantique. les temps caractéristiques sont très longs ou très courts. les chocs sont très brefs : la vitesse varie trop rapidement pour être dérivée Percussions et lois de chocs. 6/13

7 PFD pour les systèmes matériels Ce torseur associe accélération et masse et peut être noté D(Σ/R) ρ(m) est la densité de masse (masse par unité de volume), dω est le volume élémentaire. Définition D(Σ/R) = au système Σ. { Rd (Σ/R) δ(a, Σ/R) Résultante dynamique : R d (Σ/R) = } A, A n étant pas nécessairement lié M Σ ρ Γ(M/R) dω M nt dyn. en A : δ(a, Σ/R) = M Σ ρ AM Γ(M/R) dω 7/13

8 discrets PFD pour les systèmes matériels Un point matériel : Σ = {(A, m)}. Alors, R d (Σ/R) = m Γ(A/R) δ(b, Σ/R) = m BA Γ(A/R) Un nombre fini de points matériels : Σ = {(A 1, m 1 ),.., A n, m n )} = {(A i, m i )} i=1,n. Alors, R d (Σ/R) = n i=1 m i Γ(Ai /R) δ(b, Σ/R) = n i=1 m iba i Γ(A i /R) 8/13

9 PFD pour les systèmes matériels Exemple continu (1) Un ensemble infini de points matériels uniformément répartis (ρ(m) = ρ) dans un cylindre : Σ = {M E 3, r(m) a, 0 θ 2π, h z h}. Alors, R d (Σ/R) = M Σ ρ Γ(M/R) dω = h h 2π 0 a 0 ρ Γ({r, θ, z} /R) rdr dθ dz δ(o, Σ/R) = M Σ ρ OM Γ(M/R) dω = h 2π a h 0 0 ρ (r(m) e r (M) + z(m) e z ) Γ({r, θ, z} /R) rdr dθ dz 9/13

10 PFD pour les systèmes matériels Exemple continu (2) Cas 1 : Translation. Γ(M Σ/R) = u, M Σ R d (Σ/R) = u ρ rdr dθ dz = m(σ) u M Σ δ(o, Σ/R) = ρ OM dω M Σ }{{} = 0, symétrie axiale et O au centre de l axe u = 0 10/13

11 PFD pour les systèmes matériels Exemple continu (3) Cas 2 : Rotation. Γ(M Σ/R) = ω 2 r(m) e r (M) R d (Σ/R) = ρ ω 2 r(m) e r (M) dω M Σ }{{} = 0, symétrie axiale = 0 δ(o, Σ/R) = ρ ω 2 M Σ (r(m) e r (M) + z(m) e z ) r(m) e r (M) = ρ ω 2 M Σ z e z r e r dω = ρ ω 2 e z M Σ zr e r dω = ρ ω 2 e z h h zdz r e r dω base }{{} = 0 11/13

12 PFD pour les systèmes matériels Commentaires La définition du torseur dynamique demande la connaissance en tous points de l accélération et le calcul de son intégral ainsi que celle des moments dynamiques définis en chaque point du système. Dans le calcul du torseur dynamique la notion de masse totale et la répartition (présence de symétries matérielles) des masses est tres importante. Nécessité d introduire la notion de centre de masse (ou centre d inertie) et de moment d inertie. 12/13

13 A SUIVRE... PFD pour les systèmes matériels 1 PFD pour les systèmes matériels 13/13

14 A SUIVRE... PFD pour les systèmes matériels 1 PFD pour les systèmes matériels 2 13/13

15 A SUIVRE... PFD pour les systèmes matériels 1 PFD pour les systèmes matériels /13

16 A SUIVRE... PFD pour les systèmes matériels 1 PFD pour les systèmes matériels /13

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